高二数学北师大版必修教案：第一章《等差数列》

§等差数列一编写：马振华 时间：2021 5 13学习目标1 掌握等差数列的定义，通项公式；2 会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列；3 探索通项公式推导过程中体现出的数学思想。

重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用。

难点：通项公式推导与应用。

学习过程使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成各种问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

奖励规则：（1）认真预习案的组均加2分，特别突出的加3分；（2）合作探究部分基础分2分，板书认真，展示精彩到位或特别突出可以根据情况加分，其他部分根据难易和回答的精彩与否加分。

第Ⅰ部分预习案（自主学习）（阅读课本10--12页或者查阅课外资料解答下列问题） 问题1 ★一个定义★（1） 看课本归纳并得出等差数列的定义 （2）用符号语言描述等差数列的定义 问题2 ★一个公式★根据定义填空 d a a ___12=-，d a a __13=-，d a a __14=-，… d a a n __1=-。

等差数列通项公式：+=1a a n问题3 判断下列说法是否正确，对的在括号后面画 √ 错的画 × 。

（1）（2）（3）（4）（5） （6）合作合作在等合作在数解： 解：合作探究四 ★一个猜想★已知在等差数列}{n a 中，12+=n a n ，求：（1）,,,,,,987321a a a a a a ； （2）求91a a +,82a a +73a a +的值；（3）通过第（2）问的结论你能发现什么规律？并猜想如果mn=，n ，，q 为正整数）那么nm a a +与q p a a +有什么关系？第Ⅲ部分 检测案（课堂练习）1、求等差数列9,5,1，…的第10项。

2、已知在等差数列中，,35,20205-=-=a a 求这个数列的通项公式。

3、在等差数列中已知,16,675==a a 求1a 与公差d 。

§2.2等差数列的概念教案新余渝水一中数学教师习先滨教材地位与作用本教学内容是新课标北师大版必修5第一章第2节等差数列，等差数列这一节，在整个高中数学内容中是极其重要的一个内容，就这几十年高考以来，几乎每年都要考等差数列。

数列不仅有着广泛的实际应用，而且启着承上启下的作用一方面，数列作为一种特殊的函数，与函数思想密不可分，另一方面，学习数列也进一步学习数列的极限的内容做好准备。

教学目标1、知识与技能⑴理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想。

⑵能用定义判断一个数列是否为等差数列；会用等差数的通项公式解决相关问题。

2、过程与方法通过实际问题的分析，在引导学生观察、归纳等差数列概念与推导等差数列通项公式过程，使学生认识到等差数列是一种重要的数学模型，能初步从一次函数角度处理等差数列问题。

领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移过来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；培养学生观察、分析、归纳能力和应用数学公式的能力。

3、情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生体验从特殊到一般，再从一般到特殊的认识事物的规律，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。

教学重点，难点教学重点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学难点：通项公式的推导及从函数的角度理解通项公式。

学情分析：学习等差数列这一内容是在学习了函数和数列的概念、数列的通项公式的基础上对数列知识的进一步深入拓展与研究。

教法分析：由于我校学生生源还存在一定问题，自然我校学生学习基础比较薄弱，大多数学生对数学不感兴趣，为了提高我校学生对数学的学习兴趣和课堂参与教学的积极性，教师在教学时需要多引导学生列举更多的有关生活中能产生等差数列的例子，以便学生更深的理解等差数列的定义。

在讲解等差数列通项公式时，要根据学生的心理特点去研究探讨，顺利的归纳出等差数列的通项公式。

《等差数列》教学设计五河县高级中学李祥一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时。

借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式及其产生过程。

重点是理解等差数列的概念，难点是掌握等差数列的通项公式及应用。

本节课为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，起着承前启后的作用。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在思想方法上都具有积极的意义；是培养学生数学能力的良好题材。

因此它是本章的重点，也是高考考查的是重点内容之一，同时也是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的落脚点。

二．学科素养1．知识素养：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的推导过程及应用。

2．能力素养：通过实例理解并明确等差数列的定义；探索并掌握等差数列的通项公式，从中培养学生观察、归纳能力；会利用等差数列的通项公式解决相关的应用问题。

3．情感素养：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，加强理论联系实际；培养学生善于观察的能力，进一步提高学生的推理、归纳以及计算能力；强化数学建模素养，渗透方程的数学思想；通过实际问题体会数学的价值。

三．学生学情分析本节内容高一下学期，经过高一上学期的学习，学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但是思维的严密性还有待加强，实际应用意识不强，数学建模意识还较为浅薄。

因而在授课时从具体的实例出发，逐步提高学生的抽象思维能力、应用意识、建模能力。

四．教学策略分析数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”为主导，结合分组讨论等策略进行教学。

北师大版高中数学必修5第一章数列等差数列习题教案 【导入】 【知识点拨】一、 数列定义及通项公式1、 定义：按照一定顺序排成的一列数（注意：顺序不等同于规律，有顺序不一定有规律）2、 通项公式：用来表示数列的项与项数之间的关系的式子，通常可看作是关于n 的函数：)(n f a n =一些基本数列的通项公式：①1,2,3,4...n a n =②1,3,5,7...12-=n a n ③2,4,6,8...n a n 2=④1,4,9,16...2n a n = ⑤2,4,8,16.32...n n a 2=⑥-1,1,-1,1...n n a )1(-= ⑦9,99,999,9999...110-=n n a ⑧a,b,a,b,a (2))1(2ab a b a n n --++=【例题】观察下列数列的前几项，写出它们一个通项公式： ⑴ (26)25,1716,109,54⑵ 2,22,222,2222，… ⑶,...1126,917,710,1,32--⑷, (6)54,543,432,321 3、 前n 项和：n n n a a a a a S +++++=-1321...，通常可看作是关于n 的函数：)(n f S n =前n 项和n n a S 与之间的关系：1S )1(=n n a =-n n S S )1(≥n【例题】⑴已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 322-=，求它的通项公式n a ⑵已知数列}{n a 的前n 项和35-=n n S ，求它的通项公式n a二、等差数列1、 相关性质：等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等1）项数为奇数21n -的等差数列有：1s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=- 2）项数为偶数2n 的等差数列有：1n n s as a +=奇偶，s s nd -=偶奇21()n n n s n a a +=+ 3）若等差数列n a 与n b 的前n 项和分别为n S ，n T 则：1212--=n n n n T S b a 3.等差数列的判定：{a n }为等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==-⇔+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a nn n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ； 四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11--n a a n ，d=m n a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。

北师大版高中数学《2.1 等差数列》教学设计【教材分析】本节课位于北师大版高中数学必修5第一章《数列》第2节《等差数列》的第1课时。

数学是一类新的函数，它为高中数学的重要内容之一，既与函数思想密不行分，又为学习等比数列做好了预备。

起着承前启后的作用，本节课通过对通项公式和递推公示的学习，为今后学习等比数列提供了类比推理的思想方法。

【学情分析】所带学生基础比较差，有肯定的分析和概括能力，能够理解由具体到抽象的过程，但思维的严密性比较差一点。

【教法学法】1.教法本节课主要接受自主探究式教学方法.在教师的启发指导下，强调学生的主动参加，让学生自己去分析、探究，在探究过程中讨论和领悟得出的结论，从而到达使学生既获得学问又进展智能的目的.2.学法引导学生依据数组特征抽象出等差数列的概念，推导出等差数列的通项公式.在提问引导分析时，留出肯定的时间让学生去联想、探究，鼓舞学生大胆质疑，把思路方法和要解决的问题弄清.【教学目标】1.学问与技能〔1〕理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列；〔2〕把握等差数列的通项公式及其推导过程；〔3〕会应用等差数列通项公式解决简洁问题。

2.过程与方法通过概念的引入与通项公式的推导，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，培育学生分析探究能力，增添运用公式解决实际问题的能力。

3.情感、看法与价值观通过自主学习、沟通和探究活动，培育学生主动探究的求知精神，激发学生的学习兴趣。

在讨论等差数列的过程中，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【重点难点】重点：等差数列的定义和等差数列的通项公式。

难点：等差数列通项公式的敏捷运用.【教学过程】一、实例引入前面我们学习了数列的定义及几种表示数列的方法。

这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子：1.小明觉得自己英语成果很差，目前他的单词量只yes，no，you，me，he 5个他确定从今日起每天背记10个单词，那么从今日开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，多少天后他的单词量到达3000?2.全国统一鞋号中，成年人的鞋号由大到小排列为：44，43，42，41，40，39，38，37，36，35，34.以厘米为单位表示鞋底的长度则还可以表示为：27，26，26，，25，，24，，23，，22.从上面两例中，我们得到3个数列〔1〕5，15，25，35，〔2〕44，43，42，41，40，39，38，37，36，35，34 〔3〕27，26，26，，25，，24，，23，，22.请同学们认真观看这些数列的改变规律，问题1:观看这3个数列，能不能和讨论实数一样，讨论它们项与项之间和的关系、运算和的性质?问题2:这3个数列的项与项之间存在怎样的共同特征了吗?能否用语言来描述它?问题3:能否用数学符号一刻画这一特征?共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数〔即等差〕；〔误：每相邻两项的差相等应强调作差的顺序是后项减前项〕，我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列。

等差数列教学设计一、教材分析《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

二、学情分析虽然学生刚开始接触数列，但对数列比较感兴趣，愿意研究数列、分析数列，从而归纳结论，这也正是知识产生的过程，学习的本源。

本节课将充分发挥学生的主体作用，引导着学生探究问题，分析问题，归纳结论，从而获得等差数列的系列知识，培养学习兴趣。

部分学生，存在眼高手低现象，简单的运算也会出错，且不擅长检验。

三、教学目标根据教学的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标1.知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

3.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

四、教材重点和难点分析重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题八、反思总结成功的地方：1.课堂准备充分，环节流程，达到了预期效果！2.课堂注重知识的产生过程，充分发挥学生的主体作用，让学生探究、分析、总结规律。

1.2《等差数列》教学设计【学习目标】1．理解等差数列的概念.2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用.【新课学习】自学导引1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示.2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________.3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.【导入新课】问题导入：如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式.新授课阶段1.等差数列的定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示.特别提示：(1) 注意定义中“同一常数”这一要求，这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列.(2) 注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列.2．等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n}的首项是a1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝da 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n －a n －1＝d若将这 个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d .看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项.例1 (1)求等差数列8，5，2…的第20项.(2) －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?解：例2 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .解：课堂小结1. ；2.等差数列的通项公式的 ；3. .作业见同步练习部分拓展提升1. 在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.2.已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.3. 已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－34，求a 15的值.4. 两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？6. 求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.7. 求等差数列10，8，6，……的第20项.8. 100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.9．－20是不是等差数列0，－312，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.10.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4＝10，a 7＝19，求a 1与d ；(2)已知a 3＝9，a 9＝3，求a 12.参考答案自学导引1． 等差 公差2． 答案：等差中项 a ＋b 23．答案：a 1＋(n －1)d【导入新课】答案：若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 已知首项a 1且满足a n －a n －1＝d (n ∈N *，n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d为常数)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 为等差数列．新授课阶段1.等差数列的定义同一个常数；等差数列；公差；d .2．等差数列的通项公式n －1例1 解：(1) 分析：由给出的三项先找到首项a 1,求出公差d ，写出通项公式，然后求出所要项.由题意可知：a 1＝8，d ＝5－8＝2－5＝－3.∴该数列通项公式为：a n ＝8＋(n －1)×(－3)，即：a n ＝11－3n (n ≥1)，当n ＝20时，则a 20＝11－3×20＝－49.答案：这个数列的第20项为－49.解：由题意可知：a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，∴数列通项公式为：a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.令－401＝－4n －1，解之得n ＝100.例2 解：由题意可知，⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10 ①a 1＋11d ＝31 ②这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝－2，d ＝3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3.课堂小结1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式的推导与运用；3.等差中项的概念.拓展提升1. 解法一：设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则根据题意可得：⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10a 1＋14d ＝25这是一个以a 1和d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32. ∴这个数列的通项公式为：a n ＝4＋32 ×(n －1)，即：a n ＝32 n ＋52. ∴a 25＝32 ×25＋52＝40. 解法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ,∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40.解法三：在等差数列{a n }中，a 5，a 15，a 25成等差数列∴2a 15＝a 5＋a 25，即a 25＝2a 15－a 5,∴a 25＝2×25－10＝40.2. 分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a 1和d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，知⎩⎨⎧a 15＝a 1＋14d ＝33a 45＝a 1＋44d ＝153 得：⎩⎨⎧a 1＝－23d ＝4由217＝－23＋4(n －1)，得n ＝61.解法二：由等差数列性质，得a 45－a 15＝30d ＝153－33，即d ＝4又a n ＝a 15＋(n －15)d ，217＝33＋4(n －15)，解得n ＝61.解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P （15，33），Q （45，153），R （n ，217）在同一条直线上.故有153－3345－15 ＝217－153n －45，解得n ＝61. 点评：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.3. 解法一：利用通项公式，设数列{a n }的首项为a 1,公差为d则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54 a 1＋6d ＝－34 解之得⎩⎨⎧a 1＝94 d ＝－12a 15＝a 1＋14d ＝94 ＋14×(－12 )＝－194解法二：利用等差数列的性质a 7＝a 3＋4d 把已知条件代入,得：d ＝－12∴a 15＝a 7＋(15－7)d ＝－194. 解法三：∵{a n }为等差数列，∴a 3,a 7,a 11,a 15……也成等差数列由a 3＝54 ，a 7＝－34知上述数列首项为54，公差为－2 ∴a 15＝54 ＋(3－1)·（－2）＝－1944. 分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{a n }，这样问题就转化为一个研究数列{a n }的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{c n }，c 1=11,又数列5，8，11，……的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，……的通项公式为b n ＝4n －1.∴数列{c n }为等差数列，且d ＝12.∴c n ＝12n －1又∵a 100＝302，b 100＝399，∴c n ＝12n －1＜302得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项. 解法二：∵a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)，即n ＝43m －1(n ，m ∈N *) 要使n 为正整数，m 必须是3的倍数.设m ＝3k (k ∈N *)，代入前式得n ＝4k －1又∵1≤3k ≤100，且1≤4k －1≤100，解得1≤k ≤25∴共有25个相同的项.5. 解：由⎩⎨⎧23＋（6－1）d ＞023＋（7－1）d ＜0得－4.6＜d ＜－236 答案：－46. 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a 1＝3，d ＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为：a n ＝3＋(n －1)×4，即a n ＝4n －1(n ≥1，n ∈N *)∴a 4＝4×4－1＝15，a 10＝4×10－1＝39.评述：关键是求出通项公式.7. 解：根据题意可知：a 1＝10，d ＝8－10＝－2.∴该数列的通项公式为：a n ＝10＋(n －1)×(－2)，即：a n ＝－2n ＋12，∴a 20＝－2×20＋12＝－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.8. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.解：根据题意可得：a 1＝2，d ＝9－2＝7.∴此数列通项公式为：a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5.令7n －5＝100，解得：n ＝15,∴100是这个数列的第15项.9. 解：由题意可知：a 1＝0，d ＝－312∴此数列的通项公式为：a n ＝－72 n ＋72令－72 n ＋72 ＝－20，解得n ＝477因为－72 n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 10.解：（1）由题意得：⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10a 1＋6d ＝19 解之得：⎩⎨⎧a 1＝1d ＝3(2)解法一：由题意可得：⎩⎨⎧a 1＋2d ＝9a 1＋8d ＝3 解之得：⎩⎨⎧a 1＝11d ＝－1∴该数列的通项公式为：a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n∴a 12＝0解法二：由已知得：a 9＝a 3＋6d ，即：3＝9＋6d∴d ＝－1又∵a 12＝a 9＋3d ，∴a 12＝3＋3×(－1)＝0.。

北师大版高中必修5：等差数列课程设计一、前言等差数列是高中数学中的重要内容，也是大学生涯中一些数学课程的基础。

等差数列的概念非常简单，但是其特性和应用非常广泛。

在高中数学的学习中，我们应该注重实践和应用，让学生了解等差数列的概念及其在现实生活中的应用。

因此，本文将介绍一些能够帮助学生实践和应用等差数列的课程设计。

二、课程设计2.1 课程目标本课程旨在让学生了解等差数列，掌握其概念、特性和应用，并能够运用等差数列解决实际问题。

2.2 课程大纲本课程主要分为以下几个部分：1.等差数列的概念和基本性质：让学生了解等差数列的概念、首项、公差、通项公式等。

2.等差数列的求和公式：让学生掌握等差数列的求和公式，能够在应用中灵活运用。

3.等差数列的实际应用：让学生了解等差数列在现实生活中的应用，例如等差数列在时间、距离、速度等方面的应用。

4.课堂实践：通过课堂练习、小组讨论等形式，巩固学生对等差数列的理解，并让学生在实践中感受等差数列的强大和应用价值。

2.3.1 等差数列的概念和基本性质•引入等差数列的概念通过一些例子引入等差数列的概念，例如：“小明每天放学后都会去篮球场打球，每天打球的时间相同且不断增加，用数学语言表示这种情况，该如何表述？”•等差数列的基本性质定义等差数列的概念、首项、公差、通项公式等，并探究一些基本性质，如等差数列的相邻项之差为公差。

2.3.2 等差数列的求和公式•求和公式的推导利用等差数列的通项公式，推导出等差数列的求和公式。

•求和公式的应用通过应用题目的形式，让学生掌握等差数列的求和公式，并确立其运用意义。

2.3.3 等差数列的实际应用•时间和速度问题通过实例，让学生理解等差数列在时间和速度问题中的应用，并帮助学生把理论应用到具体实际问题中。

•距离问题通过实例，让学生理解等差数列在距离问题中的应用，如用等差数列求解在同一直线上行驶的两车距离随时间变化的问题。

•小组探究分小组进行探究，让学生发现等差数列的特性并在小组中共同学习。

《等差数列的概念》教学设计一、教材分析本节内容是北师大版高中数学必修五第一章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。

研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式,并且会用公式解决一些简单问题。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，同时也为培养学生观察问题、启发学生思考问题做好了素材。

等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、设计思想数学是培养学生分析问题、解决问题的能力，数学教学强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。

基于此认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。

让学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，从而激发学生的学习兴趣，提高他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创造力。

三、教学策略在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论。

教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。

通过计算机演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中。

而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

四、学情分析我所教学的学生是我校高二（3）、（4）班的学生，经过一年的学习，学生已储备一定的基础知识，也已适应高中的学习生活，智力也有所发展，并且具备了一定的思维能力、运算能力、推理能力。

但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

第二节等差数列（一）等差数列【教学目标】1.知识与技能（1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；（2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题．2.过程与方法通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

3.情感、态度与价值观通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。

【教学重难点】重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。

难点：等差数列通项公式的探究及其运用。

【教学过程】一、课前预习指导：仔细阅读课本，完成以下预习检测1．观察下面几组数列：(1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…；(3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，….回答这几组数列的共同特点是________________________________．2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由．(1)4,7,10,13,16，…； (2)31,25,19,13,7，…；(3)0,0,0,0,0，…； (4)a，a－b，a－2b，…；(5)1,2,5,8,11，….二、新课学习问题探究一等差数列的概念例1判断下列数列是否为等差数列.（1）a n＝2n－1 （2）a n＝（－1）问题探究二等差数列的通项公式例2 已知等差数列｛a n｝，a=1，d= 2，求通项a n.思考：如果等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？例3 （1）求等差数列9,5,1，…的第10项；（2）已知等差数列{a n}，a n = 4n-3,求首项a1和公差d.例4已知在等差数列{a n}中，a5＝-20，a20＝-35，求它的通项公式。

学后检测1若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.学后检测2 已知{a n}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式．问题探究三等差数列与一次函数的联系根据上述对比可知公差d的几何意义是等差数列的图像上任意两点(n，a n)、(m，a)连线的斜率，即d＝ .所以当d ＞0时,{a n}是数列；当d ＜m0时, {a n}为数列；当d＝0时，{a n}为数列．例5 已知（1，1），（3,5）是等差数列{a n}图像上的两点.（1）求这个数列的通项公式；（2）画出这个数列的图像；（3）判断这个数列的单调性.学后检测 3四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．问题探究四等差中项1 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫作x和y的等差中项，试用x，y表示A.2 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且B是A、C的等差中项，求角B的大小．学后检测 4 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【课堂小结】1. 理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；2. 能运用等差数列的通项公式解决相关问题．（二）等差数列的前n项和【教学目标】1.知识与技能(1)理解等差数列前n项和公式的推导过程．(2)熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n的关系，能够由其中三个求另外两个．(3)掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.2.过程与方法通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差中项的概念及其应用．2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点) 3．理解等差数列的项的对称性．(重点) 4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的素养．2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.1．等差数列的单调性与图像阅读教材P13“练习1〞以下“例5〞以上局部，完成以下问题(1)等差数列的图像由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d＞0时，{a n}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{a n}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{a n}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思考：(1)等差数列{a n}中，a3＝4，a4＝2，那么数列{a n}是递增数列，还是递减数列？[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{a n}是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．思考：(1)假设A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?[提示] A ＝a ＋b2.(2)假设数列{a n }中，a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，那么数列{a n }是等差数列吗？为什么？ [提示] 是．因为a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，所以a n －1，a n ，a n ＋1成等差数列，故a n －a n －1＝a n ＋1－a n ，由等差数列的定义知数列{a n }是等差数列．1．等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，那么数列5a 1,5a 2,5a 3，…，5a n 是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为5d 的等差数列 C ．非等差数列 D ．以上都不对B [由等差数列的定义知a n －a n －1＝d ， 所以5a n －5a n －1＝5(a n －a n －1)＝5d ，应选B ．]2．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝18，那么公差为( ) A ．3 B ．13 C ．－3D ．－13A [a 7－a 2＝5d ，即5d ＝15，d ＝3.] 3．2＋1和2－1的等差中项为________． 2 [2＋1＋2－12＝ 2.]4．等差数列{a n }中，a 3＝1，那么a 2＋a 3＋a 4＝________. 3 [a 2＋a 3＋a 4＝(a 2＋a 4)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝3.]等差数列的性质【例1】 (1)等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8； (2)设{a n }是公差为正数的等差数列，假设a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2， ∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：假设m ＋n ＝p ＋q ＝2ω，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a ω(m ，n ，p ，q ，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的构造完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．1．在公差为d 的等差数列{a n }中． (1)a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d . [解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下： (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48.∴4a 13＝48.∴a 13＝12. (2)化成a 1和d 的方程组如下：⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3.法二：(1)由等差数列性质知a 2＋a 24＝a 3＋a 23，又a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， ∴a 3＋a 23＝24＝2a 13，∴a 13＝12.(2)由等差数列性质知，a 2＋a 5＝a 3＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， ∴a 2＋a 5∵a 2·a 5＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4，∴d ＝13－45－2＝3或d ＝4－135－2＝－3.等差中项及其应用【例2】 a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列．[证明] 因为a ，b ，c 成等差数列， 所以2b ＝a ＋c ，所以(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )， 所以b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． (2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． (3)等差中项法：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．2．1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．[证明] 因为1a ，1b ，1c成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )． 因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列．等差数列性质的综合应用[探究问题]1．假设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a m 和a n 分别是数列的第m 项和第n 项，怎样用a m ，a n 表示公差d ？在等差数列中，d 的几何意义是什么？[提示] d ＝a m －a nm －n，d 的几何意义是等差数列所在图像的斜率． 2．等差数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ，是否有a m ＋a n ＝a p 成立？ [提示] a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＝a 1＋(p －1)d ＝a 1＋(m ＋n －1)d ，∴a m ＋a n ≠a p .3．假设数列{a n }是公差为d 的等差数列，那么数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是等差数列吗？假设是，公差是多少？[提示] (λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd (与n 无关的常数)，故{λa n ＋b }为等差数列，公差为λd .【例3】 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，求数列{a n }的通项公式． 思路探究：法一：由条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，可得a n ； 法二：利用等差数列的性质求d ，利用a n ＝a m ＋(n －m )d ，求a n .[解] 法一(方程组法)：由a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋9d ＝84，a 1＋8d ＝73，解得d ＝9，a 1＝1，故a n ＝1＋9(n －1)＝9n －8.法二(等差数列性质法)：因为a 3＋a 4＋a 5＝3a 4，a 3＋a 4＋a 5＝84，故3a 4＝84，得a 4＝28，又a 9－a 4＝5d ＝45，解得d ＝9.所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝28＋9(n －4)＝9n －8.1．(变条件)在例3中，假设条件“a 3＋a 4＋a 5＝84”改为“a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝100”，其余不变，求a n .[解] 因为a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，故5a 6＝100，a 6＝20，又a 9＝73，故a 9－a 6＝53＝3d ，故d ＝533.所以a n ＝a 6＋(n －6)d ＝20＋533(n －6)＝533n －86. 2．(变结论)例3的条件不变，假设数列{b n }是等差数列，其公差为3，那么数列{2a n ＋3b n }是等差数列吗？假设是，求出其公差．[解] (2a n ＋1＋3b n ＋1)－(2a n ＋3b n )＝2(a n ＋1－a n )＋3(b n ＋1－b n ) ＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2a n ＋3b n }是等差数列，其公差为27.等差数列的性质假设数列{a n }是公差为d 的等差数列，那么有以下性质：(1)在等差数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)假设给出等差数列的第m 项a m 和第n 项a n (n ＞m )，那么a n ＝a m ＋(n －m )d 或d ＝a n －a mn －m. (3){a n }是有穷等差数列，那么与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋a n －i ＋1＝….(4)假设数列{a n }为等差数列，那么数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列．(5)假设数列{a n }为等差数列，那么下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．(6)假设数列{a n }与{b n }均为等差数列，那么{Aa n ＋Bb n }(A ，B 是常数)也是等差数列．1．等差数列{a n }的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d 的正负有关．特别地，如果等差数列{a n }的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比直线方程的斜率公式，得d ＝a n －a mn －m(m ≠n )． 2．在等差数列{a n }中，每隔一样数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最根本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，那么均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( ) (2)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝a 2＋a 5.( ) (3)任何两个数都有等差中项．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)不正确，当公差d ＝0时，其图像的连线平行于x 轴；(2)(3)正确． 2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，那么a 5＋a 6＝( )A ．3B ．6C ．9D ．36B [因为数列{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30， 所以a 5＋a 6＝6.]3．在等差数列{a n }中，假设a 4和a 10的等差中项是3，又a 2＝2，那么a n ＝________. 15n ＋85 [因为a 4＋a 10＝2a 7，故a 7＝3，又a 2＝2，所以d ＝15，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2＋15(n －2)＝15n ＋85.]4．三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解] 依题意，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d (d ＞0)，那么(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝3a ＝18，① (a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝3a 2＋2d 2＝116，② 由①②得a ＝6，d ＝2. 所以所求三个数为4,6,8.。