2017东城二模数学试题

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ?或2}x ³ （B ）{|2x x <-或2}x > （C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -＃（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C）y =（D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S（A）2716（B）278（C）634（D）632开始数学家秦九韶（约求值的秦九韶算2x =，则程序框图计算的是 （A）5432222221+++++（B）5432222225+++++（C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++AP PAP（7）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，,A P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m mM m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p（B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．。

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|40}A x x，则A R（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x（C ）{|22}x x （D ）{|22}x x（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C ）yx （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y xy y，则2x y 的最大值为（A ）1 （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 15172a a ，244a a ，则6=S（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632APP否 1v v x1i i输出v1i n0iAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n，1v ，2x ，则程序框图计算的是（A ）5432222221 （B ）5432222225 （C ）654322222221（D ）43222221（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立 （C ）A B ，B A 可同时不成立 （D ）AB ，BA 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_________班级___________姓名___________考号_________本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ð（A ）{|2x x ?或2}x ³ （B ）{|2x x <-或2}x >（C ）{|22}x x -<< （D ）{|22}x x -＃（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C）y =（D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ì-+?ïï+?íï³ïî，则2x y +的最大值为（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a +=，244a a =，则6=S （A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632APAP（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是 （A ）5432222221+++++ （B ）5432222225+++++ （C ）654322222221++++++ （D ）43222221++++（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（A ） （B ） （C ） （D ）B D（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B p ，B C p ，则A C p（B ）若A B p ，B C p 同时不成立，则A C p 不成立（C ）A B p ，B A p 可同时不成立 （D ）A B p，B A p 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|40A x x =-<，则A C R = （ ）A ．{|2x x ≤-或}2x ≥B ．{|2x x <-或}2x >C ．{}|22x x -<<D ．{}|22x x -≤≤ 2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y =．x y e -=3. 若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2 4. 设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若152417,42a a a a +==，则6S =（ ） A ．2716 B ．278 C. 634 D ．6326. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===，则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++ C. 654322222221++++++ D ．43222221++++7. 动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ． C. D ．8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,n a a a a 和123,,,...,n b b b b ,令{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=,若M 中元索个数大于34n ,則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:A B ,现有三种蔬菜,,A B C 下列说法正确的是（ ）A ．若,AB BC ,则 A C B ．若,A B BC 同时不成立，则A C 不成立C. ,AB BA 可同时不成立 D ．,AB B A 可同时成立第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数()i 2i -在平面内所对应的点的坐标为 ．10. 在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0ρθ=>a a 相切，则a = ． 11. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13.在直角坐标系中xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60，则OA = ．14. 已知函数()(]{}(]{}()1,0,2min 1,3,2,4min 3,5,4,x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩. ①若()f x a =有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是 ．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范闱是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2cos 2(f x x a x a =+⋅∈R). （1）若26π⎛⎫=⎪⎝⎭f ，求a 的值； （2）若()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求()f x 的最大值. 16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60,2,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠====为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由. 18. 设函数()()2(xf x x ax a e a -=+-⋅∈R ）.（1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为()1,0F ，点M 时是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E .证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.20. 对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B 定义()1,ni ii d A B a b==-∑.（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==, 求(,)d A B 的值；（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11,1,1,1,1A =且满足：()1,2,i i d A A i N *+=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()1121,1,...,1A =且满足：()1,,,1,2,3,...i i d A A m m N i *+=∈=，若存在正整数j 使得()120,0,...,0,j j A A =为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题参考答案一、选择题1-4: ABCB 5-8: DACC二、填空题9.()1,2 10.1 11.14 12.21()1,+∞ ()()4,22,4--三、解答题15. 解：(1)因为2cos 22666f a πππ⎛⎫=⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭，所以31222a +⋅=，所以1a =.(2)由题意()22f x x x ⎫=⎪⎭()2x ϕ=+.其中tan ϕ=，所以T π=，且712122πππ-=，所以当12x π=时，max 126y f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()23k k Z πϕπ=+∈.所以tan 3a ϕ===，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x的最大值为16. 解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主題公园”()1,2,...9i =，根据题意，()19i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（1）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则47B A A =，所以()()()()474729P B P A A P A P A ==+=.（2）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2.且()()()()()478478103P X P A A A P A P A P A ===++=；()()()()()()35693569419P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=； ()()()()1212229P X P A A P A P A ===+=，所以X 的分布列为故X 的期望()280123999E X =⨯+⨯+⨯=.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.17. 解：(1)取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE 且MN ⊄平面BDE .所以//MN 平面BDE ，因为//,2EF AB AB EF =，所以//,EF CD EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE .所以//FN 平面BDE .又FNMN N =，所以平面//MFN 平面BDE ，又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .(2) 取AD 中点O ，连结,EO BO ，因为EA ED =，所以EO AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面,ABCD EO BO ⊥，因为,60AD AB DAB =∠=，所以ADB ∆为等边三角形，因为O 为AD 中点，所以AD BO ⊥.因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -.由题意，得()()()()2,0,0,,,2,0,0A B C D --，((()()(,1,3,3,23,2,0,23,0,E F CF DE BE -=-==-.设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0n BE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z =，则1,y x ==所以()3,1,1n=-，设直线CF 与平面BDE 所成角为α，10sincos ,10CF n α==，所以直线CF 与平面ADE. (3)设G 是CF 上一点，且[],0,1CG CF λλ=∈，因此点()()34,,34,G BG λλ-+=-，由0BG DE ⋅=，解得49λ=. 所以在棱CF 上存在点G 使得BG DE ⊥，此时49CG CF =. 18. 解：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.19. 解：(1)由题意，得2221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB ∠”.设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2N k E k .设点()00,M x y ，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2020286341234k x k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.①当MF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12M N E ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点E 在BFM ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，即EF 平分MFB ∠；②当12k ≠±时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k ==--，所以直线MF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点E 直线MF 的距离d ==()22241241k k k BE k +===+，即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上. 20. 解：(1)由于()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==，由定义()1,ai ii d A B a b==-∑，可得(),4d A B =.(2)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,...m A A A A ，使得()()11,1,1,1,1,0,0,0,0,0m A A ==，因为向量()11,1,1,1,1A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第()1,2,3,4,5i i =个分量1变化了121n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1变化为0共需要()()()()()123452*********n n n n n -+-+-+-+-()12345221n n n n n =++++--次，此数为奇数，又因为()1,2,i i d A A i N *+=∈，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需改变数值()21m -次，此数为偶函数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0. （3）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =.。

数学试卷 第1页（共17页）东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二） 数 学 试 卷 2018.5学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为A. 205万B. 420510⨯ C. 62.0510⨯ D. 72.0510⨯ 2. 在平面直角坐标系xOy 中，函数31y x =+的图象经过A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是 A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 正方体4. 七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：甲组 158 159 160 160 160 161 169 乙组 158159160161161163165以下叙述错误．．的是 A. 甲组同学身高的众数是160 B. 乙组同学身高的中位数是161 C. 甲组同学身高的平均数是161 D. 两组相比，乙组同学身高的方差大 5. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()3,4P 在O 内，则O 的半径r 的取值范围是数学试卷 第2页（共17页）A. 0r ＜＜3B. r ＞4C. 0r ＜＜5D. r ＞56. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 67. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是A. 图2B. 图1与图2C. 图1与图3D. 图2与图3 8. 有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃的直径，且AB ⊥CD . 入口K 位于中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x ，与入口K 的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是A. A →O →DB. C→A→O → BC. D →O →CD. O→D→B→C 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若分式22xx +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符OAD数学试卷 第3页（共17页）合条件的点P 的坐标________________.11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =8.是△ABC 的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC 上，则tan ABC ∠的值为_____________.第11题图 第15题图 12. 抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.13．自2008年9月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至2018年5月8日5 时52分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达50亿立方米. 已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的2倍多1.82亿立方米，求河北四库来水量. 设河北四库来水量为x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为_________ .14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有10 000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 .O数学试卷 第4页（共17页）15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，P 分别在x 轴、 y 轴上，30APO ∠=︒ .先将线段PA 沿y 轴翻折得到线段PB ，再将线段PA 绕点P 顺时针旋转30°得到 线段PC ，连接BC . 若点A 的坐标为()1,0- ，则线段BC 的长为 . 16. 阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是 .三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()332sin 60+2--︒-数学试卷 第5页（共17页）18． 解不等式()()41223x x ---＞，并把它的解集表示在数轴上.19. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .(1)求证：ADE ABC △≌△;(2)当8AC =，6BC =时，求DE 的长.20. 已知关于x 的一元二次方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)写出满足条件的k 的最大整数值，并求此时方程的根.21．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；数学试卷 第6页（共17页）（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围. 23． 如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F .（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键 .截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a，全国森林覆盖率21.63%记为b，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a和b的式子表示）.25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米.则y关于x的函数表达式为;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：数学试卷第7页（共17页）数学试卷 第8页（共17页）描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x = 时，y 有最小值. 由此，小强确定篱笆长至少为 米.26．在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，直线与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点的横坐标P x 的取值范围．27. 如图所示，点P 位于等边ABC △的内部，且∠ACP =∠CBP ．(1) ∠BPC 的度数为________°；(2) 延长BP 至点D ，使得PD =PC ，连接AD ，CD ．①依题意，补全图形；xOy xOy P x P x l l P数学试卷 第9页（共17页）②证明：AD +CD =BD ；(3) 在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则. 基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围；PH PF=数学试卷 第10页（共17页）②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.东城区2017-2018学年度第二学期初三年级统一测试（二）数学试题卷参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. x ＞0 10. ()()()()21212121--，，，-，，，，-（写出一个即可） 11. 2 12. ()1,1m -- 13. ()2 1.8250x x ++= 14. 120 ；3 000 15. 16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行.三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）=3-217.解：原式 --------------------------------------------------------------------4分-------------------------------------------------------------------------------------------------- 5分18. 解：移项，得()1213x -＜， 去分母，得 23x -＜， 移项，得x ＜5.∴不等式组的解集为x ＜5. --------------------------------------------------------------------3分--------------------------------5分数学试卷 第11页（共17页）19. 证明：（1） ∵DE 垂直平分AB ,∴ 90AED ∠=︒. ∴AED C ∠=∠. ∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △∽△.--------------------------------------------------------------------2分 (2) ABC Rt △中，8AC =，6BC =， ∴10AB =.∵DE 平分AB ， ∴5AE =. ∵ADE ABC △∽△，∴DE AEBC AC = . ∴568DE = . ∴154DE =. ---------------------------------------------------------------------5分 20. 解：（1） 依题意，得()20,640k k ≠⎧⎪⎨∆=--⎪⎩＞， 解得k k ≠＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分(2) ∵k 是小于9的最大整数，∴=8k .此时的方程为28610x x -+=. 解得11=2x ，21=4x . ---------------------------------------------------------------------5分21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠，数学试卷 第12页（共17页）∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥. ∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ，∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知，∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分 22. 解：（1）12k =，22P ⎭，，或22P ⎛- ⎝⎭，;---------------------------3分 (2) 1k ≥. ---------------------------------------------------------------------5分23. （1）证明：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∴90DCB ∠=︒.∴90CDB FBC ∠+∠=︒. ∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥， ∴MB 是O 的切线. ∵CF 是O 的切线，数学试卷 第13页（共17页）∴FC FB =. ∴=FCB FBC ∠∠.∵90FCB DCF ∠+∠=︒ , ∴=CDB DCF ∠∠.∴=CF DF . ---------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知，ABC △是直角三角形，在Rt ABC △中，=10AB ，=6BC ，根据勾股定理求得=8AC . 在Rt ABC △和Rt ADB △中， A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，，∴Rt ABC △∽Rt ADB △. ∴AB AC AD AB =. ∴10810AD = . ∴252AD =. 由（1）知，∵=CF DF ，=CF BF ， ∴=DF BF . ∵=AO BO ，∴ OF 是ADB △的中位线.∴125.24OF AD ==---------------------------------------------------------------------5分24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分数学试卷 第14页（共17页）（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）5432000ab.------------------------------------------------------5分25. 解：42y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；----------------------------------------------1分 810，； --------------------------------------------------------3分 如图； ----------------------------------------------------------4分 28，. -----------------------------------------------------------5分26. 解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入23(0)y ax bx a =+-≠，得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩，，解得12a b ==-，． ∴抛物线的表达式为223y x x =--． -------------------------------------------------------------2分（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，数学试卷 第15页（共17页）则点B '的坐标为()45，-.∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '. 设直线AB '的表达式为y mx n =+， 把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+， 得054m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，，解得11m n =-=-，．∴直线AB '的表达式为1y x =--．即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分（3）如图，直线AB '与抛物线223y x x =--交于点C .设直线l 与直线AB '的交点为N '， 则 'PN PN =． ∵PM PN <， ∴'PM PN <.∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．∴点M 在抛物线223y x x =--夹在点C 与点B 之间的部分上．联立223y x x =--与1y x =--，可求得点C 的横坐标为2． 又点B 的横坐标为4， ∴点P 的横坐标Px 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分数学试卷 第16页（共17页）27. 解：(1)120°. ---------------------------------------------------2分(2)①∵如图1所示.②在等边ABC △中，60ACB ∠=︒， ∴60.ACP BCP ∠+∠=︒ ∵=ACP CBP ∠∠，∴60.CBP BCP ∠+∠=︒∴()180120.BPC CBP BCP ∠=︒-∠+∠=︒ ∴18060.CPD BPC ∠=︒-∠=︒ ∵=PD PC ，∴CDP △为等边三角形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=︒， ∴.ACD BCP ∠=∠ 在ACD △和BCP △中，AC BC ACD BCP CD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴()SAS ACD BCP △≌△.∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------------------------------4分 （3）如图2，作BM AD ⊥于点M ，BN DC ⊥延长线于点N . ∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=︒， ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒ ∴=60.ADB CDB ∠∠=︒数学试卷 第17页（共17页）∴=2BM BN BD == 又由（2）得，=2AD CD BD +=，ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CDBN =+)2AD CD =+22==----------------------------------------------------------7分28. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF = ∴.AF d CF≤≤ ∵=4AF CF，∴d 4≤---------------------------------------------------------------------------------- 5分② 1.t ≤ ------------------------------------------------------------------------8分。

2017-4-东城二模数学理科附答案D（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}na为递增数列，n S是其前n项和.若1517 2a a，244a a，则6=S（A）2716（B）278（C）634（D）632否 1v v x1i i 1i ni开（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n ，1v ，2x ，则程序框图计算的是 （A ）5432222221（B ）5432222225（C ）654322222221（D ）43222221APPAP（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的P 所走过的路程x 动点P 所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,na a a a 和123,,,,nb b b b ，令{|,1,2,,}mm M m ab m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 （A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立（C ）A B ，BA 可同时不成立（D ）AB ，B A 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数i(2i)在复平面内所对应的点的坐标为 ． （10）在极坐标系中，直线cos 3sin 10与圆2cos (0)a a 相切，则a _______．（11）某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）D（12）如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=，30ADB ∠=，1BC =，2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD 的面积为___________.（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24yx的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA ．（14）已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈⎧⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是_______．三、解答题共6小题，共80分。

2016-2017学年北京市东城区初三年级综合能力测试（二〉数学试卷参考答案及评分标准2017.6一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）17・计算：-2 +（7T - 2017）° - 4 cos 60° + V27解：原式=2 + 1-2 + 3的 ....... 4分= 3^3 4-1・................ 5分18.解：解①得戏1,解②得x> -3. .............. 2分・•・不等式组的解集是：-3<x^l ................................. 4分将不等式组的解集表示在数轴上，_I_5_|_!_I_A_!_I_I_-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5............... 5分19.解：错误的步骤是①和②........ 2分正确的化简过程：原式=4x2 -1-x(%+5)二4无2 — 1 —兀2 — 5x20•解：由题意得4P是ABAC的平分线，过点D作DE丄AB于E .................... 2分又V ZC=90°,・・.DE=CD・ .............. 3分・•・ /\ABD的面积15x4=30............... 5分21・解：(1)由题意可求反比例函数的解析式为由点A(V3,l), AB丄A•轴可知，Z・・・04丄08,・・・ZBOC=60°・・•・可求出BC=3・・••点〃的坐标为(能,一3) ............ 2分(2)点E的坐标为(-能1),在反比例函数y二逅的图象上.X理由：当x = _品时，代入y主,得到)=一1 ..................................... 5分22. 解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是兀in?,甲工程队每天能完成绿化的面积是加!!？.根据题意得：--— = 4.x 2x解得：兀=50・经检验兀=50是原方程的解.则甲工程队每天能完成绿化的面积是50x2=100 (m2)・答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2, 50m2.......................... 5分23. 解：(1)四边形EBGD是菱形.理由：TEG垂直平分BD,:・EB=ED, GB=GD.:.ZEBD=ZEDB・I ZEBD=ZDBC f・•・ ZEDF=ZGBF.又•：DF=BF, ZEFD=ZGFB f:・/\EFD 竺4GFB,：・ED=BG,:・BE=ED=DG=GB,・・・四边形EBGD是菱形. ...... 3分(2)过点D作DH丄BC于点H・・・・DG〃AB,A ZDGC=ZABC=30°・在Rt/\DGH中，可求D G =迟,GH = \.在RtADGH中，可求CH=乜.:.GC = 1 + V3 ・........... 5分24. 解:(1) 10010%二100・ .......... 1 分(2) 100-10-38-24-8=20；补充图如下：用户用水量频数分布直方團.......... 3分(3) 6X峠严二4. 08 (万)・答：该地区6万用户中约有4. 08万用户的用水全部享受基本价格...... 5分25. (1)证明：连接ODTCD是OO切线，・•・ ZODC=90°.即ZODB+ZBDC=90°.VAB为(DO的直径，・•・ ZADB=90°.即ZODB+ZADO=90°.:.ZBDC=ZADO.•・・OA=OD,・・・ZADO=ZA・・・・ZBDC=ZA・(2) TCE丄AE,:.ZE=ZADB=90°.:.DB//EC.:.ZDCE=ZBDC.VZBDC=ZA,・•・ ZA=ZDCE.I ZE=ZE,・•・ /\AEC^/\CED.:.Eg=DE・AE・:.16=2 (2+AD)・:.AD=6.26.解：(1)m = 0,画出函数的图象如下：.......... 2分.......... 4分.......... 5分（2）可求抛物线的顶点坐标为（加，■加+1）・不妨令加二0或1,得到两点坐标为（0,1）和（1,0）设直线解析式为y = kx + b,可求阡-1,[h = \.直线的解析式为j=-x+l. .......... 5分（3）m的取值范围是-3W加W1・ .......... 7分28. （1） APBC是等边三角形.证明：在正方形ABCD中，BC=CD, 又CD=CP,.・・ BC=CP,TP在MN上，・•・ PB=PC.・・・PB=BC=PC.:.APBC是等边三角形........... 2分（2）①补全图形如图所示.由B4=BP, ZCBP=60° ,可求得ZAPB=15°，又ZBPC=60° ,可得ZAPC=135°・根据对称性，ZAPC=ZAPC=135°・②证法一：连AC, CC・由①可得ZCPC=90°・由对称性可知PC=PC,从而可求得AC=AC=CC=42AB.从而△ACC为等边三角形；由AC=CC, DA=DC, CD=CD, 可证△ ACD 竺/\CCD,可得ZACD=ZCCD=30°・根据对称性 ZACC=ZACC 9 ZPCC=ZPCC f 从而 ZACP =ZACP 9 由△ABC 为等腰直角三角形，可得ZACB=45° , 由APBC 为等边三角形，可得ZBCP=60° , 从而ZACP=ZACP=15° ・ 所以ZPCD=ZACD- ZACP=i5° ・ .......... 8 分 证法二： 连AC, CC ・ 由 BA=BP 9 ZCBP=60° ,可求得ZAPB=75° , 又ZBAC=45° ,可得ZCAP=30° ・ 根据对称性，ZCAP=ZCAP=30°，从而ZCAC=60° ； 由对称性可知 AC=AC 9从而△ACC 为等边三角形； 以下同证法一. 29•解：（1）①PQ=逅点P, Q 的“相关圆”的面积5兀； ②依题可得12+«2=（A /5）2，解得〃 =±2・ 即点P 的坐标为（0, 1）,且PQ=l. 因为点。