2018高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1.2习题精选北师大版必修21

1.2 数列的函数特性课后训练巩固提升1.已知数列{a n}的通项公式是a n=n-1n+1,那么这个数列是( ).A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不是a n+1-a n=nn+2−n-1n+1=n2+n-(n2+n-2)(n+1)(n+2)=2(n+1)(n+2)>0,∴a n+1>a n,∴{a n}是递增数列.2.给出下列说法:①已知数列{a n},a n=1n(n+2)(n∈N+),那么1120是这个数列的第10项,且最大项为第一项;②数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…的一个通项公式是a n=√3n-1;③已知数列{a n},a n=kn-5,且a8=11,则a17=29;④已知a n+1=a n+3,则数列{a n}是递增数列.其中正确的有( ).A.4个B.3个C.2个D.1个,令a n=1n(n+2)=1120⇒n=10(n=-12舍去),易知最大项为第一项.①正确.对于②,数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…即为√2,√5,√8,√11,…,亦为√3×1-1,√3×2-1,√3×3-1,√3×4-1,…,故a n=√3n-1.②正确.对于③,a n=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒a n=2n-5⇒a17=29.③正确.对于④,由a n+1-a n=3>0,易知④正确.3.对任意的a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是( ).a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足,故选A.4.(多选题)对于数列{a n},若存在正整数k(k≥2),使得a k>a k-1,a k>a k+1,则称a k是数列{a n}的“峰值”,k是数列{a n}的“峰值点”.在数列{a n}中,若-9|,下面哪些数不能作为数列{a n}的“峰值点”().a n=|n+8nA.2B.3C.6D.12a n =|n +8n-9|,所以a 1=0,a 2=3,a 3=103,a 4=3,a 5=125,a 6=53,a 7=67,a 11=3011,a 12=113,a 13=6013,只有a 3>a 2,a 3>a 4,所以“3”是“峰值点”,其他选项不是.故选ACD.5.已知数列{a n },a n =a n +m(a>0,n ∈N +),满足a 1=2,a 2=4,则{a n }是 数列.(填“递增”或“递减”){a 1=a +m =2,a 2=a 2+m =4,∴{m =0,a =2,或{m =3,a =-1(舍去).∴a n =2n , ∴{a n }是递增数列.6.已知数列{a n },a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }为递增数列,则k 的取值范围是 .n+1-a n =(n+1)2-k(n+1)-n 2+kn=2n+1-k,又{a n }为递增数列,故应有a n+1-a n >0,即2n+1-k>0恒成立,分离参数得k<2n+1,故只需k<3即可.∞,3)7.已知数列{a n }的通项a n ,画出数列的图象.(1)a n =(-1)n ×2; (2)a n =2n-4; (3)a n =(12)n -1.,(1)(2)(3)(第7题) 8.已知数列{a n },a n =1+1a+2(n -1)(n ∈N +,a ∈R,且a≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N +,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.∵a=-7,∴a n =1+12n -9(n ∈N +).结合函数f(x)=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N +). ∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,(1)∵a=-7,∴a n=1+(n∈N+).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>?>a n>1(n∈N+).∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+=1+,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-10<a<-8,故a的取值范围为(-10,-8).。

第2课时等差数列的综合问题知识点一等差数列的性质[填一填](1)若{a n}为等差数列，则距首末距离相等的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(2)若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若{a n}为等差数列，m，k，n成等差数列，则a m，a k，a n也成等差数列(m，k，n∈N＋)，即若m＋n＝2k，则a m＋a n＝2a k.[答一答]1．对于性质：若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p ＋a q，请给出证明．提示：证明：设{a n}的公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，∴a m＋a n＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴a m＋a n＝a p＋a q.知识点二 等差数列前n 项和的性质[填一填](1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可写成S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，即S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)的形式，当A ≠0时(即d ≠0)，S n 是关于n 的二次函数，其图像是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．(2)若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 为常数)是等差数列．(3)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)也是等差数列，其公差等于k 2d .(4)若等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)，且S偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(5)若等差数列{a n }的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 为中间项)，且S 奇－S偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n .[答一答]2．等差数列前n 项和的“奇偶”性质：在等差数列{a n }中，公差为d ，①若数列共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n(n ＋1)．请给出证明．提示：证明：①若数列共有2n 项，则S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝2n (a n ＋a n ＋1)2＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝n (a 1＋a 2n －1)2＝2na n2＝na n ，S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(2n ＋1)a n ＋12＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(n ＋1)a n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1， S 偶S 奇＝n(n ＋1)．1．三数成等差数列的设法为：a －d ，a ，a ＋d ，其中d 为公差；四数成等差数列的设法为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其公差为2d .2．会用方程的思想处理等差数列的有关问题．等差数列的通项公式与前n 项和公式涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，知道其中任意三个就可以通过列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”)．解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确．类型一 等差数列的性质的应用【例1】 在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋a 8＝________；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4<a 2，则a 5＝________； (3)若a 3＝6，则a 1＋2a 4＝________.【解析】 若设出a 1，d 从通项公式入手，运算过程较为繁琐，若能利用性质，可使问题简化．(1)∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，又由已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，∴5a 5＝350， ∴a 5＝70，∴a 2＋a 8＝2a 5＝140.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，又由等差数列的性质知a 3＋a 4＝a 2＋a 5，∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17.又a 2·a 5＝52，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17a 2·a 5＝52，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 5＝4，又∵a 4<a 2，∴a 4－a 2＝2d <0， ∴d <0，∴a 2>a 5，∴a 5＝4.(3)∵a 3＝6，∴a 1＋2a 4＝a 1＋a 3＋a 5＝a 3＋(a 1＋a 5)＝a 3＋2a 3＝3a 3＝18. 【答案】 (1)140 (2)4 (3)18规律方法 等差数列具有一些性质，例如当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝2a k ；a n ＝a m ＋(n －m )d 等等．灵活运用这些性质，可大大简化解题过程．【例2】 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列的通项公式． 【思路探究】 要求通项公式，需要求出首项a 1及公差d ，由a 2＋a 5＋a 8＝9和a 3a 5a 7＝－21直接求解很困难，这就促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a 2＋a 8＝2a 5＝a 3＋a 7，问题就容易解决了．【解】 a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，又由等差数列的性质知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5，∴a 5＝3， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6，① 又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7，②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1. ∴a 3＝－1，d ＝2或a 3＝7，d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d ， 得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13.规律方法 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，此性质要求等式两边必须是两项和的形式，否则不成立，如a 10≠a 2＋a 8，只能是a 2＋a 8＝a 3＋a 7，使用时应切记它的结构特征．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝36，则a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝90. 解析：a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝2a 5＝36， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝＝36＋36＋18＝90.类型二 等差数列前n 项和的性质【例3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【思路探究】 根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．【解】 设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)个，偶数项有n 个，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，所以S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)·(n ＋1)12(a 2＋a 2n )·n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.解得n ＝3.又因为S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，所以a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7项．规律方法 在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝na n ＋1；(2)若数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .【例4】 已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540【解析】 方法一：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝30，30a 1＋435d ＝210，解得⎩⎨⎧a 1＝65，d ＝25.∴S n ＝65n ＋n (n －1)2·25＝15(n 2＋5n )．∴S 20＝15×(202＋5×20)＝100.方法二：设S n ＝An 2＋Bn ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝30，900A ＋30B ＝210，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝15，B ＝1.∴S n ＝15n 2＋n .∴S 20＝15×202＋20＝100.方法三：由题意，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也是等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即S 20＝13(3S 10＋S 30)＝S 10＋13S 30＝100.【答案】 A规律方法 一个等差数列，从首项起，分成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列．若每段含有n 项，则新公差是原公差的n 2倍．(1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1010－S 88＝2，则S 2 017的值等于－2_017.解析：(1)由等差数列前n 项和的性质，得S 偶－S 奇＝102×d (d 为该数列的公差)，即30－15＝5d ，解得d ＝3.(2)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1010－S 88＝2得－2 017×10＋10×92d10－－2 017×8＋8×72d8＝2，解得d ＝2，所以S 2 017＝－2 017×2 017＋2 017×2 0162×2＝－2 017.方法二：由等差数列前n 项和的性质可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则由S 1010－S 88＝2可得2d ＝2，即d ＝1.又S 11＝－2 017，所以S 2 0172 017＝－2 017＋(2 017－1)×1＝－1，所以S 2 017＝－2 017.类型三 等差数列的综合应用题【例5】 已知数列{a n }是等差数列． (1)若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n ； (2)若S m ＝n ，S n ＝m (m >n )，求S m ＋n .【思路探究】 (1)由通项公式或前n 项和公式得a 1和d 的关系，通过解方程组求得a 1和d ，进而求得a m ＋n 和S m ＋n .(2)利用等差数列的性质可使问题简化．【解】 设首项为a 1，公差为d ， (1)解法一：由a m ＝n ，a n ＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得a 1＝m ＋n －1，d ＝－1.∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0. 解法二：由a m ＝n ，a n ＝m ，得d ＝n －mm －n ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ×(－1)＝0. (2)解法一：由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝na 1＋n (n －1)2d ，n ＝ma 1＋m (m －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝n 2＋m 2＋mn －m －nmn ，d ＝－2(m ＋n )mn .∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝－(m ＋n )．解法二：∵{a n }是等差数列， ∴可设S n ＝An 2＋Bn .则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ，①An 2＋Bn ＝m .②①－②得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m ， ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1.∴S m ＋n ＝A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )．规律方法 (1)灵活运用性质求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；(2)在应用性质：若m ＋n ＝l ＋k ，则a m ＋a n ＝a l ＋a k 时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，且前n 项和为S n . (1)求数列{S nn }的前n 项和T n ；(2)求数列{1T n}的前n 项和．解：(1)由a n ＋1＝a n ＋2，得数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，公差d ＝2， 从而a n ＝2n －1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.∴S nn ＝n ，从而T n ＝n (n ＋1)2. (2)由(1)有1T n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，其前n 项和为2[(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2nn ＋1.——多维探究系列—— 特殊值法解等差数列问题特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的．用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．【例6】 在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1,2，…，则a n ＝________.【思路分析】 因S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2d ，则S 2n ＝2na 1＋2n (2n －1)2d ＝2n ＋n (2n －1)d ，故S 2n S n ＝2n ＋n (2n －1)d n ＋n (n －1)2d＝2(2dn ＋2－d )dn ＋2－d ＝4n ＋2n ＋1， 解得d ＝1，则a n ＝n . 【规范解答】 n已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，若a 2＝4，则a 9＝( C ) A ．6 B ．9 C ．18D ．20解析：解法一：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝2a 4＋a 1＝4a 2＋a 1＝18.解法二：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，令p ＝n ，q ＝1，所以a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是等差数列，且首项为2，公差为2，故a 9＝2＋(9－1)×2＝18.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝10，则a 3的值为( C ) A.65B ．1C ．2D ．3 解析：∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，∴a 3＝15S 5＝15×10＝2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( C ) A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由题意，得6＝3×4＋3×22d ，解得d ＝－2.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( C ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝4，a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝10， 解得a 1＝－4，d ＝3，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝95. 二、填空题4．在数列{a n }中，a n ＝5n －105，则当n ＝20或21时，S n 取最小值．5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为110.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110. 三、解答题6．等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝－38，a 12＝0，求S n 的最小值以及相对应的n 值． 解：解法一：(单调性法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝－38a 1＋11d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－22d ＝2.∴当⎩⎨⎧ a n ≤0a n ＋1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋2(n －1)≤0－22＋2n ≥0时，S n 有最小值，解得11≤n ≤12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法二：(配方法)由解法一得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－22d ＝2，∴S n ＝－22n ＋n (n －1)2×2＝n 2－23n ＝⎝⎛⎭⎫n －2322－5294， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法三：(邻项比较法)由解法二得S n ＝n 2－23n ，又由⎩⎪⎨⎪⎧ S n ≤S n －1，S n ≤S n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－23n ≤(n －1)2－23(n －1)，n 2－23n ≤(n ＋1)2－23(n ＋1)， 解得11≤n ≤12，故S 11＝S 12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132.。

第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()A. B. C. D.解析:令b n=,则b2=,b6==1.由题意知{b n}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. B.± C.- D.-解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以a5=a1+4d=.答案:B4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又解得0<m≤75.∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).(1)求证:{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴=b n,又b n-1=,∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).∵b1==-,∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-3.5,又由b n=得a n=1+=1+.点(n,a n)在函数y=+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.。

第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2×33,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.∴若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).B组1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()A. B. C. D.解析:令b n=,则b2=,b6==1.由题意知{b n}是等差数列,∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.∴b4=b2+2d=+2×.∵b4=,∴a4=.答案:A2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()A. B.± C.- D.-解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以a5=a1+4d=.答案:B4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.又a4+a6=2a5=6,∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1.答案:16.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=.解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.可得=2,∴d=.∴这4个根依次为.∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.答案:7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),又解得0<m≤75.∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).(1)求证:{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴=b n,又b n-1=,∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).∵b1==-,∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n=n-3.5,又由b n=得a n=1+=1+.点(n,a n)在函数y=+1的图像上.显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.。

2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7=错误！未找到引用源。

=49.答案:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A.错误！未找到引用源。

B.1C.2D.3解析:∵S5=错误！未找到引用源。

=5a3,∴a3=错误！未找到引用源。

S5=错误！未找到引用源。

×10=2.答案:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由错误！未找到引用源。

≤n≤错误！未找到引用源。

.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15=错误！未找到引用源。

=15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足错误！未找到引用源。

(n∈N+),则错误！未找到引用源。

的值是()A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

解析:因为错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

.答案:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+错误！未找到引用源。

d=20,∴错误！未找到引用源。

解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+错误！未找到引用源。

2018年高中数学第一章数列1.2 等差数列1.2.2 第1课时等差数列的前n项和达标练习北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第一章数列1.2 等差数列1.2.2 第1课时等差数列的前n项和达标练习北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2 第1课时等差数列的前n项和［A 基础达标]1．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝20，S2＝4，则公差d为( ）A．2 B．3C．6 D．7解析：选B。

由错误!得错误!解得错误!2．已知数列{a n}为等差数列，a10＝10，数列前10项和S10＝70,则公差d＝( )A．－错误!B．－错误!C。

错误!D．错误!解析:选D.由S10＝错误!，得70＝5(a1＋10),解得a1＝4，所以d＝错误!＝错误!＝错误!,故选D。

3．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180C．200 D．220解析:选B。

(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝(－24)＋78＝54，又a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，则3（a1＋a20）＝54，所以a1＋a20＝18.则S20＝错误!＝10×18＝180.4．已知数列｛a n｝的前n项和公式是S n＝2n2＋3n,则错误!( ）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列解析：选A.因为S n＝2n2＋3n，所以错误!＝2n＋3，当n≥2时，错误!－错误!＝2n＋3－2（n－1）－3＝2，故错误!是公差为2的等差数列．5．等差数列｛a n｝,｛b n}的前n项和分别为S n，T n，若错误!＝错误!，则错误!的值为（) A。

1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

例1：1．在等差数列{}n a 中，已知28a =-，44a =-，则12a =（ ） A ．10B ．12C ．14D ．162．已知等差数列{n a }，43n a n =-，则公差d 的值是（ ） A ．4 B ．-6C ．8D ．-10举一反三1．已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则2a =（ ） A ．3-B ．5-C ．5D ．32．已知等差数列{}n a 中，12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于（ ） A ．40B ．42C ．43D ．453．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，342a a =，则公差d =_____. 3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=例2：1．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列第6项6a =（ ） A ．6 B ．8C ．12D ．16举一反三1．已知等差数列{}n a ，且4610a a +=，则5a =（ ）A ．3B ．5C ．7D ．92．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S =_________． 3．已知132a =+，132b =-，则a ，b 的等差中项为（ ）A ．3B ．2C ．33D ．24、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

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1.2.1 第2课时等差数列的性质[A 基础达标]1．已知等差数列｛a n｝中,a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（）A．30 B．15C．5错误!D．10错误!解析：选B。

因为数列｛a n｝为等差数列，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝错误!(a2＋a4)＝错误!×6＝15.2．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6）x＋10＝0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根解析：选A.由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，所以a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0,无实数解．3．已知{a n｝，｛b n｝是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6,那么a10－b10的值为( ）A．－6 B．6C．0 D．10解析：选B.由于{a n}，｛b n}都是等差数列，所以｛a n－b n｝也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以｛a n－b n｝是常数列，故a10－b10＝6.故选B.4．已知{a n}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（）A．105 B．120C．90 D．75解析:选A。

2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 推广的等差数列的通项公式 已知a 1求a n ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)． 已知a m 求a n ，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n )． 思考 已知等差数列{a n }中的a m 和a n ，如何求d? 答案 由{a n }的通项公式得 a n ＝a 1＋(n －1)d ， a m ＝a 1＋(m －1)d ，两式相减得a n －a m ＝(n －m )d ， ∴d ＝a n －a mn －m.知识点二 等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有2.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…….3．下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别的，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .思考 等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. 答案 26 134．等差数列的“子数列”的性质 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1)数列{a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列． (2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列，偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列．(3)若数列{k n }是等差数列，则数列{ak n }也是等差数列．(4)从等差数列{a n }中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．题型一 等差数列的性质及应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二 根据等差数列性质 a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________． 答案 (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20 ＝18.题型二 等差数列项的设法及运算例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，(a －3d )(a ＋3d )＋18＝(a －d )(a ＋d )， 又因为是递增数列，所以d >0， 所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法．当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a 1和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，利用和为定值，先求出其中某个未知量．跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．解 方法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8. 这三个数为4,6,8.方法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2， ∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去， ∴这三个数为4,6,8.题型三 等差数列的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项． 解 (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －1＝a n －1－1a n －1，所以1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1，即1a n －1－1a n －1－1＝1. 因为b n ＝1a n －1，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝14，b 1＝1a 1－1＝－43，所以数列{b n }是以b 1＝－43为首项，1为公差的等差数列．故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73(n ∈N *)．(2)由(1)得a n ＝1n －73＋1＝1＋33n －7，当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n >1.又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52，所以在数列{a n }中，最大项为a 3＝52，最小项为a 2＝－2.反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程(组)或不等式(组)． (3)利用函数或不等式的有关方法解决．跟踪训练3 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.题型四 等差数列的实际应用例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损． 设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0， 即a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损． 反思与感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 答案 B解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.审题不仔细致误例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为________． 错解 方法一 由a 10>0得－24＋9d >0，∴d >83.方法二 由⎩⎨⎧a 10>0a 9<0得⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0－24＋8d <0，∴83<d <3.错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a 10>0”的同时还表明“a 9≤0”这一条件．正解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>0，a 9≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.答案 83<d ≤3误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( ) A ．5B ．8C ．10D ．14 答案 B解析 方法一 设等差数列的公差为d ， 则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10， 所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.方法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51答案 C解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51， ∴a 51＝0＝a 3＋a 99.4．下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列； 其中正确的结论是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d ＞0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 答案 24解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24. ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.1.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a nm －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解．但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。