等差数列教案1_数学_必修_北师大版

§等差数列一编写：马振华 时间：2021 5 13学习目标1 掌握等差数列的定义，通项公式；2 会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列；3 探索通项公式推导过程中体现出的数学思想。

重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用。

难点：通项公式推导与应用。

学习过程使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成各种问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

奖励规则：（1）认真预习案的组均加2分，特别突出的加3分；（2）合作探究部分基础分2分，板书认真，展示精彩到位或特别突出可以根据情况加分，其他部分根据难易和回答的精彩与否加分。

第Ⅰ部分预习案（自主学习）（阅读课本10--12页或者查阅课外资料解答下列问题） 问题1 ★一个定义★（1） 看课本归纳并得出等差数列的定义 （2）用符号语言描述等差数列的定义 问题2 ★一个公式★根据定义填空 d a a ___12=-，d a a __13=-，d a a __14=-，… d a a n __1=-。

等差数列通项公式：+=1a a n问题3 判断下列说法是否正确，对的在括号后面画 √ 错的画 × 。

（1）（2）（3）（4）（5） （6）合作合作在等合作在数解： 解：合作探究四 ★一个猜想★已知在等差数列}{n a 中，12+=n a n ，求：（1）,,,,,,987321a a a a a a ； （2）求91a a +,82a a +73a a +的值；（3）通过第（2）问的结论你能发现什么规律？并猜想如果mn=，n ，，q 为正整数）那么nm a a +与q p a a +有什么关系？第Ⅲ部分 检测案（课堂练习）1、求等差数列9,5,1，…的第10项。

2、已知在等差数列中，,35,20205-=-=a a 求这个数列的通项公式。

3、在等差数列中已知,16,675==a a 求1a 与公差d 。

§2.2等差数列的概念教案新余渝水一中数学教师习先滨教材地位与作用本教学内容是新课标北师大版必修5第一章第2节等差数列，等差数列这一节，在整个高中数学内容中是极其重要的一个内容，就这几十年高考以来，几乎每年都要考等差数列。

数列不仅有着广泛的实际应用，而且启着承上启下的作用一方面，数列作为一种特殊的函数，与函数思想密不可分，另一方面，学习数列也进一步学习数列的极限的内容做好准备。

教学目标1、知识与技能⑴理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想。

⑵能用定义判断一个数列是否为等差数列；会用等差数的通项公式解决相关问题。

2、过程与方法通过实际问题的分析，在引导学生观察、归纳等差数列概念与推导等差数列通项公式过程，使学生认识到等差数列是一种重要的数学模型，能初步从一次函数角度处理等差数列问题。

领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移过来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；培养学生观察、分析、归纳能力和应用数学公式的能力。

3、情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生体验从特殊到一般，再从一般到特殊的认识事物的规律，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。

教学重点，难点教学重点：等差数列的定义及等差数列的通项公式。

教学难点：通项公式的推导及从函数的角度理解通项公式。

学情分析：学习等差数列这一内容是在学习了函数和数列的概念、数列的通项公式的基础上对数列知识的进一步深入拓展与研究。

教法分析：由于我校学生生源还存在一定问题，自然我校学生学习基础比较薄弱，大多数学生对数学不感兴趣，为了提高我校学生对数学的学习兴趣和课堂参与教学的积极性，教师在教学时需要多引导学生列举更多的有关生活中能产生等差数列的例子，以便学生更深的理解等差数列的定义。

在讲解等差数列通项公式时，要根据学生的心理特点去研究探讨，顺利的归纳出等差数列的通项公式。

§2.1 等差数列（二）教学目标1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：等差数列与一次函数之间的联系教学过程：一、等差数列的通项公式)(1d a dn a n -+= )()(1d a dn n f -+=特征：1︒ 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2︒ 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列；证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+=它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。

3︒ 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4︒ 公式中若 0>d 则数列递增，0<d 则数列递减；0=d 则数列为常数列 图像见教材P13页等差数列与一次函数的异同：例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点.(1)求这个数列的通项公式;(2)画出这个数列的图像;(3)判断这个数列的单调性.解:(1)略.(2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点.(3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列.二、等差中项的概念如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项若A 是a 与b 的等差中项，则2b a A +=或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应点，构成梯形架的各级。

北师大版高中必修5《等差数列》教学设计《北师大版高中必修5《等差数列》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】1、经历大量的实例观察与举例分析，发现数列的项与项之间的“等差”关系，理解等差数列的概念;2、经历累加、归纳猜想出等差数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题;3、通过等差中项，让学生充分理解等差数列;4、通过等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

【教学重难点】重点：理解等差数列的概念，探索等差数列通项公式，并能解决相应的问题。

难点：等差数列通项公式的推导过程。

【教学设计】【教学过程】环节一：情境引入引用实例，让学生认真观察：(1)从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：0，5，10，15，20，25，…….(2)在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)，组成数列48，53，58，63.(3)水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位m)组成的数列为：18，15.5，13，10.5，8，5.5.(4)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成的数列为：10072，10144，10216，10288，10360.【教师活动】：若把上述例子中的数列放在一起，请同学们考虑：这四个数列有何共同特点?【学生活动】：学生思考后依次回答上述四个数列都是递增或递减的，而且递增或递减的都是同一个常数。

§2.1等差数列（一）教学目1．知与技能 : 通例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通公式；能在具体的情境中，数列的等差关系并能用有关知解决相的；2.程与方法 : 学生日常生活中分析，引学生通察，推，抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知解决一些的。

3．情与价 : 培养学生察、的能力，培养学生的用意。

教学重点：理解等差数列的概念及其性，探索并掌握等差数列的通公式；会用公式解决一些的。

教学点：概括通公式推程中体出的数学思想方法。

教学程：情境入新上我学了数列。

在日常生活中，人口增、鞋号、教育款、存款利息等等些大家以后会接触得比多的算，都需要用到有关数列的知来解决。

今天我就先学一特殊的数列。

先看下面的：了使孩子上大学有足的用，一夫从小孩上初一的候开始存，第一次存了 5000 元，并划每年比前一年多存 2000 元。

若小孩正常考上大学，家后 5 年每年存多少？引学生行先写出个数列的前几： 7000， 9000， 11000，13000， 15000 察个数列的化律，提出生活中很多，要解决似的，我有必要研究具有牲的数列——等差数列生互新探究像的数列你能出几个例子？0， 5， 10，15，20，⋯⋯①18 ，15.5 ，13， 10.5 ，8，5.5 ③48，53，58， 63 ② 3 ，3，3，3，3，⋯⋯④看些数列有什么共同特点呢？（由学生、分析）引学生察相两的关系，得到：于数列①，从第 2 起，每一与前一的差都等于 5 ；于数列②，从第 2 起，每一与前一的差都等于 5 ；于数列③，从第 2 起，每一与前一的差都等于-2.5 ；于数列④，从第 2 起，每一与前一的差都等于0 ；由学生和概括出，以上四个数列从第 2 起，每一与前一的差都等于同一个常数（即：每个都具有相两差同一个常数的特点）。

形成概念于以上几数列我称它等差数列。

同学根据我才分析等差数列的特征，着等差数列下个定：等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与它的前一的差等于同一个常数，那么个数列就叫做等差数列。

等差数列教学设计一、教材分析《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

二、学情分析虽然学生刚开始接触数列，但对数列比较感兴趣，愿意研究数列、分析数列，从而归纳结论，这也正是知识产生的过程，学习的本源。

本节课将充分发挥学生的主体作用，引导着学生探究问题，分析问题，归纳结论，从而获得等差数列的系列知识，培养学习兴趣。

部分学生，存在眼高手低现象，简单的运算也会出错，且不擅长检验。

三、教学目标根据教学的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标1.知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

3.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

四、教材重点和难点分析重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题八、反思总结成功的地方：1.课堂准备充分，环节流程，达到了预期效果！2.课堂注重知识的产生过程，充分发挥学生的主体作用，让学生探究、分析、总结规律。

《等差数列》教学设计第1课时等差数列●三维目标1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法．2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．●教学建议问题：数列：1，3，()，7，9，…2，5，8，()，14，…－2，3，8，()，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．与a n)?师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1生：a n－a n＝d(d为常数)．＋1师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：－a n＝2，由a n＋1＝2，可知a2－a1＝2，a3－a2＝2，…，a n－a n－1将它们相加，得a n－a1＝2(n－1)，∴a n＝2n.若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d．(对应学生用书第8页)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg 532n ＋1(n ∈N ＋)，判断该数列是否为等差数列？若是等差数列，公差是多少？【思路探究】 用等差数列的定义来判断，即判断a n ＋1－a n (n ∈N ＋)是否为同一个常数．【自主解答】 ∵a n ＋1－a n ＝lg 532（n ＋1）＋1－lg 532n ＋1＝lg(532n ＋1×32×32n ＋15)＝lg 13(常数)．∴数列{a n }是等差数列，公差是lg 13.1．本题在证明a n ＋1－a n ＝d (常数)时，注意应用对数运算的性质变形化简．注意切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等几个有限的式子的值后，发现它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．2．等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用a n ＋1－a n ＝d (常数)或a n －a n －1＝d (d 为常数且n ≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．本例中，若a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)，问{a n }是否为等差数列？ 【解】 ∵a n ＝pn ＋q ， ∴a n ＋1＝p (n ＋1)＋q ，∴a n ＋1－a n ＝p (常数)．∴{a n }是公差为p ，首项为p ＋q 的等差数列．n 58n 【思路探究】 欲求a n ，只需求首项a 1和公差d ，故可利用a 5和a 8建立a 1和d 的方程组求解．【自主解答】 设数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎨⎧a 1＋（5－1）d ＝11，a 1＋（8－1）d ＝5，解得a 1＝19，d ＝－2，所以，数列{a n }的通项公式a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝21－2n .1．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；2．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，学会运用方程的思想和方法来解决问题，注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 5＝11，求a n . 【解】 设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝11，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2. ∴a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.n 156075(2)已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，求a 2＋a 8. 【思路探究】 (1)由a 15，a 60建立a 1，d 的方程，求出a 1，d 再求a 75. (2)由a 2＋a 8得到a 1和d 的关系式，整体代入求解．【自主解答】(1)∵⎩⎨⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415，∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450， ∴5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90， ∴a 2＋a 8＝2a 1＋8d ＝2×90＝180.1．利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．2．利用通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．在等差数列{a n }中，a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． 【解】 ∵⎩⎨⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝2，∴a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，∴n ＝43.∵n 为正整数，∴91是此数列中的项．(对应学生用书第9页)忽视n 的范围致误已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列，说明理由． (2)求{a n }的通项公式．【错解】 (1)∵a n ＝a n －1＋2，∴a n －a n －1＝2， ∴{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.【错因分析】 判断{a n }是否为等差数列时，未考虑等式a n －a n －1＝2成立的条件是n ≥3，即不包括a 2－a 1，不符合等差数列的定义，进而得{a n }的通项公式，显然不正确．【防范措施】 注意a n －a n －1＝d 中n 的范围是n ≥2. 【正解】 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2， 即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列． (2)当n ≥2时，令a 2＝b 1＝1，a 3＝b 2＝3，a 4＝b 3＝5，…，则{b n }是等差数列， a n ＝b n －1＝1＋2[(n －1)－1]＝2n －3(n ≥2)． 又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1（n ＝1），2n －3（n ≥2）.1．等差数列的通项公式：(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；(2)在等差数列中，已知a 1，n ，d ，a n 这四个量中的三个，可以求得另一个量．2．等差数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇒{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k 、b 为常数)⇒{a n }是等差数列．(对应学生用书第10页)1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列【解析】 a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴公差d ＝2，故选A. 【答案】 A2．等差数列32，－12，－52，…的第10项为( ) A ．－372 B ．－332 C.372 D.332【解析】 由a 1＝32，d ＝－12－32＝－2，得 a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72. 当n ＝10时，a 10＝－2×10＋72＝－332. 【答案】 B3．等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则a 5＝________． 【解析】 a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3. 【答案】 34．如果数列{a n }是等差数列，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋2.求证：{b n }是等差数列．【证明】 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)， 由b n ＝3a n ＋2，得b n ＋1＝3a n ＋1＋2,∴b n ＋1－b n ＝3(a n ＋1－a n )＝3d (n ∈N ＋)是常数. ∴数列{b n }是等差数列．(对应学生用书第83页)一、选择题1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( ) A ．4n －7 B ．－4n －7 C ．4n ＋1 D ．－4n ＋1【解析】 ∵a 1＝－3，d ＝(－7)－(－3)＝－4， ∴a n ＝－3－4(n －1)＝－4n ＋1. 【答案】 D2．已知等差数列{a n }，a 1＝4，公差d ＝2，若a n ＝4 012，则n 等于( ) A ．2 004 B ．2 006 C ．2 005 D ．2 003【解析】 由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，得4 012＝4＋2(n －1)，∴n ＝2 005. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }的前三项分别是a －1，a ＋1，2a ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由定义知，a ＋1－(a －1)＝2a －(a ＋1)，得a ＝3. 【答案】 C4．已知数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 11＝24，a 4＝3，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6【解析】 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∴⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋10d ）＝24a 1＋3d ＝3⇒d ＝3.【答案】B5．(2013·黄冈高二检测)已知点(n，a n)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{a n}中有()A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0【解析】∵(n，a n)在直线3x－y－24＝0，∴a n＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，∴a7＋a9＝0.【答案】C二、填空题6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．【解析】由题意知a1＝14，d＝2，∴a n＝14＋2(n－1)＝2n＋12，∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014.【答案】 2 0147．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．【解析】a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42.【答案】428．(2013·台州高二检测)在数列{a n}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，)在直线x－y－3＝0上，则数列{a n}的通项公式为a n＝________．点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1－3＝【解析】∵点(a n，a n－10，即a n－a n－1＝3(n≥2)．则数列{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列，∴a n＝3＋3(n－1)＝3n，∴数列{a n}的通项公式为a n＝3n2.【答案】3n2三、解答题9．已知数列{a n}的通项公式是a n＝7n＋2，求证：数列{lg a n}是等差数列．【证明】设b n＝lg a n，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n＝(n ＋3)lg 7－(n ＋2)lg 7＝lg 7(常数)．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．10．已知数列{}log 2（a n －1）(n ∈N ＋)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9，求数列{a n }的通项公式．【解】 设等差数列{}log 2（a n －1）的公差为d ，则 log 2(a 3－1)－log 2(a 1－1)＝2d .代入a 1＝3，a 3＝9得， log 28－log 22＝2d ，∴d ＝1.∴log 2(a n －1)＝log 2(a 1－1)＋(n －1)×1＝n .∴a n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.11．在等差数列{a n }中，已知a 4＝70，a 21＝－100.(1)求首项a 1与公差d ，并写出通项公式；(2){a n }中有多少项属于区间[－18，18]?【解】 (1)由题意，得a n ＝a 1＋(n －1)d .∴⎩⎨⎧70＝a 1＋（4－1）d ，－100＝a 1＋（21－1）d ，得a 1＝100，d ＝－10. ∴通项公式a n ＝100－10(n －1)＝－10n ＋110.(2)由题意得－18≤－10n ＋110≤18，解得9.2≤n ≤12.8，∵n ∈N ＋，∴n ＝10，11，12.∴属于区间[－18，18]的项有3项，它们是a 10，a 11，a 12.(教师用书独具)已知f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }满足x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100.【思路探究】 寻找x n 与x n －1的关系→求1x n－1x n －1的值→ 判定结论成立→求1x n →求1x 100→求x 100 【自主解答】 (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴1x n＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13. ∴数列{1x n}为等差数列，公差为13. (2)1x n ＝1x 1＋(n －1)·13， ∵x 1＝12，∴1x 100＝2＋(100－1)·13＝35. ∴x 100＝135.1．本例中{x n }本身不是等差数列，要证它各项的倒数成等差数列，应通过变形得到1x n ＋1－1x n＝d (常数)． 2．本题属于“生成数列问题”，关键是把1x n 看成一个整体．另外，在遇到一题多问的题目时，解答后面的问题要注意应用前面的结论．数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列，若a 3＝2－1，a 5＝2＋1，求a 11.【解】 设b n ＝1a n，则{b n }为等差数列，设公差为d . 由已知得b 3＝1a 3＝12－1＝2＋1， b 5＝1a 5＝12＋1＝2－1， ∴⎩⎨⎧b 1＋2d ＝2＋1，b 1＋4d ＝2－1， 解得⎩⎨⎧b 1＝3＋2，d ＝－1.∴b 11＝b 1＋10d ＝2－7. ∴a 11＝1b 11＝12－7＝－7－247.。

§2.1 等差数列（一）一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时。

等差数列在生活中有着广泛的应用，是在学生学习了函数、数列的有关概念和数列通项公式的基础上，是学生进一步理解、掌握函数思想，学生探究特殊数列的开始，为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二、学生学习情况分析我所教的是我校高二理科班的学生，经过了一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时针对个体差异，注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：有利于学生对等差数列的概念进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；在学生参与到知识的形成过程中，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性，诱导学生进行理性分析与推导，从而得出通项公式。

⑵分组讨论法：如何判断一个数列是否为等差数列，学生分组交流探究出判别方法。

⑶讲练结合法：对等差数列的通项公式及时巩固，抓住重点，突破难点。

2．学法引导学生首先从三个现实问题给出的数组特点并抽象概括出等差数列的概念；接着就等差数列定义的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标1、知识与技能目标（1）理解和掌握等差数列的概念；能用定义法在3分钟内判断某一数列是否为等差数列，准确率为95% 。

（2）能在3分钟内写出已知首项和公差的任意一个等差数列的通项公式，准确率为95%。

§2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=a n+1-a n(n∈N+)或者d=a n-a n-1 (n∈N+且n≥2). （2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,a n+1-a n是同一个常数(或a n-a n-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a n+1-a n=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a n+1-a n或a n-a n-1(n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{a n}是等差数列，∴a n-a n-1=d,a n-1-a n-2=d,a n-2-a n-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：a n-a1=(n-1)d,∴a n=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：∵{a n}是等差数列，∴a n=a n-1+d=a n-2+d+d=a n-2+2d=a n-3+3d=…=a1+(n-1)d.即a n=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：∵{a n}是等差数列，则有a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用. （2）通项公式的变形公式在等差数列{a n}中，若m，n∈N+，则a n=a m+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有a m =a 1+(m -1)d ①a n =a 1+(n -1)d ②由②-①得a n -a m =(n -m )d ,∴a n =a m +(n -m )d .注意：将等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 变形整理可得a n =dn +a 1-d ，从函数角度来看，a n =dn +(a 1-d )是关于n 的一次函数(d ≠0时)或常数函数(d =0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d =m n a a m n -- (n ≠m ).（3）通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n =f (n )=a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d )，可知其图像是直线y =dx +(a 1-d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d 是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d . 当d>0时，{a n }为递增数列，如图（甲）所示.当d <0时，{a n }为递减数列，如图(乙)所示.当d =0时，{a n }为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a 与b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做数a 与b 的等差中项.注意:(1)等差中项A =2b a +⇔a ,A ,b 成等差数列； (2)若a,b,c 成等差数列，那么b =2c a +，2b=a+c ,b-a=c-b,a-b=b-c 都是等价的； (3)用递推关系a n+1=21 (a n +a n+2)给出的数列是等差数列，a n+1是它的前一项a n 与后一项a n+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 .3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， .。