2018年河南省信阳高级中学普通高等学校高中招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题
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2018年河南省信阳高级中学普通高等学校高中招生全国统一考试模拟（二）数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ，满足1z =，则复数z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i +D ．i2．已知集合{}2340A x x x =∈--≤Z ，{}0ln 2B x x =<<，则A B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．83．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2BC．D ．44. 已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ） A. 21B. 53C. 52D. 515．设a ＝sin xdx π⎰，则6(的展开式中常数项是（ ） A ．160 B ．－160 C ．－20 D ．206．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ） A ．24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．42,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．33,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是（ ） A ．910a ≤< B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A ．2xx y =B ．22x y =-C．e x y x =- D ．|2|2x y x =﹣9．已知数列{n a }中，n a ＞0，a 1＝1，2n a ＋＝11n a ＋，a 100＝a 96，则a 2018＋a 3＝（ ）A ．52 B CD ．2－1 10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A ．174π B ．214πC ．4πD ．5π11．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ， 则111a b++的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．412．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ） A ．至少存在两个点P 使得1k =- B ．对于任意点P 都有0k < C ．对于任意点P 都有1k <D ．存在点P 使得1k ≥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin2α＝14，则22cos ()4πα－＝___________． 14．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为面ABCD 内一点，则)(+⋅+（的最小值为____________．15．若对任意的x ∈R ，都有()()()66f x f x f x ππ=-++，且(0)1f =-，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1003f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．16．设n a 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么63S 的值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，D BC ∈，sin sin ACD ABD S BS Cλ∠==∠△△．（1）求证：AD 平分BAC ∠； （2）当12λ=时，若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．18．（12分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育2个孩子．在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎．在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有1x 对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有2x 对，其余情形有3x 对，且123::300:100:99x x x =．现用样本的频率来估计总体的概率．（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出1x ，2x ，3x 的值；（2）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策：凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元．第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元．这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩．设ξ为该地区的一对夫妇享受的生育贴补，求()E ξ．19．（12分）在三棱锥A BCD -中，2A B A D B D ===，BC DC ==2AC =．（1）求证：BD AC ⊥；（2）点P 为AC 上一动点，设θ为直线BP 与平面ACD 所形成的角，求sin θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为12F F 、，1PAF △的面积是2POF △1倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于M ，N ，连接1MF ，1NF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，指出DE k 与k 之间的关系，并说明理由．21．（12分）已知函数()=ln e xf x a x -；（1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）若*a ∈N ，且()0f x <恒成立，求*a ∈N 的最大值．参考数据：请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＝1＋（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ＝4sin θ． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若｜AB ｜＝8，求α的值．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）设()121f x x x =+--， （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若不等式满足()()11f x x a a ≤-++对任意实数0x ≠恒成立，求实数a 的取值范围．2018年普通高等学校考试模拟卷（二）答案一、1．D 根据题意可得，i z a =-，所以1z =，解得0a =，所以复数i z =．2．C {}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<，所以{}2,3,4A B =，所以AB 的真子集有3217-=个．3．B 因为双曲线2222:1x y C a b -=的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y x =±，所以a b =．因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以12=，所以a b ==C 的方程为22122x y -=，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b =4. C 5．B6．C 作出的可行域为三角形（包括边界），把5x z y-=改写为105y z x -=-，所以1z 可看作点(),x y 和()5,0之间的斜率，记为k ，则2433k -≤≤，所以33,,24z ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 7．B 依次运行流程图，结果如下：13S =，12n =；25S =，11n =；36S =， 10n =；46S =，9n =，此时退出循环，所以a 的取值范围是910a <≤．故选B ．8．D 对于A ，函数()2x x xf =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意；故选D ．9．C10．B 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A BC D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A BC D -的长、宽、高分别为2，a ，b ， 所以此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A BC D -的外接球，半径为22=，所以三棱锥外接球表面积为()()222221445124a b a ⎛ππ=π++=π-+⎪⎝⎭， 当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．11．A 曲线22:4210C x x y -+-=可化为()22225x y -+=，表示圆心在()2,0A ，半径为5的圆，2222+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()324y x =--， 联立()()22324225y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，解得1163x y =⎧⎨=-⎩或2123x y =-⎧⎨=⎩（舍去），当63x y =⎧⎨=-⎩时，t取得最大值，则22max (66)(36)222t a b =++----=，所以3a b +=，所以()14a b ++=，()111111112114141b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+⎡++⎤=++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当11b a a b +=+，12a b =⎧⎨=⎩时取等号． 12．C 任意取x 为一正实数，一方面sin ln ln 1y x x x =+≤+，另一方面容易证ln 1x x +≤成立，所以sin ln y x x x =+≤，因为sin ln ln 1y x x x =+≤+与ln 1x x +≤中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+<恒成立，所以1k <，排除D ；当2x π≤<π时，sin ln 0y x x =+>，所以0k >，所以排除B ； 对于A 选项，至少存在两个点P 使得1k =-，也就是sin ln 1x xx+=-至少存在两解， 即sin ln 0x x x ++=至少存在两解，()1sin ln cos 10x x x x x¢++=++>恒成立， 所以sin ln 0x x x ++=至多存在一解，故排除A ，故选C ． 二、14．1- 建立如图所示的坐标系，以B 为坐标原点， 则()0,1A ，()0,0B ，()1,0C ，()1,1D ，设(),P x y ，则()=,1PA x y --u u r ，()=,PB x y --u u r ，()=1,PC x y --u u u r ，()1,1PD x y =--u u u r，()()()()()()()2++=2,1221,121241PA PB PC PD x y x y y x x ⋅--⋅--=---uu r uu r uu u r uu u rx()()2212211y x =-+--，当12x =，12y =时，()()++PA PB PC PD ⋅u u r u u r u u u r u u u r 的最小值为1-．15．2 因为()()()66f x f x f x ππ=-++①，所以()()()63f x f x f x ππ+=++②， ①+②得，()()36f x f x ππ+=--，所以()()2f x f x π+=-， 所以()()f x f x +π=，所以T =π，所以10033f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在()()()66f x f x f x ππ=-++中，令6x π=得，()(0)()63f f f ππ=+， 因为(0)1f =-，16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()23f π=． 16．714 由已知得，当n 为偶数时，2n n a a =，当n 为奇数时，12n na +=． 因为12342121n n S a a a a a --=+++++，所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=++++++++ ⎪⎝⎭()()123211232n na a a a -=++++++++()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++， 即()121211242n n nn S S +--=++， 所以()()()111221*********1224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅-， 所以66321S S -=55222433=+⋅-=714． 三、17．解：（1）在ABC △中，由正弦定理得，sin sin B ACC AB∠=∠，因为sin sin ACD ABDS B S C ∠=∠△△，······2分 所以1sin 21sin 2AC AD CADAC AB AB AD BAD ⋅∠=⋅∠，······3分 所以sin sin CAD BAD ∠=∠， (4)分因为CAD BAD ∠+∠<π，所以CAD BAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠．······6分 （2）因为12ACD ABD S CDS BD==△△，2DC =，所以BD =······7分在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，因为cos ADB ∠cos 0ADC +∠=，所以22222232AB AC AD BD DC +=++， 因为1AD =，所以2226AB AC +=，······10分 因为sin 1sin 2B C ∠=∠，所以2AB AC =，······11分 所以1AC =．······12分18．解：（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩． 由123::300:100:99x x x =，可设1300x n =，2100x n =，()399x n n =∈N ， 由已知得，12349900x x x ++=，所以3001009949900n n n ++=，解得100n =， 所以130000x =，210000x =，39900x =．······4分 （2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种： 第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为110011000001000f ==，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为25000011000002f ==，男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为330000310000010f ==，男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为410000110000010f ==，其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为59900991000001000f ==，······9分由题意可知随机变量ξ的可能取值为15000，25000，5000，()11150001000P f ξ===，()23492500010P f f f ξ==++=， ()59950001000P f ξ===，······11分 所以随机变量ξ的概率分布表如下：所以()15000250005000230101000101000E ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．····12分 19．解：（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，∵2AB AD BD ===，又E 为BD 中点，∴AE BD ⊥，·······1分同理可得：CE BD ⊥，·······2分 又AECE E =，∴BD ⊥平面ACE ，····3分又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥．····4分 （2）∵2AB AD BD ===，BC DC = ∴BCD △为直角三角形，且AE =1CE =，∴222AE EC AC +=，2AEC π∠=，即AE EC ⊥， 又AE BD ⊥，所以AE ⊥平面BCD ，···5分 ∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．∴()010B -,,，()010D ,,，()100C ,,，(00A ,， 设()000,P x y z ,，()01AP AC λλ=≤≤，(10AC =，，(000AP x y z =,,，∴((()000,,100x y z λλ==，，，∴0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即0000x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴()0P λ,，·······6分()=BP λ，·····7分(0DA =-，，()110DC =-,,， 设()111,,x y z =n 是平面ACD 的法向量，∴11110000DA y x y DC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令11x =，得11y =，13z =，∴113⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,n ，·······9分∴sin cos 7,BP BP BPθ=<>===⋅⋅n nn ， (10)分 由01λ≤≤，可知2723228λλ-+≤≤，∴sin 7θ，∴sin θ的最大值为．·······12分20．解：（1）由P ⎛⎝⎭在椭圆上，可得221112a b +=，由1PAF △的面积是2POF △1倍，可得1a c c-=-，即a =， 又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．······4分 （2）设()00,M x y ，则()00,N x y --，直线001:1x MD x y y +=-， 代入22:12x C y +=，得()()22220000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦，······6分 因为220012x y +=，代入化简得()()22000021320x y x y y y -+-=+， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023y y y x -+=，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-，···8分 直线001:1x NE x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-，······9分 所以()12121200001212121212000000121111DE y y y y y y k x x x x y y y y x x y y y y y y y y y y y y ---====+-++---++⋅- 000000133416y k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭， 所以3DE k k =．······12分 21．解：（1）根据题意可得，()()e =e 0xx a a x f x x x x-'-=>，·······1分 当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =是减函数，无极值点；·······2分当0a >时，令()0f x =，得e 0x a x -=，即e x x a =，又e xy x =在()0,+∞上是增函数，且当x →+∞时，e x x →+∞， 所以e x x a =在()0,+∞上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的． 所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点；总之：当0a ≤时，无极值点；当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点．·······5分（2）因为*0a ∈>N ，由（1）知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足00ex x a =①，可知：()()000max ln e x f x f x a x ==-， 要使()0f x <恒成立，即()0000ln e xa x f x -=<②，·······6分 由①可得00e x a x =，代入②得00ln 0a a x x -<，即001ln 0a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<-， 因为*0a ∈>N ，所以001n 0l x x -<，·······7分 因为1ln1.710.7-<，1ln1.810.8->，且001ln y x x =-在()0,+∞是增函数， 设m 为001ln y x x =-的零点，则()1.7,1.8m ∈，可知00m x <<，·······8分 由②可得00ln e x a x <，当001x <≤时，0ln 0a x ≤，不等式显然恒成立；·······9分当01x m <<时，0ln 0x >，0e ln x a x <， 令()e ln xg x x =，()1,x m ∈，()21e ln 0ln x x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=<， 所以()()1,g x m 在上是减函数，且 1.8e 10.29ln1.8≈， 1.7e 10.31ln1.7≈， 所以()10.2910.31g m <<，·······11分所以()a g m ≤，又*a ∈N ，所以a 的最大值为10．·······12分 22. 解：（Ⅰ）直线l 普通方程为0cos cos sin =+-αααy x ，………………2分曲线C 的极坐标方程为θθρsin 4cos 2=，则θρθρsin 4cos 22=，∵y x ==θρθρsin ,cos ，y x 42=∴即为曲线C 的普通方程. …………4分（Ⅱ）将⎩⎨⎧+==,sin 1,cos ααt y t x (t 为参数，πα≤≤0)代入曲线C ：.42y x = ∴22cos 4sin 40.t t αα--=………………………………………………………6分 ().8cos 44cos sin 442222122121=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=-=αααt t t t t t AB …………8分 22cos ±=∴α，则.434ππα或= ………………………………………………10分23.解：（1）根据题意可得，当1x <-时，1212x x x --+-≤+，解得22-≤，所以1x <-；·······1分 当112x -≤≤时，1212x x x ++-≤+，解得1x ≤，所以112x -≤≤；·····2分 当12x >时，1212x x x +-+≤+，解得0x ≥，所以12x ＞；·····3分 综上，不等式()2f x x ≤+的解集为R ．·······5分（2）不等式()()11f x x a a ≤-++等价于12111x x a a x +--≤-++，···6分 因为121111112123x x x x x x x+--=+--≤++-=，·······8分 当且仅当11120x x ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时取等号， 因为12111x x a a x +--≤-++，所以113a a -++≥， 解得32a ≤-或32a ≥，故实数a 的取值范围为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．·······10分。
