定积分的概念与性质(3)

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。

② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim ni n i bb af x dx f anξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x fx dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。

积分的基本概念与性质积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。

本文将介绍积分的基本概念与性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、积分的基本概念积分，又称为定积分，是微积分的核心概念之一。

它可以看作是函数在某个区间上各个小区间上取值的累加和。

具体来说，对于一个函数f(x)在[a, b]区间上，将[a, b]区间分成许多小区间，并计算出每个小区间上f(x)的取值，然后将这些取值相加，就得到了积分的值。

数学上用∫f(x)dx表示函数f(x)在[a, b]区间上的积分。

二、积分的性质积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]区间上的可积函数，c和d为常数，则有∫(cf(x) + dg(x))dx = c∫f(x)dx + d∫g(x)dx。

即积分具有加法和数乘的性质。

2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]区间上可积，在[b, c]区间上也可积，则有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx。

即积分具有区间可加的性质。

3. 积分与导数的关系：若f(x)在[a, b]区间上可积，并且在区间内可导，则有∫[a, b]f'(x)dx = f(b) - f(a)。

即可积函数的导函数可以通过积分得到。

4. 积分的性质：积分的结果只与函数f(x)在积分区间上的取值有关，与具体的积分路径无关。

这个性质是积分中路径无关性的重要体现。

三、积分的应用积分在数学和其他科学领域中都有着广泛的应用。

其中一些重要的应用包括：1. 几何应用：积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。

通过将曲线分解成无穷多的小线段，并计算它们的长度或面积，并将其进行累加，就可以得到准确的结果。

2. 物理应用：积分在物理学中有着重要的应用。

例如，可以通过对速度函数进行积分，得到任意时刻物体位移的函数。

同样地，可以通过对加速度函数进行积分，得到任意时刻速度的函数。

不定积分与定积分的概念与性质在微积分学中，积分是一种重要的概念，可以分为不定积分和定积分。

不定积分通常用于求解函数的原函数，而定积分则可用于计算曲线下的面积。

本文将介绍不定积分与定积分的概念与性质，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。

一、不定积分的概念与性质不定积分，也被称为原函数或反导数，是求解一个函数的幂函数的逆运算。

在符号上，不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中f(x)是待求函数。

不定积分的概念可以通过积分的定义与求导的逆运算来理解。

具体而言，如果函数F(x)的导函数为f(x)，则函数f(x)是函数F(x)的原函数。

不定积分具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

这意味着不定积分具有线性运算的特征。

2. 积分的基本性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为积分常数。

这是积分的基本性质之一，表明定积分的结果应包含一个积分常数。

3. 逐项积分法：如果一个函数可以表示为一系列函数的和，即f(x)= f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)，则该函数的不定积分为∫f(x)dx = ∫f1(x)dx +∫f2(x)dx + ... + ∫fn(x)dx。

二、定积分的概念与性质定积分是不定积分的一种特殊形式，用于计算曲线与x轴之间的面积。

定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中a和b分别是积分的下限和上限，f(x)是被积函数。

定积分的概念可以通过将曲线下的面积分割成无穷小的矩形来理解。

具体而言，我们可以将曲线下的面积近似为一系列矩形的面积之和，并通过取极限的方式得到准确的结果。

定积分具有以下性质：1. 区间可加性：对于任意的两个数a、b和一个函数f(x)，有∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

这意味着定积分具有区间可加的特征。

1. 曲边梯形的面积设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，小区间的长度在每个小区间上任取一点作乘积，求和取极限：则面积取极限其中，即小区间长度最大者趋于零。

2.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。

分割求近似：在内插入若干分点将其分成n 个小区间，小区间长度，。

任取，做求和取极限：则路程取极限定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积，并求和，记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即，（*）其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。

叫积分和式。

说明：1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间可积，（1）在区间上连续，则在可积。

（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。

2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以3.规定时 ,在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积；在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）设可积性质1性质2性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有性质4性质5 如果在区间上，，则推论性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，使成立例2 比较下面两个积分的大小与解设，在（0，1）内，单调增当时，有，即由性质5，例3估计积分的值解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。