高数第七章

第七章向量与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系；然后引进有广泛应用的向量及其运算，以它为工具，讨论空间的平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.引起这场数学史上伟大革命的正是坐标系的建立.代数运算的基本对象是数，几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上，引入运动的观点，使平面曲线和方程对应，从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样，要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线，就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即角度转向以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向(见图7-1)，这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系O x y z，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:x O y，y O z，z O x，统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间(0)z>中，从含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；下半空间(0)z<中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应的叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(见图7-2).图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M 为空间的一点，过点M 作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为,,P Q R (见图7-3).这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z .这样，空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，它称为点M 的直角坐标，并依次把x ， y 和z 叫做点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为(,,)x y z 的点M ，通常记为(,,)M x y z .图7-3反过来，给定了一有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q 与R 分别作x 轴、y 轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是具有坐标(,,)x y z 的点(见图7-3).从而对应于一有序数组(,,)x y z ，必有空间的一个确定的点M .这样，就建立了空间的点M 和有序数组(,,)x y z 之间的一一对应关系.如图7-3所示. x 轴、y 轴和z 轴上的点的坐标，分别为(,0,0)P x ，(0,,0)Q y ，(0,0,)R z ；x O y 面、y O z 面和z O x 面上的点的坐标，分别为(,,0)A x y ，(0,,)B y z ，(,0,)C x z ；坐标原点O 的坐标为(0,0,0)O .它们各具有一定的特征，应注意区分.二、 空间两点间的距离设11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d ，我们过12M M 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以12,M M 为对角线的长方体(见图7-4).根据勾股定理，有图7-42221212M MM NN M=+222111.M P M Q M R +=+因为11221M P P P xx ==-， 11221M Q Q Q y y ==－， 11221M R R R z z ==－，所以12d M M =.特别地，点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d O M =第二节 向量及其运算一、 向量及其线性运算1. 向量概念我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小，而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等.在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以1M 为始点、2M 为终点的有向线段所表示的向量，用记号12M M表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量，如向量，，，a b i u 或 ,,,a b i u等.图7-5向量的大小叫做向量的模，向量12M M或a 的模分别记为12M M或a . 在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量与向量相等的概念： 单位向量 模等于1的向量称为单位向量.逆向量(或负向量) 与向量a 的模相等而方向相反的向量称为a 的逆向量，记为-a . 零向量 模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.向量相等 两个向量a 与b ，如果它们方向相同，且模相等，就说这两个向量相等，记作=a b .自由向量 与始点位置无关的向量称为自由向量(即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等).我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时可以把一个向量平行移动到空间任一位置2. 向量的线性运算 （1） 向量的加(减)法.仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加(减)法. 定义1 设a ，b 为两个(非零)向量，把a ，b 平行移动使它们的始点重合于M ，并以a ，b 为邻边作平行四边形，把以点M 为一端的对角线向量1M N定义为a ，b 的和，记为+a b(见图7-6).这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法，叫做平行四边形法则.由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，+a b 也可以按下列方法得出：把b 平行移动，使它的始点与a 的终点重合，这时，从a 的始点到b 的终点的有向线段1M N就表示向量a 与b 的和+a b (见图7-7).这个方法叫做三角形法则.图7-6 图7-7定义2 设a ，b 为两个（非零）向量，b 的逆向量为－b .称向量a 与向量－b 的和向量为向量a 与向量b 的差向量，简称为向量a 与向量b 的差.即-=+a b a b.按定义容易用作图法得到向量a 与b 的差.把向量a 与b 的始点放在一起，则由b 的终点到a 的终点的向量就是a 与b 的差-a b (见图7-8).图7-8在定义1与定义2中，我们都假设a ，b 为非零向量.其实这只是为了几何直观的需要，事实上a ，b 都可以是零向量.根据零向量的定义，我们可以将零向量看成一个没有方向的点.这样我们就可以约定：任何向量与零向量的和与差都等于该向量自己. 向量的加法满足下列性质：+=+a b b a； (交换律)()()++=++a b c a b c ； (结合律)+=a 0a ； ()0+-=a a (2) 向量与数量的乘法.定义3 设λ是一实数，向量a 与λ的乘积λa 是一个这样的向量：当>0λ时，λa 的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ； 当<0λ时，λa 的方向与a 的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ； 当0λ=时，λa 是零向量，即0λ=a .向量与数量的乘法满足下列性质(λ，μ为实数)： ()()λμλμ=a a ； (结合律) ()λμλμ+=+a a a ； (分配律) ()λλλ+=+a b a b . (分配律)设a e 是方向与a 相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a 写成a =a a e这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此若a 为非零向量，也有a =a e a就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.二、 向量的坐标表示1. 向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念. （1) 两向量的夹角.设a ，b 为两个非零向量，任取空间一点O ，作O A =a ， O B =b，则称这两向量正向间的夹角θ为两向量a 与b 的夹角(见图7-9)，记作(,)θ=ab 或 π(,),0θθ=≤≤b a . 当a 与b 同向时，0θ=；当a 与b 反向时，πθ=.图7-9(2) 点A 在x 轴上的投影.过点A 作与x 轴垂直的平面，交x 轴于点A '，则点A '称为点A 在x 轴上的投影(见图7-10).图7-10 图7-11(3) 向量AB 在x 轴上的投影.首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设 AB 是x 轴上的有向线段.如果数λ满足λA B = ，且当AB 与x 轴同向时λ是正的，当 AB 与x 轴反向时λ是负的，那么数λ叫做x 轴上有向线段AB 的值，记作A B ，即λA B =.设,A B 两点在x 轴上的投影分别为A '，B '(见图7-11)，则有向线段''A B 的值A B ''称为向量AB 在x 轴上的投影，记作j P r x A B A B ''= ，它是一个数量. x 轴叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影，有下面两个定理.定理1 向量 AB 在x 轴上的投影等于向量 AB 的模乘以x 轴与向量AB 的夹角α的余弦，即j P r cos x A B A B a =.证 过A 作与x 轴平行，且有相同正向的x '轴，则x 轴与向量AB 间的夹角α等于x '轴与向量AB 间的夹角(见图7-12).从而有j j P r P r cos x x A B A B A B A B a '''==.图7-12显然，当α是锐角时，投影为正值；当α是钝角时，投影为负值；当α是直角时，投影为0定理2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即j j j 1212P r ()P r P r x x x a a a a +=+图7-13证 设有两个向量12,a a 及某x 轴，由图7-13可以看到j j j 12P r ()P r ()P r x x x A B B C A C A C ''+=+==a a，而j j j j 12P r P r P r P r x x x x A B B C A B B C A C ''''''+=+=+=a a，所以j j j 1212P r ()P r P r x x x +=+a a a a显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即j j j j 1212P r ()P r P r P r x n x x x n +++=+++a a a a a a2. 向量的坐标表示 (1) 向量的分解.设空间直角坐标系O x y z ，以,,i j k 表示沿x 轴、y 轴、z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O 、终点为M 的向量O M =r，称为点M的向径.图7-14设向径O M终点M 的坐标为(,,)x y z .过点M 分别作与三条坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于,,P Q R (见图7-14)，根据向量的加法，有O M O P P M M M ''==++r，但 ,P M O P M M O Q ''==， 所以 O P O Q O R=++r. 向量,,O P O Q O R ，分别称为向量O M =r在,,x y z 轴上的分向量.根据数与向量的乘法，得,O P x =i ,O Q y =j O R z =k .因此，有O M x y z ==++r i j k.这就是向量r 在坐标系中的分解式，其中,,x y z 三个数是向量O M =r在三条坐标轴上的投影.一般地，设向量12,=aM M 12,M M 的坐标分别为1111(,,)M x y z 及2222(,,)M x y z ，如图7-15所示.由于图7-15122121M M O M O M =-=-r r，而 2222x y z =++r i j k ，1111x y z =++r i j k ，所以()()=++-++a i j k i j k x y z x y z 222111 ()()()-+-+-i j k =x x y y z z 212121.这个式子称为向量12M M按基本单位向量的分解式，其中三个数量212121,,x y z a x x a y y a z z =-=-=-是向量12M M =a在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a 的分解式写成.x y z a a a =++a i j k(2) 向量的坐标表示.向量a 在三个坐标轴上的投影,,x y z a a a 叫做向量a 的坐标，并将a 表示为(),,x y za a a =a ，上式叫做向量a 的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1===i j k .零向量的坐标表示式为0,0,00=（）.起点为(),,M x y z 1111、终点为(),,M x y z 2222的向量的坐标表示式为()21212112,,M M x x y y z z ---=，特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即(),,=O M x y z(3) 向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示.为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与平面解析几何里用倾角表示直线对坐标轴的倾斜程度相类似，我们可以用向量12M M =a 与三条坐标轴(正向)的夹角,,αβγ来表示此向量的方向，并规定π0α≤≤、π0β≤≤、π0γ≤≤ (见图7-16)，,,αβγ叫做向量a 的方向角.过点12,M M 各作垂直于三条坐标轴的平面，如图7-16所示.可以看出，由于12,P M Mα∠=又21M P M P ⊥，所以1cos cos 12x a M P M M ααa＝＝＝，1c o s c o s 12y a M Q M M ββ===a， （7-2-1）1cos=cos 12.z a M R M M γ==aa z ＝M 1R ＝｜｜cos γ＝｜a ｜cos γ.图7-16公式(7-2-1)中出现的不是方向角αβγ，，本身而是它们的余弦，因而，通常也用数组cos cos cos αβγ、、来表示向量a 的方向，叫做向量a 的方向余弦.把公式(7-2-1)代入向量的坐标表示式，就可以用向量的模及方向余弦来表示向量()cos cos cos αβγ=++a a i j k ， （7-2-2）而向量a 的模为12M M ==a由此得向量a 的模的坐标表示式=a （7-2-3）再把(7-2-3)式代入(7-2-1)式，可得向量a 的方向余弦的坐标表示式cos cos ,cos a αa βa γ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（7-2-4）把公式(7-2-4)的三个等式两边分别平方后相加，便得到222cos cos cos 1αβγ++=，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可见，由任一向量a 的方向余弦所组成的向量()cos cos cos ,,αβγ是单位向量，即cos cos cos =αβγ++a e i j k .例1 已知两点()1225,,P －及()2167,P -，，试求：(1) 12P P 在三条坐标轴上的投影及分解表达式； (2) 12P P 的模；(3) 12P P的方向余弦；(4)12P P 上的单位向量12e PP .解 (1)设12(,,)x y z P P a a a =，则12P P在三条坐标轴上的投影分别为：3,8,2x y z a a a =-==于是12P P的分解表达式为38212P P i j k++=-.(2)12P P ==(3)12cos x a α==P P12cos ya β==p p ，12cos za γ==p p .(4))e 38212i j k =++-PP .(4) 用坐标进行向量的线性运算.利用向量的分解式，向量的线性运算可以化为代数运算. 设λ是一数量，,x y z x y z a a a b b b b =++=++a i j k i j k ，则()()x y z x y z a a a b b b ±=±a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x y y z z a b a b a b =±+±+±i j k ；()x y z x y z λλa a a λa λa λa =++=++a i j k i j k或()()(),,,,,,xy z x y z x x y y z zaa ab b b a b a b a b ±±±±=，()(),,,,x y z x y z λa a a λa λa λa =.这就是说，两向量之和(差)的坐标等于两向量同名坐标之和(差)；数与向量之积，等于此数乘上向量的每一个坐标.例2 从点()217,A -，沿向量8912=+-a i j k 的方向取线段A B ，使AB 34=，求点B 的坐标.解 设点B 的坐标为(,,)x y z ，则()()()217A B x y z -+++-i j k=.按题意可知AB上的单位向量与a 上的单位向量相等，即＝A B a e e .而34A B =，17a ==，所以127343434A By x z +--==++e i j kAB AB， 8912171717a ==++a e i j k a比较以上两式，得283417x -=， 193417y +=， 7123417z -=-. 解得 181717,,x y z ===-.所以，点B 的坐标为1817,17()-，.例3 22345 ,,=-+=+-a i j k b i j k 求3-a b 方向的单位向量.解 因为()()3322345=-=-+-+-c a b i j k i j k3711=-+i j k.于是c ==，所以371133c c a b i j k c a b-===-+-e ）.三、 向量的数量积与向量积1. 两向量的数量积在物理学中，我们知道当物体在力F 的作用下(见图7-17)，产生位移s 时，力F 所做的功图7-17()cos ,W =F s Fs .这样，由两个向量F 和s 决定了一个数量 ()cos ,F s Fs .根据这一实际背景，我们把由两个向量F 和s 所确定的数量 ()cos ,F s Fs 定义为两向量F 与s 的数量积. 定义4 a 与b 的模与它们的夹角余弦的乘积，叫做a 与b 的数量积，记为a·b ，即()cos ,⋅=a b a b ab .因其中的 ()cos ,b ab 是向量b 在向量a 的方向上的投影，故数量积又可表示为 Prj ⋅=a a b a b，同样 Prj⋅=b a b b a . 数量积满足下列运算性质：（1）⋅=⋅a b b a ； （交换律）（2）()++⋅⋅⋅a b c =a b a c ； （分配律） （3）()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b .（结合律）由数量积的定义，容易得出下面的结论： （1）2⋅=a a a ；（2）两个非零向量a 与b 互相垂直的充要条件是0⋅=a b . 数量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a a b b b b =++=++i j k i j k ，由于基本单位向量，，i j k 两两互相垂直，从而，⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j k k i j i k j i k .又因为，，i j k 的模都是1，所以1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ，因此，根据数量积的运算性质可得x x y y z z a b a b a b ⋅=++a b ，即两向量的数量积等于它们同名坐标的乘积之和.由于 ()co s ,⋅=a b a b ab ，当a ,b 都是非零向量时，有 ()cos ,a b a b a b ++⋅==a b ab a b.这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.从这个公式可以看出，两非零向量互相垂直的充要条件为0x x y y z z a b a b a b ++=. (7-2-5)例4 求向量()322,,=-a 和()3,0,0=b 的夹角.解 因为 ()3320209⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，5==a ，=3b ，所以()93cos ,535⋅===⨯a b a b a b.故其夹角()arccos 5383,5=≈︒'a b .例5 求向量()412,,=-a 在()31,,0=b 上的投影. 解 因为 ()43112011⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，==b ，所以Prj ⋅===b a b a b.例6 在x O y 平面上，求一单位向量与437(,,)=-p 垂直. 解 设所求向量为(),,a b c ，因为它在x O y 平面上，所以0c =.又(),,0a b 与()437,,=-p 垂直，且是单位向量，故有22-43=10a b a b +=+，.由此求得34,55a b =±=±， 因此所求向量为34,,055⎛⎫±± ⎪⎝⎭.2. 两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑此物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.下面举例说明表示力矩的方法.图7-18设O 为杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处，F 与OP 的夹角为θ(见图7-18).由物理学知道，力F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模sin M O Q O P θ=F F=.而M 的方向垂直于 OP 与F 所确定的平面（即M 既垂直于OP ，又垂直于F ），M 的指向按右手规则，即当右手的四个手指从OP 以不超过π的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M 的指向.由两个已知向量按上述规则来确定另一向量，在其他物理问题中也会遇到，抽象出来，就是两个向量的向量积的概念.定义5 设a ，b 为两个向量，若向量c 满足(1) sin (,)=c a b ab ，即等于以,a b 为邻边的平行四边行的面积； (2)c 的方向垂直于,a b 所确定的平面，并且按顺序,,a b c 符合右手法则.则称向量c 为向量a 与向量b 的向量积，记为⨯a b （如图7-19），即=⨯c a b.图7-19向量积满足下列规律：（1）⨯=-⨯a b b a （向量积不满足交换律）； （2）()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ；（3）()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b .由向量积的定义，容易得出下面的结论： （1）⨯=a a 0；（2） 两个非零向量a 与b 互相平行的充要条件是⨯=a b 0. 3. 向量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a b b b =++=++a i j k b i j k .则()()x y z x y z a a a b b b ⨯=⨯a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x x y x z a b a b a b =⨯⨯⨯+i i i j i k ++ y x y y y za b a b a b ⨯⨯⨯+j i j j j k （）+（）+（）z x z y z za b a b a b ⨯⨯⨯k i k j k k （）＋（）＋（）. 由于⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0， ⨯=i j k ， ,⨯=j k i⨯=k i j ，⨯=j i k -， ⨯=k ji -， ⨯=i k j -.因此()()().y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+a b i j k －这就是向量积的坐标表示式.这个公式可以用行列式(行列式的定义及简单运算见本书后附录)写成下列便于记忆的形式，即⨯=ij k a b xy z xyza a ab b b从这个公式可以看出，两非零向量a 和b 互相平行的条件为0,0,0y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b -=-=-=，或y x z xyza a ab b b ==. (7-2-6)例7 设2=+-ai j k，2=-+bi j k.计算⨯a b .解 211112i j k a b ⨯=--()()()212111222111⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--+-⋅-⋅+⋅--⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦i j k53=--i j k.例8 求以()123A ，，，()345B ，，，()247,,C 为顶点的三角形的面积S . 解 根据向量积的定义，可知所求三角形的面积S 等于12A B A C ⨯ . 因为=222A B ++i j k ， 24A C +i j k＝＋，222124A B A C ⨯=ij k=462-+i j k ，所以12S A B A C =⨯==.例9 已知()211,,=a ，()111,,=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量. 解 设=⨯c a b ，则c 同时垂直于a 和b .于是，c 上的单位向量是所求的单位向量.因为23=⨯=--c a b i j k ，==c ，所以==c e c c⎛⎫-=-⎝c e 都是所求的单位向量.第三节 空间直线与平面本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立最简单的空间图形——平面和直线的代数方程.一、 曲面方程的概念平面解析几何把曲线看作动点的轨迹，类似地，空间解析几何可把曲面当作是一个动点或一条动曲线按一定规律而运动产生的轨迹.一般地，如果曲面S 与三元方程(),,0F x y z =之间存在如下关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(),,0F x y z =；（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，满足方程的点都在曲面上. 那末称(),,0F x y z =为曲面S 的方程，而曲面S 称为方程的图形.二、 空间直线的方程在平面解析几何中，我们知道，x O y 平面上的一定点和一非零向量就确定了一条直线.在三维空间的情形也是一样.设空间直线L 过定点0000(,,)M x y z ，且平行于非零向量m n p =++s i j k这时直线的位置就完全确定了（如图7-20），下面我们来求这条直线的直线方程.图7-20设(,,)M x y z 是直线L 上任意一点，因为L 平行于向量s ，所以0000()()()M M x x y y z z =-+-+-i j k0M M平行于向量s ，由两向量平行的充要条件式（7-2-6）有x x y y z z mnp---== （7-3-1）（7-3-1）称为直线L 的对称式方程，也叫做直线L 的标准式方程. 在建立直线L 的标准式方程（7-3-1）时，我们用到了向量0M M平行于向量s 的充要条件，即这两个向量的对应坐标成比例.如果我们设这个比列系数为t ，则有x x y y z z tmnp---===，那么000,,x x m t y y n t z z p t =+=+=+ （7-3-2）当t 从-∞变到+∞时，方程（7-3-2）就是过点0000(,,)M x y z 的直线L 的参数方程，其中t 是参数，向量s 称为直线L 的方向向量.向量s 的坐标,,m n p 叫做直线的方向数.例1 求过两点()1111,,M x y z ，()2222,,M x y z 的直线的方程 解 可以取方向向量()21212112,,M M x x y y z z =---s=.由直线的标准式方程可知，过两点12,M M 的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---.上式称为直线的两点式方程.例2 用标准式方程及参数式方程表示直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩解 为寻找直线的方向向量s ，在直线上找出两个点即可，令=10x ，代入题中方程组，得 000,2y z ==- 同理，令1=0x ，代入题中方程组，得1113,22y z ==-即点(0)-，，A 12与点13(0)2，，B 2在直线上. 取()111,,22AB ==-s .因此，所给直线标准式方程为12211y x z -+==- 参数方程为12,,2.x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩， 注意 本例提供了化直线的一般方程为标准方程和参数方程的方法.三、 平面及其方程垂直于平面的非零向量叫做该平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.我们知道，过空间一点可以作，而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π上的一点0000(,,)M x y z 和它的法向量(,,)A B C =n 为已知时，平面Π的位置就完全确定了.图7-21设0000(,,)M x y z 是平面Π上一已知点，(,,)A B C =n 是它的法向量(见图7-21)，(,,)M x y z 是平面Π上的任一点，那么向量0M M必与平面Π的法向量n 垂直，即它们的数量积等于零：00M M ⋅=n . 由于(,,)A B C =n ，0000(,,)M M x x y y z z =---，所以有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-3)因为所给的条件是已知一定点0000(,,)M x y z 和一个法向量(,,)A B C =n ，方程(7-3-3)叫做平面的点法式方程.例3 求过点23(0)-,,及法向量(1,2,3)=-n 的平面方程.解 根据平面的点法式方程(7-3-3)，得所求平面的方程为(2)2(3)30x y z --++= 或2380x y z =+-=.将方程(7-3-3)化简，得A xB yC zD +++=， (7-3-4)其中000D A x B y C z =---.由于方程(7-3-3)是,,x y z 的一次方程，因此任何平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，对于任给的一个形如(7-3-4)的三元一次方程，我们取满足该方程的一组解000,,x y z ，则0000A x B y C z D +++= (7-3-5)由方程(7-3-4)减去方程(7-3-5)，得000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-6)把它与方程(7-3-3)相比较，便知方程 (7-3-6)是通过点0000(,,)M x y z ，且以(,,)A B C =n 为法向量的平面方程.因为方程(7-3-4)与(7-3-6)同解，所以任意一个三元一次方程(7-3-4)的图形是一个平面.方程(7-3-4)称为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是该平面的法向量n 的坐标，即(,,)A B C =n .例4 如图7-22所示，平面Π在三个坐标轴上的截距分别为,,a b c ，求此平面的方程(设0,0,0a b c ≠≠≠).图7-22解 因为,,a b c 分别表示平面Π在x 轴、y 轴、z 轴上的截距，所以平面Π通过三点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，且这三点不在一直线上.先找出平面Π的法向量n ，由于法向量n 与向量A B ，A C都垂直，可取A B A C =⨯n ，而(,,0),(,0,)A B a b A C a c =-=-，所以得00A B A C ab ac=⨯=--ij k nb c a c a b =++i j k.再根据平面的点法式方程(7-3-3)，得此平面的方程为()(0)(0)0bc x a ac y ab z -+-+-=. 由于0,0,0ab c ≠≠≠，上式可改写成1y xz a b c++=. (7-3-7) 式(7-3-7)叫做平面的截距式方程.下面我们讨论一下特殊位置的平面方程.(1) 过原点的平面方程. 因为平面通过原点，所以将0x y z ===代入方程(7-3-4)，得0D =.故过原点的平面方程为0A x B y C z ++=， (7-3-8)其特点是常数项0D =.(2) 平行于坐标轴的平面方程.如果平面平行于x 轴，则平面的法向量(,,)A B C =n 与x 轴的单位向量(1,0,0)=i 垂直，故0⋅=n i ，即1000A B C ⋅+⋅+⋅=由此，有A =从而得到平行于x 轴的平面方程为B yC zD ++=，其方程中不含x .类似地，平行于y 轴的平面方程为0A x C z D ++=；平行于z 轴的平面方程为A xB y D ++=.(3) 过坐标轴的平面方程.因为过坐标轴的平面必过原点，且与该坐标轴平行.根据上面讨论的结果，可得过x 轴的平面方程为B yC z +=；过y 轴的平面方程为0A x C z +=；过z 轴的平面方程为0Ax B y +=.(4) 垂直于坐标轴的平面方程. 如果平面垂直于z 轴，则该平面的法向量n 可取与z 轴平行的任一非零向量(0,0,)C ，故平面方程为0C z D +=.类似地，垂直于x 轴的平面方程为0A x D +=，垂直于y 轴的平面方程为0B y D +=；而z =表示x O y 坐标面，0x =表示y O z 坐标面，0y =表示z O x 坐标面. 例5 指出下列平面位置的特点，并作出其图形： (1) 4x y +=； (2) 2z =.解 (1) 4x y +=，由于方程中不含z 的项，因此平面平行于z 轴(见图7-23). (2) 2z =，表示过点2(00)，，且垂直于z 轴的平面(见图7-24).图7-23 图7-24四、 有关平面与直线的位置关系1. 两平面的夹角及平行、垂直的条件设平面1Π与2Π的法向量分别为1111(,,)A B C =n 和2222(,,)A B C =n .如果这两个平面相交，它们之间有两个互补的二面角(见图7-25)，其中一个二面角与向量1n 与2n 的夹角相等.所以我们把这两平面的法向量的夹角中的锐角称为两平面的夹角.根据两向量夹角余弦的公式，有12cos cos(,)θ==n n (7-3-9)图7-25从两非零向量垂直、平行的条件，立即推得两平面垂直、平行的条件. 两平面12,ΠΠ互相垂直的充要条件是1212120A A B B C C ++=； (7-3-10)两平面12,ΠΠ互相平行的充要条件是111222A B C A B C ==. (7-3-11)例6 设平面1Π与2Π的方程分别为260x y z -+-=及250xy z ++-=，求它们的夹角.解 根据公式(7-3-9)得1cos 2θ==，所以平面1Π与2Π的夹角为π3θ=. 例7 一平面通过点1(1,1,1)P 和2(0,1,1)P -，且垂直于平面0x y z ++=，求这平面的方程.解平面0x y z ++=的法向量为1(1,1,1)=n ，又向量12(1,0,2)P P =--在所求平面上，设所求平面的法向量为n ，则n 同时垂直于向量12P P及1n ，所以可取112(1,1,1)(1,0,2)(2,1,1)P P =⨯=⨯--=-n n，故所求平面方程为2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，或20x y z --=.2. 两直线的夹角及平行、垂直的条件 设两直线1L 和2L 的标准式方程分别为111111x x y y z z m n p ---==和222222x x y y z z m n p ---==，两直线的方向向量()111,,m n p 1s =与()222,,m n p 2s =的夹角（这里指锐角或直角）称为两直线的夹角，记为θ，则cos θ=. (7-3-12)由此推出，两直线互相垂直的充要条件是121212 0m m n n p p ++=； (7-3-13)两直线互相平行的充要条件是111222m n p m n p == . (7-3-14)例8 求直线113:141y x z L -+==-和直线22:221y x zL +==--的夹角. 解 直线1L 的方向向量()1,41-1s =，，直线2L 的方向向量为()221--2s =，，，故直线1L 与2L 的夹角θ的余弦为cos θ===. 所以 π4θ=. 例9 求经过点()2,0,1-且与直线2360,42390x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩平行的直线方程.解 所求直线与已知直线平行，其方向向量可取为()()()231423728,,,,,,=⨯-⨯-=--12s n n =.根据直线的标准式方程，得所求直线的方程为21728y x z -+==--. 例10 求过点213()，，，且与直线11321y x z-+==-垂直相交的直线方程. 解 先作一平面过点213()，，，且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为()()()32+2130.x y z ----=再求已知直线与这平面的交点.把已知直线的参数方程13,12,x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩代入平面方程，解之得37t =.再将求得的t 值代入直线参数方程中，即得 2133,,777x y z ===-. 所以，交点的坐标是2133,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭. 于是，向量2132133,,777⎛⎫---- ⎪⎝⎭是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为1232133213777y x z --==-----， 即123214y x z ---==-. 3. 直线与平面的夹角及平行、垂直的条件直线L 与它在平面Π上的投影所成的角称为直线L 与平面Π的夹角，一般取锐角(见图7-26).图7-26设直线L 的方程为ox x y y z z mnp---==，其方向向量(),,m n p =s ；平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，其法向量(),,A B C =n ，则πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭n s n s ， 即sin θ=. (7-3-15)从而，直线L 与平面Π平行的充要条件是m B n C p ++=； (7-3-16)直线L 与平面Π垂直的充要条件是A B Cm n p==. (7-3-17) 例11 设平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，()1111,,M x y z 是平面外的一点，试求1M 到平面Π的距离.图7-27解 在平面Π上取一点()0000,,M x y z (见图7-27)，则点M 1到平面Π的距离Prj 0101n M M d M M ⋅==n n，而()()()11101000·M M A x x B y y C z z -+-+-n ＝由于点()000,,x y z 在平面Π上，有0000A x B y C z D +++=，即 000A x B y C z D ++=-，由此可得11101M M A x B y C z D ⋅=+++n，所以d =(7-3-18)公式（7-3-18）称为点到平面的距离公式.第四节 空间曲面与曲线一、 曲面及其方程在上一节中，我们考察了最简单的曲面——平面，以及最简单的空间曲线——直线，建立了它们的一些常见形式的方程.在这一节里，我们将介绍几种类型的常见曲面.1. 球面方程到空间一定点0M 之间的距离恒定的动点的轨迹为球面. 例1 建立球心在点()0000,,M x y z ，半径为R 的球面的方程.解 将球面看作空间中与定点等距离的点的轨迹.设(),,M x y z 是球面上的任一点，则0.M M R =由于0M M =所以R =.两边平方，得2222000x x y y z z R ---=（）+（）+（）(7-4-1) 显然，球面上的点的坐标满足这个方程，而不在球面上的点的坐标不满足这个方程.所以，方程(7-4-1)就是以()0000,,M x y z 为球心，以R 为半径的球面方程.如果0M 为原点，即0000x y z ===，这时球面方程为2222x y z R ++= (7-4-2)若记20A x =-，20B y =-，20C z =-， D 222200x y z R =++-，则式(7-4-1)可化为2220x y z A x B y C z D ++++++=（7-4-3） （7-4-3）式称为球面的一般方程由(7-4-3)式可以看出，球面的方程是关于,,x y z 的二次方程，它的222x y z ，，三项系数相等，并且方程中没有,,x y y z z x 的项.对于形如式（7-4-3）的一般方程，我们有下面几个结论：(1) 当22240A B C D ++->时，上式为一球面方程； (2) 当22240A B C D ++-=时，上式只表示一个点；(3) 当22240A B C D ++-<时，上式表示一个虚球，或者说它不代表任何图形. 例2 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可以改写为()()22212=5x y z -+++.与式(7-4-1)比较，可知原方程表示球心在点120,,0M -（）、半径R =的球面. 2. 柱面设给定一条曲线C 及直线l ，则平行于直线l ，且沿曲线C 移动的直线L 所形成的曲面叫做柱面.定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线(见图7-28).图7-28如果柱面的准线是x O y 面上的曲线C ，其方程为() ,0f x y =， (7-4-4)柱面的母线平行于z 轴，则方程(),0f x y =就是这柱面的方程(见图7-29).因为在此柱面上任取一点(),,M x y z ，过点M 作直线平行于z 轴，此直线与x O y 面相交于点()0,,0M x y ，点0M 就是点M 在x O y 面上的投影.于是点0M 必落在准线上，它在x O y 面上的坐标(),x y 必满足方程(),0f x y =，这个方程不含z 的项，所以点M 的坐标(),,x y z 也满足方程(),0fx y =.。

高数第七章是学习高等数学的重要一环，该章节主要涉及到数列和级数，是数学基础中的重要内容。

在高数课程中，第七章可以说是学习难度较大的一章，需要学生掌握很多的基本概念和重要定理，同时需要进行大量的练习才能够熟练分析各种数列和级数的性质。

首先，我们来了解一下数列的基本概念。

数列就是按照一定规律排列起来的一系列数，这些数一般编号为n，n的取值范围为自然数集。

当我们知道了一个数列的规律，我们就能够计算这个数列的第n项，也就是利用通项公式计算，那么我们就能够得到任意项的值。

在数列中，有一种特殊的数列叫做等差数列。

等差数列是指一个数列中，相邻的两项之间的差值相等的数列。

这个相邻项之间的差值就叫做公差，用d表示。

我们可以通过两个已知项，或者已知项和项数的方法得到一个等差数列的通项公式，这个公式就是: an=a1+(n-1)d。

而等比数列则是指相邻两项的比值相等的数列，这个比值叫做公比，用q表示。

等比数列的通项公式为: an=a1*q^(n-1)。

熟悉了这些基本概念，我们就能够大致了解数列的性质和计算方法了。

接下来，我们来研究一下级数的概念和计算方法。

级数是指一个数列中各项之和，记作S。

如果一个数列收敛，那么我们就能够求出这个级数的和，如果这个数列发散，那么这个级数就没有和。

级数的重要性在于它解决了无穷大和无穷小的概念，从而把数学的范畴扩展到了无穷，进一步拓展了数学的思维。

在级数中，我们可以通过递推公式进行求解，也可以通过求和公式进行求解。

求和公式是一个级数的和的表达式，可以通过它快速的计算出一个级数的和。

序列的求和公式有很多，主要分为以下几种情况:等差数列求和公式：S=n*[a1+an]/2等比数列求和公式：S=a1*[1-q^n]/[1-q]调和级数求和公式：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n)+γ（其中γ是欧拉常数）随着数学领域的不断拓展和进步，数列和级数逐渐成为了很多工科和理科学科的重要研究内容。

第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。

（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。

（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。

( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。

（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。

（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。

（ ） 二、填空题。

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。

6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。

三、选择题。

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。

四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。

高等数学上册第七章教材高等数学是大学中理工科专业的一门重要课程，它涵盖了许多基础和高级的数学概念和理论。

在高等数学上册的第七章中，我们将讨论一些与多元函数相关的内容。

本章将介绍多元函数的概念、连续性、偏导数以及多元函数的极值问题。

通过学习本章的内容，我们将能够更深入地理解和应用多元函数的基本概念和性质。

一、多元函数概念在第七章中，我们将学习多元函数的定义和性质。

所谓多元函数，简而言之，就是具有多个自变量的函数。

我们将研究多元函数的定义域、值域以及图像等特征，同时了解多元函数与一元函数的差异。

二、多元函数的连续性连续性是多元函数中非常重要的一个性质。

在本章中，我们将讨论多元函数的连续性及其判定方法。

我们将学习如何通过函数的定义和极限的性质来确定一个多元函数是否连续，以及如何判断多元函数在某个点是否连续。

三、多元函数的偏导数偏导数是多元函数中的一个重要概念，它描述了函数在某个方向上的变化率。

在本章的第三节中，我们将学习多元函数的偏导数的定义和性质，以及如何计算偏导数。

我们将学习如何通过偏导数来判断多元函数的增减性，并掌握偏导数的链式法则和隐函数求导等重要技巧。

四、多元函数的极值问题极值问题是多元函数研究的核心内容之一。

在第七章的最后一节，我们将重点讨论多元函数的极值问题。

我们将学习如何通过求偏导数和二阶导数来判断多元函数的极值，并通过举例来加深对多元函数极值问题的理解。

通过学习高等数学上册第七章的教材，我们将更好地理解多元函数的概念及其基本性质。

同时，我们将能够掌握多元函数的连续性判定、偏导数的计算和应用、以及多元函数的极值问题的解决方法。

这些知识将为我们今后在数学和相关领域的研究和应用奠定坚实的基础。

高等数学作为一门重要的核心课程，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。

通过仔细学习和理解高等数学上册第七章教材中的内容，我们将能够更好地应用数学方法解决实际问题，并为我们的学习和职业发展打下坚实的数学基础。

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。