5-1定积分的概念及性质

第五单元 定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。

由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。

再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。

提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。

因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记 法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。

2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义： 在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分 定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。

第五章定积分本章的教学与考试基本要求1.理解定积分的概念、性质、儿何意义；2.理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理;3.会川定积分的换元法与分部积分法求定积分；4.会求积分区间为无穷区间的广义积分；5.会用微元法求有关的血积和体积.5・1定积分的概念与性质一、主要内容回顾表5. 1定积分的概念二、本节基本题型及例题题型I 用定积分的定义，求f In xdx的值.解将区间［1,可分成〃段1= X() <Xj <x2 <・・・<:x n^ <x n=ei其中Xj =e n (i= 0,1,2,•••,«)■I在每一个小区间［Vl,x,.］取右端点£=坷=宀(心0丄2,・・訂)作积分和式然后取极限得f In xdx = lim V'/(§)些=lim V' \ne n (e n - e n )1=1 /=!n ・ 丄 =lim[V'—(e n - “TOO 铝 /?n ・i界・ i H // [ H n->oo 厶^ Y\ 厶— f] 厶・ fi f=l H /=1 H /=! He- hm — / e n n->8 n 台 i=i故 - 2< te x2~x dx<e 2 -2= e-({-e) lim ---------- —ZITOO丄 n(\-e n ) 乂 lim ------ — n->oo L n(] -e n )=lim xT ()(U ) =lim ----- XT () — 故]In xdx = 1. 题型II 估计下列各积分的值：(1) px 2+l)Jx ； (2) ^e xl ~x dx .解 ⑴设 f(x) = x 2 +1 则 /r (x) = 2x>0 XG [1,4]故/⑴在［1,4］上单调增加，其最大为最小值分别为M *(4) = 17, m = /(!) = 2 于是，由估值不等式得2x (4-1)<£(X 2 + l)dx 5 17x(4 — 1)\x2~x dx = -^e x2-x dx0SM2时 ‘ 得=e- lim — •n->oo n即 6<+ l)dx<51 •即 一2, < ^e x2~x dx<-le~^ .题型III 比较下列各对积分的大小⑵ f A dx 与 f ln( 1 + x)dx .*) 1 + 兀 J o解(1)当 0 vxvl 时，X 2 >x 3 则f x 1 dx > f x 3dx .(2) 令 f (x) = (1 + x) ln( 1 + x) - x ,则广(x) = In 1 -(■ x) > 0 ( x > 0 )故当 天>0时 /U)>/(0) = 0即—<ln(14-x) 1 + x从而 f V dx < f ln( 1 + x)dx .由 1 + x *)三、习题选解1.利用定积分定义计算：(1 ) ^xdx (/>0)；(2) ^kdx (k 是常数);(3 ) e x dx ・解(1 )因为被积函数f(x) = x 在［0,/］上连续，故函数可积，将筹份，每个小区间的长 度为g 丄,分点码=厶(心1,2,・・・/)将《•取在小区间的右端点，即& =和 于是和式n n/乙心尹•—2 — = —2n —所以 fxdx = limy /(g )Ax = lim ~=—.1) z 台 皿 2n 2 (2)因为被积函数/(x) = k 在［o,切上连续，故函数可积.将［a.h ］ n 等份.每个小区间的 长度为4匸=山，分点再二山"=1,2,…/)将取在小区间的右端点.即£=坷；于 是和式工/(G 心产工釦也/=1 1=1n所以 Ckd x= lim V'/C^)-^ = lim k(b - a) = k(b - a). 乂 i 久一>()厶千 n->co(3 )因为被积函数f(x) = e x 在［0,1］上连续，可知函数可积，将［0,1］〃等份，每个小区间的长度 为纸=丄，分点召二丄(21,2,•••/)将§収在小区间的右端点，即§=看；于是和式 n n=£戶企=£声•“=立” •-;=1 1=1 /=1 1=1 n1 12 n1 — — — =—・(e n + e n H ---- e n ) n丄 丄 11 亦.［1一(湎)”］1 訂・(1一0)= - ----------- = -- ------- •n 丄 〃丄 l-e n l-e fl 所以 f e x dx = lim ，/(£ )Ax- = lim — • —一- • (1 一 w). 』) 久一>()一' H->00 fl 丄 曰 1_列令丄=f ,则n -> oo 时/ t 0 n则上式 f e x dx = lim 1 • (1 一 e) A) /T O 1 - e l=(1 一 a) • lim —-——= (l-e)- lim — t —>()w ' — ] t —o —e "=(1 — e)(—1) = e — \ .2 .利用定积分的儿何意义说明卜-列等式：(1 ) J xdx = * ；(2)( \Jk 2 - x 2dx = ~ k 2 ；(3 )「sin xdx = 0 . 解(1)由直线y = x,x = l, x 轴所围成的面积为图屮阴影部分, 而该部分的大小为丄，2故有* (xd 兀=*•(2 )由曲线y = J/_r = o,), = o 所围成的而积为图中阴影部分,£/(§)•© = £「3i=\i=\ 心)济gi.—) /=1而该部分的大小为尹 故有^yjk 2-x 2dx = ^k 2.（3 ）由曲线y = sinx 与兀轴所围成的面积为图中阴影部分,其中I 、II 两部分的大小相等,符号相反故为零.vrsin xdx = 0 •7 3.根据定积分的性质，说明卜•列侮组积分哪一个的值人:(2 ) |2 xdx 与 fsinxdx ；(4 ) ( xdx 与(11X1 + x)dx .)令 fM = x 2,g(x) = x 39h(x) = /(x)- g(x) = x 2-X 3 =x 2(\-x).因为 05x51,故力（《¥）»（）•即 /(x) n g(x),有 x 2dx > •2 )令 f (x) = x,g(x) = sin xji(x) = f(x) - g(x) = x-sinx .则h\x ） = l-cosx>0 •故力⑴单调上升・又 /?(()) =(),所以 h{x) > 0.即 fW>g(x).则有 2 xdx > 2 sin xdx ・3 )令 f(x) = e\g(x) = xji(x) = f(x)一g(x) = e x -x.则g) = e x -l>0,故h(x)单调上升.又 /?(())= (),所以 h(x ) > 0.即 /(x) > g (x).故有(e x dx > ( xdx •(4 )令 /(x) = x,g(x) = ln 1(4-x)；/?(x) = /(x)-g(x) = x-ln 1(+ x), 则h\x) = I -一= —>0,故7?(x)单调上升，1 + x 1 + x乂 /z(0) = 0,所以 h(x) > 0.即 fM>g(x)・故有 f xdx > (ln( 1 + x)dx •4.估计下列各积分的值n(2 ) p (1 + sin 2 x)dx ；4 故有 J (x 2 + V)dx ；(3) 俗.解（1 ）因为/（x ） = X 2 +1在［1,2］上连续,所以/（兀）在该区间上有最大值和最小值,且max f (x) = 5, min /(x) = 2 ,所以有 2-(2-l)< |2(X 2+1)J A <5-(2-1), 即 2< j 2(x 2 + l)t/x<5 ・(2) 因为/(x) = l + sin 2x 在f,◎上连续，所以/⑴在该区间上有最大值和最小值, 23且 max f (兀)=2, min f(x)=— >2工 所以有 -•(---)< P(l + sin 2x)Jx<2-(---), 2 2 4 卍 2 442 〃(l + sin~xWx< —.2兀2+3(3 )因为f(x)= 一 在10,1] ±连续，所以/(尤)在该区间上有最大值和最小值,L + 2 3 4 H. max/(x) = —,min/(x)=—, 2 3所以有 ^-(1-0)< ^^^/x<|-(l-0)5.2微积分学的基本公式一、主要内容回顾表5.2微积分学的基本公式7T 4积分上限函数及其导数(原函数存在定理)(1)/co在⑷刃上连续,则积分上限函数<D(X)= r在［&,刃上可导,且①'(X)= 4「/⑴力=fM(a <x<b).ax J"(2)若.f⑴在S，刃上连续,0(%)在［0,0］上可导,且a <(p(x) < b(x G ［a, 0］)则①(兀)=『)")/在［a,0］上可导,且①'(X)= f［(p(x)］ • (p\x) •(3)若/(x)在［d,方］上连续,0(兀),02(兀)在［a,0］上可导，且a<(p{ (x) <b,a<(p2 (x)<b .则①(x)=『⑴/⑴加在［Q,0］上可导，且①'(兀)=・/102(兀)1 •亦⑴-f\(P\⑴］•分⑴•牛顿一莱布尼兹公式若几兀)在［a,b］上连续，且F\x) = f{x),则少h1 f(x)dx = F(x) =F(b) — F(a).山a二、基本题型及例题题型I计算题1.求下列函数的导数sin uducos uduy解(1)空=・i fi=小x<iY_dx Jo X2丄<nrcos udu =cos(lnr)sin udu = 2r -sinr2dy cos(ln t)由参数方程求导法则，得—=#=— = C('s(ln ° dx dx 2z-sinr 2 2r 2sinr 2dt题型III 求卜•列定积分(1 ) ( e^dx ； 2.求由 P e l dt + 3宀o 所确定的隐函数用的导数贽 解J e'dt + J cos tdt = 0两边对x 求导 —(+ —『cosM = 0, dy k dx dx J ) e y - — 4- cos x = 0 , dx 故©… dx 一' COSX • 题型II 求卜•列极限: [cos/2J/ (1) lim -------------- x->() X (2) —r/j/ lim —— XTO sin 2x 解（I ）方法一 由屮值定理［cosz 2t/r = xcos^2,其中§在0为xZ 间 当XT0时歹TO, 则lim 邑辻=lim 竺空=lim 曲=1 . x->0 x XT O x §T 0 I 方法二 由洛必达法则，得 lim Wl = lim £2^ = 1. X->() X A->() I （2）由洛必达法则及无穷小的替代法，得 x- [e t2dt x- [e t2dt lim — = lim —— XTO x z sin 2x XTO 2X J =lim x->0上 J lim 6x 2 XTO -2xe x 1 12x ~6 (2 ) sin Ixdx •二川 dx = y^e~x dx + f e x dx =托/r ___ _________________ 托(2 ) - sin 2xdx = [^^(sinx-cosx)2Jx = f^|sinx-cosx| Jx /rn=((cosx-sinx)dx + p (sinx-cosx)^x亠4= [sinx + cosx]p + [—cosx — sinx]岸 =2 2 -2. 0 7厂三. 习题选解1 •求下列函数的导数: (1) y = [ cos tdt ； (3) y = I arctan tdt ； Jinxy f = ( I cos tdt\ = cosx •>/ =—arctan(ln x)・ X•Inx 4 ~(^2) - In x 2=4x 3 lnx 4 -2xlnx 2 = 16x 3 In x -4xln x[cos”血所确定的函数y 对x 的导数.2 .求由参数表达式x = f sin udu, y =狞一力力一力-cos udu\rsin uducost =cot r. sin/cos tdt) = 0(4) y = \ntdt.x 2arctan tdt = -(ln%y ・ arctan(ln x)y f - e y + cos x = 04 •计算下列定积分:(1)— dx = \nx e . X1 71 71=—.—=o a 3 3ddx = f (3x 4+3广 + _J_Xv = f*(3 兀 2 + _J_』)F + 1 x 2+l 』) x 2 + l-y• COSX •(7)(9)(3)1 +dx :x 2 + 17122sin 2^/x ； ) 2(4)(6)(8)(10)[ix 12 ) -2x + l)df V7(l + x/^)dx =((仮 + x)dx =丄+1兀2 -+ 1UX 2+ — 2 81 2 16、二 x27 + — x8 亠=451. 生一^rdx = arctan 粤l + F1 2 071 71 712色-x 2 32 / ] dx=arcsinx )VT771(x 3 + arctan x) = 1+-.0 4)X 2 +1(6).1 ^dx =-arctan- tT+x a a2t = ln3 - lne = ln3-l • e-l5•设k 为正整数，试证下列各题:(10) J sinxsin xdx - sin xdx = -cosx ： +cosxj = -(-1 -1) + [1 - (-1)] = 4.+ x) (1) [ cos kxdx =0 ； (2)£ sin kxdx = 0 ；L 2(3) cos kxdx = 7i:丄兀(4 ) 「sin 2 kxdx = TI •丄;T卩I证⑴ £costo/x=i d(sinkx)=丄 sinkx 7 kn=0.(2) sin kxdx =——d(coskx)=——cosd丄〃宀k7F=0.M M 1r(3) £ cos 2kxdx = ] —(1 + cos 2kx)dx =—+ 0 = 7T .-n(4) sin 2 kxdx =—(1 - cos 2kx)dx = A6•设k 及/为止整数，且k*试证下列各题:%cos 也・sin/x6庄pzr(2) cos/cx-cos/xJx = 0； 丄兀(3) f singsin/xdx = 0.丄"TT证(1) fcos h; • sin Ixdx = —「[sin 伙+/)x-sin 伙一1 cos 伙 + l)x cos 伙 一l)x = --[V k+l n]=0. -7TI y1俨cos kx-cos Ixdx = — [cos(£+ /)x + cos 仗一/)x]dr 7 2 J 一穴I 「sin 伙 +/)x sin 伙-/)x.=—1 ------------ 1 ------------ 1 2 k+l k-l =0.7 席.・Ifsinkx ・sin/xdx =—— 龙 2丄 [cos 伙 + /)% - cos 伙 一 l)x]clx1 sin 伙 + l)x sin 伙 一 l)x/r1 =0.-nP(l-2coszW = 2 - V3 + (Z ——sin 27) & 止) 2 n5.3定积分的换元法一、主要内容回顾 表5. 4定积分的换元法换元法设函数f(x)在［a b ］上连续，函数x =(p(t)满足(1) (p(a) = a , 0(0) = b ；(2) 卩⑴在［a,0］(或［0,⑵)上具有连续导数,Ra<(p(t)<b.则 ^f(x)dx= £］0(/)df •题型I 计算题xdx1(5 一(2) 求/=』)\-yJx(3)求/=［—，求「2 In 2 /7yrr(4) 已知 f= 求yje x -1 6解⑴令E"则V (5J )m=_抄当 x = -l 时/ = 3,当 X = injr = l.(一抽=訂(5一®T-y(2)令“站，则如2sig 泌，当*0时20,当“扌时心彳.则心彳 cosr )1 -sinr・ 2sinzcosrt/r = 2 6 sin tdt + 2 j ^sin 2 tdt 7T= -2cos/(f +二.基本题型及例题⑶令心，则g-討当归时日，当“3时冷⑷令 \le x -1 = f ，即 x = ln(Z 2 + 1),则1 2?,小・— ---- dt = 2 arctan t i/ 八 + [ —=¥ - 2aictan \Je a -1.~1=F 得arctanV7^=7贝 lja =ln2.题型H 证明题nn(1)证明 Psin w, xcos m xdx = 2~m Rcos w xdx ；(2)证明£ f(x 2)dx = 2^(p(x 2)dx .其中0(u)为连续函数/rn证⑴左边订莎“『2加=2廿s 『2如令2*彳"即“彳三则左边=2"nn/ cos'" t •(—丄w = 2" F cos'" tdt =右边.2(2)因为£/U 2WX =£ (p(x 2 )dx 4- £(p{x 1)dx ],0(兀2 )dx = [ ((p(-xf ]d(-x) = [ 0(/ )dx£ /(x 2 )dx = 2』(p(x 2 )dx.三.习题选解1.计算下列定积分 (1) sin(x + —；3 3dx2(11+ 2x)27T(3) psin • cos 3 &d& ；/r\~cosu 2du ；6d(t + -) 5 _______2 = = -[In(/ + — + J/? + 5/ + 1 )1z 5. 212 (T -7=ln(| + V7)-ln(y + |) = ln 上許-则/ =-5 dt Vr + 5r +1=-f(6) J yj x(x - 2)\dx ；小 ---- ⑻［~^2-y 2dy ；d dx f¥(H 1 J -2(11 + 2x)2 ~ J 2 (J ］ + 2x)27Tj^cos ii 2du =641 + cos 2u f;----- 加61 7t-arctan eo 4J J|x(x_2)|dx = J yjx(x - T)dx + J yjx(2 - x)dx .2 sin & • cos3 = - f cos 3 &d(cos 0) = -—cos 4 07Tn71 73 ?_T(15) 71J ： cos t • cos2tdt ； 一2(12) J x 2yja 2 -x 2dx : (14)；』)2 + sinx(16)『，(以+ 1)3心力；(17)”百后加(⑻［占(20) f Vl + cos 2xdx •71Lysin x + -ty/(x + —) = -co (x + *)=0.132~912 11 + 2 兀兀］ 13 —du + — 3 cos 2udu E ? 2上=arctan e x ⑼(11) (13)(19)A /COSX - cos3xdx解(1) sin x +3j = [ Jx(x-2)dx = J J (兀2 _2% + l)_ldx = [ J(x_ 1)2 _ Id (兀-1).令x — l = /，贝I 」当x = 3时/ = 2,当x = 2时/ = 1../)= J \lt 2 -\dt =_] _i n / +乂 | Jx(2 - x)dx = J \l2x-x 2 d x = J Jl-(x-l)? dx. 令 x -l = r,则当 x = 2 时 ul,当 x = l 时 z = 0. 厶=[yll-t 2dt = —[rVl+ arcsin/] 故 J J 卜(兀—2)|dx = /)+ 厶=>/3 — — ln(2 4- y[?)) + —.(7) f* 1 dx = f —|] dx.%1_(务令金"则⑴屁，当E 时2拿当“。