下载文档原格式
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
第七章微分方程一、填空题1、曲线上点(,)x y 处的切线斜率为该点纵坐标的平方，则此曲线的方程是_____y x C=-+1。
2、曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是______ x y C 22-=。
3、一质点沿直线运动，已知在时间t 时加速度为t 21-，开始时()t =0速度为13，则速度与时间t 的函数关系式是________ V t t =-+13133。
4、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 y x C =+133。
5、一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +，则曲线方程是______ y e x x=--21()。
6、微分方程e y ax "=1（a 是非零常数）的通解是 ______y ae C x C a x =++-1212。
7、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''=y 0。
8、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'=y y 0。
9、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cos sin =+y C kx C kx ，其中C C 12,为独立的任意常数，k 为常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''+=y k y 20。
10、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C e x x =+-12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-=y y 0。
11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x e x=+()12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'+=y y y 20。
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1． 说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x.0)32()67()3(=++-dy y x dx y x2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2为任意常数C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。
处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x轴平分。
被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。
温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1(。
速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x2．求解下列初值问题： ;0,)1(02=='=-x y x ye y;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e平分，求这曲线方程。
意切线线段均被切点所，它在两坐标轴间的任一曲线过点)3,2(.3方程。
斜率的两倍，求这曲线到该切点的连线的的切线斜率等于自原点，且在曲线上任何一点一曲线过点)31,1(.4习题7－2（B ）及流完所需的时间。
求水面高度变化的规律，的孔漏斗下面有面积为，顶角为斗，高为有一盛满水的圆锥形漏2)(5.0,60)(10.1m c cm o后的速度是多少？运动开始经过了一分钟，问从达因，外力为时速度等于秒速度成反比；在，和质点运动的，这外力和时间成正比线运动的质点受外力作用作直克质量为)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅= 的函数关系。
与时间的一半，试求镭的量年后，只余原始量镭经过由经验材料得知，，成正比存量镭的衰变速度与它的现：镭的衰变有如下的规律t R R R 01600.3间变化的规律。
成正比，试求船速随时知阻力和速度秒后速度减至一半，已，初速开始运动的船以5)/(6.40s m v =间的函数关系。
在上升过程中速度与时，试求为常数竖直上抛，空气阻力为的物体在空气中以速度设将质量为)(.50k kv v m，求这曲线方程。
倍矩形面积的的坐标面积等于同底而高为纵为底构成的曲边梯形的，它以一曲线过点)1(1],[),2(.6>m my x a b a.)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 求且满足是一个连续可微函数，设⎰⎰+=习题7－3（A ）1． 求下列齐次方程的通解： ;)ln (ln )1(x y y y x -=' ;0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.03)32()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos )cos ()1(==-+y dy xyx dx x y y x.2)1(,)2(=+='y xy y xy3． 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
4． 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点O 到该点的距离。
习题7－3（B ）1． 求下列齐次方程的通解或特解：;1)21()1(='-y yx;0)1(2)21()2(=-++dy yxe dx e yx yx;1,02)3()3(022==+-=x y xydx dy x y.1,0)2()2()4(12222==-++-+=x y dy x xy y dx y xy x2*．化下列方程为齐次方程，并求出通解：.0)433()()4(;0)337()773()3(;0)14()1()2(;0)642()352()1(=--++=+-++-=-+---=-+-+-dy y x dx y x dy x y dx x y dy x y dx y x dy y x dx y x习题7－4（A ）1． 求下列微分方程的通解： ;)1(x e y dxdy-=+;cos )2(sin x e x y y -=+' ;)1()3(2x e y x y x =-+';02sin tan )4(=-+'x x y y;0cos 2)1()5(2=-+'-x xy y x .)2(2)2()6(3-+=-x y dxdyx2． 求解下列初值问题：;1,sin )1(==+=πx y xx x y dx dy;0,sec tan )2(0==-=x y x x y dxdy;4,5cot )3(2cos -==+'=πx x ye x y y;2,83)4(0==+=θρρθρd d.0,132)5(132==-+=x y y xx dx dy3． 求通过原点且在任一点 (x , y ) 处的切线斜率等于 2 x + y 的.曲线方程。
4． 一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率与他们当时还记得的知识与某一常数 a 之间的差成正比（比例系数设为 k ）（1） 设 y (t ) 为课程结束 t 星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关 于y (t ) 的微分方程；（2） 设课程结束时学生学到的知识的量为 1 （即 100％），解此微分方程； （3） 试解释在解中的两个常数 a 和 k 的实际意义。
5． 求下列伯努利方程的通解：;)sin (cos )1(2x x y y dxdy-=+;3)2(2xy xy dxdy=- ;4)3(y x xyy =-';)21(313)4(4y x y dx dy -=+.0)]ln 1([)5(3=++-dx x xy y dy x习题7－4（B ）1． 求下列微分方程的通解：;1)2()1(=+dxdyy x;02)6()2(2=+'-y y x y ;ln 2)3(xy y y yy -+=';0)ln (ln )4(=-+dy y x dx y y.0)arctan ()1()5(2=-++dy y x dx y2． 求解下列初值问题：;0,1)2()1(2==-'=x y y x e y;1,0cos 1)2(2==+-'=πx y y xx y x y ;0,0)1()1()3(12==+=-+=x y y dy e y dy x dx y.0,0)cos 1()1()4(222==+-++=x ydy y y xy dx y.)(],0[)()(1)0()0()(.3x f x x f y x x x x f y f x x f y 求上的一段弧长值相等，在面积值与的垂线所围成的图形的点与轴上过原点轴及，，已知曲线连续可微，且设===≥=的函数关系。
与时间量度流出，求桶内所含盐升的速以每分钟定搅拌均匀后的混合物升的流速注入桶内，假的盐溶液并以每分钟公斤公斤，现用浓度为每升升含溶解盐升盐溶液，其浓度为每一圆柱形桶内有t x 445.1140.4关系。
数运动的速度与时间的函）的阻力作用，求质点数为与速度成正比（比例系还受一个）的力作用于它，此外成正比（比例系数为方向一致、大小与时间有一个与运动速度等于零的时刻起，的质点作直线运动，从设有一质量为21.5k k m6．用适当的变量代换将下列方程化为已知类型，然后求出通解：;)()1(2y x dxdy+= ;11)2(+-=yx dx dy;)ln (ln )3(x y y y y x +=+';1)4(2x e xy e yy =+' ;1cos sin 2sin )1(sin 2)5(22+--+-+='x x x x y y y;0)cos 1(cos sin ln )6(=-+⋅'y x y y x y x7． 验证形如 0)()(=+dy xy g x dx xy f y 的微分方程，可经变量代换 xy v = 化为可分离变量的方程，并求其通解。
.)(,3)()(.8230x f e t d t f x f x f x x 求满足已知连续函数+⎪⎭⎫⎝⎛=⎰.)(,1)()()()(.913x f x f dx xx f x x f x f x试求满足设可微函数-=+⎰为任意常数）。
（其中必为该方程的通解证明：的两个不相同的特解，是微分方程设C x y C x y C y x Q y x P y x y x y )()1()()()()(,)(.1021121-+==+'为常数）。
