2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题

2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．向量()1,2a =，()2,b λ=，且a b ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．3 D ．7【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数λ的等式，即可解得λ的值. 【详解】由已知可得220a b λ⋅=+=，解得1λ=-. 故选：B. 2．12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A 2B ．42C ．8D ．82【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以22O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，242OB O B =''=；所以原图形的面积为24282⨯=． 故选：D4．设m ，n 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误．．的是（ ） A ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥ B ．若m α∥且m β⊥，则αβ⊥ C ．若m α∥且n α∥，则m n ∥ D ．若αβ∥且m α⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.【详解】对于A ，当m α⊥且n α⊥时，m n ∥，所以A 正确，对于B ，当m α∥且m β⊥时，过m 作平面γ，交α于直线n ，则m ∥n ，因为m β⊥，所以n β⊥，因为n ⊂α，所以αβ⊥，所以B 正确，对于C ，当m α∥且n α∥时，m ，n 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误， 对于D ，当αβ∥且m α⊥时，则m β⊥，所以D 正确， 故选：C5．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.【详解】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭定义域为{}|0x x ≠，则()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A ；又()11ππcos ππ0ππf ⎛⎫=+=--< ⎪⎝⎭，故排除C ；ππ6π()()cos 066π6f =+>，故排除B;故选：D6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3AB BC CA AB ⋅=⋅，则A B -的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】A【分析】根据数量积可知三角形中AB BD ⊥，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.【详解】由3AB BC CA AB ⋅=⋅得，(3)0AB BC CA ⋅-=，令3CD AC = 则上式等价于AB BD ⊥，取AD 中点E ，连接BE ，如图，而CBE A B ∠=-，故只需求∠CBE 的最大值，设CE x =，则2,BE x =固定CE , 由平面几何知识，π6A B -≤ 故选：A7．如图，各棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，点N 为棱1CC 的三等分点（靠近1C ），点P 为棱1BB 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1B MNP -体积为定值 B ．三棱锥11A NPB -体积为定值C ．当1B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D ．当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等 【答案】D【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB 选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.【详解】A 项，M 到平面1B NP 距离为定值， 但1B NP S △不为定值，故1B MNP V -,不为定值， 故错误；B 项， 1A 到平面1NB P 距离为定值， 但1B NP S △ 不为定值，故11A NB P V -不为定值，故错误；C 、D 项：由于12CN C N =，由对称性知当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等，故C 错误，D 正确. 故选：D8．已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21a >B ．1a ≥C ．12a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B二、多选题9．在平面直角坐标系中，角α以x 正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点1,2n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则符合条件的角α可以是（ ） A ．π3- B ．2π3C ．4π3D ．7π3【答案】BC【分析】根据题意知角α的余弦为12-，据此求解即可.【详解】对A ，当π3α=-时，π11cos 322⎛⎫-=≠- ⎪⎝⎭，故错误；对B ，当2π3α=时，2π1cos 32=-，故正确；对C ，当4π3α=时，4ππ1cos cos 332=-=-，故正确； 对D ，当7π3α=时，7ππ1cos cos(2π+)332==，故错误. 故选：BC10．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc < B ．2b ac >C ．11a c<D ．()()220c b a c ++>【答案】AD【分析】根据题意知0c >故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D. 【详解】A 选项，由于,0a b c a b c <<++>，故0c >，所以ac bc <，正确； B 选项，取10,2,1c b a === 知不成立，错误； C 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误;D 选项，由于2c a b b >-->-得20c b +>， 而20a c a b c +>++>， 故(2)(2)0c b a c ++>，正确. 故选：AD11．已知0x >时，2log x x >，则关于函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．方程()f x x =的解只有一个B ．方程()()1f f x =的解有五个C ．方程()()()01f f x t t =<<的解有五个D ．方程()()()1f f x t t =>的解有五个【答案】ACD【分析】作出函数()f x 的图象，换元后从外到内研究，先求y t =与()y f x =图象交点的个数，转化为内层函数()t x 或()u x 的取值范围，据此再结合()f x 的图象即可判断()()f f x t =的根的个数.【详解】作出()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图象，如图，A 项，因为2log x x >，显然y x =与()f x 有唯一交点，故正确；B 项，令()f x t =，则()10f t t =⇒=或12t =或2()0t f x =⇒=或1()2f x =或()26f x =⇒个解，故错误；C 项，令()u f x =，则123()(0,1)0,(0,1),(1,2)f u t u u u =∈⇒<∈∈ 12312()0,()(0,1),()(1,2),x f x f x x x f ⇒<∈∈⇒∈∅有3个解，3x 有2个解，共有5个解，故正确；D 项，令()u f x =，则12()(1,)(0,1),(2,)f u t u u =∈+∞⇒∈∈+∞121()(0,1),()(2,)x f x f x ⇒∈∈+∞⇒有3个解，2x 有2个解，共有5个解，故正确.故选择：ACD【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析()()f f x ，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.12．如图三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，M 、N 为棱AD 、BC 上（包括端点）的动点，直线MN 与平面ABC 、平面BCD 所成的角分别为α、β，则下列判断正确的是（ ）A ．sin sin αβ-正负与点M 、点N 位置都有关B ．sin sin αβ-正负由点M 确定，与点N 位置无关C ．sin sin αβ+23D ．sin sin αβ+6【答案】BCD【分析】取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ，利用线面角的定义可判断AB 选项；求出MN 的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD 选项. 【详解】解：取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ， 如下图所示：在三棱锥A BCD -中，ABC 、BCD △均为等边三角形， 因为1O 为BC 的中点，则1AO BC ⊥，1DO BC ⊥， 111AO DO O =，1AO 、1DO ⊂平面1ADO ，BC ∴⊥平面1ADO ，0MM ⊂平面1ADO ，0MM BC ∴⊥， 01MM AO ⊥，11AO BC O =，1AO 、BC ⊂平面ABC ，0MM ∴⊥平面ABC ，所以，直线MN 与平面ABC 所成角为0MNM ∠，即0MNM α=∠，同理1MNM β=∠， 所以，0sin MM MN α=，1sin MM MN β=，所以，01sin sin MM MM MNαβ--=， 所以，sin sin αβ-的正负只与点M 的位置有关，A 错B 对； 设1AB =，则1132AO DO ==，且01sin sin MM MM MN αβ++=，在1ADO △中，222111113cos cos 23O D AD O A O AD O DA O D AD +-∠=∠==⋅，所以，21116sin sin 1cos 3O AD O DA O DA ∠=∠=-∠=， 则()016633MM MM AM DM +=+=，所以，6sin sin 3MNαβ+=， 将正四面体ABCD 补成正方体AEDF GBHC -，如下图所示：连接GH ，在线段GH 上取点P ，使得GP AM =，因为//AG DH 且AG DH =，故四边形ADHG 为平行四边形，AG ⊥平面GBHC ，GH ⊂平面GBHC ，AG GH ∴⊥，所以，四边形ADHG 为矩形，且//AD GH ，因为//AM GP 且AM GP =，故四边形AGPM 为矩形，则//PM AG且PM AG == PN ⊂平面GBHC ，则AG PN ⊥，故MP PN ⊥，设BC GH O =，因为四边形GBHC 为正方形，则BC GH ⊥，所以，222PN OP ON =+，且OP 、10,2ON ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22210,2PN OP ON ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故MN ⎤⎥⎣⎦， 则()max sin sin αβ+=()min sin sin αβ+=CD 都对. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题13．已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．【分析】根据圆锥的高为1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求得答案.【详解】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形. 则圆锥的底面直径为2，故该圆锥的侧面积为rl π= ，14．函数()120,1xy aa a -=+>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为_________． 【答案】423+【分析】由指数函数的性质，可得()1,3A ，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】∵函数1(01)2x y a a a -+=>≠，的图象恒过定点()1,3A ，则31m n +=，∴()1111113313442423n m n m m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当3m n =，即336n -=，312-=时取等号. 故答案为：423+. 15．已知3a b =，log a bb a=，则3a b +=_________． 【答案】63【分析】根据对数性质判断0,0a b >>，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案. 【详解】由题意可知0,0a b >>， 由3a b =，log a b b a =可得3log 3,3a b a b a a==∴=， 则33,3a a a =∴=，则33b =， 故363a b +=, 故答案为: 6316．如图，正ABC 的外接圆O 半径为59，点M 是劣弧AB 上的一动点，则MA MB MO MC MA MB ⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为_________．【答案】12-0.5- 【分析】由圆的性质可知MC 是AMB ∠的角平分线，故可知MA MB MAMB+与MC →同向共线，再由平方可得MA MBMAMB +的模为1，原式可化为换求21||||2MC MC →→-的最小值.【详解】由圆的性质可知，60,60AMC ABC BMC BAC ∠∠∠∠==︒==︒，2112cos1201MA MB MA MB ⎛⎫ ⎪+=++︒= ⎪⎝⎭，MA MB MA MB ∴+是与MC →同向的单位向量， 设MA MBe MAMB→+=，原式可化为2211()||||||22MO e MC MC MC MC MC →→→→→→→-⋅=-=-,由外接圆半径59R =可知，2sin 60AC BC AB R ===︒=10||9MC →≤≤,∴当||1MC →=时，21||||2MC MC →→-有最小值12-，即MA MB MO MC MA MB ⎛⎫ ⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为12-. 故答案为：12-四、解答题17．设a 是实数，复数112z i =+，()()2i 1i z a =+-（i 是虚数单位）． (1)2z 在复平面内对应的点在第一象限，求a 的取值范围； (2)求12z z +的最小值． 【答案】(1)11a -<< 【分析】（1）化简复数2z ，由已知列不等式组，解出a 的取值范围； （2）求出12z z +，利用二次函数的性质可得最小值．【详解】(1)()()()2i 1i 11i z a a a =+-=++-，则1010a a +>⎧⎨->⎩，解得11a -<<；(2)112z i =+，则112i z =-，()1221i a a z z =+-++，12z z ∴+=，当32a =-时，12z z +．18．已知集合{}24M x x =-<≤，集合{}44N x x m =-<-<．(1)若MN R，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1){|6m m ≤-或8}m ≥； (2)存在，[]0,2m ∈.【分析】（1）化简集合N ，求出其补集，由M N R列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为MN ，列出不等式组求解即可.【详解】(1)由题意，{}|44N x m x m =-<<+，所以{|4N x x m =≤-R或}4x m ≥+，因为MN R，所以42m +≤-或44m -≥，解得6m ≤-或8m ≥，所以实数m 的取值范围是{|6m m ≤-或8}m ≥.(2)假设存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件， 则NM RR，即M N ，则4244m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得02m ≤≤，故存在实数[]0,2,m ∈使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件.19．已知函数()sin 2263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若()f x 在(]0,t 上存在最小值，求实数t 的取值范围．【答案】(1),(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)3t π≥. 【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+计算得解. （2）由题知2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，()f x 在(]0,t 上存在最小值，只需5266t ππ+≥，继而得解. 【详解】(1)()sin 23sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos cos 2sin3sincos 23cossin 26633x x x x ππππ=-++3133sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x =-++ 3sin 2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36(Z)k k x k ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)当(]0,x t ∈时，2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 因为()f x 在(]0,t 上存在最小值，所以5266t ππ+≥， 所以3t π≥. 20．已知梯形木板ABCD ，//AB CD ，2AD BC ==米，33AB CD ==米，现要把木板沿线段MN 锯成面积相等的两部分，其中点M 在线段AB 上，N 在另外的三条边上．(1)当N 在线段BC 上，设BM m =米，BN n =米，求mn 的值； (2)求锯痕MN 的最小值． 【答案】(1)4mn = (2)3米【分析】（1）过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，计算出CE 的长，可求得梯形ABCD 的面积，再利用三角形的面积公式可求得mn 的值； （2）对点N 所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得MN 在不同情况下的最小值，综合可得结果.【详解】(1)解：过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，因为//AB CD ，2AD BC ==，33AB CD ==，故四边形ABCD 为等腰梯形，所以，DAF CBE ∠=∠，又因为π2AFD BEC ∠=∠=，则Rt Rt ADF BCE △≌△， AF BE ∴=，因为CE AB ⊥、DF AB ⊥，则//CE DF ，且//CD EF ，所以，四边形CDFE 为平行四边形，则1EF CD ==，12AB EFAF BE -∴===， 所以，12BE BC =，则π6BCE ∠=，故π3CBE ∠=，223CE BC BE =-=，故()232ABCD AB CD CE S +⋅==梯形，12BMN ABCD S S =△梯形，即1πsin 323mn =，故4mn =.(2)解：当点N 在BC 上时，(]0,2n ∈，22222π2cos42443MN m n mn m n mn =+-=+-≥-=， 当且仅当2m n ==时，等号成立，即2MN ≥；当点N 在CD 上（不包括端点C ）时，四边形BCNM 为梯形， 因为12BCNM ABCD S S =梯形梯形，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时， 则min 3MN CE ==，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时取最小值； 当点N 在AD 上时，由题意可知12AMN ABCDS S =△梯形，由对称性可知，min 2MN =. 综上所述，MN 长度的最小值为3米.21．用文具盒中的两块直角三角板（45︒直角三角形和30直角三角形）绕着公共斜边翻折成30的二面角，如图Rt ABC 和Rt DBC ，AB AC =，22BC BD ==，90A ∠=︒，90D ∠=︒，将Rt ABC 翻折到A BC '，使二面角A BC D '--成30，E 为边CD 上的点，且2CE ED =．(1)证明：BC A E '⊥；(2)求直线A D '与平面A BC '所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）取BC 中点F ，连接,A F EF '，可证明BC ⊥平面A EF '，再由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】(1)取BC 中点F ，连接,A F EF '，如图，由已知A B AC ''=知A F BC '⊥；又2BC =，则233,1CD CE CF ===， 22212cos303CE CF C F E CF E ︒∴=+-⋅=，22214133CF CE EF ∴+=+==，EF CF ∴⊥，即EF BC ⊥，又EFA F F '=，BC ∴⊥平面A EF '，A E '⊂平面A EF '，BC A E '∴⊥.(2)以F 为坐标原点建系如图，则()()3113,1,0,0,1,0,0,22A B C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭， 故(2,0,0)BC =-，31(1,)2A B '=-，11(,0,)22A D '=-，设平面A BC '的法向量n (x,y,z)→=，则20031002x n BC n A B x y z -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪'⎩令1y =，则0,3x z ==-(0,1,3)n →=-，设直线A D '与平面A BC '所成角为α，则362sin |cos ,|22n A D α→'=<>==⨯所以直线A D '与平面A BC '622．已知函数()(),R f x x x a bx a b =⋅-+∈．(1)0a b 时，①求不等式()4f x <的解集；②若对任意的0x ≥，()()20f x m m f x +-<，求实数m 取值范围；(2)若存在实数a ，对任意的[]0,x m ∈都有()()14f x b x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)①(,2)-∞，②(,1)-∞-，(2)(0,1【分析】（1）①分0x ≥和0x <两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分0m =，0m >和0m <三种情况求解，（2）当0x =时，04≤恒成立，所以当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则410m-≥，得04m <≤，由41x a x -≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-，然后分02m <≤和24m <≤求出max 41x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，使max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】(1)当0a b 时，()f x x x =⋅， ①由()4f x <，得4x x ⋅<， 当0x ≥时，24x <，解得02x ≤<， 当0x <时，4x x ⋅<恒成立，得0x <， 综上2x <，所以不等式()4f x <的解集为(,2)-∞，②因为()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥=⋅=⎨-<⎩，所以()f x 在R 上为增函数， 当0m =时，()0f x <不恒成立，当0m >时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=，所以x m mx +<，所以(1)0m x m -->恒成立，所以100m m ->⎧⎨->⎩，此时m 不存在，当0m <时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=-，所以x m mx +<-，所以(1)0m x m ++<恒成立，所以100m m +<⎧⎨<⎩，得1m <-，综上，1m <-，即实数m 取值范围为(,1)-∞-， (2)由()()14f x b x ≤-+，得4x x a x -≤-， 当0x =时，04≤恒成立， 当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，所以410x-≥， 所以410m-≥，得04m <≤， 由41x a x -≤-，得4411x a x x -≤-≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-， 当02m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4411x m x m ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭， 所以4411m a m m m-+≤≤+-， 所以存在a 满足以上不等式，则4411m m m m -+≤+-，得4m ≤，此时02m <≤， 当24m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4412132x x ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭，所以413m a m-+≤≤有解， 所以413m m-+≤，解得21m <≤综上可得01m <≤m的取值范围为(0,1【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则4411x a x x x-+≤≤+-，然后转化为求max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

浙江省名校协作体2021-2022高二上学期9月联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，故选D。

考点：本题主要考查对数函数的性质。

点评：简单题，涉及比较函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。

3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。

【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。

【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由得点由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是故选：D．【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，属于基础题。

2020学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科一､选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ） A. {}2,0 B. {}20C. {}2020D. ∅D由交集的定义直接求解即可解：因为集合{}2,0,20A =，{}2020B =， 所以A B =∅，故选：Dα的终边按顺时针方向旋转2π后，过点34(,)55P ， 所以4sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即4sin 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4cos 5α=-.故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ||y x x = B. 22x x y -=- C. 22x x y -=+ D. |1||1|y x x =++-C利用函数的奇偶性定义和单调性的定义以及结合函数的解析式判断. A. 因为()()||||f x x x x x f x -=--=-=-，所以是奇函数，故错误；B. 因为()()2222x x x xf x f x --=-=-=---，所以是奇函数，故错误； C. 因为()()222+2x x x xf x f x --=+=-=，所以是偶函数，设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()121211221212222222221x x x x x x x x x x f x f x +--+-=-+---=，因为()12,0,x x ∈+∞，所以12210x x +->，又12x x <，所以12220x x -<， 所以()()120f x f x -<，所以函数在(0,)+∞上单调递增，故正确；D. 因为()()11,11f x x x y x x f x -=-++--=++-=，所以是偶函数，2,1110,112,1x x y x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩，在(0,)+∞上不单调，故错误；故选：C4. 已知1a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A. 22a b < B. 22a b --< C. a bb a< D. ln ln a b <B利用函数2x y =、21y x=、ln y x =的单调性比较函数值大小，即可知正确选项； 由1a b >>，1、2x y =为递增函数，故22a b >，故A 错误；2、21y x=在1x >上单调递减，故22a b --<，故B 正确； 3、1a bb a>>，故C 错误；4、ln y x =在0x >上单调递增，故ln ln a b >，故D 错误；故选：B 函数sin 2y x=的图象向左平移34π得到的是函数33sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故A 正确； 函数sin 2y x =的图象向右平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故B 正确；函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于x 轴对称后得到的是cos2x y =-的图象，故C 正确； 函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于y 轴对称后得到的是cos 2y x =的图象，故D 不正确；故选：D6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],2-∞- B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D. 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C先画出不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可行域，然后根据a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率求解.不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域如图所示阴影部分：由直线方程y ax =知：a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率， 如图所示：120010110,2120202P P k k --====----， 所以实数a 的取值范围为(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：C7. 下列函数图象中，不可能是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ）A. B.C. D.C根据函数解析式，得到0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()co 0s f x x x α⋅=>，可排除B ；再结合α的取值，可确定ABD 可能取到.因为()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y x α=>，cos 0x >，所以()co 0s f x x x α⋅=>， 故函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象不可能是C ；若1α=，则()cos f x x x =⋅；又()()()cos cos x x x f x f x x -=⋅-=-=--，所以函数()cos f x x x=⋅是奇函数，图象关于原点对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅<，其图象与A 相同；若2α=，则()2cos f x x x =⋅，又()()()()2cos f x x f x x ⋅--==-，则函数()2cos f x x x =⋅是偶函数，图象关于y 轴对称；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅<，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>，所以其图象可能是B 选项；若1α=-，则()1cos x f x x -⋅=，又()()()()11cos cos x x x f x f x x ---=-⋅-=-=-，所以函数()1cos x f x x -⋅=为奇函数，其图象关于原点对称；且0x ≠；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅<=，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=，其图象可能是D 选项.故选：C.8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B. 在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020SC. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1SD. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020SA先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，得到0d <，结合等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得出结果.先设等差数列{}n a 的公差为d ，因为n S 存在最大值，所以0d <； 则211(1)222-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭n n n d d S na d n a n ， 函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的对称轴为11122d a a n d d -=-=-+， 因为1a 的取值不确定，所以对称轴位置不确定，则函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭最值不确定； 故CD 都不正确；又122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且02d <，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，因此最大项为111S S =，故A 正确，B 错误；故选：A. 9. 在ABC ∆中，sin sin sin()B C A B +=-，2AB AC ==，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则AP BQ ⋅的取值范围是（ ）A. []0,2B. []2,2-C. []2,6-D. []6,2-D先将sin sin sin()B C A B +=-，转化为sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，然后利用正弦定理和余弦定理整理得：222b c a bc +-=-，进而再利用余弦定理求得角A ，边a 和外接圆的半径，然后建立直角坐标系，设()(),,,P x y Q x y --，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 因为sin sin sin()B C A B +=-，所以sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，由正弦定理和余弦定理得：22222222a c b b c a b c a b ac bc+-+-+=⨯-⨯，整理得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈， 所以23A π=， 由余弦定理得2222cos 12a b c bc A =+-=， 解得23a =， 所以24sin aR A==， 解得2R =，建立如图所示直角坐标系：设()(),,,P x y Q x y --，且224x y +=，则()()0,2,A B ，()(),2,1AP x y BQ x y =-=-+--，所以(()()21AP BQ x x y y ⋅=-++---，()2222x y y y =-++++=+-，令2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，则AP BQ ⋅2sin 2αα=+-，[]4sin 26,23πα⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，故选：D10. 已知对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ）A. 24b a +≤B. 24b a -≥C. 存在,a b ∈R ，有2416a b +<D. 对于任意,a b ∈R ，有2416a b -≥B先将不等式化为24x ax b ax b --≥--，推出24x ≥或22240x ax b --+≤，得到对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，得到420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出不等式对应的平面区域，结合图形，即可得出结果.由24ax b x ax b ++--≥得24x ax b ax b --≥--，所以24x ax b ax b --≥--或24x ax b ax b --≤-++， 即24x ≥或22240x ax b --+≤， 因为24x ≥的解集为2x ≥或2x -≤；又对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立所以22240x ax b --+≤的解集必然包含[]22-,， 即对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，则只需()()244240244240f a b f a b ⎧-=+-+≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，即420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩所表示的平面区域如下：由图像可得，对于平面区域内的点(),a b ，都有24b a +≥，24b a -≥，则A 错，B 正确； 平面区域在2416a b +=和2416a b -=的上方，则2416a b +≥恒成立，2416a b +<恒成立；故CD 错误；故选：B.二､填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.)11. 已知向量(,1),(2,1)a t b t ==-，若//a b ，则t =___________；若a b ⊥，则t =___________. (1). 2或1- (2).13由//a b 可得(1)2t t -=，从而可求得t 的值；由a b ⊥可得210t t +-=，从而可求得t 的值 解：因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且//a b ， 所以(1)2t t -=，解得2t =或1t =-； 因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且a b ⊥， 所以210t t +-=，解得13t =， 故答案为：2或1-；13(1). 2 (2). 1-第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）当1x ≤时，（2）当12x <≤时，（3）当222x <≤时，依次类推即可.解：()()()()22(4)log 42log 212f f f f f =====， （1）当1x ≤时，()10,1f x x x =+==-， （2）当12x <≤时，20log 1x <≤，21log 10,2x x +==，不合题意，舍去； （3）当222x <≤时，21log 2x <≤，()22log log 10,2x x +=，不合题意，舍去； （4）当342x <≤时，22log 3x <≤，()2221log log log 32x <≤<，()2220log log log 1x ⎡⎤<<⎣⎦，()()(){}()222222222()log log log log log log log log log 10f x f x f x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦322x =<=，不合题意，舍去；综合以上，有1x >时，()222log log log 10x ⎡⎤+=⎣⎦无零点. 故答案为：2；1-.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则54a a =___________；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则11S =___________. (1). 1 (2). 125 根据题中条件，得到22a =，22n na a +=，则列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果.因为11a =，12nn n a a +=，所以22a =，1122n n n a a +++=，则22n na a +=； 即数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列， 则当n 为奇数时，1122122n n n a a --=⋅=；当n 为偶数时，122222nn na a -=⋅=；因此2524212a a ==；则()()111351124610......S a a a a a a a a =+++++++++()()()25235235122...2222...212222...2=+++++++++=+++++ ()52121212512-=+⋅=-.故答案为：1；125.14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为___________. 3利用已知条件，结合“1”代换构造41154()x y y xm x y m mx my ++=++，进而应用基本不等式求最值，即可求m 的最小值；1140x y m x y +=+=>知：4115459x y y x m m x y m mx my m m ⎛⎫+⎛⎫+=++=≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2y x =等号成立，∴29m ≥，即有3m ≥， 故答案：3(1).(2). 1直接用余弦定理可求b .设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，用正弦定理得出sin 5sin 2C A =；ABD △中，sin sin BD x A θ=；CBD 中，()sin 60sin BD y Cθ︒-=，再用两角差的正弦公式求出()sin 60θ︒-，则ADDC可求.解：b = 设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，sin 5,sin sin sin 2a c C A C A ==，ABD △中，sin ,sin sin sin x BD BD x A Aθθ==， CBD 中，()()sin 60,sin 60sin sin BD y BD y C Cθθ︒-==︒-， ()5sin 2sin 60AD x DC y θθ==︒-，D 是边AC 上一点，所以0,,cos 2ABD πθθ⎛⎫∠=∈= ⎪⎝⎭，()sin 60θ︒-=()5sin 12sin 60AD x DC y θθ===+︒-，1.16. 设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________. 10224()()a b a b++-表示点(,)a a 与点4(,)b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,)b b-（0b <）是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值 解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,)B b b -距离的平方， 而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x=-在第四象限上的点， 当B 是斜率为1直线与4y x=-相切的切点时， 点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值， 由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===， 所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：102019根据()2*11n n n a a a n N +=+-∈可得211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，结合已知条件的等式成立，即可求k 的值；()2*11n n n a a a n N +=+-∈知：211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，则： 22212213211...11...12020k k k k a a a a a a a a a a k +++++=-++-+++-+=-+，311212121111......1112021k k k k a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅=+++，而2221212...2...2021k k a a a a a a ++++=， ∴112018*********k k a k a +++-+=，即得2019k =. 故答案为：2019（1）最小正周期π，3()62f π=；（2）13()22f x -≤≤. （1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数式，即可求最小正周期及()6f π的值；（2）利用复合函数求值域方法求()f x 的范围；（1）由题意知：1cos 2()sin 222x f x x +=+，有1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴22T ππ==，3()62f π= （2）44x ππ-≤≤ 22363x πππ∴-≤+≤ sin(2)16x π≤+≤ 13()22f x -∴≤≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n a n b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n .（1）n a n =；（2）最大整数为7.（1）设{}n a 的公差为d ，利用2a 是1a 和31a +的等比中项，得到等量关系式，整理得出()()()243542d d d --=-，求得1d =，结合44a =，求得n a n =；（2）由（1）可得：2n n b =，利用错位相减法求得()1122n n S n +=-⋅+，利用单调性，得到最大整数n 的值.（1）设{}n a 的公差为d ，则有()21321a a a ⋅+=， 即()()()2444312a d a d a d -+-=-又由44a =，得()()()243542d d d --=- 解得1d =或4d =-(舍去)，故n a n =（2）由（1）可得：2n n b =2...12222n n S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅两式相减得：()121...2222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n =.20. 已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足22a b bc =+.（1）求证：2A B =；（2）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC 的内切圆半径.（1）证明见解析；（21.（1）由正余弦定理，结合已知条件可得sin sin 2sin cos C B B A =+，进而有sin()sin A B B -=，由三角形内角性质即可证2A B =；（2）由已知条件知sin cos A B =，结合（1）的结论有ABC 为直角三角形进而求内切圆半径；（1）证明：由22222cos a b bc b c bc A =+=+-得22cos c bc bc A =+，即2cos c b b A =+sin sin 2sin cos C B B A ∴=+，即sin()A B +sin 2sin cos B B A =+sin()sin 0A B B ∴-=>又0B π<<，A B ππ-<-<A B B ∴-=或A B B π-=-(舍去)2A B ∴=（2）由sin cos sin cos sin tan cos 1cos C B B C C B C B++==，得sin()cos B C B +=， sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C π=.因为2b =，可知4a c ==有ABC 内切圆半径12a b c r +-== （1）若2a =，写出()f x 的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的[1,1],[1,2]x a ∈-∈，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.（1）单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(,2]-∞-. （1）依题意求出函数解析式，画出函数图象，即可得到函数的单调区间；（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤，所以(1)0(2)0g g ≤⎧⎨≤⎩，可得2min (1)b x x ≤--且221b x x ≤-+对任意[1,1]x ∈-恒成立，从而求出参数的取值范围；解：（1）当2a =时，()21f x x =+，函数图象如下所示，所以()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则 由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤()()22110,(1)2210,(2)g x x b g x x b ⎧=-+++≤⎪⎨=-+++≤⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 由（1）得22|1|1b x x x x ≤-+=--对任意[1,1]x ∈-恒成立2min 5(1)4b x x ∴≤--=- 由（2）得222121,1221121,12x x x b x x x x x ⎧---≤≤⎪⎪≤-+=⎨⎪++-≤<-⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 2b ∴≤-综上所述2b ≤-，即b 的取值范围为(,2]-∞-22. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212...n n T a a a =+++，数列n n a T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R .求证：131(1)1421n n R +-≤<-；（3）数列{}n b 满足1121,log n n n b b b a +==，试比较1231111n b b b b++++与1的大小，并说明理由.（1）2n n a =；（2）证明见解析；（3）1231111nb b b b ++++≥1，理由见解析. （1）利用n S 与n a 中关系即可求解.（2）求出1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯，再利用裂项求和法以及等比数列的前n 项和公式即可证出.（3）根据题意可得111n n nbb b +-=-，再利用裂项相消法即可求解. （1）11122a S a ==-，12a ∴= 由22n n S a =-及1122n n S a ++=-, 得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a += {}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列2n n a ∴=（2）证明：22(2)4n n n a ==∴4(14)4(41)143n n n T ⨯-==--，从而32441n n n n a T =⨯- 1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯ 21111112222n n nR ∴≤+++=-< 又132********(21)(21)4(21)(21)n n n n n n n n n n a T +=⨯=⨯≥⨯--+--=1311()42121n n +--- 22311311111131()(1)421212121212142n n n n R ++∴≥-+-++-=------- 综上所述：131(1)1421n n R +-≤<-. （3）12log n n n b b a n +==，11b = 11(2)n n b b n n -∴=-≥，且21b =11()1(2)n n n b b b n +-∴-=≥，111n n n b b b +-=-， ∴1231111nb b b b ++++=1+31425311()()()()n n b b b b b b b b +--+-+-++- 111111(2)n n n nn b b b n b +=--++=+-≥≥当1n =时，1111b == ∴1231111nb b b b ++++≥1.。

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

2022学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i z =-（i 为虚数单位），则z =（）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由复数模的定义计算．【详解】由已知z ==．故选：D ．2.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（）A.πB.C.2πD.【答案】B 【解析】【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案的等腰直角三角形，，底面直径长为2，半径为1，则此圆锥的侧面积为1π⨯=，故选：B ．3.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则（）A.()()()P A B P A P B =+B.()()1P A P B +≤C.()()()P A B P A P B ⋂=D.若A B ⊆，则()()P A P B ≤【答案】D 【解析】【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：若A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()()()()P A B P A P B P AB =+- ，故A 错误；对于B ：若11(),()22P A P B >>，则()()1P A P B +>，故B 错误；对于C ：当A 、B 独立时，()()()P A B P A P B ⋂=，当A 、B 不独立时，则不成立，故C 错误；对于D ：若A B ⊆，则()()P A P B ≤，故D 正确.故选：D4.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，则直线PM 与NQ 所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点R ，连接RN ，，1AB ，根据M ，N ，P ，Q 为中点，得到//PM RN ，从而RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角求解.【详解】解：如图所示：取AB 的中点R ，连接RN ，RQ ，1AB ，因为M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，所以11//,//PM AB RN AB ，所以//PM RN ，所以RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角，又因为RNQ 是等边三角形，所以60RNQ ∠= ，故选：C5.函数()2ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】第一步，由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭为偶函数，排除C 、D 选项；第二步，通过11ln3022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭,排除B 选项.【详解】由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得，101x x +>-即11x -<<，故函数()y f x =的定义域为()1,1-，且对()1,1x ∀∈-都有()1,1x -∈-，()()11ln ln 11x x f x x x f x x x -+⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭成立，所以函数()y f x =是偶函数，，排除C 、D 选项；又11ln3022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,排除B 选项.故选：A.6.已知0.30.50.3 0.2 0.2 0.3a b c ===，，，则以下关系不正确的是（）A. b a c<< B. ab bc ac<< C.111c a b<< D.1 1a c cb b b +<<+【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质，先判断出a ，b ，c 的大小，再根据不等式的性质逐项分析即可.【详解】对于指数函数：x y a =，若01a <<，则为减函数，0.30.50.20.2∴>，即a b >，对于幂函数：0.3y x =是增函数，0.30.30.30.2∴>，即c a >，a ，b ，c 的大小关系为：0b a c<<<，故A 正确；对于B ，由于,a c ab bc <∴<，由于,b a bc ac <∴<，故B 正确；对于C ，由于1y x =是减函数，111c a b∴<<，故C 正确；对于D ，若11c c b b +<+成立，则有()()11c b b c +<+，即c b <，与上述结论矛盾，故D 错误；故选：D.7.如图，已知AOB 是半径为4，圆心角为π2的扇形，点E F ，分别是OA OB ，上的两动点，且2=EF ，点P 在圆弧 AB上，则PE PF ⋅的最小值为（）A.4B.8C.19-D.16-【答案】B 【解析】【分析】以O 为原点建立的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，可得(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=- ，，，可得⋅=PE PF ()168sin θϕ-+，利用辅助角公式可得答案.【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，又2EF =，所以OF =，可得(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=- ，，，所以()224cos 16cos 16sin 164cos PE PF t t θθθθθθ⋅=-+-+=-()168sin θϕ=-+，其中4cos sin 22tϕϕ==，又[]02t ∈，，所以[]cos sin 01ϕϕ∈，，，所以[]π0,0π2，，ϕϕθ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦，()()sin 01sin 10ϕθϕθ⎡⎤⎤⎡+∈-+∈-⎦⎣⎣⎦，，，，所以[]816PE PF ⋅∈，，PE PF ⋅的最小值为8．故选：B.8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（）A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭ B.4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.)⎡+∞⎣【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式，结合题意求出sin A、cos A的值，再用C表示B，求出sinsinb Bc C=的取值范围，即可求出222b cbc+的取值范围．【详解】解：在ABC中，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，且ABC的面积1sin2S bc A=，由222()S a b c=--，得sin22cosbc A bc bc A=-，化简得sin2cos2A A+=，又(0,2Aπ∈，22sin cos1A A+=，联立得25sin4sin0A A-=，解得4sin5A=或sin0A=（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin43sin sin sin5tan5b B A C A C A Cc C C C C++====+，因为ABC为锐角三角形，所以02C<<π，2B A Cππ=--<，所以22A Cππ-<<，所以13tan tan2tan4C AAπ⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan3C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53bc⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b tc=，其中35,53t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21212222c b c t tbc c b t t⎛⎫⎪+=+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭，由对勾函数单调性知12y tt=+在32,52⎛⎝⎭上单调递减，在2,253⎛⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当22t=时，y=；当35t=时，4315y=；当53t=时，5915y=；所以5915y⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b cbc+的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin43sin sin sin5tan5b B A C A C A Cc C C C C++====+求出bc的取值范围.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.已知平面向量a 满足1a = ，则1a a ⋅=B.已知复数z 满足1z =，则1z z ⋅=C.已知平面向量a ，b满足a b a b +=- ，则0a b ⋅= D.已知复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】因为21a a a ⋅== ，所以A 正确；设i z a b =+，则i z a b =-，因为1z =，所以221a b +=，所以()()22i i 1z z a b a b a b ⋅=+-=+=，所以B 正确；因为a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即0a b ⋅= ，所以C 正确；因为1i 1i +=-，然而1i i 0⋅=≠，所以D 不正确.故选：ABC.10.已知函数()2441x x x f x x =+--，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的图象关于点()1,1对称C.()f x 有唯一一个零点D.不等式()()223f x f x+>的解集为()()1,13,-+∞ 【答案】BCD 【解析】【分析】求解()f x 的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()()112f x f x ++-=，则知B 正确；当1x >时，由单调性的性质可确定()f x 在()1,+∞上单调递减，结合值域的求法可求得()1f x >；结合对称性可知()f x 在(),1-∞上单调递减；利用零点存在定理可说明()f x 在(),1-∞有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明1x >时()1f x >，1x <时，()1fx <；利用单调性，分别讨论23x +和2x 在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩得：1x ≠，即()f x 定义域为{}1x x ≠，不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数，A 错误；对于B ，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⋅- ，()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x xf x x x x x ----⋅---=-=-==---⋅-⋅-，()()112f x f x ∴++-=，()f x ∴图象关于点()1,1对称，B 正确；对于C ，当1x >时，()1141212x xf x x=+--；2xt = 在()1,+∞上单调递增，4y t t=-在()2,+∞上单调递增，422x x y ∴=-在()1,+∞上单调递增，1422xx y ∴=-在()1,+∞上单调递减；11y x=- 在()1,+∞上单调递增，111y x∴=-在()1,+∞上单调递减；()f x ∴在()1,+∞上单调递减；由B 知：()f x 图象关于()1,1对称，()f x ∴在(),1-∞上单调递减；当1x >时，2044xx >-，11111x x x =+>--，()1f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞上无零点；当1x <时，()11000143f =+=-<-，()1111210123044f -=+=>-，()01,0x ∴∃∈-，使得()00f x =，则()f x 在(),1-∞上有唯一零点0x x =；综上所述：()f x 有唯一一个零点，C 正确；对于D ，由C 知：()f x 在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，又1x >时，()1f x >；1x ∴<时，()1f x <；①当22311x x +>⎧⎨>⎩，即1x >时，由()()223f x f x +>得：223x x +<，解得：1x <-（舍）或3x >；②当22311x x +<⎧⎨<⎩时，不等式组无解，不合题意；③当22311x x +>⎧⎨<⎩，即11x -<<时，()231f x +>，()21f x <，满足题意；④当22311x x +<⎧⎨>⎩，即1x <-时，()231f x +<，()21f x >，不合题意；综上所述：()()223f x f x +>的解集为：()()1,13,-+∞ ，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.11.下列说法中，正确的是（）A.若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角B.若O 是ABC 内心，且满足2340OA OB OC ++=，则这个三角形一定是锐角三角形C.在ABC 中，若0NA NB NC ++=，则N 为ABC 的重心D.在ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则P 为ABC 的垂心【答案】CD 【解析】【分析】由数量积的定义判断A ，O 是ABC 内心时，证明0A B C S OA S OB S OC ++=即得0aOA bOB cOC ++=，由此结合余弦定理判断B ，由向量的线性运算证明N 是三角形重心判断C ，利用向量数量积的运算法则，证明向量垂直，从而得P 是垂心判断D ．【详解】当,a b 同向时也的0a b ⋅>，A 错误；如下图O 是ABC 内心，AO 延长线交BC 于D ，设OBC A S S =!，OAB C S S =!，OAC B S S =!，O 是外心，AD 是三角形内角平分线，OBD ABD OBD CABD ACD OCD ACD OCD BS S S S S BD CD S S S S S -====-!!!!!!!!，()BD BD CD BD OD OB BD OB BC OB OC OB OB OCBC BC BC BC=+=+⋅=+⋅-=+ C B B C B C S S OB OC S S S S =+++，又BOD COD BOD CODA BOA COA BOA COA CB S S S S S OD OA S S S S S S +====++!!!!!!!!，所以A B CS OD OA S S =-+．所以A B C S OA S S -+ C B B C B C S S OB OC S S S S =+++ ，所以0A B C S OA S OB S OC ++= ，设内切圆半径为r ，,,AB c BC a CA b ===，则1110222raOA rbOB rcOC ++=，所以0aOA bOB cOC ++= ，若2340OA OB OC ++=，则::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22249161cos 02234k k k C k k +-==-<⨯⨯，C 为钝角，B 错；如下图，D 是BC 中点，则2ND NB NC =+ ，又0NA NB NC ++=，所以20NA ND +=，所以,,N D A 共线，且2AN ND =，所以N 是ABC 外心，C 正确；ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅= ，所以PB AC ⊥，同理,PA BC PC AB ⊥⊥，所以P 是ABC 的垂线，D 正确．故选：CD ．12.如图，在梯形ABCD 中，//6460AB CD AB CD A B E F ==== ，，，，，为线段AB 的两个三等分点，将ADE 和BCF △分别沿着DE CF ，向上翻折，使得点A B ，分别至M N ，(M 在N 的左侧)，且//MN 平面ABCD O P ，，分别为DE CD ，的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A.O P M N ，，，四点共面B.当3MN =时，平面DEM ⊥平面ABCDC.存在某个位置使得DM FN⊥D.存在某个位置使得平面DEM ⊥平面CFN【答案】BCD【解析】【分析】对于A 选项，直线MN 与直线CD 为异面关系，所以A 错误；对于B 选项，当3MN =时，其长度恰好等于底面梯形中位线的长度，易知M ,N 两点在底面的投影恰好落在DE 和CF 上，可得平面DEM ⊥平面ABCD ；对于C 选项，可找出NF 的平行线，将垂直的判断转化为异面直线所成角；对于D 选项，从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.【详解】对于A 选项：如图，分别取EF ,CF 的中点Q ，S ，连接AP ，BP ，DQ ，易知,,,ADE BCF PDE PCF 均是边长为2的正三角形，所以在翻折过程中M ，N 两点在底面的射影分别落在直线PA 和PB 上，如图2，易知,DE MOP CF NSP ⊥⊥平面平面，设M ，N 两点到底面的距离分别为12,h h ，则12sin ,sin h OM MOP h SN NSP =∠=∠，因为//MN 平面ABCD ，所以12h h =，又OM SN =，所以MOP NSP ∠=∠，易得//MN OS ，则//MN CD ，则易知,,,M N C D 共面，,,,M N E F 共面,易知,OP MN 异面，所以O P M N ，，，不在同一平面内，则A 错误；对于B 选项:当3MN =时，恰有MN OS =，则MNSO 为平行四边形，由对称性知此时，M ，N 两点在底面的射影即为O,S 两点，所以MO ABCD ⊥平面,得平面DEM ⊥平面ABCD ，则B 正确；对于C 选项:过M 点作//MT NF 交EF 于T ，DMT ∠即为DM 与FN 所成角，易知在翻折过程中(,)(2,DT DE DF ∈=，又因为=2DM MT =，则当DT DM DT ⊥，即DM FN ⊥,所以C 正确；当3MN =，由B 选项知，平面DEM ⊥平面ABCD ，平面CFN ⊥平面ABCD ，此时DE 与CF 的夹角即为平面DEM 与平面CFN 的夹角，易知此时的夹角为60 ，而DEM △与CFN 在翻折的极限位置为,DPE CPF ,即两平面的夹角的最大值为180 ，所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面DEM ⊥平面CFN ，所以D 正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±【解析】【分析】根据B ⊆A ，得到集合B 的元素都是集合A 的元素，进而求出m 的值．【详解】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，，∴24m =，解得2m =±．故答案为：±2．14.已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤的解集为___________.【答案】(,0]-∞【解析】【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤化为：121x x ≤⎧⎨≤⎩或211x x >⎧⎨≤⎩，解121x x ≤⎧⎨≤⎩得：0x ≤，解211x x >⎧⎨≤⎩，无解，于是得0x ≤，所以不等式()1f x ≤的解集为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞15.已知223640+-+=a b b ，则2(3)64+-a b b 的最大值为________．【答案】194159+##415199+【解析】【分析】根据题意得2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b ，设b k a =，所以()223640+-+=k a ka ，所以0∆≥，求出k 的范围，所以222222(3)(3)696433a b a b k k b a b k++++==-++，分析求最值即可.【详解】22223640643+-+=⇒-=+a b b b a b ，所以2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b ，当0a ≠时，设b k a=，代入223640+-+=a b b ，则有()223640+-+=k a ka ，看成关于a 的一元二次方程，若a 方存在，则关于a 的一元二次方程必须有解，所以判别式(222153616305∆=-+≥⇒≥k k k 或2155≤-k ，所以2151125k +≥+>或2151105k +≤-+<又函数4y x x =+在[)2,+∞上单调递增，所以2222222(3)(3)69111616464333121a b a b k k k b a b k k k k +++++===+⋅=+⋅-+++++-+21551941516279++≤+⋅=，当且仅当5k =时取得等号，此时2159a =，43b =；当0a =时，2640b b -+=，此时22(3)16464a b b b b +==--；所以2(3)64+-a b b 的最大值为194159+.故答案为：199+．【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．16.已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为4，其所在平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ （1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥），若OP = ，则OA OB ⋅ 的最大值为____________．【答案】3+3【解析】【分析】分析可知点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，可得24OA OB OD ⋅=- ，求出OD 的最大值，即可得解.【详解】因为()()()123123OP OA OB OC OP PA OP PB OP PC λλλλλλ=++=+++++ 123OP PA PB PC λλλ=+++ ，所以，1230PA PB PC λλλ++= ，所以，()()1230PA PA AB PA AC λλλ++++= ，所以，23AP AB AC λλ=+ ，因为1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥，所以，1λ、2λ、[]30,1λ∈，所以，点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，则()()()()2224OA OB OD DA OD DB OD DA OD DA OD DA OD ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，故当OD 最大时，OA OB ⋅ 取最大值，如下图所示，当点P 与ABC 的顶点重合时，PD 取得最大值，且最大值为122AB = ，因为OP = ，所以，2OD OP PD OP PD =+≤+= ，当且仅当D 、P 、O 三点共线且P 在线段OD 上时，等号成立，故(224243OA OB OD ⋅=-≤+-=+ .故答案为：3+【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()24i 1im z m R +=∈-，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数，求m 的值和z ；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．【答案】（1）12m =，2z =；（2）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求出m 的值，进而求出复数z 的模；（2）首先根据第（1）问求出2z z -，然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，解不等式组求出m 的取值范围.【小问1详解】依题意得，()()()()()()2224i 1i 24i 24i 4i 2i 1221i 1i 1i 1i 1i m m m m z m m ++++++====-++--+-，若z 是纯虚数，则120210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得12m =，2i z ∴=，2z ∴=.【小问2详解】由（1）知，()()1221i z m m =-++，()()1221i z m m =--+，()22163i z z m m -=--+，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，()210630m m -<⎧∴⎨-+>⎩，解得12m <-，即1,2m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222-=-b c a ．（1）求角B ：（2）从①2C B =，②cos cos b A a B =中选取一个作为条件，证明另外一个成立；（3）若D 为线段AB 上一点，且1,42BCD B CD ∠=∠=，求BCD △的面积．【答案】（1）4B π=（2）见解析（3）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可得解；（2）选①，根据2C B =结合（1）求出,C A ，可得A B =，则有tan tan A B =，再根据正弦定理化角为边即可得证；选②，利用正弦定理化边为角，再结合（1）即可得出结论；（3）利用正弦定理求得BC ，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.【小问1详解】解：因为222-=-b c a ，所以222222cos b a c a c ac B =+-=+-，所以cos 2B =，又()0,B π∈，所以4B π=；【小问2详解】证明：选①，因为2C B =，4B π=，所以,24C A B ππ===，所以tan tan A B =，即sin sin cos cos A B A B =，所以cos cos b A a B =；选②，因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，又(),0,A B π∈，则(),B A ππ-∈-，所以0B A -=，即4A B π==，所以22C B π==；【小问3详解】解：由（1）得128BCD B π∠=∠=，则58BDC π∠=，因为sin sin BC CD BDC B =∠，所以58BC π=1sin 2BCD S BC CD BCD =⋅∠5sin88ππ=sin 88ππ=44π==，所以BCD △的面积为4．19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值.【答案】（1）()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭（2）5（3）最大值为60米【解析】【分析】对于小问1，根据离地面的最大值140米、最小值20米和周期为30分钟，求出A 、B 、ω，再代入点(0,20)解得ϕ.对于小问2，令()50H t =，解出t 即得答案.对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式1H 、2H ，写出两人距离地面的高度差为12h H H =-米，由时间t 的取值范围，化简求出h 最大值.【小问1详解】由题意，()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤）摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为14012020-=米，所以14020B A B A +=⎧⎨-=⎩，得60,80A B ==，又函数周期为30分钟，所以23015ππω==，()60sin 8015H t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又()060sin 0802015H πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，所以sin 1ϕ=-，又2πϕ≤，所以2πϕ=-，所以()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭.【小问2详解】()60sin 8060cos 8015215H t t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以60805015cost π-+=，整理1152cos t π=，因为030t ≤≤，所以2015t ππ≤≤，所以153t ππ=,解得5t =（分钟）.【小问3详解】经过t 分钟后甲距离地面的高度为160cos8015H t π=-+，乙与甲间隔的时间为306536⨯=分钟，所以乙距离地面的高度为()260cos580,53015H t t π=--+≤≤，所以两人离地面的高度差()1260cos60cos 560sin ,5301515156h H H t t t t ππππ⎛⎫=-=-+-=-≤≤ ⎪⎝⎭当1562t πππ-=或32π时，即10t =或25分钟时，h 取最大值为60米.20.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．（1）若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；（2）若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】（1）2027（2）丁【解析】【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【小问1详解】解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问2详解】若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．21.如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．（1）求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；（2）若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；（3）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】（1）24（2（3）11【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出12PG AM =值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到CN MQ ===（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到cos α=t 的取值范围求出余弦值的最小值【小问1详解】取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==，底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=【小问2详解】取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△PAB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQ AB =，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以2215122CN MQ ⎛⎫==+=⎪⎝⎭.【小问3详解】连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为22PG =，所以()sin ,cos ,1cos 222PH GH DH θθθ===-，所以()()0011cos 1cos 222x y θθ==-⨯=-，0sin 2z θ=所以()()111cos ,1cos 222P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 121,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAM 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111101cos cos 12sin 0222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令1z =，则(1tan ,tan n θθ=，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r，因为()cos 1cos 321,0,0,,sin 222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 3sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令2y θ=，可得：()2,3cos n θθ=+，设两平面夹角为α，则1212cos n n n n α⋅==⋅=令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以cos α=3t =时，cos α有最小值1111，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为1111【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.22.已知02,1a b ≤≤≤，函数2()41,[2,2]f x ax x a b x =--+-+∈-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()|()|h x f x =，若()h x 的最大值为52，求a b +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据函数()f x 解析式,先讨论当0a =与0a ≠两种情况.当0a =时易判断单调递减,当0a ≠时,讨论对称轴与区间[2,2]-的关系,即可判断单调性.（2）根据（1）中所得a 在不同范围内的单调情况分类讨论.当104a ≤≤,()f x 在[2,2]-递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由()h x 的最大值即可求得b 的值,进而得a b +的取值范围;当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,同理解绝对值不等式可求得b 的取值范围,进而得a b +的取值范围.【详解】（1）①当0a =时,()f x x b =--,()f x 在[2,2]-单调递减②当122a -≤-时,即104a <≤时,()f x 在[2,2]-单调递减③当1202a -<-<时,即124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减④当1022a≤-≤时,不成立,所以无解.综上所述,当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-单调递减；当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减（2）①当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-递减,(2)30f b -=->,(2)1f b =--,∵(2)(2)220f f b -+=-≥,∴|(2)||(2)|f f -≥,∴{max 5()max |(2)|,|(2)|(2)|32h x f f f b =-=-=-=,∴12b =.得113,224a b a ⎡⎤+=+∈⎢⎥⎣⎦.②当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,又(2)30f b -=->,(2)1f b =--,114124f a b a a ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭∵(2)(2)220f f b -+=-≥,(2)(2)f f ->∴|(2)||(2)|f f -≥,同时1(2)02f f a ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭,∴1|(2)|2f f a ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭∴max 1()max |(2)|,,|(2)|2h x f f f a ⎧⎫⎛⎫=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭11541242f a b a a ⎛⎫=-=+-+=⎪⎝⎭∴13442b a a =+-又∵1b ≤,∴1311414282a a a +-≤⇒≤≤,又∵124a <≤,∴1142a <≤且可得13542ab a a +=+-在11,42a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦递增,所以33,42a b ⎛⎤+∈⎥⎝⎦.综上所述,当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.。

2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。

2020-2021学年浙江省浙南名校联盟高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}13P x x =<<，{}24Q x x =<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}23x x << C ．{}34x x ≤< D ．{}14x x <<【答案】D【分析】直接运用集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为集合{}13P x x =<<，{}24Q x x =<<， 所以P Q ⋃={}14x x <<， 故选：D2．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【分析】根据复数模的定义直接计算即可. 【详解】因为a R ∈所以a i -==即215a +=， 解得2a =±， 故选：C3．若实数x ，y满足约束条件222000x y x y x ⎧+-≤⎪⎪-≥⎨⎪<⎪⎩，则z x y =+的取值范围是（ ） A．⎡-⎣B．⎡-⎣C．(2⎤⎦D．()2【答案】B【分析】作出可行域，根据线性规划求解即可. 【详解】作出可行域，如图，由z x y =+可得y x z =-+，由图形可知，当平移y x z =-+过点A 时2z =，（但A 点取不到） 当平移y x z =-+与圆相切时，z 有最小值2-， 所以z x y =+的取值范围是)2,2⎡-⎣， 故选：B4．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．在△ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题解析：必要性在△ABC 中，“cosA ＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A ＜B ，若B 不是钝角，显然有“sinA ＜sinB”成立， 若B 是钝角，因为A+B ＜π，故有A ＜π-B ＜2π，故有sinA ＜sin （π-B ）=sinB 综上，“cosA ＞cosB”可以推出“sinA ＜sinB”： 充分性：由“sinA ＜sinB”若B 是钝角，在△ABC 中，显然有0＜A ＜B ＜π，可得，“cosA ＞cosB” 若B 不是钝角，显然有0＜A ＜B ＜2π，此时也有cosA ＞cosB 综上，“sinA ＜sinB”推出“cosA ＞cosB”成立 故，“cosA ＞cosB”是“sinA ＜sinB”的充要条件点评：解决本题的关键是掌握充要条件的判断方法，利用原命题真假证充分性，逆命题的真假证明必要性，6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是正项等比数列，若11a b =，77a b =，则（ ） A ．44a b = B ．55a b <C ．88a b >D ．99a b <【答案】D【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.【详解】等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，*n N ∈，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列{}n b 的通项公式是关于n 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当0d >时，如下图所示，当公差0d <时，如下图所示，如图可知当1177,==a b a b 时，44a b >，55a b >，88a b <，99a b <. 故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 7．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）A．13B3C．23D23【答案】B【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的22与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，根据体积公式直接求棱锥体积．【详解】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，2，斜边是2，∴底面的面积是1221 2=，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，∴3∴三棱锥的体积是131333⨯=故选：B8．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点， 所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确； 由正方体棱长为2，则222222*********D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(0A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，22211111cos 2AP D P AD AP D P D AP ∠=+-⋅，当x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题. 10．设函数()()()3213853f x x x a x a R =-+--∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】当0x >时，由()0f x <，可得出3213853ax x x x >-+-，设()3213853g x x x x =-+-，()h x ax =，作出函数()g x 和()h x 的图象，由题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】当0x >时，由()()32138503f x x x a x =-+--<，3213853ax x x x >-+-，令()3213853g x x x x =-+-，()()()26824g x x x x x '=-+=--. 当2x <或4x >时，()0g x '>；当24x <<时，()0g x '<.所以，函数()g x 在区间(),2-∞上单调递增，在区间()2,4上单调递减，在区间()4,+∞上单调递增.函数()g x 的极大值为()523g =，极小值为()143g =，且()113g =，()31g =，()553g =，如下图所示：设()h x ax =，若存在唯一的正整数0x 使得()00f x <，即()()00g x h x <，可得()()()()()()()()()()1122334455g h g h g h g h g h ⎧≥⎪≥⎪⎪≥⎨⎪<⎪≥⎪⎩，即1352331143553a a a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎪≤⎪⎩，解得11123a <≤. 因此，实数a 的取值范围是11,123⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是利用不等式的正整数解的个数求解参数的取值范围，解题的关键在于分离出两个函数，利用图象得出关于参数的不等式组，进而求解.二、填空题11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足4A π=，b ＝3的△ABC有且仅有一个，则边a 的取值范围是______. 【答案】[)323,2⎧⎪⋃+∞⎨⎪⎪⎩⎭【分析】利用正弦定理可得sin sin b AB a=，满足则sin 1B =或sin sin B A ≤即可.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，则sin sin b A B a =，若满足4A π=，b ＝3的△ABC 有且仅有一个，则sin 1B =或sin sin B A ≤， 即sin 1b A a =或sin sin b AA a≤， 解得32a =或3a ≥， 即实数a 的取值范围是[)323,2⎧⎫⎪⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故答案为：[)323,2⎧⎫⎪⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭.12．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.【答案】12． 【分析】作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得． 【详解】如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3MD NB π'<>=，因为//DM BN ，所以23DMD π'∠=， 设1BC =，则22AB BC ==在矩形ABCD 中，3AC =263DM ==， 6D M DM '==， 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2DD '=，因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．DCD '是正三角形，3D CD π'∠=，1cos 2D CD '∠=． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12． 故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结论．13．设OAB 中，OA a =，OB b =且满足a b a -=，2a b +=，当OAB 面积最大时，则a b +与b 夹角余弦的大小是______. 【答案】22【分析】由题意建立三角形三边长之间的关系，由此建立面积的函数关系，再求面积的最值.进一步可求解.【详解】在OAB 中，OA a =，OB b =，OC a b =+，满足a b a -=，2a b +=，如图，设=a b a AB x -==，b t =在平行四边形OACB 中，222222AB OC OA OB +=+， 即222422x x t +=+，2224x t +=，在OAC 中，224cos 22x t tOAC xt x+-∠==-， 所以sin sin AOB OAC ∠=∠=11||||sin sin 22OAB S OB OA BAO tx AOB ∴=⋅∠=∠△12=== 当29,83t t ==时，OAB 面积最大，此时x =，22282042cos 223t x BOC t+-+-∠===⨯. 故答案为:2【点睛】关键点睛：利用已知建立面积的函数关系，通过函数求最值，属于较难题目.三、双空题14．直线:10l x ++=的倾斜角为______，过()2,0点且与直线l平行的直线方程是______. 【答案】56π20x +-= 【分析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，点斜式即可求出. 【详解】由:10lx ++=可得y x =-所以tan k α== 由0απ≤<知56πα=.过()2,0点且与直线l平行的直线斜率为所以2)y x =-，即20x +-=. 故答案为：56π；20x +-= 15．双曲线22:21C x y -=的焦点坐标是______；渐近线方程是______.【答案】(2±y = 【分析】把双曲线方程化为标准方程，得,a b ，从而可得c ，由此可得焦点坐标和渐近线方程．【详解】双曲线标准方程是22112x y -=，则1a b ==，所以2c ==，所以焦点坐标为(，渐近线方程为y =．故答案为：(2±；y =． 16．已知直线:l y kx =+()22:14C x y -+=，若直线l 是圆C 的一条对称轴，则实数k =______；若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且ABC数k =______.【答案】-或或 【分析】根据直线为圆的对称轴则直线过圆心求解，求出圆心到直线距离，再利用圆心距表示出弦长，根据面积求出弦心距，即可求解. 【详解】若直线l 是圆C 的一条对称轴， 则直线经过圆心(1,0)，即0k +=，解得k =-，设圆心到直线的距离为d，则d =，则弦长为，所以三角形面积为12S d =⨯=解得1d =或d =当1d =1=，解得k =，当d ==k =k =故答案为：-9-或或【点睛】关键点点睛：先求出圆心到直线的距离，利用圆的平面几何性质求出弦长利用三角形面积求出d 是解题的关键，属于中档题.17．已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______；2cos 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______. 【答案】1379-【分析】（1）利用诱导公式()cos cos ββ=-，cos sin 2πββ⎛⎫+=-⎪⎝⎭转化求解 （2）利用()cos cos ββπ=--，()2cos 212sin ββ=-转化求解.注意整体代换思想的运用. 【详解】（1）22cos cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 266πππαα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 63πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2cos 233ππαπα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 16πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭27199=-=- 故答案为：（1）13；（2）79-【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． （2）也可根据给定角与要求的角之间的关系，利用诱导公式转化求三角函数值.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()cos 1cos c B b C ⋅=⋅-.（Ⅰ）求证a b =；（Ⅱ）求cos sin C A -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）(2-. 【分析】（Ⅰ）运用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可； （Ⅱ）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式、配方法进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin b cB C=， ()cos 1cos sin cos sin (1cos )sin cos sin cos sin ,c B b C C B B C C B B C B ⋅=⋅-⇒⋅=-⇒⋅+=即sin()sin sin()sin sin sin B C B A B A B π+=⇒-=⇒=， 由正弦定理可知：sin sin a bA B=，所以a b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b =，所以有A B =，根据三角形内角和定理可知：2C A B A ππ=--=-，因为ABC 是锐角三角形，所以有：0242022A A A πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩， 2219cos sin cos(2)sin cos 2sin 2sin sin 12(sin ),48C A A A A A A A A π-=--=--=--=--设219()2(sin ),48f A A =--因为42A ππ<<，sin 1A <<，因此()(1)()0f f A f f A <<⇒<<， 所以cos sin C A -的取值范围为(2-. 19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=︒，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD ⊥平面ABCD 且13CD =，求直线11D B 与平面11C D M 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】（1）连接1AD ，如图所示，易证11AMC D 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得1//C M 平面11A ADD ；（2）分别连接AC ，MC ，根据已知条件进行推理不难得出CA CB ⊥，考虑建立空间直角坐标系，运用法向量进行求解. 【详解】（1）连接1AD ，如图所示，∵1111ABCD A B C D -为四棱柱， ∴11//CD C D ，11CD C D =， ∵M 为AB 的中点，2AB =， ∴112AM AB ==， ∵底面ABCD 是等腰梯形，2AB CD =， ∴//CD AM ，CD AM =， ∴11//AM C D ，11AM C D =，∴11AMC D 为平行四边形， ∴11//AD MC ，∵1C M ⊄平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ， ∴1//C M 平面11A ADD ； （2）连接AC ，MC ，由（1）可知，//CD AM 且CD AM =， ∴四边形AMCD 为平行四边形， ∴BC AD MC ==，由题意60ABC DAB ︒∠=∠=，则MBC △为正三角形， 因此，22AB BC ==，3CA =，因此，CA CB ⊥，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则：)30A，，，()010B ，，，(1003D ，，31(,0)2D - 由M 是AB 的中点可知3102M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，所以13132MD ⎛=- ⎝，，1131022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，，，1133(,0)2D B DB →→== 设平面11C D M 的一个法向量(),,n x y z =，由11100n D C n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30330x y x y z -=+-=，可得平面11C D M 的一个法向量()1,3,1n =， 设直线11D B 与平面11C D M 所成角为θ， ∴1111115sin 5D B n cos D B n D B nθ⋅===⋅，， ∴直线11D B 与平面11C D M 所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：求直线与平面所成角的正弦值，一般考虑向量法，本题首先需要证明CA CB ⊥，这是建立空间直角坐标系的关键，其次要写出点的坐标很重要，如果点的坐标比较难写，可考虑分离出底面来写，最后注意运用向量夹角公式，属于中档题. 20．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<【答案】（1）11a =，12n na ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式； （2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =， 又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n na ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅， 所以118121152n n -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，A 是椭圆上位于第三象限内的一点，点P 满足5OP AO =.过点P 作一条斜率为k 的直线l 交椭圆于B ，C 两点.（Ⅰ）若点P 的坐标为()4,1 （i ）求椭圆的方程；（ii ）求OBC 面积；（用含k 的代数式表示）（Ⅱ）若满足3BP BC =，求直线OA ，OB 的斜率之积.【答案】（Ⅰ）（i ）2214x y +=,（ii ）2414322)3OBCk k kSk -⋅-+=<<,（Ⅱ）14- 【分析】（Ⅰ）（i ）2214b a =①，当点P 的坐标为()4,1结合题意有,55A ⎛-- ⎝⎭代入椭圆方程22161155a b +=②，联立①②求解即可； （ii ）直线:1(4)l y k x -=-，设1122(,),(,)B x y C x y ，联立直线与椭圆方程得到222(41)8(41)64320k x k k x k k +--+-=，由韦达定理得到12,x x 的表达式，代入弦长公式，由点到直线的距离公式求出原点到直线:1(4)l y k x -=-的距离，代入三角形面积公式化简即可；（Ⅱ）设00(,)A x y ，1122(,),(,)B x y C x y根据条件得2012011(2)31(2)3x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入椭圆方程，结合椭圆方程化简即可得出答案.【详解】解：（Ⅰ）（i）由e =2214b a =①因为点()4,1P ，5OP AO =，所以55A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得22161155a b +=② 由①②解得224,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=（ii ）直线:1(4)l y k x -=-，设1122(,),(,)B x y C x y联立方程221(4)14y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8(41)64320k x k k x k k +--+-= 由0∆>得203k <<所以由韦达定理得21212228(41)6432,4141k k k kx x x x k k --+==++所以122||41BC x x k =-==+原点到直线:1(4)l y k x -=-的距离d =所以211||2241OBC S d BC k =⋅=+2)3k =<< （Ⅱ）设00(,)A x y ,5OP AO =，椭圆方程为：()22204x y k k +=>，所以()00,P ， 因为3BP BC =，所以()()01012121,3,x y x x y y --=--，即201012101212011(2)3()313()(2)3x x x x x y y y y y ⎧=+⎧⎪-=-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪⎩=+⎪⎩，代入椭圆中()()2220101112424099x y k ++⨯+-=，整理得22222110010104(4)5(4)4)36x y x y x x y y k +++-+=，因为00(,)A x y ，11(,)B x y 在椭圆上，所以222222110044,44x y k x y k +=+=，代入化简得101040x x y y +=，所以101014y y x x =-，即14OA OB k k ⋅=-， 所以直线OA ，OB 的斜率之积为14-. 【点睛】直线与椭圆相交问题求解策略：（1）解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.22．已知函数()()21ln 11ax f x x x -=-+- （1）若1a =，试求()f x 在()2,3点处的切线方程；（2）当0a >时，试求函数()f x 的单调增区间；（3）若在定义域上恒有()23f x x ≥+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）210x y --=（2）答案见解析（3）2a ≥【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解；（2）求出导数，对a 分类讨论，分析导数的正负即可求解；（3）先探求不等式成立的必要条件2a ≥，再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即可证明.【详解】（1）当1a =时，()()21ln 1ln(1)11x f x x x x x -=-+=-++-， ()111f x x -'=+， ()22k f ='=，由切线过点()2,3，所以切线方程为()322y x -=-，即切线方程为210x y --=.(2) ()()21ln 11ax f x x x -=-+-的定义域为()1,+∞， ()()()2222121111(1)(1)a ax x ax x ax a f x x x x -⎛⎫- ⎪---⎝⎭=+'=---， 令()0f x '=，解得21a x a -=， 当211a a -=即1a =时，()01x f x x '=>-恒成立，则函数()f x 的单调增区间为()1,+∞， 当211a a ->即1a >时，21a x a->时，()0f x '>，函数()f x 的单调增区间为21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 当211a a-<即01a <<时，1x >时，()0f x '>，则函数()f x 的单调增区间为()1,+∞. 综上所述，当01a <≤时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；当1a >时，函数()f x 的单调增区间为21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(3)函数定义域为()1,+∞，()23f x x ≥+恒成立即21ln(1)231ax x x x --+≥+-恒成立， 当2x =时，()24143f a =-≥+必成立，2a ∴≥，令()()21ln 1231ax h x x x x -=-+---， 则()()22211212(1)(1)h x x ax ax x x ⎡⎤=⋅-+-+--'⎣⎦- ()(2212)522](1)a x a x x ⎡=⋅-+--⎣- ()()21212(1)a x x x ⎡⎤=⋅-+⋅-⎣⎦-， 2a ≥∴在(1,2)上()0h x '<，在(2,)+∞上()0h x '>，∴()h x 在(1,2)单调递减，(2,)+∞上单调递增，()(2)417480h x h a a ∴≥=--=-≥，故2a ≥.【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有()23f x x ≥+成立求a 的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条件，由(2)2237f ≥⨯+=可知必有2a ≥，证明充分性时，令()()21ln 1231ax h x x x x -=-+---，利用导数求出()(2)h x h ≥恒成立，即可求解，属于难题.。

浙江省A9协作体2020-2021学年高二数学暑假返校联考试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+．V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=121()3V S S h =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若sin cos 0tan sin 0R ααααα∈⋅<⋅<，，，则α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，377835a a S +==，，则45a a += A ．1B ．5C ．7D ．93．已知π4sin +25α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos2α的值为A ．725 B ．2425C ．2425-D ．725- 4．若b 为单位向量，||||a b a +=，则向量a 在向量b 方向上的投影为 A ．1- B ．1 C ．12 D ．12-5．函数()3cos sin f x xx 在区间2π[0,]3上的值域为A ．[B ．[C ．[D ．[1,2]-6．已知00a b >>，，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是A ．222a b +≥B ．124a b->C ．22log log 0a b +≥D 27．已知|sin |0()()0x x f x g x x ≤⎧=⎨>⎩，，为奇函数，则()g x 在下列哪个区间上单调递增 A ．π(0)4，B ．ππ()42，C ．π(π)2，D ．3π(π)2，8．已知函数0()ln 20x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩， ，，若函数()()F x f x a =-的两个零点分别在区间(10)-，和1(1)2，内，则实数a 的取值范围为A ．1(ln 2)e， B ．(01)， C ．(ln 21)， D ．1(1)e， 9．设二次函数()f x 满足下列条件：①()(2)f x f x =--，(1)0f -=；②当(0,2)x ∈时，2()4|1|2x f x x ≤≤-+恒成立．若()f x 在区间[1]m m -，上恒有2|()|12x f x -≤，则实数m 的取值范围是A ．[11]-， B ．31[]22-， C ．11[]22-，D ．13[]22，10．已知数列{}n a 满足11n n na a a +=+，且1a =[]x 为不超过实数x 的最大整数，则99[]a = A ．13 B ．14 C ．15 D ．16非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省名校协作体2020-2021学年高三上学期开学考试数学1．若集合{}0,2A =，{}1,2,4B =，则A B 为（ ） A ．{}2 B ．{}2,4 C ．{}0,1,2,4 D ．{}0,2,42．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD．3 3．已知两个不重合的平面α，β，若直线l α⊂，则“αβ⊥”是“l β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．元朝《洋明算法》记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌： 尖堆法用三十六，倚壁须分十八停.内角聚时如九一，外角三九甚分明.每一句表达一种形式的堆积公式，比如其中第二句的意思:粮食靠墙堆积成半圆锥体，其体积为底面半圆弧长的平方乘以高，再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆，其三视图如图所示，则按照古诗中的算法，其体积近似值是（取3π≈）（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．若实数x ，y 满足不等式组101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0 6．已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()1sin 2x f x x e π=⋅B ．()1cos 2x f x x eπ=⋅ C ．()ln sin 2f x x x π=⋅ D ．()ln cos 2f x x x π=⋅7．若实数x ，y ，z 满足1212y x y y z y-<<-⎧⎨-<<-⎩，记2P xy yz xz y =+++，2Q x y z =++，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P Q <B ．P Q >C ．P Q =D ．不确定 8．如图所示，在正三棱台111ABC A B C -中，1113332AB AA A B ===，记侧面11ABB A 与底面ABC ，侧面11ABB A 与侧面11BCC B ，以及侧面11ABB A 与截面1A BC 所成的锐二面角的平面角分别为α，β，γ，则（ ）A ．γβα<=B ．βαγ=<C ．βαγ<<D ．αβγ<<9．已知函数()22,,x ax x a f x ax x a⎧-≥=⎨<⎩，若函数()y f x a =+恰有两个零点1x ，2x ，则12x x -的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．()0,∞+ C ．()1,+∞ D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 10．已知数集{}()12312,1,,,,2n n S a a a a a a a n =≤<<⋯<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a S ∈或ji a S a ∈成立，则（ ） A ．若3n =，则123,,a a a 成等差数列B ．若4n =，则1234,,,a a a a 成等比数列C ．若5n =，则12345,,,,a a a a a 成等差数列D ．若7n =，则1234576,,,,,,a a a a a a a 成等比数列11．已知复数z ：满足1)3i z i +=+（（i 为虚数单位），则复数z 的实部为①________，z =②________.12．已知直线:l y kx =，圆()(22:14C x y -+=，若圆C 上存在两点关于直线l 对称，则k =____________，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且2AB =，则直线l 的倾斜角α=____________.13．已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，*n N ∈，则a =_________，设数列{}n 的前n 项和为n T ，若2n T n λ>+对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为_______________14．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AC CD ⊥，45CAB ∠=︒，2AB =，3BC =，则cos ACB ∠=_______________，若DC =，则BD =_______________.15．已知点P 是椭圆2214y x +=上任一点，设点P 到两直线20x y ±=的距离分别为1d ，2d ，则12d d +的最大值为_________________.16．设,a b ∈R ，函数()43f x x x ax b =-++在[)0,x ∈+∞上的最小值为0，当+a b 取到最小值时，ab =____________.17．若平面向量a ，b 满足1a =，2213b a b +=⋅，则b a b +-的最大值为________________.18．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; （Ⅱ）若函数()(),122g x f x ππθθ⎡⎤∈-⎢⎛⎫=+- ⎪⎝⎥⎣⎭⎦为奇函数，求θ的值. 19．如图所示，在三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BB D D -的组合体中，已知1BB ⊥平面BCD ，四边形ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，2AB =，11BB =.（Ⅰ）设O 是线段BD 的中点，求证：1//C O 平面11AB D ； （Ⅱ）求直线1B C 与平面11AB D 所成角的正弦值. 20．已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b 满足122b a =-=，且5a 既是33b a -和11b a -的等差中项，又是其等比中项.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =⋅，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ，并求n S 取得最小值时n 的值.21．如图所示，过抛物线24y x =的焦点F 作互相垂直的直线1l ，2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点（A 在x 轴上方），2l 交抛物线于C ，D 两点，交其准线于点N.（Ⅰ）设AB 的中点为M ，求证：MN 垂直于y 轴； （Ⅱ）若直线AN 与x 轴交于Q ，求AQB 面积的最小值. 22．已知函数()()()()2210f x ln x a a x a =+--≥． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当12a >时，0x 是函数()y f x =最小的零点，求证：函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减．（注：131)1.n <。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。