第一节 定积分的概念与性质
一、选择题
1. A ；
2. C . 二、填空题
1. （1）1; （2）0; （3）4
π. 2. （1）1
2
x dx ⎰
>
1
30
x dx ⎰
， （2）2
1ln xdx ⎰ >
()
2
2
1ln x dx ⎰，
（3）
2
xdx π⎰
<
20
sin xdx π
⎰
，
（4）4
3
ln xdx ⎰ < ()
4
2
3ln x dx ⎰.
三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2
21
x dx -⎰
是存在的，且它与分法无关，同
时也与点的取法无关.
将区间[]0,1n 等分，得1i x n =，取() 1,2,,i i
i n n
ξ==
作和 ()2
3
2
1
1
13
344
001114n n n n i
i i i i n n i S x i n n
n n ξ
---===+⎛⎫=
=== ⎪⎝⎭∑∑∑ 于是 1
lim 4n n S →∞=
即 13
014
x dx =⎰.
四、 细棒的质量()0
l
x dx ρ⎰.
五、
1
13
x e dx -+⎰
311
x e dx +-=-⎰.
设()()1
1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，
从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1
41x e e +≤≤.
于是 3
141
44x e dx e +-≤≤⎰
从而 1
4
13
44x e e dx -+-≤
≤-⎰
.
六、 设()()2
21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点14
x =
. ()17101,,148
2f f f ⎛⎫⎛⎫
==
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.所以 min ()f x =1, max ()f x =78.
17≤≤, 由定积分性质，得
1
20127≤≤
⎰.
第二节 微积分基本公式
一、填空题
1.
2； 2. ()()
33sin cos 3cos cos cos 3sin x x x x --；3. 0.
二、 cos y x '= ； 0
cos01x y ='==； 2
cos
02
x y π
π
=
'
==.
三、 ()22
0x t x d I x te dt xe dx
--'=
=⎰， 令()0,I x '=得驻点0x =； 当0x <时，()0,I x '<当0x >时，()0,I x '> 所以， 当0x =时，函数()I x 有极小值.
四、1. ()1
1
3
40
015sin cos cos144
x x dx x x ⎡⎤+=-=-⎢⎥⎣⎦⎰；
2.
()[]2
2
4
44000
tan sec
1tan 14
xdx x dx x x ππ
π
π
=-=-=-
⎰⎰
；
3.
()[][]22200
sin sin sin cos cos 4x dx xdx x dx x x π
π
π
π
π
π
π
=+-=-+=⎰
⎰⎰
.
4.
()()1
2
2
23212
1
011612266
x
x x f x dx x dx dx x ⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰
. 五、 2
2
2sin 0
3220
00sin sin arctan cos arctan 1224lim
lim lim
3312
x
x x x t x x dt x x x x →→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭===⎰
. 六、 当 0x <时，()0
00x
F x dt ==⎰
当 0x π≤<时，()()0
11
sin 1cos 22
x
F x tdt x ==-⎰
当 x π≥时，()0
1
sin 012
x F x tdt dt π
π=
+=⎰
⎰.
故 ()()0, 0
1
1cos , 021, .
x F x x x x ππ<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩
七、设连续函数()f x 满足(
)()1
3,f x x f x dx =求()f x 的表达式
解 设 ()1
a f x dx =
⎰
