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单因素试验的方差分析
一 、总平方和的分解 二、统计分析
数学模型
设在试验中，因素A有S个不同水平 A1, A2 ,..., As ,
在水平下的试验结果 X j ~ N( j , 2)( j 1, 2,..., s)。
其中 j和 2是未知参数。在水平A下j 作n j次独立实验，
其结果如表1所示。
序号
j 1
i 1
总离差平方和分解为
s nj
ST
( Xij X )2
j1 i1
s nj
s nj
＝
( X ij X . j )2
( X. j X )2
j1 i1
j1 i1
S E （组内离差）
SA
（组间离差）
SE
SA
s nj
S
S
＝
A
( X. j X )2＝ nj ( X . j X )2 组间差
n nj j 1
则μ是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值；
j 代表了第j水平下的总体均值与平均值的差异，
这个差异称为Aj 的效应，它满足
s
nj j 0
(4)
j 1
由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的等价数学模型
X
ij
j
ij
m
nj j
0
j 1, 2, , s; i 1, 2, , nj (5)
j1 i1
S A与S E 相互独立， ST SA SE
ST
2
SA
2
SE
2
ST
2
~
2(n 1),
SE
2
~
2(n s),
SA
2
H0
~
2(s
1)
SA的自由度为s-1
即
ST
2
~
2
(n
1),
SE
2
~
2(n s),
SA
2
~
2(s 1)
在H0 : i 0成立的条件下，
取统计量
SE
SE n s
F值
F SA SE
F SA ~ F (s 1, n s) SE
例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种 都在同一块田的五个小区各做一次实验，实 验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的 平均产量是否有显著影响？(α=0.01)
品种
产量（斤/小区）
A1
32.3 34.0 34.3 35.0 36.5
品种
A1
A2
A3 A4
产量（斤/小区）
32.3 34.0 34.3 35.0
36.5
33.3 33.0 36.3 36.8
34.5
30.8 34.3 35.3 32.3
35.8
29.3 26.0 29.8 28.0
29.8
前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标， 他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平，一个因素 可采取多个水平。 统计学上，不同的因素，不同的水平可以看作是不同的总体。 通过观察可以得到试验指标的数据，这些数据可以看成 从不同的总体中得到的样本数值。
的
要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是
要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1, 2 , , s ,不全相等
(1)
由于X ij 相互独立，且
Xij ~ N( j , 2) i 1, 2,..., nj ; j 1, 2, , s
若记 ij Xij j (i 1, 2, , nj ; j 1, 2, , s)
则 ij ~ N(0, 2), 且相互独立
X ij j ij
ij
~
N (0,
2)
ij相互独立
(2)
其中 i 1, 2, , nj j 1, 2, , s
其中 j与 2均为未知参数。
式（2）称为单因素方差分析的数学模型。
再令
1 n
s
nj j
j 1
(i 1, 2,
s
, m)
(3)
j j
A2
33.3 33.0 36.3 36.8 34.5
A3
30.8 34.3 35.3 32.3 35.8
A4
29.3 26.0 29.8 28.0 29.8
解 分别以 1, 2 , 3, 4表示不同品种玉米平均
产量总体的均值，按题意需检验假设
S 4
H0 : 1 2 3 4 H1 : 1, 2 , 3, 4不全相等
X ij ij ij i j ij , ij 0
r
s
i 0, i 0
i 1
j 1
i 称为因素A在水平 Ai 的效应 j 称为因素B在水平B j 的效应
检验假设
H01 :1 2 r 0 H02 : 1 2 s 0
令平均数
1s
X i•
s
X ij ,
j 1
i 1, 2, , r
E[SE2 ] n s,即
E[ SE ]＝ 2
ns
S
SA nj ( X. j X )2 J 1
s
ESA
n
j
2 j
(
s
1)
2
j 1
若 H0 : 1 2 s
X ij ~ N ( j , 2 )且独立：
s nj
ST / 2 (
( X ij X )2 ) / 2 2(n-1)
s
nj
SE
( X ij X . j )2
j1 i1
nj
( X ij X. j )2
i 1
2
～（2 nj 1）
由 2分布的可加性，有
nj
SE ＝ s 2
j 1
( X ij X . j )2
i 1
2
~
s
2( (nj
j 1
1))
即
SE
2
~ 2(n s)
(1.4)
SE
2
~ 2(n s) ，知：SE的自由度为n s,并且有
n1 n2 n3 n4 =5, n n1 n2 n3 n4 =20
xij 656.4,
xi2j 21725.22
ST
4 i 1
5 j 1
xij 2
T2 20
21725.22 656.4 182.172 20
SA
4 T. j2 T 2 i1 5 20
21677.5 656.42 20
2
1580 1640 1640 1700 1750
3
1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820
试问测试结果是否说明这三批电子管的寿命有明显差 异？
例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品 种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实 验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平 均产量是否有显著影响？
氧化锌B
催化剂A
B1
B2
A1
32
35
A2
33.5
36.5
A3
36
37.5
B3
B4
35.5
38.5
38
39.5
39.5
43
问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影 响？
此例中有A，B 二个因素。
因素A 有三种水平： A1, A2 , A3 因素B 有四种水平：B1, B2 , B3, B4 在每种组合水平Ai Bj上 做一次试验获得了试验值。
因素B
因素A
B1
B2
A1
X11
X 12
A2
X 21
X 22
Bs
X i•
X1s
X1•
X 2s
X 2•
Ar
X r1
Xr2
X• j
X •1
X •2
X rs
X r•
X •s
X
数学模型
假设总体
X
服从正态分布
ij
N (ij
,
2
)
。
令 X ij ij ij
ij ~ N 0, 2 , ij 相互独立
令
问因素A,B分别对试验结果有无显著影响？
一般情况，设有二个因素A，B
因素 A 有r 种水平：A1, A2 , , Ar 因素 B 有s 种水平：B1, B2 , , Bs
在每一种组合水平 Ai Bj 上进行一次试验，结果为 X ij , i 1, 2, , r, j 1, 2, , s, X ij 相互独立。
是 2 的无偏估计。
E
X. j
1 nj E n j j1
X ij
1
nj
nj
j j
j 1
E
X
1 s nj
E
n j1 i1
X ij
1 n
s
ni i
j 1
ˆ X , ˆ j X. j
双因素方差分析
1. 非重复试验双因素方差分析
例1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂， 四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300% 定强如下：
F
SA
2
/( s
1)
SE
2
/(n
s)
F ~ F (s 1,n s)
F 分布的分位点回顾 对于给定的正数
称满足条件
的点
为
分布的上 分位点。
给定 查出 即认为因素对试验结果无显著影响。
一元方差分析表
方差来 平 自
源
方由Leabharlann 和度因素A SA s-1
误差E SE n-s
总和T ST n-1
