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高数下册 第七章 微分方程习题课 (一)(二)

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高等数学课件--D7习题课(2)

高等数学课件--D7习题课(2)
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy

d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2

d x dy
2
2

( y )

y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为

高数下册 第七章 第六、七节 高阶微分方程

高数下册 第七章 第六、七节 高阶微分方程
两端积分得
利用 y
t 0
y l y y l arccos l l , 得 C 2 0, 因此有
2
13
d2 y kmM m 2 , 2 dt y
y l
R
o
由于 y = R 时 由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
y R
1 l ( l R R 2 l arccos R 2g
d x
C1 x C 2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
2
例1.
解: y e 2 x cos x d x C1
1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 8
1 p2 1 e 2 y C 1 2 2 利用初始条件, 得 C1 0, 根据 p y 0 y x 0 1 0, 得 dy p ey dx 积分得 e y x C 2 , 再由 y x 0 0, 得 C 2 1
积分得 故所求特解为
a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x )
f ( x ) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x ) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P ( x ) y Q( x ) P ( x )d x P ( x )d x P ( x )d x d x e 通解: y C e Q( x ) e 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度

高等数学微分方程第七章练习题答案

高等数学微分方程第七章练习题答案

第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。

5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。

高等数学 第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程习题课

高等数学 第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程习题课

0
+
C2
cos
0
+
1 2
e0
1 = 1 C1 = 2
=
1
C2
=
1 2
f ( x) = 1 cos x + 1 sin x + 1 ex
2
2
2
第七章 第八节
7
对于 y + y − 2 y = 6xex (1)
设 (1) 的特解为：y1 = x( Ax + B)e x
A
=
1,
B
=
−
2 3
y1
=
x( x
−
2)e x 3
对于 y + y − 2 y = −4x (2)
设 (2) 的特解为：y2 = Cx + D 叠加原理
C = 2 , D = 1 y2 = 2x + 1
第七章 第八节
4
Q( x) + (2 + p)Q( x) + (2 + p + q)Q( x) = Pm ( x) y = Q( x)eλx = xkQm ( x)e λx
3 求 y + y − 2 y = x(6ex − 4)的通解。
解 特征方程 r2 + r − 2 = 0
特征根 r1 = −2 , r2 = 1
A
=
3 2
y = x( 3 x − 3)e− x
B = −3
2
原方程通解为
y
=
C1e−
x
+
C2e−2 x
+
x(
3 2
x
−
3)e− x
第七章 第八节

高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二)

高数下册_第七章_微分方程习题课_(一)(二)


即
( 欧拉方程 )
26
解初值问题:
则原方程化为
通解: 利用初始条件得特解:
12
练习题: P326 题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9),
(10)
(题3只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 2 2 (xC) y 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dp f ( x , p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 2 x y p x y q y f ( x ) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (e t )
练习题: P327 题 2
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
4
例1. 求下列方程的通解
1 y x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
3
2 2 ( 2) x y x y y ;
思考
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y * A cos 2 x B sin 2 x D
24
2 y a y 0 P327 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C 2 . 再解 dx 1 a x

高等数学第7章练习题

高等数学第7章练习题

第七章微分方程一、填空题1、曲线上点(,)x y 处的切线斜率为该点纵坐标的平方，则此曲线的方程是_____y x C=-+1。

2、曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是______ x y C 22-=。

3、一质点沿直线运动，已知在时间t 时加速度为t 21-，开始时()t =0速度为13，则速度与时间t 的函数关系式是________ V t t =-+13133。

4、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 y x C =+133。

5、一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +，则曲线方程是______ y e x x=--21()。

6、微分方程e y ax "=1（a 是非零常数）的通解是 ______y ae C x C a x =++-1212。

7、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''=y 0。

8、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'=y y 0。

9、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cos sin =+y C kx C kx ，其中C C 12,为独立的任意常数，k 为常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''+=y k y 20。

10、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C e x x =+-12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-=y y 0。

11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x e x=+()12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'+=y y y 20。

微分习题课ppt课件


y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0 设 y x k e x Q m (x ), k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
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22
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) s sx i ] 型 n
x x x2
所求通解为 xycosy C. x
2021精选ppt
27
例2. 求下列方程的通解
(1)yy12ey3x 0; (3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
通解
1ey3 ex C 3
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
2021精选ppt
2
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
2021精选ppt
3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
2021精选ppt

《高等数学》 第七章


C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1

高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解


例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x

2

A
p

ex , q
不是特征方程的根
y



A xex
2 p
是特征方程的单根 ,

A x 2ex 2
是特征方程的重根

同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程


C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
P ( x ) d x
齐次方程通解
非齐次方程特解
5 d y 2 y 例1. 解方程 ( x 1 ) 2. d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln 即 y y 2 ln x 1 ln C , C ( x 1 ) 2则 y u ( x ) ( x 1 ) , 用常数变易法求特解. 令
x y ( C 为任意常数 ) ln ( 1 e ) y C 所求通解:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) t 解: 根据题意, 有 d M M t 0 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M t M 即M C e 得 ln M t ln C , M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . o 0
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )

P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即
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dy y (3) = dx 2( ln y − x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) + x y − x3 y3 = 0 dx z = y−2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy − x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + =0 x2 + y2 提示: 提示 为全微分方程 , 通解
B = −417
原方程通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 原方程通解为 思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 提示 特解设法有何变化 ?
故 y * = Acos 2x + Bsin 2x + D
24
′′ − a y′2 = 0 y P327 题4(2) 求解 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q Q = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
7
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
dp dp = f ( x, p) dx
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2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 x2 y′′ + px y′ + qy = f (x) d t 令 x = e ,D= dt [D(D −1) + pD+ q] y = f (et ) 练习题: P327 题 2 练习题
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为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A = 117 ,
a dx =− b dy
(
x ( 齐次方程 ) x 2 ) +1 + y y
y=h
定解条件 x
求解过程参考P273例3 ) = 0 . ( 求解过程参考 例
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P327 题6. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ?( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 与原有空气很快混合均匀后 以相同的流量排出 ) 5400 提示: 设每分钟应输入 提示 t 时刻车间空气中含 的改变量为 两端除以 ∆ t , 并令 ∆ t → 0 则在 [ t , t + ∆ t ]内车间内
1 − y3 e = ex + C 3
y3 + x
y3
x , 故为分离变量方程: ⋅ e 故为分离变量方程
通解
5
(2) x y′ = x2 − y2 + y
即为齐次方程 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 化为分 离变量方程. 离变量方程 y 2 y xu′ = 1 − u2 y′ = 1 − ( ) + x x
(2003考研 考研) 考研
= g2( x) + f 2( x) = [g( x) + f ( x)]2 − 2 f ( x)g( x) = (2ex )2 − 2F( x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程 满足的一阶线性非齐次微分方程: 所以
11
F′( x) + 2F( x) = 4e2 x
4
例1. 求下列方程的通解
1 ′ + 2 e y + x = 0; (1) y y 1 (3) y′ = 2 ; 2x − y
3
(2) x y′ = x2 − y2 + y ;
6x3 + 3x y2 (4) y′ = − 2 3. 3x y + 2y
提示: (1) 因e 提示
=e − y3 dy = e x dx − y2e
y 2 y x < 0 时，′ = − 1 − ( ) + y x x 1 (3) y′ = 2x − y2
xu′ = − 1 − u2
dx 化为 − 2x = − y2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
6
6x3 + 3x y2 (4) y′ = − 2 3x y + 2y3
第七章 习题课 (一) 一阶微分方程的 解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
1
一、主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 1.直接积分法 2.可分离变量 2.可分离变量 3.齐次方程 3.齐次方程 4.可化为齐次 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 5.全微分方程 6.线性方程 6.线性方程
可分离变量方程求解
9
(4) y2( x − 3 y )dx + (1 − 3 x y2 )dy = 0
2 2 变方程为 y xdx + dy − 3 y ( ydx + xdy) = 0
两边乘积分因子 µ = y−2
xdx + y−2 dy − 3( ydx + xdy) = 0
用凑微分法得通解: 用凑微分法得通解
1 2 x 2
−y
−1
−3 x y = C
10
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) ＝ － 内满足以下条件: 内满足以下条件 f ′( x) = g( x), g′( x) = f ( x), 且 f (0) = 0, f ( x) + g( x) = 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出 求出F(x) 的表达式 . 解: (1)Q F′( x) = f ′( x)g( x) + f ( x)g′( x)
m3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
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第七章 习题课 (二) 二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y • 2 = f ( x) dx
2
逐次积分求解
dy 令 p( x) = 2 d y dy dx • = f ( x, ) dx dx2 dy 令 p( y) = 2 d y dy dx • = f ( y, ) dx dx2
2 du u
x=e
−
∫
∫ [ ∫ − 2e
2 du u
du + C ]
1 = 2 [ ∫ −2u2 du + C ] u 故原方程通解
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二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 关键问题是正确建立数学模型 要点 利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件. 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 为平行直线 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子 在静水中 的游速大小为 设鸭子(在静水中 的游速大小为b 在静水中)的游速大小为 A (b > a), 且鸭子游动方向始终朝着点 , 且鸭子游动方向始终朝着点O Pa h 求鸭子游动的轨迹方程 . b 提示: 如图所示建立坐标系. 提示 如图所示建立坐标系 则 o x a = (a , 0) 设时刻t 鸭子位于点P 设时刻 鸭子位于点 (x, y) , 则鸭子游速 b 为
(9) ( y − 3x ) dy + x ydx = 0
4 2
提示: 提示 可化为贝努里方程 令 z = x2
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(10) y′ + x = x2 + y
提示: 提示 令 u = x2 + y − x , 即 y = 2 x u + u2 , 则 du du dy = 2u + 2x + 2u dx dx dx 原方程化为
(2) 2 x ln xdy + y( y2 ln x − 1)dx = 0
3x2 + y2 − 6x + 3 (3) y′ = 2x y − 2 y (4) y2( x − 3 y )dx + (1 − 3 x y2 )dy = 0
提示: 提示 (1) 原方程化为 du u 分离变量方程) 分离变量方程 = lnu (分离变量方程 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 3 dy 1 y y=− − 令 z = y− 2 (贝努里方程 贝努里方程) 贝努里方程 d x 2x ln x 2x 8
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F( x) = e ∫
− 2d x
∫ 2d x d x + C ] [ ∫ 4e ⋅e
2x
= e−2x [ ∫ 4e4x d x + C ]
= e2 x + Ce−2x
代入上式， 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式， C = −1 得
于是
F( x) = e2 x − e−2x
0.04 x ∆t − k ⋅ ∆t ∆x = k⋅ 100 5400
得微分方程
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初始条件
解定解问题
dx k k x= + d t 5400 2500