浙江省名校协作体2021届高三上学期开学考试数学试题及答案

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.三、填空题:本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分. 把答案填在答题卡中的横线上. 13. ()(),04,−∞+∞；14.； 15. 27416. e四、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1)化简得1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π−=−=−+ ………………………………………………………………………………………………3分令Z k k x k ∈+≤+≤+,2326222πππππ, 得到Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ 所以()f x 的增区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ …………………………………………………………………………………………5分 (2)由23)(=A f , 得1)62sin(−=+πA , 由于613626πππ<+<A , 所以2362ππ=+A得到32π=A ………………………………………………………………………7分2(sin 2sin )2sin())4cos sin 3a b c B C B B B A π+=+=+−=…………………………………………………………………………………………9分由于30π<<B , )4,2(cos 42∈=+B c b …………………………………………10分18.解:(1)等腰梯形ABCD 中, 4=AB , 2==DC AD , 得到AD BD ⊥,……………………………………………………………………………………………2分32=BD .由22216BE DE BD ==+, 得到DE BD ⊥,且AD DE D =，因此BD ⊥平面ADE , …………………………………………………………………4分 又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面ADE ⊥平面ABCD ……………………………5分(2)方法一：由(1)知ADE BD 面⊥, 得到ADE BDE 面面⊥.作DE AH ⊥于H 点, 有BDE AH 面⊥. AFH ∠即为直线AF 与BDE 面所成角 ……………………………………………………………………………………………8分在直角三角形AHF 中, 由3=AH 和60AFH ︒∠=, 得到1=FH……………………………………………………………………………………………10分由1EH FH ==，60HEF ∠=︒得1=FE ，又=4EB ，所以存在41=λ. ……………………………………………………………………………………………12分 方法二:以点D 为坐标原点, DA 为x 轴, DB 为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系.其中(0,0,0)D ，(2,0,0)A，B，E………………………………………………………………………………………………6分得到DB =, DE =, 设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n DB n ,得⎩⎨⎧=+=03032z x y ,不妨设1−=z ,则取)1,0,3(−=n ………………………………………………………………………………………………8分 又)3,32,1(−−=EB, )3,32,(λλλλ−−==EB EF ,(1,0,3)(,)()AF AE EF λλ=+=−+−=−−则cos ,sin 6022AF n AF n AF n⋅<>===︒=A第18题答案（图1）x………………………………………………………………………………………………10分41)(0或舍去=λ所以,41=λ.……………………………………………………………12分 19解：(1)由231n n S a =−，得()112312n n S a n −−=−≥，两式相减得13(2)n n a a n −=≥．………………………………………………………………………………………………2分 令11, 1n a ==，∴数列{}n a 成等比数列，∴13n n a −=………………………………………………………………………………………………4分(2)由于113,3,n n n n n b n n −−⎧+⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数.0242229113521)(3333)8n n S n n −−=+++⋅⋅⋅+−++++⋅⋅⋅+=+奇数项（……………………………………………………………………………………………7分1352123436323n S n −=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅偶数项①，则35721923436323n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅偶数项②，①—②得：132121213(19)82(333)2322319n n n n S n n −++⋅−−=++⋅⋅⋅+−⋅=−⋅−偶数项2(243)3332n n S −⋅+=偶数项……………………………………………………………11分∴2n T =2918n n −++2(243)3332n n −⋅+=2n +2(241)3132n n +⋅− ……………………………………………………………………………………………12分20. 解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为1:2，女生中明显有效运动的人数占12 ，男生中明显有效运动的人数占34，得到…………………………………………………………………………………………………2分 给定假设0H ：明显有效运动与性别没有关系. 由于222() 3.75 2.706(0.100)()()()()n ad bc P a b c d a c b d χχ−==>=≥++++ ，则根据小概率值0.100α=的2χ独立性检验，有充分的证据推断假设0H 不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异.…………………………………………………………………………………………………4分 （2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为13，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为13，……………………………………………………………………6分设11人不明显有效运动的人数为X ，则1~11,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111111()1(0,1,2,11)33kkk P x k C k −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………………………………………………8分 假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是k ,则1111011111111121111111111133331111113333k k k kk k k k k kk k C C C C −+−+−−−−⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−≥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪−≥− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩………………………………………10分得34k ≤≤ 所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4.………………………………………………………………………………………………12分21. 解：（1）设00(,)P x y ， 2200221x y a b−=，则2220022y x a b a −=，又(,0)A a −，(,0)B a ， ∴2200022200013PA PB y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+−−，……………………………………3分 又焦点到其一条渐近线0bx ax +=1b ==，解得：a =1b =. 所以双曲线C 的方程：2213x y −=……………………………………………………6分（2）设直线MN 的方程为x my t =+，()11,M x y ，()22,N x y .由2233x my t x y =+⎧⎨−=⎩得222(3)230m y mty t −++−=，∴12223mt y y m +=−−， 212233t y y m −=− …………………………………………………………………………………………………8分()),,A B直直线:AM y x =+直，则直线AM 直在y 直轴上的距距为，直线:BN y x =，则直线BN 在y，=又13AM BMk k ⋅==，113x y =.所以11x y=1212(0x x y y −+=，…………………………………………………………………………………………………10分∴1212(0my t my t y y +++=，∴221212(1)(()(0m y y t m y y t ++++=，∴2222232(1)((033t mtm t m tm −−+⋅+⋅+=−−，化简得：t =或t =. 若t =，直线MN 过顶点，舍去. t ∴=.则直线MN 的方程为x my =+，所以直线MN 过定点E .………………………………………………………………………………………………12分22 解：（1）由于'()e 2(1)x f x a e x =−−,…………………………………………………2分由题知()0f x '=有两个不同实数根,即2(1)xe x a e −=有两个不同实数根.令2(1)()xe x g x e −=，则2(2)'()0x e x g x e −=≥，解得2x ≤，故()g x 在(,2]−∞上单调递增，在[2,)+∞直上单调递减，且lim ()x g x →−∞=−∞直，lim ()0x g x →+∞=直，2(2)g e=直，故()g x 直的图如如图所示，………………………………………………………………………………………………4分当20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f 1x ≤或2x x ≥，故()f x在1(0,]x ()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x .故()e (x f x a e =−2e ⎫⎪⎭.5分 (2)由于211222111))(e 21)()1(ex x x λ−≥+−−− …………………………………………………………………………………………………6分若设111t x =−，22121(0)t x t t =−<<，则上式即为1212(2)et e t t t λ+−≥⋅由(1)可得1212e 20e 20t t a t a t ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩,两式相除得2121e t t t t −=,即1221ln 0t t t t −=>,由1212(2)et e t t t λ+−≥⋅得()[]22112121(2)ln t et e t t t tt t λ−+−≥…………………………………………………………………………………………………9分所以2112212(e 2)e ln t t t t t t λ+−−⋅≤,令211t t t =>,2(2)()(1)ln e e t t h t t t +−−=>， 则()h t λ≤在(1,)+∞恒成立,由于2222(2)ln 2(2)()ln e t e t t e t eh t t t⎡⎤−+−−−+⎣⎦'=, ………………………………………………………………………………………………10分令22()(2)ln 2(2)t e t e t t e t e ϕ⎡⎤=−+−−−+⎣⎦,则()2(2)ln 2(2)e t e t t e t tϕ'=−−−−+, 2()2(2)ln 2(2)2et e t e e tϕ''=−+−−−+,显然()t ϕ''在(1,)+∞递增，又有1(1)20,(e)3e 60eϕϕ''=−<''=−−> ,所以存在0(1,)t e ∈直得得()00t ϕ''= ,且易得()t ϕ'直在()01,t 直递减,()0,t +∞直递增,又有2(1)0,(e)e 2e 10ϕϕ'='=−−> ,所以存在1(1,e)t ∈直得得()10t ϕ= ,且易得()t ϕ直在()11,t 直递减,()1,t +∞直递增,又(1)(e)0ϕϕ== ,则1e x <<直时,()0,()0,e t h t x ϕ<'<>时,()0,()0t h t ϕ>'>,所以易得()h t 在(1,e)上递减,在(e,)+∞上递增,则2min ()(e)(e 1)h t h ==−, 所以λ的取值范围为2](,(1)e −∞−.………………………………………………………………………………………………12分。

2021届浙江省名校新高考研究联盟高三上学期第一次联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为 A.32 B.3 C.233D.2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省温州市十校联合体2021届高三数学上学期期初联考试题 理一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，那么()U C A B=（ ）A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}32．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x =+ 那么()1f -= （ ） A.2-B. 0C. 1D. 23．假设有直线m 、n 和平面α、β，以下四个命题中，正确的选项是 （ ） A ．若//m α，//n α，那么//m nB ．若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，那么//m α4．在ABC ∆中，“sin A (2sin sin )C A -cos A =(2cos cos )C A +”是“角A 、B 、C 成等差数列”的 （ ） A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C ．必要不充分条件 D. 既不充分也没必要要条件 5．直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直，那么实数m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2D ．-1或06．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，AC=BC=4，42PA =那么二面角A-PB-C 的大小的正弦值为（ ）A 、22B 、23C 、63D 、337．若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且S15 =π10,那么tan 8a 的值为( )A ．3B ． 3-C ． 3±D ．33-8．过点（，0）引直线l 与曲线21y x =-交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）33B.33C.33D. 39．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610．在直角坐标平面中，ABC ∆的两个极点A 、B 的坐标别离为A （－1，0）， B （1，0），平面内两点G 、M 同时知足以下条件：（1）GA GB GC O ++= ，（2）||||||MA MB MC ==，（3）//GM AB ，则ABC ∆的极点C 的轨迹方程为（ ）A. 2213x y += (0)y ≠ B. 2213x y -= (0)y ≠ C. 2213y x += (0)y ≠ D. 2213y x -= (0)y ≠二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）11. 假设角α的终边通过点P )54,53(-,那么sin tan αα的值是12．一个组合体的三视图如图，那么其体积为________________13．若12322()log (1) 2.，，，x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为____ .14. AB 为抛物线y2=2px(p>0)的过核心(,0)2pF 的弦，假设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么1212y y x x = 。

2021-2022学年浙江省名校协作体高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.己知集合 A={xEZ|- 1<X <7}, B={X \2X >S},则 AQQ R B=( A. {x\ - l<x<3} B. {M-l<xW3} C. (0, 1, 2}离为（ ）x-y+lVO6.函数f （x ）=ln'xl ）可能的图象为（ sinx2. =1上一点，若F 到一个焦点的距离为1,则P 到另一个焦点的距1. D. (0, 1, 2, 3} 3. 4. A. 3B. 5C. 8D. 12已知a, 6是两个不同的平面，a,力是空间两条不同的直线，且a±a, a 〃g,则人〃&A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要某几何体由圆柱的部分和一个多面体组成, 其三视图（单位: cm ）如图所示，则该几何 C. 4n+16 5. 已知实数x,A.有最小值，无最大值,则 z=x - 2y (B.有最小值, 也有最大值C.有最大值，无最小值D.无最大值，也无最小值已知P 为椭圆体的体积是（cm 32n+32A. 4TT +32Y ， 则在翻折过程中，下列选项一定错误的是（A. B. a>p>Y C. D. y>p>a10.数列{a,J 的前"项和为 S”，ai>0, S n =^- (a n y>a>p 二）（n£N+）,则下列选项中正确的 a n7.已知｛脂是公比不为1的等比数列，S “为｛a.｝的前〃项和，若a 3, a 9, as 成等差数列，则xlnx +2Vx +ax > x 〉0,若y=f G ）有两个零点，则实数。

取值的集合是 x'-axT,x<0A. ^2021 >2^2021B. 32021 - 2^2 021A. S2, S8, S7成等比数列B. S2, S7, S8成等比数列C. S2, S8, S7成等差数列D. S2, Si, S8成等差数列8.已知f(x)=<A. { -2}B. (-00, -2]C. [2, +8)D ・⑵9.如图所示，将两块斜边等长的直角三角板拼接 (其中ZBAC=30° , ZDAC=45° ), 将ZVIBC 沿 AC 翻折至△ABC,记 8'-AC-D,B'-AD- C, B'-CD-A 所成角为 a, p,a>Y>PC. <72021 . "2022 > 1D. 02020,02021 < 1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省温州市十校联合体2021届高三数学上学期期初联考试题 文（含解析）【试卷综评】命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必需把握的核心观念、思想方式、大体概念和经常使用技术。

试卷对中学数学的核心内容和大体能力，专门是对高中数学的骨干知识进行较为全面地考查。

注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及大体思想、方式的覆盖面，反映了新课程的理念.一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，那么()U C A B=（ ）A ．{}4 B ．{}3,4 C ．D ．{}3【知识点】集合及其运算.A1 【答案解析】A 解析：因为全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，因此2,4U C A，故4U C AB ，应选A.【思路点拨】依照已知条件先求出U C A，然后再求()U C A B即可.【题文】2．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x =+ 那么()1f -= （ ） A.2-B. 0C. 1D. 2【知识点】奇函数的性质;考查函数的求值. B1 B4【答案解析】A 解析：∵函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21,f x x x =+ ∴112f f ，应选A ．【思路点拨】利用奇函数的性质11f f ，即可求得答案．【题文】3．假设有直线m 、n 和平面α、β，以下四个命题中，正确的选项是 （ ） A ．若//m α，//n α，那么//m nB ．若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，那么//m α【知识点】面面平行的判定定理;线面平行的定理; 面面垂直的性质定理.G4 G5【答案解析】D 解析：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线；故选D ．【思路点拨】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判定A 、B 、D ；由面面垂直的性质定理判定C ． 【题文】4．"等式sin()sin 2αγβ+=成立"是",,αβγ成等差数列 "的 （ ） A ．充分不必要条件 B. 充要条件 C ．必要不充分条件 D. 既不充分也没必要要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．A2【答案解析】A 解析：假设等式sin()sin 2αγβ+=成立，那么()12kk αγπβ+=+-⋅，此时,,αβγ不必然成等差数列，若,,αβγ成等差数列，那么2βαγ=+，等式sin()sin 2αγβ+=成立，因此“等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“,,αβγ成等差数列”的．必要而不充分条件． 故选A ．【思路点拨】由正弦函数的图象及周期性和等差数列进行双向判定即可．【题文】5．直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直，那么实数m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2D ．-1或0【知识点】直线的一样式方程;直线的垂直关系．H1 H2【答案解析】D 解析：∵直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直， ∴3m+m （2m-1）=0，解得m=0或m=-1．应选：D ．【思路点拨】此题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．【题文】6．如以下图①对应于函数f(x)，那么在以下给出的四个函数中，图②对应的函数只能是（ ） A ．y=f(|x|) B ．y=|f(x)| C ．y=f(－|x|) D ．)(x f y -=【知识点】函数的图象;函数的图象与图象转变.B8【答案解析】C 解析：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，故B 错误，且当x ＞0时，对应的函数图象右边与左侧关于y 轴对称，而y 轴左侧图象与（1）中的图象对应的函数y=f （x ）的图象相同，故当x ＞0时，对应的函数是y=f （-x ），得出A 、D 不正确．应选C.【思路点拨】由题意可知，图2函数是偶函数，与图1对照，y 轴左侧图象相同，右边与左侧关于y 轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案． 【题文】7．若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且S15 =π10,那么tan 8a 的值为( )A ．3B ． 3-C ． 3±D ．33-【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】B 解析：由等差数列{an}的前n 项和的性质，158S 15a 10，∴82a 3∴8tana 3,应选B ．【思路点拨】由等差数列{an}的前n 项和的性质，n 为奇数时，12n n s na ＝，求出8a ，进而依照特殊角的三角函数值求出结果．【题文】8．过点（，0）引直线l 与曲线21y x =-交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）33B.33C.33D. 3【知识点】直线的斜率；直线与圆的关系. H1 H4【答案解析】B 解析：由21y x =-x2+y2=1（y ≥0）．所以曲线21y x =-x 轴上方的部份（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则-1＜k ＜0，直线l 的方程为y-0=2)，即2k ＝0．则原点O 到l 的距离d=221kk，l 被半圆截得的半弦长为222221 1()11k k k k ＝．则S △ABO ＝2222222212(1)•1(1)1kk k k k k k=22222222 2(1)6(1)4462(1)(1)1k k k k k ．令211t k＝，那么S △ABO ＝2462t t ，当t ＝34，即21314k ＝时，S △ABO 有最大值为12．现在由213 14k ＝，解得k=33-．应选B ．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部份（含与x 轴的交点），由此可取得过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方式转化为求二次函数的最值．【题文】9．当x>3时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞,3] B ．[3,+∞) C ．[72,+∞) D ．(－∞, 72]【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题；大体不等式.B3 E6【答案解析】D 解析：因为不等式x+11-x ≥a 恒成立，因此有1111ax x 恒成立，令1t x ，32x t ，即11a tt 在2,恒成立，而函数11f t tt 在2,上是增函数，故722af ，应选D.【思路点拨】先依照已知条件把原式转化为11a tt 在2,恒成立的问题，再借助于函数的单调性即可.【题文】10．如图，南北方向的公路l ,A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 东偏北300方向23 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等。

2021学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1.本卷总分值150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.集合A ＝{x ∈Z|－1<x<7}，B ＝{x|2x >8}，那么A ∩∁R B ＝A.{x|－1<x<3}B.{x|－1<x ≤3}C.{0，1，2}D.{0，1，2，3}22194y x +=上一点，假设P 到一个焦点的距离为1，那么P 到另一个焦点的距离为 、β是两个不同的平面，a ，b 是空间两条不同的直线，且a ⊥α，α//β，那么b//β是a ⊥b 的( )条件4.某几何体由圆柱的局部和一个多面体组成，其三视图(单位：cm)如下图，那么该几何体的体积是( )cm 3A.4π＋32B.2π＋32C.4π＋16D.2π＋165.实数x ，y 满足约束条件x y 10x y 0y 0-+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么z ＝x －2yA.有最小值，无最大值B.有最小值，也有最大值C.有最大值，无最小值D.无最大值，也无最小值6.函数f(x)＝()ln x sinx 可能的图象为7.{a n }是公比不为1的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，假设a 3，a 9，a 8g 成等差数列，那么 2，S 8，S 72，S 7，S 8成等比数列2，S 8，S 72，S 7，S 8成等差数列8.f(x)＝2xlnx ax x 0x ax 1x 0⎧+>⎪⎨--≤⎪⎩，，，假设y ＝f(x)有两个零点，那么实数a 取值的集合是A.{－2}B.(－∞，－2]C.[2，＋∞)D.{2}9.如下图，将两块斜边等长的直角三角板拼接(其中∠BAC ＝30°，∠DAC ＝45°)，将△ABC 沿AC 翻折至△AB'C ，记B'－AC －D ，B'－AD －C ，B'－CD －A 所成角为α，β，γ，那么在翻折过程中，以下选项一定错误的选项是．．．．．．．．A.α>γ>βB.α>β>γC.γ>α>βD.γ>β>α10.数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝12(a n ＋n 1a )(n ∈N ＋)，那么以下选项中正确的选项是 2021≥B.a 2021≤－·a 2022>12021·a 2021<1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01（浙江专用）考生须知：1．本试题满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2680M x x x =-+≤，{}13N x x =<<，则M N =（ ）．A ．{}23x x <≤ B ．{}23x x ≤< C ．{}14x x ≤< D ．{}14x x <≤【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法得出{}24M x x =≤≤，结合集合交集的运算即可得出结果. 【详解】因为{}24M x x =≤≤，{}13N x x =<<， 所以{}23M N x x ⋂=≤<， 故选：B ．2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】B 【分析】根据三视图还原几何体即可求解. 【详解】解：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥，底面是等腰直角三角形，高为2，则体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选：B.3．若a ，b ∈R ，直线l ：y ax b =+，圆C ：221x y +=．命题p ：直线l 与圆C 相交；命题q ：a p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】由直线与圆相交，求出命题p 为真时,a b 的关系，再由充分、必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】直线l ：y ax b =+，圆C ：221x y +=，命题p 为真：即直线l 与圆C1<，即221a b >-.当命题q 成立时，即a 221a b >-成立， 命题p 成立，p 是q 的必要条件；而当命题p 成立时，取1,0a b ==，此时命题q 不成立，p 不是q 的充分条件.所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．43y x =±D ．3y x =±【答案】A 【分析】把点代入双曲线方程求出b 的值，从而根据双曲线的渐近线方程公式求出答案. 【详解】因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(，所以代入得248251b-=，解得22b =，即b =所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选：A.5．已知m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则一定能使//m n 成立的是（ ）A ．//αβ，m α⊂，n β⊂B ．m ､n 与平面α所成角相等C ．αβ⊥，m α⊥，//n βD ．//αβ，m α⊥，n β⊥【答案】D 【分析】分别举出每个选项的反例即可选出正确选项． 【详解】对于选项A ，m 与n 还可能是异面直线；对于选项B ，m 与n 还可能是相交直线、异面直线； 对于选项C ，m 与n 可能是相交直线、异面直线；对于选项D ，若//αβ，m α⊥，n β⊥，则一定有//m n 成立． 故选：D.6．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．12x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．将函数()22cos sin g x x x =-的图象向右平移512π个单位后得到函数()f x 的图象 【答案】C 【分析】先根据二倍角公式化简()f x 的解析式， A ．根据最小正周期计算公式进行求解； B ．根据12f π⎛⎫-⎪⎝⎭是否为最值进行判断； C ．根据3f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0进行判断； D ．先求解出平移后的函数解析式，然后进行判断. 【详解】()2sin cos 2sin cos sin 266663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A ．最小正周期22T ππ==，故正确； B ．因为sin 11263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最小值，所以12x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故正确； C．因为sin 203332πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故错误；D ．()22cos sin cos2g x x x x =-=，()g x 的图象向右平移512π个单位后得到： 5cos 2cos 2cos 2sin 21232233y x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故正确； 故选：C.7．某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3局2胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是112p p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，记比赛的最终局数为随机变量X ，则（ ）A ．2(2)P X p ==B ．(3)(1)P X p p ==-C ．5()2E X < D ．1()4D X >【答案】C 【分析】根据实际意义得2X =或3．求得概率后判断AB ，由期望公式计算出期望可判断C ，由均值求出方差可判断D ． 【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X 的可能值为2或3，222(2)(1)221P X p p p p ==+-=-+，A 错；222(3)(1)(1)(1)(1)(1)22P X p p p p p p p p p p p p ==-+-+-+--=-+，B 错；222215()2(221)3(22)2222()22E X p p p p p p p =-++-+=-++=--+，因为112p <<，所以5()(2,)2E X ∈，C 正确；记2222p p t -++=，5(2,)2t ∈，2222()4(221)9(22)1010456E X p p p p p p t =⨯-++⨯-+=-++=-，222251()()()56()24D XE X E X t t t =-=--=--+，因为5(2,)2t ∈，所以1()4D X <，D 错． 故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查随机变量的概率分布列与数学期望、方差等概念．随机变量的期望与方差之间有关系：[]22()()()D X E X E X =-．8．设数列{a n }满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{b n }的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+⎪+⎝⎭B ．42369n n ++ C ．1169n n ⎛⎫+⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+⎪+⎝⎭【答案】D 【分析】由已知可求得21n a n =+，再利用裂项相消法可求得. 【详解】由134n n a a n +=-可得()()132123n n a a n n +⎡⎤=-+-⎣+⎦，13a =，()12110a -⨯+=∴，则可得数列(){}21n a n -+为常数列0，即()210n a n -+=，21n a n ∴=+，∴()()()()()()()()221232485211112123212321232123n n n n n b n n n n n n n n +++++===+=+-++++++++，11111111355721229336321n n n n n n S n n ⎛⎫∴=+-+-++-=+-=⎛⎫+ ⎪+⎝ ⎪+++⎝⎭⎭. 故选：D.9．已知F 是椭圆2221(1)x y a a+=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l（不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ）A ．当01e <<时，2πα<B ．当0e <<2πα>C ．当122e <<时，23πα> D 1e <<时，34πα> 【答案】A 【分析】设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的倾斜角为θ，直线AN 的倾斜角为β，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求M 的坐标，同理可求N 的坐标，利用,,M F N 三点共线可得()12211e k k a e -=+，利用离心率的范围可得121k k >-，从而可判断α为锐角.【详解】不失一般性，设M 在x 轴上方，N 在x 轴下方，设直线AM 的斜率为1k ，倾斜角为θ，直线AN 的斜率为2k ，倾斜角为β， 则210,0k k ><，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()0,απθβπ=-+∈.又()2121tan tan tan tan 1+tan tan 1k k k k βθαπθββθ--=-+==+.又直线AM 的方程为()1y k x a =-，由()12222y k x a x a y a⎧=-⎨+=⎩可得22232422111(1)20a k x a k x a k a +-+-=， 故42212211M a k a x a a k -⨯=+，所以3212211M a k ax a k -=+，故122121M ak y a k -=+， 同理3222221N a k ax a k -=+，故222221Nak y a k -=+， 因为,,M F N 共线，故21222221323221222221221111ak ak a k a k a k a a k ac c a k a k --++=--++++，整理得到()()()()21212210a a c k k k k c a k k +-+--=即()122c ak k a a c -=+，若01e <<，()()122211c a e k k a a c a e --==++，因为()1211,011e e e -=-∈-++，21a >，故121k k >-，所以2121tan 01k k k k α-=>+， 故2πα<.故选：A. 【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性.10．设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-，（1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩， 则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．复数z 满足()134i z i -=+，则z 的虚部为______，z =______．【答案】722【分析】利用复数的除法法则可化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】 由已知可得()()()()341341717111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 所以， 复数z 的虚部为72，2z == 故答案为：72；2. 12．已知角α的终边上有一点坐标是133⎛- ⎝⎭，，则cos α=________；tan α=_______【答案】13-- 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角α的终边上有一点坐标是133P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以1OP == 1cos 3x OP α==-，3tan 13y x α===--故答案为: 13-；-13．已知51(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的所有项的系数和为64，则实数a =___________；展开式中常数项为___________. 【答案】1 6 【分析】由题意令1x =，可得二项式的各项系数和，求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项. 【详解】令1x =，可得51(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的 所有项的系数和为()32164a +=，则实数1a =.展开式中常数项为0155156a C C ⨯+=+=，故答案为：1；6.14．已知a ，b R +∈，当()21ab a b +=时，ab 的最大值为___________，2+a b 的最小值为___________. 【答案】122 【分析】利用基本不等式求解即可，由于(2)1(ab a b ab +=≥，从而可求出ab 的最大值，由于1(2)2(2)2ab a b a b a b +=⋅⋅+212(2)22a b a b +⎫⎛≤+⋅ ⎪⎝⎭，从而可求出2+a b 的最小值【详解】(2)1(ab a b ab +=≥，解得12≤ab ，等号当且仅当1a =，12b =时成立； 1(2)2(2)2ab a b a b a b +=⋅⋅+212(2)22a b a b +⎫⎛≤+⋅ ⎪⎝⎭，所以3(2)8a b +≥，进而22a b +≥，等号当且仅当1a =，12b =时成立.故答案为：12，2 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________. 【答案】4 【分析】根据三数成等差数列列等式，再将2a ，3a 用含1a 和q 的式子表示，代入等式求解. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且公比为q ， 所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列， 所以1321624a a a +=⨯，有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=， 解得4q =. 故答案为：4.16．已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A ，B 两个组，每个组4人，其中A 组的4人中，要求女性的人数多于男性，B 组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 【答案】750 【分析】首先把分配情况分为三类，①A 组3女1男，B 组1女3男；①A 组3女1男，B 组2女2男；①A 组4女0男，B 组1女3男.然后再计算每一类的分配方法数. 【详解】 分三类：第一类：A 组3女1男，B 组1女3男，此时分配方法有：31135524400C C C C =；第二类：A 组3女1男，B 组2女2男，此时分配方法有：31225524300C C C C =； 第三类：A 组4女0男，B 组1女3男，此时分配方法有：41351550C C C =，所以分配方法共有40030050750++=. 故答案为：750.17．设O 是ABC 的外心，满足1324CO t CA t CB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若||3AB →=，则ABC 面积的最大值为___________. 【答案】9 【分析】设D 为BC 边中点，化简已知得3cos 4b C a =，由余弦定理得22218b a -=，再利用基本不等式求解. 【详解】1324CO t CA t CB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1324CO CB C C O t A B D →→→→→⎛⎫⇔-=-= ⎪⎝⎭，其中D 为BC 边中点，所以304BC CA C D B B O C →→→→→⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，所以234CB CB CA →→→⋅=,所以233cos ,cos 44ab C a b C a =∴= 又222cos 9b a ab C +-=，所以联立得22218b a -=， 因为in 12s S ab C =, 所以()2222222291cos (1)4416a b a b a S C b=-=- ()22222144()1442816464a aa a +--=≤= 所以ABC 面积的最大值为9. 故答案为：9 【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是，化简已知得到3cos 4b C a =，其二是转化为求2S 的最大值，利用基本不等式求最大值.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且（c ﹣a ）（c +a ）+ab cos CS . （1）求角A 的大小；（2）若4cos B •cos C ＝1，且a ＝，求S 的值. 【答案】（1）3π;（2）【分析】（1）边化角即可；（2）通过角得关系求出B ，进一步即可获解 【详解】 （1）222221()()cos ,sin 22a b c c a c a ab C c a ab bc A ab +--++=∴-+⨯=()()2222222211sin sin 22c a a b c A b c a A ⇔-++-=⇔+-=所以cos 3A A =，即tan A =0A π<<， ∴3A π=（2）()cos cos[()]cos(),,A B C c A B C A B A B πππ++=∴=-+=-+=-+∴1cos cos cos cos sin sin cos 3332C B B B B B πππ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭214cos cos 4cos sin cos 2cos sin 22B C B B B B B B ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 222sin 211sin 2166,B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=--=--=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22702,2,33666623B C B B B B ππππππππ⎛⎫+=∴<<-∈-∴-== ⎪⎝⎭ ①ABC 为等边三角形所以211sin 12232S a π=⨯=⨯⨯=19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，,//AD DC AB DC ⊥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求三棱锥P ACE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）由PC ⊥平而ABCD ，证得PC BC ⊥，再由222AC BC AB +=，得到AC BC ⊥，结合线面垂直的判定定理，即可证得BC ⊥平面PAC ；（2）由（1）得到BPC ∠为PB 与平面PAC 所成角，在直角BPC △中，可求得PB =得到2PC =，结合12P ACEP ACB V V --=，即可求解.【详解】（1）因为PC ⊥平而ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥， 又由2,1,AB AD CD AD DC ===⊥，且ABCD 是直角梯形，可得AC BC ==222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，又因为PC AC C ⋂=，且,PC AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .（2）由（1）知BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠即为直线PB 与平面PAC 所成角， 在直角BPC △中，可得sin BC BPC PB ∠===，所以PB =2PC =， 所以11111(122)22323P ACE P ACB V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 20．已知数列{}n a 中，112a =，()*123nn n a a n N a +=∈+. （1）求证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 满足()312n nn nn b a -=.△求数列{}n b 的前n 项和n T ；△若不等式(1)2nn n nT λ-<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；131n n a =-；(2)①222n n n T +=-；①3(1)2-，【分析】(1)由题意推出11113(1)n na a ++=+，进而可以证明11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列，由此即可得出数列的通项公式. (2)①：由(1)得2n nnb =，结合错位相减法即可求出n T ； ①：由①得2(1)22nn λ-<-，设222nnc =-，则{}n c 是递增数列，由此求得λ的取值范围.【详解】(1)因为111==()223n n n a a a n N a *+∈+，，， 所以113=2n na a ++，所以111+1=3(1)n n a a ++， 又111=3a +， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列， 故111+1=333n n n a -+⨯=， 即1=31n n a -； (2)①：由(1)知2n n nb =， 所以231232222nnnT ， 234111231222222n n n n nT +-=+++++， 两式相减，得23111231222222n n n nT +=++++- 1111[1()]222112212n n n n n ++-+=-=--， 所以222n n n T +=-；①：由①得22(1)22222nn n n n n λ+-<-+=-，设222n n c =-，则{}n c 是递增数列，当n 为偶数时，222n λ<-恒成立，又232c =，所以32λ<；当n 为奇数时，222n λ-<-恒成立，又11c =，所以1λ-<，所以1λ>-，综上诉述，λ的取值范围是3(1)2-，.21．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作圆()(222:30M x y rr -+=<≤的两条切线，与抛物线C 分别交于A ､B (A ､B 异于点P )两点，切线PA ､PB 与圆M 分别相切于点E ､F .（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标； （2）若点P 的坐标为(1，2)，设线段AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围. 【答案】（1）(2,或(2,-；（2）[)10,6--. 【分析】（1）设出P 点的坐标，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得P 点坐标. （2）设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于半径列等量关系式，求得两条切线斜率的关系式，联立切线的方程和抛物线的方程，求得,A B 两点的纵坐标，进而求得t 的表达式，由r 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】（1）设点P 的坐标为(x ，y )，则241y x x ⎧==+，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 即点P 的坐标为(2,或(2,-；（2）由题意知切线P A ､PB 的斜率均存在且不为零，设切线方程为()21y k x -=-，由r =，得()2224840r k k r -++-=，记切线P A ､PB 的斜率分别为1k ､2k ，则12212841k k r k k ⎧+=⎪-⎨⎪=⎩，由于切线P A ､PB 的方程分别为()121y k x -=-､()221y k x -=-， 联立()21421y x y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x ，得2114840k y y k -+-=，设()11,A x y ､()22,B x y ，则1142y k +=，故1142y k =-.同理2242y k =-， 于是()1212212122221622224k k y y t k k k k r ++==+-=-=--，因为0r <≤202r <≤，2442r -<-≤-，2111244r -≤<--，216844r -≤<--， 21610264r -≤-<--.所以[)216210,64r -∈---.即t 的取值范围是[)10,6--. 【点睛】直线和圆相切，可利用圆心到直线的距离等于半径来列方程. 22．已知函数()212xf x xe ax ax =++，()()21ln 2g x ax a x a =-∈R ． （1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）若关于x 的不等式()()f x g x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）当1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当1a <-时，()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增；（2）(],0e -． 【分析】（1）通过求导，分1a ≥-、1a <-讨论即可得到单调性；（2）要使()()f x g x >在区间()0,∞+上恒成立，通过变形、换元，则ln t a t >-即可，进而可求出a 的取值范围． 【详解】 （1）()212xf x xe ax ax =++，求导得：()()()()11x xf x x e ax a e a x =+++=++'． 当1a ≥-时，0x e a +≥，10x +>，()0f x '≥，()f x 在()0,∞+上单调递增． 当1a <-时，令()0f x '>，得x e a >-，()ln x a >-，()f x 单调递增； 令()0f x '<，得x e a <-，()ln x a <-，()f x 单调递减． 综上，当1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a <-时，()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增． （2）由()()f x g x >得，()ln ln xxxe ax a x xe a x x +>-⇒>-+．令(),0,xt xe t =∈+∞，则()ln ln ln xx x xet +==，上式变为ln t a t >-．①当0a =时，上式恒成立；①当0a >时，0t →时，ln a t -→+∞，不成立；①当0a <时，()1ln t h t a t ->=，求导得：()21ln 0t h t t e t-==⇒='， 所以，()()max1h t h e e ==，则11a e->，即e a -<<0．综上，(],0a e ∈-． 【点睛】本题难点在于第（2）问中，对()()f x g x >做等价处理成“()ln xxe a x x >-+”，进而借助换元进行分类讨论．。