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北师大版高中数学必修五等差数列的前n项和PPT全文课件(19ppt)

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等差数列前n项和的性质ppt课件

等差数列前n项和的性质ppt课件

an a n1
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= an ,
S奇 S偶
n n1
性质5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p)
性质6:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
.
11
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
.
12
等差数列{an}前n项和的性质的应用
7
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由Sn
dn2 2
(a1
d)n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号判定
①当a1>0,d<0时, 此时Sn有最大值,其n的 值由an≥0且an+1≤0求得.
②当a1<0,d>0时, 此时Sn的最小值,其n的 值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求a 5 和 a n

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和

高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和

数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.

等差数列的前n项和ppt课件

等差数列的前n项和ppt课件

02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
等差数列前n项和的公式推导
公式推导
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
推导过程
组合数学
等差数列的前n项和在组合数学中 也有广泛应用，例如计算组合数 的公式。
数学分析
在数学分析中，等差数列的前n项 和可用于研究函数的极限、积分 等概念。
在物理中的应用
力学
01
在研究匀加速直线运动时，等差数列的前n项和可用于计算位移、
速度和加速度等物理量。
波动
02
在波动现象中，等差数列的前n项和可用于描述波动方程的解。
等差数列的前n项和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列的前n项和的求解方法 • 等差数列的前n项和的应用 • 习题与解答
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任 意两个相邻项的差是一个常数，这个 常数被称为公差。
数学表达
对于等差数列 {a_n}，如果每一项满 足 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 d 是公 差，则该数列为等差数列。
详细描述
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，其中d是公差。通过通项公式，我们可以 推导出前n项和的表达式为Sn = n/2 * [2a1 + (n-1) * d]，从而求出前n项和。
04
等差数列的前n项和的应用

高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》

高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》

的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.
[特别警示] 因为 ＝ n＋a1－ ，故数列{ }是 等差数列.
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6， 则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
.
解析：
＝2.
答案：2∶1
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对 任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn＝ ，求数列{kn}的前n项和Tn.
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 an＋1－an＝d(n∈N*) .
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an＝ a1＋(n－1)d .
[思考探究1] 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？ 提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
C.
D.2
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－ . 答案：B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
()
A.13
B.35

高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT

高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT
等差数列的前n项和
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1） 观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2） 如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的 两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项 和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法） 问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。

等差数列前n项和PPT优秀课件


n 个 2 S （ a a ) （ a a ) （ a a ) n 1 n 1 n 1 n
n （ a a ) 1 n
n （ a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n （ a 1 a n) S n 2 n （ n 1 ) S na d n 1 2
解： 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 ： ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和

=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和

北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)


方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来 一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝ ＝aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458， 所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分 段式表示．
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问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求奇数个项的和的问 题，能不能直接用高斯的办 法呢求和呢？如何改进？
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问题3: 对于一般等差数列{an}，如何推导它的前n 项和公式Sn呢？
上式相加得：
由等差数列性质可知：
2 S n a 1 a n ( a 1 a n ) ( a 1 a n ) ( a 1 a n )
Sn
na1 an
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你世知界道七这大个奇雄迹伟之壮一观—的—建印筑度是泰哪姬儿陵吗？
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问题1：传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小 的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡程度 可见一斑.你知道这个图案一共用了多少颗圆宝石吗？
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例1:分别根据下列条件，求等差数列{an}的前n项和Sn
(1 )a 1 5 ,a n 9,n 5 1;0
S1010(5 295)500.
(2 )a 1 1,0 d 0 2 ,n 5;0
a8 16 S8 44
S17 340
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1. 已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a4 9, a9 6, Sn 63 ，则 n =_6_或___7;
2.等差数列前n项和公式的推导过程
3.公式
Sn
na1 an
2
nn1
Sn na1 2 d
4.前n项和公式的灵活应用及方程的思想
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书面作业：
1.已知等差数列{an},其中 d 2 , n 15, an 10 ,求 a1 及 Sn .
50 ×(1+100)=5050
高斯的思路有什么特点？ 适合哪种类型？
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高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 德国著名数学家
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问题1：传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小 的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡程度 可见一斑.你知道这个图案一共用了多少颗圆宝石吗？
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问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这种倒方法序有相什么加特点法？我
们给它起个什么名字呢？
S21=1 + 2 + 3 + … + 21 S21=21+ 20 +19+ … + 1
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问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
S21=1 + 2 + 3 + … + 21 S21=21+ 20 +19+ … + 1
获得算法：
(121)21
S21
2
=231
2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)
2
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等差数列前n项和公式
Sn
na1 an
2
（公式一）
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例2:等差数列－10,－6,－2,2,…前多少项和是54?
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
10nn(n1)454 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）.
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等 1.定义：an1an d
差 数
2.通项公式：ana1(n1)d
列 要
3.通项公式的变形：anam(nm)d
点 整
4.性质：若 m n p q ， 则 a m a n a p a q
理
特 别 地 ： 若 m n 2 p ， 则 a m a n 2 a p
2015 2014
32
2014
北师大版高中数学必修五等差数列的 前n项和 PPT全 文课件( 19ppt) 【完美 课件】
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学习任务复习巩固创 Nhomakorabea情境探索发现
学以致用
归纳总结 课后作业
1.倒序相加法求和的思想及应用
因此，等差数列的前9项和是54.
1.an＝？ an = 4n-14
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2. Sn呢？ Sn = 2n2-12n
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学习任务
2. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝___7_2____；
3. 一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项的和为 34，最后 5 项的和为 146，
所有项的和为 234，则它的项数为______1_3_____;
4.
设
f
(x)
x2 1 x2
，
求： f ( 1 ) f ( 1 ) …+ f (1) f (1) f (2) …f (2014) f (2015)
学习任务
复习巩固
创设情境
探索发现
学以致用 归纳总结 课后作业
问题1：传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小 的圆宝石镶饰而成，共有100层（见下图），奢靡程度 可见一斑.你知道这个图案一共用了多少颗圆宝石吗？
即: 1+2+3+······+100=？
1+2+3+ … +98+99+100
101
1+100=2+99=3+98=•••=50+51=101
即: 1+2+3+······+100=？
1+2+3+ … +98+99+100
101
1+100=2+99=3+98=•••=50+51=101
50 ×(1+100)=5050
特点：首尾配对（变不同数求和为 相同数求和，变加法为乘法） 类型：偶数个数相加
高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 德国著名数学家
复习巩固
创设情境
探索发现
学以致用 归纳总结 课后作业
例3．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数
(1)已 知 a620,求 S11;
S11 220
( 2 ) 已 知 S 8 4 8 ,S 1 2 = 1 6 8 ， 求 a 1 1 和 d ; a11 32 d 4
( 3 ) 已 知 a 6 1 0 ,S 5 = 5 ， 求 a 8 和 S 8 ; (4 )已 知 a 3 a 1 5 4 0 ,求 S 1 7 .
即: 1+2+3+······+100=？
1+2+3+ … +98+99+100
101
1+100=2+99=3+98=•••=50+51=101
50 ×(1+100)=5050
高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 德国著名数学家
北师大版高中数学必修五等差数列的 前n项和 PPT全 文课件( 19ppt) 【完美 课件】
2.在 a, b 之间插入 10 个数，使它们同这两个数成等差数列,