§5.1 定积分的概念与性质

§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。

注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。

5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。

的一个矩形的面积。
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,

f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }

b
.
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
S
o x
.
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
a
n
x i i x i1
解决步骤:
1)分割(大化小). 在每个小段上物体经 t , t ] ( i 1 , 2 , , n ) , n 个小段 [ i 1 i
将它分成 在 [ T , T ] 中任意插入 n 1 个分点 , 1 2
s i 1 , 2 , , n ) 过的路程为 i(
2)以直代曲(常代变).
x
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
bx
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值

y f (x)( f (x) 0) 所围成的图形称为曲边梯形。如图5.1所示。
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)