浙江省名校协作体2020届高三下学期3月考试数学试题Word版含答案

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x <1}B. {x|x <3}C. {x|−3<x <1}D. {x|−3<x <3}2. 已知i 为虚数单位，则|3+2i|=( )A. √5B. √7C. √13D. 33. 已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3=8，a 8=9，则a 5=( )A. 4√2B. 5C. 7D. 3√24. 设x ，y 满足约束条件{y +2≥0,x −2≤0,2x −y +1≥0,则z =x +y 的最大值与最小值的比值为( )A. −1B. −32C. −2D. −525. “算经十书”是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》，其中《九章算术》是最重要的一部．现从这10部算经中任取两部，取到《九章算术》的概率为( )A. 110B. 15C. 19D. 2156. 四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB ，PE⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AF//平面BDE ，则λ的值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 47. 函数y =cos3x+13x −3−x的图象大致为( )A. B. C. D.8.在(x+3y)(x−2y)5的展开式中，x2y4的系数为()A. −320B. −160C. 160D. 3209.函数的部分图象如图所示，则()A. f(x)=2cos(2x−π3)B. f(x)=2cos(2x+π3)C. f(x)=2cos(2x−π6)D. f(x)=2cos(2x+π6)10.已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=6，∠APC=∠BPC=π4，若球O的表面积为64π，则棱锥A−PBC的体积为()A. 8√7B. 24√7C. 4√33D. 2√21511.已知F1为双曲线C:x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左焦点，过F1作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B.若AB的中点为M(1,8)，则此双曲线C的离心率为() A. √3 B. 2 C. √5 D. √612.设函数f(x)={log2(−x),x<0,2x,x≥0,若关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,2)，且p⃗⊥q⃗，则|p⃗+q⃗|的值为______ ．14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3x−1，则f(9)=_____________．15.在数列{a n}中，a1=3，(a n+1−2)(a n−2)=2(n∈N∗)，则该数列的前2014项的和是______ ．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则|AB|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．18.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，2O是AC与BE的交点，以BE为折痕把△ABE折起使点A到达点A1的位置，且A1C=1，如图2．(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−A1B−E的余弦值．19.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x−和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ,σ2)，令Y=X−μ，σ).则Y～N(0,1)，且P(X≤a)=P(Y≤a−μσ利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.0001)以及Z的数学期望．,0.773419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)=0.7734．参考数据：√178≈40320.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，上、下顶点分别为B1、B2，且△B1F1F2为等边三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)设点M(4,0)，直线B1M与椭圆E相交于另一点A，证明：A，F2，B2三点共线．21.设函数f(x)=e x−1−x，求f(x)的单调区间．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a 2|+|x +2|，其中a ∈R ．(1)当a =−1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查描述法表示集合的定义，以及交集的运算．属于基础题．进行交集的运算即可．解：A∩B={x|−3<x<1}．故选：C．2.答案：C解析：本题考查了复数的模长概念，根据模长计算公式，即可得到结果．解：|3+2i|=2+22=√13．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查等比数列的性质及通项公式，属于基础题．利用等比数列的性质及通项公式即可求解．解：依题，等比数列{a n}各项均为正数，则q>0，∵a1a2a3=a23=8，∴a2=2，∵a8=9，∴a8a2=q6=92，∴q3=3√22，∴a5=a2·q3=2×3√22=3√2．故选D．4.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A(2,5)，B(−32,−2)由z=−x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+ z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时取得最小值：−72则z=x+y的最大值与最小值的比值为：7−72=−2．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．5.答案：B解析：本题考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，由此能求出选择到《九章算术》的概率．解：从十部书中随机选择两部书，基本事件总数n=9×(9+1)2=45，选择到《九章算术》包含的基本事件个数m=9，则选择到《九章算术》的概率是p=mn =945=15．故选B．6.答案：C解析：解：∵AF//平面BDE ，∴过点A 作AH//平面BDE ，交PC 于H ， 连结FH ，则得到平面AFH//平面BDE ，平面AFH ∩平面PBC =FH ， 平面BDE ∩平面PBC =BE ，由面面平行的性质得FH//BE ， ∵E ∈PC ，F ∈PB ，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OCOA =ECHE =1，∴EC =EH ，又PE =3EC ，∴PH =2HE ， 又∵PFFB =PHHE =2，∴λ=2． 故选：C ．通过证明面面平行，及面面平行的性质能求出λ的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意面面平行的性质的灵活运用．7.答案：A解析： 【试题解析】考查函数奇偶性，利用特殊点即可选出答案． 本题考查了函数图象变换，是基础题． 解：函数y =cos3x+13x −3−x，由y =cos3x +1是偶函数，y =3x −3−x 是奇函数． 那么原函数就是奇函数，排除B 选项； 当时，y 的函数值是正，且变小，当x =π3时，函数值为0． 故选：A ．8.答案：B解析：解：(x −2y)5的展开式中第r +1项为T r+1=C 5r⋅(−2)r ⋅x 5−r ⋅y r ，令5−r =1，得r =4；令5−r =2，得r =3．∴在(x+3y)(x−2y)5展开式中x2y4的系数为C54⋅(−2)4+3×C53×(−2)3=−160．故选：B．利用展开式的通项公式求得x2y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查由函数y=Acos(ωx+φ)的图象求解析式，属于基础题．由f(x)的图象得周期，求得ω，代入特殊值求φ．解：由函数f(x)的图象可知：周期为4×(5π12−π6)=π，ω>0,所以，可得ω=2；代入(5π12,0)，可得，则，|φ|<π2，解得，所以，故选A．10.答案：A解析：本题考查三棱锥的体积的求法，线面垂直的判定，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，∠PAC=∠PBC=π2，由此求出棱锥A−PBC的体积．解：如图，因PC为直径，则∠PAC=∠PBC=π2，则∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=π4，又O为PC中点，则AO⊥PC，BO⊥PC，又AO∩BO=O，AO⊂平面AOB，BO⊂平面AOB，∴PC⊥平面AOB，因球O的表面积为64π，则，可得球的半径为R=4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，BP=BC=4√2，∴S△OAB=12×AB×ℎ=12×6×√42−32=3√7，∴棱锥A−PBC的体积V=13×PC×S△OAB=13×3√7×8=8√7．故选：A．11.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，求双曲线的离心率，考查运算化简的能力，属于中档题．由题意，不妨设F1A的方程为y=ab(x+c)，与双曲线的渐近线方程联立求得点A，B的坐标，再由AB的中点为M(1,8)可解得离心率．解：由题意，不妨设A在渐近线y=−bax上，则F1A的方程为y=ab(x+c)，与y=−ba x联立解得A(−a2c,abc)，与y=ba x联立解得B(−a2ca2−b2,−abca2−b2)，∵AB的中点为M(1,8)，∴{−a2c−a2ca2−b2=2①abc−abca2−b2=16②,结合a2+b2=c2，由①×8=②化简得b=2a，∴b2=4a2，则c2−a2=4a2，解得e=ca=√5．故选C．12.答案：D解析：本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．由题意作函数f(x)的图象，由f2(x)−af(x)=0得f(x)=0或f(x)=a；从而解得．解：由题意作函数f(x)的图象如下，，∵f2(x)−af(x)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有且只有一个解，∴f(x)=a有且只有两个解，故a∈[1,+∞)；故选：D．13.答案：√26解析：解：∵p⃗⊥q⃗，∴p⃗⋅q⃗=0，即2x−3×2=0，解得x=3，∴q ⃗ =(3,2)，∴p ⃗ +q ⃗ =(5,−1)，∴|p ⃗ +q ⃗ |=√52+(−1)2=√26．由p⃗ ⊥q ⃗ ，得出p ⃗ ⋅q ⃗ =0，求出q ⃗ ，再求出p ⃗ +q ⃗ 和|p ⃗ +q ⃗ |即可． 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用两向量垂直，它们的数量积为0，利用坐标求向量的模长，是基础题．14.答案：23解析：本题考查函数性质的应用，根据已知条件得到周期性，结合奇函数的性质即可求解，属于基础题.由题意可得函数f(x)的周期是4，结合f (x )为定义在R 上的奇函数，即可求得f(9).解：由f(x −2)=f(x +2)可得f[(x −2)+2]=f(x −2−2)，即f(x)=f(x −4)，所以函数f(x)的周期是4，因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=3x −1，所以f(9)=f(1)=−f(−1)=−(3−1−1)=23．故答案为23． 15.答案：7049解析：解：在数列{a n }中，∵a 1=3，(a n+1−2)(a n −2)=2(n ∈N ∗)，∴(a n −2)(a n−1−2)=2，n ∈N ∗，n ≥2，以上两式相除，得a n+1−2a n−1−2=1，∴a n+1−2=a n−1−2，n ∈N ∗，n ≥2，∴数列{a n }是一个周期为2的周期数列，∵a 2−2=2a 1−2，a 1=3，∴a 2=4，∴S 2014=1007×(a 1+a 2)=1007×(3+4)=7049．故答案为：7049．由已知条件推导出a n+1−2a n−1−2=1，从而得到数列{a n }是一个周期为2的周期数列，由此能求出S 2014．本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要关键是判断出数列{a n}是一个周期为2的周期数列．16.答案：323解析：解：如图，由抛物线C：y2=8x，得p=4，∵F为AM的中点，∴AE=2FG=2p=8，则x A=8−p2=6．由x A x B=p24=4，得x B=46=23，∴BF=x B+p2=23+2=83．∴|AB|=|AF|+|BF|=8+83=323．故答案为：323．由题意画出图形，结合已知求得AF，得到A的横坐标，进一步得到B的横坐标，得到BF，则答案可求．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．17.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，所以：2cosBsinC−sinC=0，由于：0<C<π，cosB=12，解得：B=π3．(II)∵b =√3，B =π3，A +C =π−B =2π3，则0<C <2π3， ∴由正弦定理可得：a =2sinA ，c =2sinC =2sin(2π3−A)，∴2a +c =4sinA +2sin(2π3−A)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ)≤2√7，其中tanφ=√35， 则2a +c 的最大值为2√7．解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B 的值；(Ⅱ)由已知可得2a +c =2√7sin(A +φ)，其中tanφ=√35，由正弦函数的性质即可求得2a +c 的最大值．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)在图(1)中，∵AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E 是AD 的中点，∠BAD =π2，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ，AO =OC ，即在图2中，A 1O ⊥BE ，BE ⊥OC ，A 1O =OC =√22， ∵A 1C =1，∴在△A 1OC 中，A 1O 2+OC 2=A 1C 2，∴A 1O ⊥OC ，OC ∩BE =O,OC,BE ⊂平面BCDE ，∴A 1O ⊥平面BCDE ，∵A 1O ⊂平面A 1BE ，∴平面A 1BE ⊥平面BCDE ．解：(2)由(1)知OA 1，OB ，OC 互相垂直，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵A 1B =A 1E =BC =ED =1，∴O(0,0，0)，B(√22,0，0)，A 1(0,0，√22)，C(0,√22,0)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,−√22)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)， 设平面A 1BC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√22y −√22z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)， 易知OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,0)是平面A 1BE 的法向量， 设二面角C −A 1B −E 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√223⋅√22=√33． ∴二面角C −A 1B −E 的余弦值为√33．解析：(1)推导出BE ⊥AC ，AO =OC ，A 1O ⊥BE ，A 1O ⊥OC ，从而A 1O ⊥平面BCDE ，由此能证明平面A 1BE ⊥平面BCDE ．(2)分别以OB ，OC ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −A 1B −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x −=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9，s 2=(6−9)2×0.03+(7−9)2×0.1+(8−9)2×0.2+(9−9)2×0.35+(10−9)2×0.19+(11−9)2×0.09+(12−9)2×0.04=1.78；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，∴X ～N(9,1.78)，σ=√1.78=√17810≈43． ∴P(X ≤10)=P(Y ≤10−943)=P(Y ≤0.75)=0.7734；(ⅱ)由(i)知P(X >10)=1−P(X ≤10)=0.2266，可得Z ～B(20,0.2266)，P(Z ≥2)=1−P(Z =0)−P(Z =1)=1−0.773420−C 201×0.2266×0.773419=1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076≈0.9597．∴Z 的数学期望E(Z)=20×0.2266=4.532．解析：(1)直接由平均数公式及方差公式求解；(2)(i)由题知μ=9，σ2=1.78，则X ～N(9,1.78)，求出σ，结合已知公式求解P(X ≤10)．(ⅱ)由(i)知P(X>10)=1−P(X≤10)=0.2266，可得Z～B(20,0.2266)，由P(Z≥2)=1−P(Z= 0)−P(Z=1)求解P(Z≥2)，再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E(Z)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．20.答案：解：(1)由题设知c=1，因为△B1F1F2为等边三角形，则a=2c=2，又a2=b2+c2，所以b=√3，则E的方程为x24+y23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：由f(x)=e x−1−x，可得f′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)的单调减区间是(−∞,0)，单调增区间是(0,+∞)．解析：求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数)， 转化为直角坐标方程为x 2−4y 2=1，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54， 转化为直角坐标方程为：12x −√32y =√54． (2)由于直线与x 轴的交点坐标为(√52,0)， 所以直线的参数方程为{x =√52+√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2−4y 2=1得到：t 2−2√15t −1=0，所以t 1+t 2=2√15，t 1⋅t 2=−1，则1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2||t 1t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=8．解析：【试题解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥6，即为|x +2|+|x −1|≥6，当x ≥1时，x +2+x −1≥6，可得x ≥52，即x ≥52；当x ≤−2时，−2−x −x +1≥6，解得x ≤−72，即x ≤−72；当−2<x <1时，2+x −x +1≥6，解得x ∈⌀．综上可得原不等式的解集为{x|x ≥52或x ≤−72}；(2)∀x ∈R ，使得f(x)>3a 恒成立，即有f (x )min >3a ，由|x−a2|+|x+2|≥|x−a2−x−2|=a2+2，当且仅当−2≤x≤a2时，等号成立，可得a2+2>3a，解得a>2或a<1．即实数a的取值范围是(−∞,1)∪(2,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(1)讨论当x≥1时，当x≤−2时，当−2<x<1时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min>3a，运用绝对值不等式的性质可得最小值，由二次不等式的解法可得a的范围．。

2015学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．D 4．B5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分, 共36分．9．13，1 10．6π，1211．403，28+ 12．23，4513．15 14．8-或28- 15．2019三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ，已知tan cos cos a A c B b C -=．（I ）求角A 的大小；（II ）设AD 是BC 边上的高，若12AD a =，求b c的值． （I ）由正弦定理知：sin tan sin cos sin cos sin A A C B B C A =+=……3分又sin 0A ≠，故tan 1,4A A π==…………………………………………7分（II ）ABC ∆的面积111sin 222S a a bc A =⋅=，故2a =，…………………………………………………………10分又2222cos a b c bc A =+-故220b c +-=，……………………………………………12分求得1b c=…………………………………………………………14分 17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，090ADC BCD ∠=∠=，2BC =，CD =4PD =，60PDA ∠=o ，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（I ）求证：AD PB ⊥；（II ）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为300，若存在，求PM PA的值；若不存在，请说明理由．【解析】（I ）过B 作BO//CD ，交AD 于O ，连PO ，则AD ⊥BO ，-----------------2分在△PDO 中，PD ＝4，DO ＝2，∠PDA ＝600，则PO ⊥AD ，-----------------4分则AD ⊥面POB ，所以AD ⊥PB-----------------6分（II ）由（1）可建立如图坐标系，若存在满足条件的点(,0,)M m n -------------------7分(),(2,0,0)0,1---------100,0,1--------12cos(,1----------------------141-------15MB m n BC MBC n ABCD n PM PO PA PO μνμν=--=-====∴=-∴===u u u r u u u r u u u r r u r r 平面的一个法向量（，分又平面的一个法向量（）分）分分法二：假设存在点M ，过M 作AD 平行线交PO 于N ，连BN ，则∠NBO 就为二面角M －BC －D 的平面角，------------------9分133tan 23cos =⇒==∠⇒=∠ON OBNO NBO NBO ------------------12分 PN ＝PO －NO ＝132－，所以63132132-=-＝＝PO PN PA PM ------------------15分 18.（本小题满分15分）已知R a ∈，函数2()||2f x x x a x a =--+．（I ）若2a >，解关于x 的方程2()2f x a a =-；（II ）若]4,2[-∈a ，求函数()f x 在闭区间[]3,3-上的最小值． 【解析】（I ）由题得：22||22x x a x a a a --+=-， 即||2()x x a x a -=-，显然x a =是方程的解。

__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3} D ．{1,2,3,4}2．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.l ⊂αB.l ⊥αC.l ∥αD.l ⊂α或l ∥α3．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，44．等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差0d >，6a 和8a 是函数()2151ln 842f x x x x =+-的极值点，则8S =（ ） A. 38-B. 38C. 17-D. 17 5．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆6．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与圆C'：x 2＋(y 32＝3交于M ，N 两点.若MN =MNF 的面积为A.8B.38C.8D.4二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =________.三、解答题8．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图像相邻两个对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像与x y sin =的图像有一个横坐标为4π的交点. （1）求()f x 的解析式； （2）当7[0,]8x π∈时，求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的值. 9．已知函数ln ()xf x x a=+（a R ∈），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212•x x e >.10．已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2,1,9g x fx mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．11．(本小题满分12分)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行。

__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知复数34z i=-，则zz= ( )A.3455i+ B.3455i-C. 1i+D. 1i-2．若对于函数()()2ln1f x x x=++图象上任意一点处的切线1l，在函数()sincos22x xg x x=-的图象上总存在一条切线2l，使得12l l⊥，则实数a的取值范围为( )A. (),-∞⋃+∞ B. 11,2⎡--⎢⎣⎦C.21,⎛⎡⎤--∞+∞⎢⎥⎝⎦⎣⎦D.⎤⎥⎣⎦3．若函数()9cos20,48f x x a xππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭恰有三个不同的零点321,,xxx，则123x x x++的取值范围是（）A.511[,)48ππB.97[,)42ππC.511(,]48ππD.97(,]42ππ4．数列121231231,,,,,,...,,,,...,,...22333nn n n n的前25项和为（）A.20714B.20914C.21114D.10675．在等比数列{}n a中，若()57134a a a a+=+，则62aa=( )A.14B.12C. 2D. 4 6．若ln2ln3ln5,,235a b c===,则( )A．a b c<< B．c b a<< C．c a b<< D．b a c<<7．三角形ABC 中，2,22AB AC ==,45BAC ︒∠=，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC 的取值范围是（ ）A. 1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦评卷人 得分二、填空题8．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++，概括出第n 个式子为_______。

9．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.评卷人 得分三、解答题10．已知函数2()ln 2()f x x x mx m R =+-∈．（1）若函数()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的最大值；（2）若存在正实数对(,)a b ，使得当()()1f a f b -=时，1a b -=能成立，求实数m 的取值范围．11．已知正项数列{a n }首项为2，其前n 项和为S n ，满足2S n －S n-1＝4 (n ∈N *，n ≥2)． （1）求2a ,3a 的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）设212log n n b a =- (n ∈N *)，数列{b n ·b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.12．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C的对边，且222sin .b A c a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积。