习题
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.
()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .
【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.
()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .
【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.
【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为
()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；
()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂
足为()2,0,0-；
()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232
2=-+；
()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；
()2,3,1--M 到z 轴的距离为
()10312
2=+-.
3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；
()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.
（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3；
()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；
()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.
（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.
【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()2553422
2=+-+；
()5,3,4-A 到x 轴的距离为()34532
2=+-；
()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()5342
2=-+.
6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即
()()()()=
-+-+--2
2270230y ()()()()22270130--+-+-y
解得 23=
y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭
⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()1033210172
22=-+-+-==AB c ；
AC 边长()()()()33123112
22=-+-+--=b ； BC 边长()()()()11731103712
22=-+-+--=a .
由余弦定理知
cos ∠BAC ()
01032117
10322
22222<⨯⨯-+=
-+=bc a c b ，
所以，∠BAC 为钝角.
8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等.
【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即
()()()()=
-+--+-2
225011y x ()()()222443-+-+-z y x
()()()222164-+-+-=
z y x
解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D
习题
1.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示
DA CD BC AB ,,,.
【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .
()
b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=
-==2
1
21212121； 同理可求出，()
b a a b OC BO BC +=+=+=21
2121；
()a b AB CD -=-=21
；
()
b a BC DA +-=-=2
1
.
2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()
n m n m n m 733232-=+--=.
3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()
c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示
EF DE CD BC ,,,.
【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，
b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；
