2020年浙江省名校协作体高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)

2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（共7小题）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于；外接球表面积等于．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝；a5＝．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）解：A＝{x|x≤﹣1，或x≥1}；∴A∩B＝[1，4）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i解：∵＝，∴z的虚部为﹣2．故选：B．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有＝，即a＝2b，由双曲线的几何性质分析可得c＝＝a，由离心率的计算公式可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其渐近线方程为y＝±x，则有＝，即b＝2a，c＝＝a，则其离心率e＝＝；故选：B．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．解：当x＞0时，f（x）＝x﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小【分析】ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，故Eξ＝1﹣x，Dξ＝（1﹣x）x＝x﹣x2，进而，得到Eξ和Dξ在x∈（0，），上的单调性．解：根据题意，ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，所以Eξ＝1﹣x，当x∈（0，）时，Eξ单调递减，即E（ξ）随着x的增大而减小，Dξ＝（1﹣x）x＝﹣x2+x，因为Dξ的对称轴为x＝，开口向下，故当x∈（0，）时，Dξ随着x的增大而增大．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为2，三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体是体积，所求体积为：＝．故选：C．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．解：如图所示，由•＝（﹣）•＝•﹣•＝||×||cos∠BCO﹣||×||cosθ＝﹣||•||•cosθ＝﹣||•cosθ，且﹣||•cosθ≥﹣||＝（||﹣）2﹣，由||∈[0，2]，当||＝时，•有最小值为﹣，又当||＝2，且cosθ＝﹣1时，﹣||•cosθ，此时•＝3，为最大值．所以•的取值范围是[﹣，3]．故选：A．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC【分析】解题的关键是通过构造垂面得出∠PMC＝α，然后转化到平面中解决即可．解：如图，取PC中点D，连接AD，BD，由PB＝BC＝a，PA＝AC易知BD⊥PC，AD⊥PC，故可得PC⊥平面ABFD，作PM⊥AB于M，由△ABP≌△ABC，可得CM⊥AB，∴∠PMC＝α，又PM＝CM＝h＜a＜b，∴，∴2α＞∠PAC+∠PBC，，故选：C．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于3；外接球表面积等于9π．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．解：如图，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PA＝AB＝2，AD＝1，∴最长棱PC＝＝；其外接球的半径为．则其外接球的表面积为．故答案为：3；9π．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为11；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点C时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z＝2×1+3×3＝11，可行域的面积为：＝故答案为：11；．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝﹣160；a5＝15．【分析】在所给的等式中，令x等于0，求得a0的值；再利用通项公式求得a5即x5的系数．解：∵（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝﹣160．a5即x5的系数为﹣5+•2•2＝15，14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．【分析】，，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2）sin cos B，tan B＝2+，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：，，∴sin B＝（4+2）sin cos B，∴tan B＝2+，∵tan（）＝＝＝2+，B∈（0，π）．∴B＝．∴C＝＝＝B．∴c＝b＝1．∴S＝bc sin A＝＝．故答案为：，．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有21．【分析】由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c＝5时，当c＝4时，根据分类计数原理可得．解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下3个数（包含0）取两个，放在右边，有C42C32＝18个，当c取4时，则从剩下3个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下2个数（包含0）取两个，放在右边，有C32C22＝3个，故满足条件的五位数的个数有18+3＝21个，故答案为：21．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是[0，1]．【分析】利用三角形的面积的表达式，结合椭圆方程，求通过二次函数，转化即可得到|x0|的取值范围．解：设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，当P是短轴端点时，三角形的面积取得最大值，所以|y0|＝，，可得：x02＝4﹣，0＜m＜2，可得4m2﹣m4∈（0，4]，所以﹣3，可得x02≤1所以|x0|的取值范围是：[0，1]．故答案为：[0，1]．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得函数解析式为f（x）＝，由已知可求T，利用周期公式可求ω的值，令，可求函数的增区间．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求，由范围，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）因为：（ω＞0），所以：＝，…………………由条件T＝8，所以：，…………………所以：，令，得：．所以增区间为：．…………………（Ⅱ）因为：，由（1）知：，即：，…………………因为：，所以：，所以：，…………………所以：＝＝．…………………19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明EC⊥CA，EC⊥CB，推出EC⊥面CAB．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出面ABE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ABE所成角的正弦函数值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得，在△EBC中，由余弦定理得由CE2+CA2＝EA2，CE2+CB2＝EB2得，EC⊥CA，EC⊥CB，所以EC⊥面CAB……………………（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则所以，所以，……………………所以是面ABE的一个法向量，则取……………………记直线AD与平面ABE所成角为α，则……………………20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；可令n＝1，求得b1，再将n换为n﹣1，相减可得b n；（Ⅱ）原不等式转化为++…+＞n+1﹣，应用数学归纳法证明，注意检验n＝1不等式成立，再假设n＝k时不等式成立，证明n＝k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a3＝3，可得a1+2d＝3，a l，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解方程可得a1＝d＝1，则a n＝n；数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n，可得b1＝2a1＝2，将n换为n﹣1可得b1+2b2+……+（n﹣1）b n﹣1＝2a n﹣1，联立b1+2b2+……+nb n＝2a n，相减可得nb n＝2a n﹣2a n﹣1＝2，则b n＝，对n＝1也成立，则b n＝，n∈N*；（Ⅱ）证明：不等式++……+＞a n+1﹣（n∈N*）即为++…+＞n+1﹣，下面应用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，不等式的左边为＝，右边为2﹣，左边＞右边，不等式成立；（2）假设n＝k时不等式++…+＞k+1﹣，当n＝k+1时，++…++＞k+1﹣+，要证++…++＞k+2﹣，只要证k+1﹣+＞k+2﹣，即证﹣＞1﹣，即证（﹣）（1﹣）＞0，由k∈N*，可得上式成立，可得n＝k+1时，不等式也成立．综上可得，对一切n∈N*，++…+＞n+1﹣，故++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．解：（1）Q（1，2）代入y2＝2px解得p＝1，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）证法1：（巧设直线）证明：设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得，则有，可设AP：，即，同理BP：，解得P（﹣3，3t），即动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．证法2：（利用向量以及同构式）证明：设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则有，，，又O为△PAB的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，y1，y2是方程的两根，所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，∴x2+3x+1＜0，∴，又x＞﹣2，∴；当f′（x）＜0时，解得，∴f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．。

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。

2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1. 设集合 A={1，2，3，4}，B={x∈N|-3≤x≤3}，则 A∩B=（ ）A. {1，2，3，4}B. {-3，-2，-1，0，1，2，3，4}C. {1，2，3}D. {1，2}2. 双曲线的渐近线方程是（ ）A. 2x±y=0B. x±2y=03. 已知公差不为零的等差数列{an}满足值为（ ）C. 4x±y=0D. x±4y=0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则 的A.B.C.D.4. “a＞0”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 C. 充要条件B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数的图象可能是（ ）A.B.C.D.6. 某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下：ξ 78910P x 0.1 0.3 y已知 ξ 的数学期望 E（ξ）=8.9，则 y 的值为（ ）A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.27. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为（ ）A. 2B.C.D. 1第 1 页，共 14 页8. 对于定义域为 R 的函数 f（x），若存在非零实数 x0，使函数 f（x）在（-∞，x0）和（x0，+∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f（x）的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）A. f（x）=2x-x2B. f（x）=x2+bx-2（b∈R）C. f（x）=1-|x-2|D. f（x）=x-sinx9. 已知是平面内三个单位向量，若 ，则的最小值（）A.B.C.D. 510. 已知数列{an}满足 2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），则（ ）A. a5≤4a2-3a1B. a2+a7≤a3+a6C. 3（a7-a6）≥a6-a3D. a2+a3≥a6+a7二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11. 设 i 为虚数单位，给定复数，则 z 的虚部为______，|z|=______．12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13. 已知 x，y 满足条件则 2x+y 的最大值是______，原点到点 P（x，y）的距离的最小值是______ 14. 小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不 放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为15. 在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 为∠BAC 的平分线，AB=2AC，则 =______．16. 若函数在上有零点，则的最小值为17. 如图，椭圆的离心率为 e，F 是 Γ 的右焦点，点 P 是 Γ 上第一象限内任意一点，，，若 λ＜e，则 e 的取值范围是______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18. 已知函数．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若求 a2+c2 的取值范围．，且，19. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PC 垂直平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥CD， PD=AB=2AD=2CD=2，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）求直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值．20. 在数列{an}中，a1=1，a2=3，且对任意的 n∈N*，都有 an+2=3an+1-2an． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，记数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若对任意的 n∈N*都有，求实数 m 的取值范围．第 3 页，共 14 页21. 已知椭圆的焦点坐标为 F1（-1，0），F2（1，0），过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆 于 P、Q 两点，且|PQ|=3． （1）求椭圆的方程； （2）过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，则△F1MN 的内切圆的面积是否 存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2e3x （Ⅰ）若 x＜0，求证：f（x）＜ （Ⅱ）若 x＞0，恒有 f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数 k 的取值范围2020 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（3 月 份）答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. D8. D9. A10. C11. 212. 144-12π 168+6π13. 614. 3215. 316. -17. （0， ]第 4 页，共 14 页18. 解：（Ⅰ）==所以，解得，k∈Z．所以函数 f（x）的单调递增区间为，k∈Z（Ⅱ）因为，所以．所以 ．又因为，所以 3=a2+c2-ac，即 a2+c2=3+ac．而 a2+c2≥2ac，所以 ac≤3，即 a2+c2≤6．又因为 a2+c2=3+ac＞3，所以 3＜a2+c2≤6．19. （Ⅰ）证明：PC⊥平面 ABCD，故PC⊥AC．………………（2 分）又 AB=2，CD=1，AD⊥AB，所以 AC=BC= ．故 AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．………………（4 分）所以 AC⊥平面 PBC，所以平面 ACE⊥平面PBC． …………………………（6 分）（Ⅱ）解：PC⊥平面 ABCD，故 PC⊥CD．又 PD=2，所以 PC= ． …………（8 分）在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．由（Ⅰ）知平面 ACE⊥平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE．由面积法得：即．…………（10 分）又点 E 为 AB 的中点，．所以．……………………………………（12 分）又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等． 连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG．所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 ．所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为．……………………（15 分）另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系．因为 PD=2，所以．所以有：C（0，0，0），D（0，1，0），，A（1，1，0），B（1，-1，0），． …………（9 分）．，．第 5 页，共 14 页设平面 ACE 的一个法量为 =（x，y，z），则取 x=1，得 y=-1，．即=．…………（13 分）设直线 PD 与平面 AEC 所成角为 θ，则 sinθ=|cos＜ ， =． …………（15分）20. 解：（Ⅰ）由 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）． ………………（2 分）又 a1=1，a2=3，所以 a2-a1=2． 所以{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．…………………（3 分）所以．…………………（4 分）所以 an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+22+…+2n=2n-1．…………（7 分）（Ⅱ）因为==．………（9 分）所以 Sn=b1+b2+…+bn= （12 分） 又因为对任意的 n∈N*都有，所以=．………恒成立，即，即当 n=1 时，．………（15 分）21. 解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，解得 a=2，b= ，故椭圆方程为=1,（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的半径 为 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此内切圆面积最大，R 就最大，此时也最大，由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my-9=0，得 则 令 t=， ，则 t≥1，，=，第 6 页，共 14 页则，令 f（t）=3t+ ，则 f′（t）=3- ，当 t≥1 时，f′（t） 0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有 f（t）≥f（1）=4，≤3，即当 t=1，m=0 时，≤3，=4R，∴Rmax= ，这时所求内切圆面积的最大值为 π．故直线 l 方程为：x=1，△F1MN 内切圆面积的最大值为 π.22. 证明：（Ⅰ）∵函数 f（x）=x2e3x，∴f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．由 f′（x）＞0，得 x＜- 或 x＞0；由 f′（x）＜0，得-，∴f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，∴f（x）的极大值为 f（- ）= ，∴当 x＜0 时，f（x）≤f（- ）= ＜ = ．解：（Ⅱ）∵x2e3x≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增， 且 x→0+时，h（x）→-∞，h（1）=4e3+2lnx-1， ∴存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0， ∴当 x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当 x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，∵h（x0）=+2lnx0-1，得=，令=t0，则 2lnx0+3x0=lnx0，且 φ（1）=0，∴t=1，∴g（x0）==，∴实数 k 的取值范围是（-∞，0]． 【解析】1. 【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 【解答】 解：B={0，1，2，3}；第 7 页，共 14 页∴A∩B={1，2，3}． 故选：C．2. 【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐 进方程．属于基础题．渐近线方程是 -y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是 -y2=0整理得 x ±2y=0． 故选：B．3. 解：公差不为零的等差数列{an}满足，∴=a1（a1+3d），解得 a1=-4d， ∵Sn 为数列{an}的前 n 项和，∴==．故选：A．由公差不为零的等差数列{an}满足，利用等差数列的通项公式列方程求出a1=-4d，由此能求出 的值． 本题考查等差数列的前 3 项和公式和前 1 项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：由 a＞0，得 a+ ≥2 =2 ，是充分条件，由 a+ ≥2 ，得：a＞0，故 a＞0”是“”的充要条件，故选：C． 根据充分必要条件的定义结合不等式的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．5. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零 点判断函数的正负是解决本题的关键． 判断函数 f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数 的正负进行判断即可 【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A，B，第 8 页，共 14 页令得或,所以 x 轴右侧的零点为，在上取，则，排除 C，故选：D．6. 解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9 解得 y=0.4． 故选：C． 根据分布列的概率之和是 1，得到关于 x 和 y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得 到另一个关于 x 和 y 的关系式，联立方程，解出要求的 y 的值． 本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨 治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．7. 解：如图：连接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易证 OE∥C1A，从而 C1A∥平面 BDE， ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距 离，设为 h，在三棱锥 E-ABD 中，VE-ABD= S△ABD×EC= × ×2×2× =在三棱锥 A-BDE 中，BD=2 ，BE= ，DE= ，∴S△EBD= ×2 ×=2∴VA-BDE= ×S△EBD×h= ×2 ×h=∴h=1 故选：D． 先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE，再将线面距离转化为点面距离， 最后利用等体积法求点面距离即可 本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法， 等体积法求点面距离的技巧，属基础题8. 解：满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．A．f（x）=2x-x2 的两个零点为 2，4，当 x0=3，在（-∞，3）和（3，+∞）上与 x 轴都有 交点，满足条件． B．判别式△=b2+8＞0 恒成立，即抛物线与 x 轴恒有两个交点，在两个零点之间的任何 一个 x0 都是“界点”． C．由 1-|x-2|=0 得|x-2|=1，得 x-2=1 或 x-2=-1，即 x=3 或 x=1，函数有两个零点 1，3，存 在“界点”． D．函数 f（x）的导数 f′（x）=1-cosx≥0，即函数 f′（x）在 R 上是增函数，不可能存 在两个零点，不存在“界点”． 故选：D． 满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零点即可．结合条件判断函数的零点个数即 可． 本题主要考查函数零点个数的判断，结合满足“界点”的函数必须满足至少含有 2 个零 点是解决本题的关键．第 9 页，共 14 页9. 解：根据题意设 =（1，0）， =（0，1）， 对应的点 C 在单位圆上，（ +2 ）2-（2 + ）2=3 2-3 2=0，所以| +2 |=|2 + |，|2 + |+|3 +2 - |表示 C 点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为 2x-5y+4=0，原点到直线 2x-5y+4=0 的距离为= ＜1，所以与单位圆相交，所以|2 + |+|3 +2 - |的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即 ． 故选：A． ，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．| +2 |=2| + |，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为| +2 |=|2 + |．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中 直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10. 解：∵2an≤an-1+an+1（n∈N*，n≥2），∴an-an-1≤an+1-an， ∴a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6， ∴a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6）， 即 3（a7-a6）≥a6-a3， 故选：C． 由已知可得 a4-a3≤a5-a4≤a6-a5≤a7-a6，则 a6-a3=a6-a5+a5-a4+a4-a3≤3（a7-a6），答案可求． 本题考查数列递推式，考查不等式的性质，是中档题．11. 解：=（1+i）（2 1+i）=2（i 1+i）=-2+2i，则 z 的虚部为 2，|z|==2 ．故答案为：2，2 ． 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积 S=2×6×6+4×4×4-9π+ ×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π． 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求 解即可． 本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已 知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关 键．13. 解：作出 x，y 满足条件的可行域如图：第 10 页，共 14 页目标函数 z=2x+y 在的交点 A（2，2）处取最大值为 z=2×2+1×2=6．原点到点 P（x，y）的距离的最小值是：|OB|= ． 故答案为：6； ； 画出约束条件表示的可行域，判断目标函数 z=2x+y 的位置，求出最大值．利用可行域 转化求解距离即可． 本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的 关键．14. 【分析】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况：①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元；④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元；⑧2 张 10 元，3 张 20 元．由此能求出现从中掏出纸币超过 45 元的 方法总数；小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，由此能求出刚好是 50 元的概率． 【解答】 解：小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同）， 现从中掏出纸币超过 45 元的方法有 8 种情况： ①6 张全取；②1 张 10 元 3 张 20 元；③2 张 10 元 2 张 20 元； ④3 张 10 元 1 张 20 元；⑤2 张 20 元 1 张 10 元；⑥3 张 20 元；⑦3 张 10 元 2 张 20 元； ⑧2 张 10 元，3 张 20 元． ∴现从中掏出纸币超过 45 元的方法有n= + + + + + +=32．小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，基本事件总数 N= =15，刚好是 50 元包含的基本事件个数 M= =3，∴刚好是 50 元的概率 P= = = ．故答案为：32； ．15. 解：设 AC=x，则 AB=2x，在三角形 ABC 中由余弦定理得 BC2=x2+（2x）2-2•x•2x•cos120°=7x2，∴cosC== ，∴sinC= ，∴sin∠ADC=sin（60°+C）=sin60°cosC+cos60°sinC=．在△ADC 中由正弦定理得，∴，∴AD= x= × = ，故答案为：3． 设 AC=x 后，用余弦定理求出 BC，再求出 cosC，sinC，sin∠ADC，接着在△ADC 中用正第 11 页，共 14 页弦定理得 AD= AB，则 AB=3AD．本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦，属中档题．16. 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用判别式大于等于 0，端点处的函数值的符 号，结合配方法，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得△≥0，f（-1）≤0 或 f（1）≤0，化 a2-3b 为 a 的式子，由二次函数的最值求法， 可得最小值． 【解答】解：函数在[-1，1]上有零点，可得△≥0，即（a+ ）2≥4b，且 f（-1）f（1）≤0，即（ -a+b）（ +a+b）≤0；或 f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜- ＜1，即 a-b≤ ，a+b≥- ，-7＜a＜5．即有 a2-3b≥a2-= [（a-1）2- ]≥ ×（- ）=- ，当且仅当 a=1 时，取得最小值- ，故答案为：- ．17. 解：设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得 P（，），，可得 Q（，），由，可得 kFQ=- ，即为=- ，化为 λ=＜e= ，可得 ＜2+k2，对 k＞0 恒成立，由 2+k2＞2，可得 a2≤2b2， 即为 a2≤2（a2-c2），可得 c≤ a，即 0＜e≤ ，故答案为：（0， ]．设直线 OP 的方程为 y=kx（k＞0），代入椭圆方程求得 P，Q 的坐标，由向量数量积为 0 的等价条件可得 OP，FQ 的斜率之积为-1，整理，结合恒成立解法可得 a，b 的关系， 可得所求离心率的范围．第 12 页，共 14 页本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的范围，考查直线方程和椭圆方程联立，化 简整理的运算能力，属于中档题．18. （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）=，利用正弦函数的单调性即可求解．（Ⅱ）由已知可求，求得 ，利用余弦定理，基本不等式可求 ac≤3，可得 a2+c2≤6，根据 a2+c2=3+ac＞3，即可得解其取值范围． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式 等知识在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．19. （Ⅰ）证明 PC⊥AC，AC⊥BC．推出 AC⊥平面 PBC，即可证明平面 ACE⊥平面 PBC．（Ⅱ）过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F．说明 PF 垂直平面 ACE．通过点 E 为 AB 的中 点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等．连结 BD 交 AC 于点 G， 则 GB=2DG．转化求解即可． 另解：建立坐标系．求出平面 ACE 的一个法量，利用空间向量的数量积求解直线 PD 与 平面 AEC 所成角即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象 能力以及计算能力．20. （Ⅰ）通过 an+2=3an+1-2an 可得 an+2-an+1=2（an+1-an）．推出{an+1-an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列然后求解通项公式．（Ⅱ）因为=，利用裂项消项法，求解数列的和，然后求解m 的范围． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21. 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R 就最大是关键．（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又 a2-b2=1，由此可求椭圆方程； （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨 y1＞0，y2＜0，设△F1MN 的内切圆的径 R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN 的面积，利 用换元法，借助于导数，即可求得结论．22. （Ⅰ）求出 f′（x）=2xe3x+3x2e3x=x（3x+2）e3x．从而 f（x）在（-∞，- ）内单调递增，在（- ，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，进而 f（x）的极大值为 f（- ）= ，由此能证明当 x＜0 时，f（x）＜ ．（Ⅱ）k≤，x＞0，令 g（x）=，x＞0，则 g′（x）=，令 h（x）=x2（1+3x）e3x+2lnx-1，则 h（x）在（0，+∞）上单调递增，推导出存在 x0∈（0，1），使得 h（x0）=0，g（x）在（0，+∞）上的最小值是 g（x0）=，由此能求出实数 k 的取值范围．第 13 页，共 14 页本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求不地，考查导数性质、函数的单调性、 最值等基础知识，考运算求解能力，是中档题．第 14 页，共 14 页。

浙江省温州中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷第I 卷(选择题，共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1},A x x =<集合B= {x|log 2x<0},则A∩B 等于( ) A. (0,1)B. (-1,0)C. (-1,1)D. (-∞, 1)2.在平面直角坐标系中,经过点(22,2),P -渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为( )22.142x y A -=22.1714x y B -=22.136x y C -=22.1147y x D -= 3. 设变量x, y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数z= 2x+y 的最大值是( )A.2B.3C.5D.74.若复数122,cos sin ()z i z i ααα=+=+∈R ,其中i 是虚数单位,则12||z z -的最大值为.51A -51.2B -.51C +51.2D + 5.“α≠β”是“cosα≠cosβ"的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数ln ||()x f x x=的图象大致为(7.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、 数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A.72种B.144种C.288种D.360种8.已知随机变量X 的分布列如下表：其中a, b, c>0.若X 的方差.1()3D X ≤对所有a ∈(0,1-b)都成立,则( ) 1.3A b ≤2.3B b ≤1.3C b ≥2.3D b ≥9.如图所示,2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )21.2A -21.2B +61.2C -31.2D - 10. 设a, β是方程210x x --=的两个不等实数根,记*()n n n a n αβ=+∈N .下列两个命题()①数列{}n a 的任意一项都是正整数; ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A.①正确,②错误 B.①错误，②正确 C.①②都正确D.①②都错误第II 卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分,共36分.11.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百;人出九十，适足.问人数、豕价各几何?”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100,则会剩下100; 若每人出90,则不多也不少.问人数、猪价各多少?”设x, y 分别为人数、猪价,则x=___,y=___.12.某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的表面积是_____cm²,体积是____cm³.13.已知多项式(x 20122)(1)m n m nm n x a a x a x a x ++++=++++L 满足014,16,a a ==则m+n=___,012m n a a a a +++++=L ___.14.在△ABC 中,角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, S 为△ABC 的面积，若c=2acosB,2211,24S a c =-则△ABC 的形状为___，C 的大小为____.15. 已知x>0, y>-1, 且x+y=1,则2231x y x y +++的最小值为___. 16.已知12,F F 为椭圆C:22143x y +=的左、右焦点,点P 在椭圆C 上移动时，12PF F V 内心I 的轨迹方程为_______.17.如图，在△ABC 中，已知AB=AC=1,∠A=120°, E, F 分别是边AB, AC 上的点,,,AE AB AF AC λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 其中λ，μ∈(0,1),且λ+4μ=1, 若线段EF, BC 的中点分别为M,N,则||MN u u u u r的最小值为___.三、解答题:本大题共5小题，共74分。

2020年浙江省金华市十校高考数学模拟试卷(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−4<−x ≤3}，B ={x|(x −2)(x +5)<0}，则A ∩B =( )A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)2. 设a ∈R ，若复数z =a−i 3+i (i 是虚数单位)的实部为12，则a 的值为( )A. 43B. 53 C. −2 D. 23. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 34. 设x ∈R ，则“1<x <5”是“−2<x <8”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)=(x +1x )cos2x 在[−2,0)∪(0,2]上的大致图象为( ) A. B.C. D.6. 若线段AB ，BC ，CD 不共面，M ，N ，P 分别为其中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系是()A. 平行B. 直线在平面内C. 相交D. 以上均有可能7. 设ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P 16 16 13 13又设η=2ξ+5，则E(η)等于()A. 76B. 176C. 173D. 3238.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 39.斜三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面ABB1A1是矩形，且2AA1=√3AB，M是AB的中点，记直线A1M与直线BC所成的角为α，直线A1M与平面ABC所成的角为β，二面角A1−AC−B的平面角为γ，则()A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β10.已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=(√a n−1+1)2+1，则a12=()A. 101B. 122C. 145D. 170二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.双曲线y24−x2=1的渐近线方程是______，离心率为______．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是______ ．13.二项式(√x+2x2)n的展开式中第5项或第6项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为__________14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ba=cosC−sinC，a=√2，c=1，则角C=______．15.已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1⋅k2的值为______．16.已知平面向量a⃗、 b⃗ 满足|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为______ ．17.若函数f(x)=ax3−x2+x−5在区间(1,2)上单调递增，则a的范围为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知tan(α+π4)=−3，α∈(0,π2).(1)求tanα的值；(2)求sin(2α−π3)的值．19.如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，若EA：AB：DC=2：2：1，F是BE的中点．(1)证明：FD⊥平面ABE；(2)求CE与平面EAB所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，b n=1S n ，且a3b3=12，S3+S5=21．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求b1+b2+⋯+b n．21. 已知抛物线y 2=23x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．22. 已知a ∈R ，函数f(x)=a x +lnx −1.求当0<a <e 时．f(x)在区间(0,e]上的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A={x|−3≤x<4}，B={x|−5<x<2}；∴A∩B={x|−3≤x<2}=[−3,2)．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2.答案：D解析：解：a∈R，复数z=a−i3+i =(a−i)(3−i)(3+i)(3−i)=3a−110+−3−a10i的实部为12，∴3a−110=12，解得a=2．故选：D．利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．4.答案：A解析：解：根据充分必要条件的定义可得出：“1<x<5”是“−2<x<8”的充分不必要条件．故选：A．直接根据定义即可判断．本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．5.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用特殊位置的函数值符号判断选项即可．解：由题意得f(x)的定义域{x|x≠0}，因为，所以函数f(x)为奇函数，则排除A．又，则排除B，D，故选C．6.答案：A解析：本题考查的是立体几何中直线与平面的位置关系，属于基础题．在空间中B,C,D围成一个三角形，其中N,P分别为BC,CD的中点，∴BD//NP又∵NP⊂平面MNP，BD⊄平面MNP，∴BD//平面MNP．7.答案：D解析：本题考查离散型随机变量数学期望，属于基础题．直接代入公式得E(ξ)=176，即可得E(η)=2×176+5=323．解：E(ξ)=1×16+2×16+3×13+4×13=176，E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×176+5=323．8.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1−1，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．9.答案：B解析：本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力及逻辑推理能力，属于中档题．由最小角定理可得β<α，找出β及γ，通过中间量侧棱与底面所成的角θ比较大小即可得出答案．解：由最小角定理可得β<α，设AB=2，则AA1=√3，侧面ABB1A1是矩形，M是AB的中点，∴A1M=2，设侧棱与底面所成的角为θ，斜三棱柱的高为ℎ=AA1⋅sinθ=√3sinθ，∴sinβ=√3sinθ，2取A1B1的中点N，并连接MN，C1N，可得平面C1CMN⊥底面ABC，过点C1作C1O⊥CM于点O，OG⊥AG于点G，连接C1G，cosθ，则γ=∠C1GO，可得OG=√32∴C 1G =√OG 2+C 1O 2=√34cos 2θ+3sin 2θ =√34+94sin 2θ<√3， ∴sinγ=C 1OC 1G >C 1O 2=√3sinθ2=sinβ，又β，γ均为锐角，所以γ>β．故选：B ．10.答案：C解析：解：∵a n+1=(√a n −1+1)2+1>0，则(√a n+1−1)2=(√a n −1+1)2，∴√a n+1−1−√a n −1=1，∴数列{√a n −1}是等差数列，公差为1．∴√a n −1=1+(n −1)=n ，可得a n =n 2+1，∴a 12=122+1=145．故选C ．a n+1=(√a n −1+1)2+1>0，可得(√a n+1−1)2=(√a n −1+1)2，√a n+1−1−√a n −1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：y =±2x √52解析：解：由y 24−x 2=0得其渐近线方程为y =±2x ，a =2，c =√5，∴e =√52． 故答案为：y =±2x ；√52． 由y 24−x 2=0，能求出其渐近线方程，再由a =2，c =√5，能求出其离心率．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．12.答案：2+2√5解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S△ABC=12×2×2=2，S△PAC=S△PBC=12×√22+12×1=√52，S△PAB=12×2×√22+12=√5；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×√52+√5=2+2√5．故答案为：2+2√5．根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题13.答案：18解析：因为二项式(√x+2x2)n的展开式中第5项或第6项的二项式系数最大，所以展开式共有10项，即n=9；则展开式的通项为T r+1=C9r(√x)9−r(2x2)r=2r C9r x9−5r2，令9−5r2=2⇒r=1；所以展开式中含x2项为为21C91=18. 14.答案：π6解析：解：由cosC=a2+b2−c22ab，∴ba =a2+b2−c22ab−sinC，可得b2+c2−a22ab=−sinC，∴ccosA=−asinC，由正弦定理：sinCcosA=−sinAsinC，∵sinC≠0可得：cosA=−sinA．∵0<A<π．∴A=3π4，由asinA =csinC，可得sinC=12，∴C=π6，故答案为：π6．利用正余弦定理化简可得答案．本题考查三角形的正弦弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．15.答案：−12解析：解：∵椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，∴ca=√22，∴a=√b2+c2=√2b，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M(m,n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x0,kx0)，B(−x0,−kx0).则m2+2n2=2b2，x02+2k2x02=2b2，∴m2−x02=2kx02−2n2．∴k1⋅k2=kx0−nx0−m ⋅−kx0−n−x0−m=n2−k2x02m2−x02=n2−k2x022k2x02−2n2=−12．故答案为：−12．椭圆x2a2+y2b2=1的离心率是√22，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2.设M(m,n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x0,kx0)，B(−x0,−kx0).代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16.答案：124解析：解：由|2a⃗+3b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ =(2a⃗ +3b⃗)224−(2a⃗ −3b⃗)224=124−(2a⃗ −3b⃗)224≤124，当且仅当2a⃗=3b⃗ ，即|a⃗|=14时，上式等号成立．∴a⃗⋅b⃗ 最大值为124．故答案为：124．17.答案：[13,+∞)解析：本题考查利用导数研究函数单调性问题，属于基础题．解：函数f(x)=ax3−x2+x−5在x∈(1,2)上单调递增，f′(x)=3ax2−2x+1≥0，即a≥2x−13x2=1 3(−1x2+2x)max，令g(x)=13(−1x2+2x)，x∈(1,2)，则g(x)=−13(1x−1)2+13，1x∈(12,1)，g(x)<13，所以a≥13．故答案为[13,+∞)．18.答案：解：(1)∵tan(α+π4)=−3，α∈(0,π2)，∴tanα>0，且，求得tanα=2．，，∴sin(2α−π3)=sin2α⋅12−cos2α⋅√32=25+3√310=4+3√310．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．(1)由题意利用两角和的正切公式求得tanα的值．(2)由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin(2α−π3)的值．19.答案：证明：(1)取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM//EA，FM=12EA=1=DC，又EA//DC，∴FM//DC，且FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，又AE//CD，∴AE⊥CM，∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB=A，∴FD⊥平面ABE．解：(2)连结EM，∵MC⊥平面ABE，∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，EA：AB：DC=2：2：1，∴CM=√4−1=√3，CM=√22+22=2√2，sin∠CEM=CMCE =√32√2=√64．∴CE与平面EAB所成角的正弦值为√64．解析：(1)取AB中点M，连结MC，推导出FM//EA，从而FM//DC，且FM=DC，进而四边形FMCD 是平行四边形，FD//MC，由CD⊥平面ABC，得CD⊥CM，从而AE⊥CM，求出DF⊥AE，DF⊥AB，由此能证明FD⊥平面ABE．(2)连结EM，由MC⊥平面ABE，得∠CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)设{a n}的公差为d ，则a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)d2，∵b n=1S n，∴b n =1na 1+n (n−1)d 2=22na 1+n (n−1)d ，∵a 3·b 3=12， ∴(a 1+2d )·26a 1+6d =a 1+2d 3a 1+3d =12， ∴a 1=d ，∴b n =2n (n+1)d ，S n =na 1+n (n −1)d 2=n (n+1)d 2， ∵S 3+S 5=21，∴3×4d 2+5×6d 2=21，∴d =1，∴b n =2n (n+1)，(2)∵b n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)，b 1+b 2+⋯⋯⋯+b n =2(1−12+12−13⋯⋯1n −1n+1)=2(1−1n+1)，∴b 1+b 2⋯⋯b n =2−2n+1=2n n+1．解析：本题考查等差数列的通项公式、前n 项和、裂项相消、以及方程的思想，属于一般题．(1)用通项公式和前n 项和的公式，把所有量用a 1和d 表示，列出方程即可得解；(2)对于数列的通项公式是b n =2n (n+1)=2(1n −1n+1)这种数列一般用裂项相消求和． 21.答案：解：(1)依题意可设直线AB ：x =my +16，将直线AB 与抛物线联立{x =my +16y 2=23x ⇒9y 2−6my −1=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理得y 1+y 2=23m, y 1y 2=−19，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒y 1=−3y 2，⇒m 2=13，∴斜率为√3或−√3．(2)S OACB=2S△AOB=2⋅12|OF||y1−y2|=16×|y1−y2|=16√(y1+y2)2−4y1y2=16√49m2+49≥16×23=19当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为19．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式以及二次函数的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)设直线AB：x=my+16，将直线AB与抛物线联立，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理业绩向量关系，求解直线的斜率即可;(2)利用三角形的面积公式以及弦长公式，结合二次函数的性质求解函数的最小值即可．22.答案：解：因为f(x)=ax+lnx−1，所以f′(x)=−ax2+1x=x−ax2，x∈(0,e].令f′(x)=0，得x=a．由0<a<e，则当x∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上是减少的；当x∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上是增加的，所以当x=a时，函数f(x)取得最小值ln a；解析：求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查计算能力．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题一、单选题1．若集合2{|10},{|0A x x B x =-≥=<x <4}，则A ∩B =（ ）A ．(-∞，-1)B ．[0，4)C ．[1，4)D ．(4，+∞)【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()21110x x x -=+-≥解得1x ≤-或1x ≥，所以(][),11,A =-∞-+∞U ，所以[)1,4A B =I .故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，2,iz i+=则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-2C ．2D ．-2i【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z 的表达式，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，故虚部为2-. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.3．已知双曲线C ：22221y x a b-=（0,0a b >>）的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D【解析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得12a b =，然后再根据离心率的计算公式可得所求． 【详解】由22220y x a b-=可得a y x b =±，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为12y x =±， ∴12a b =， ∴2ba=. ∴离心率2222e 15c a b b a a+===+=． 故选B ． 【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）本题容易出现的错误是认为12b a =，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“1=”改为“0=”，即可得到渐近线的方程． 4．函数的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A ，B ；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.由题意，当时，，，单调递增，排除A ，B 当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，若1(0,),2x ∈则（ ） A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】求得E ξ和D ξ的表达式，由此判断出两者的单调性. 【详解】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查函数的单调性，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．23B ．43C ．83D ．163【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又22242ABCD S=⨯=矩形，P 到底面ABCD 的距离为2，故1842233V =⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 7．“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案. 【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A.本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.8．如图，圆O是半径为1的圆，1,2OA=设B，C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A．1[,3]8-B．[-1，3] C．[-1，1] D．1[,1]8-【答案】A【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将AC BC⋅u u u r u u u r转化为211cos22BC BCθ-⋅u u u r u u u r，其中θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.由此求得AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】设D是线段BC的中点，则有OD BC^.设θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.则AC BC⋅u u u r u u u r()OC OA BC OC BC OA BC=-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cosOC BC BCO OA BCθ=⋅⋅∠-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r211cos22BC BCθ=-u u u r u u u r，且2221111111cos2222228BC BC BC BC BCθ⎛⎫-≥-=--⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由于[]0,2BC∈u u u r，所以当12BC=u u u r时，AC BC⋅u u u r u u u r有最小值18-.又当2BC=u u u r且cos1θ=-时，211cos22BC BCθ-u u u r u u u r有最大值为3，即AC BC⋅u u u r u u u r有最大值3.所以AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C --的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠ B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠ C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠ 【答案】C【解析】解题的关键是通过构造垂面得出PMC α∠=，然后转化到平面中解决即可. 【详解】解：如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，P A ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ， 作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅V V ，可得CM ⊥AB ， ∴PMC α∠=，又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PACα∠∠∠=>>， 2PAC PBC α∴>∠+∠，22PBC PACPCA PCB PCA PCB α∠∠+∠+∠>++∠+∠ 22PBC PACPCB PCA π∠∠=+∠++∠=【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.10．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D【解析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需11422ab a+-<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且1114ab x --=，2114ab x +-=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故1142ab+-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．二、填空题11．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______. 【答案】3 9π【解析】分别求各边长即可得最长棱,通过补成长方体可得球半径. 【详解】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =， 所以22,5,PB PD ==2222222213PC PA AB BC =++=++=.最长棱为:3.该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为1322PC =. 则其外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3；9π.【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题.12．设x ，y 满足约束条件21020,1x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y 的最大值为____；满足条件的x ，y 构成的平面区域的面积是____ 【答案】112512【解析】画出可行域，计算出可行域的面积，平移基准直线230x y +=到可行域边界的位置，由此求得23z x y =+的最大值. 【详解】121⎛⎫⎛⎫15C 到直线AB 的距离为25133+=，所以可行域的面积为1552522312⨯⨯=.平移基准直线230x y +=到可行域边界()1,3A 点位置时，z 取得最大值为213311⨯+⨯=.故答案为：（1）2512；（2）11.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求最大值，考查可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则a 0=____，a 5=____.【答案】160- 15【解析】令0x =，求得0a 的值.由乘法分配律，结合二项式展开式，求得5a 的值. 【详解】由56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，令0x =得()5025a ⨯-=，即0160a =-，5a 即5x 的系数，根据乘法分配律以及二项式展开式可知，5x 的系数为()1105522515C C ⋅⋅+⋅-=，即515a =.故答案为：（1）160-；（2）15 【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题. 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,(423)cos 6A b aB π==+，且b =1，则B =____；△ABC 的面积为____. 【答案】512π14由此利用三角形的面积公式，求得三角形ABC 的面积. 【详解】依题意,(4cos 6A b aB π==+，由正弦定理得(sin 4sincos 6B B π=+，解得tan 2B =，而tantan164tan 2641tan tan643ππππππ++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭-⋅()0,B π∈，所以56412B πππ=+=，则5561212C B ππππ=--==，所以1c b ==，所以1111sin 112224S cb A ==⨯⨯⨯=.故答案为：（1）512π；（2）14【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____. 【答案】21【解析】由题意可知c 最大，a 不能为零，对c 分成5c =和4c =两种情况进行分类讨论，由此求得满足条件的五位数的个数. 【详解】由题意可知c 最大，a 不能为零，当5c =时，则从剩下4个不为零的数中选2个，放在c 的左边，再从剩下的3个数中取两个，放在右边，故方法数有224318C C ⋅=.当4c =时，5不能选取，则从身下3个不为零的数中选两个，，放在c 的左边，再从剩下的2个数中取两个，放在右边，故方法数有22323C C ⋅=.所以总的方法数有18321+=. 故答案为：21 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，属于基础题.16．设12,F F 是椭圆222:1(02)4x yC m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，【答案】[]0,1【解析】根据12PF F ∆的面积列不等式，解不等式求得0||x 的取值范围. 【详解】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以202412414x m m=-≤-，解得[]00,1x ∈. 故答案为：[]0,1 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.【答案】2e 【解析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解． 【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题18．已知函数2()6cos 3(2xf x x ωωω=->0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.（1）求ω的值及f (x )的单调递增区间；（2）若00214()(,)533f x x =∈，求0(1)f x +的值.【答案】（1）4πω=，在区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）5-【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象上相邻两对称轴之间的距离求得ω，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. （2）结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，求得0(1)f x +的值. 【详解】 （1）依题意()()3cos 133cos f x x x x x ωωωω=+-=3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象上相邻两对称轴之间的距离为4，则()280T πωω==>，解得4πω=.所以()43f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令222432k x k ππππππ-≤+≤+，解得1028,8,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的单调递增区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为0063()23sin 43f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即03sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而0214(,)33x ∈，03,4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以04cos 435x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 所以0(1)f x +00023sin 23sin cos cos sin 443434434x x x πππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦324262352525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎭【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 19．如图，已知四棱锥A -BCDE 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，26,AE =CD //BE ，BE =2CD =4，60EBC ∠=︒（1）求证：EC ⊥平面ABC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）33055【解析】（1）通过余弦定理和勾股定理，计算证明证得,EC CA EC CB ⊥⊥，由此证得EC ⊥平面ABC .（2）建立空间直角坐标系，通过直线AD 的方向向量和平面ABE 的法向量，求得线面角的正弦值. 【详解】（1）在三角形ABC 中，由余弦定理得2222222cos12023AC =+-⨯⨯⨯=o .在三角形BCE 中，由余弦定理得2242242cos6023EC =+-⨯⨯⨯=o .所以222222,CE CA EA CE CB EB +=+=，所以,EC CA EC CB ⊥⊥，而CA CB C ⋂=，所以EC ⊥平面ABC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()()0,0,23,23,0,0E A ，()3,1,0B，所以()()()3,1,0,23,0,23,3,1,23AB AE BE =-=-=--u u u r u u u r u u u r，131,,322CD BE ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝u u u r u u u r ，所以31531,,3,,,322D AD ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝u u u r .设(),,n x y z =r 是平面ABE 的法向量，则3023230n AB x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()1,3,1n =r .设直线AD 与平面ABE 所成角为θ，则330sin AD n AD nθ⋅==⋅u u u r ru u u r r .【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N L L （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2)1*n a n +++>-∈N L L . 【答案】（1）n a n =，2n b n=，*n ∈N ；（2）证明见解析. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到n a ，可令1n =，求得1b ，再将n 换为1n -，相减可得n b ； （21n >+-L 注意检验1n =时不等式成立，再假设n k =时不等式成立，证明1n k =+时，不等式也成立，注意运用分析法证明. 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差d 不为零，33a =，可得123a d +=，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2142a a a =，即()()21113a a d a d +=+，解方程可得11a d ==，则()11n a a n d n =+-=.数列{}n b 满足1222n n b b nb a +++=L L ，可得1122b a ==， 当2n ≥时，由12222n n b b nb a n +++==L L ， 可得()()1212121n b b n b n -+++-=-L L ， 相减可得2n nb =，则2n b n =，12b =也适合2n b n =，则2n b n=，*n ∈N ； （2)*1n a n +>∈N L L 即为1n >+L 下面应用数学归纳法证明. （i ）当1n =2=，右边为2>右边，不等式成立；（ii ）假设n k =1k >+L当1n k =+1k >+L1k >+L ，只要证12k k +>+1>-即证10⎛> ⎝，由*k ∈N ，可得上式成立，可得1n k =+时，不等式也成立. 综上可得，对一切*n ∈N1n +>+L)*1n a n +>∈N L L . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用n S 求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．已知抛物线E ：22(0)y px p =>过点Q (1，2)，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足△PAB 的垂心为原点O . （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】（1）将点Q 的坐标代入抛物线方程，由此求得p 的值，进而求得抛物线E 的方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线,AP BP 的方程，联立直线,AP BP 的方程求得P 的坐标，由此判断出动点P 在定直线3x =-上.求得PABQABS S ∆∆的表达式，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）将Q 点坐标代入抛物线方程得2221,2p p =⨯=，所以24y x =.（2）由（1）知抛物线E 的方程为24y x =，所以()1,0F ，设直线l 的方程为1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，所以121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩.由于O 为三角形PAB 的垂心，所以221111PAPA OBPB OAPB x k y k k k k x k y ⎧=-⎪⋅=-⎧⎪⇒⎨⎨⋅=-⎩⎪=-⎪⎩，所以直线AP 的方程为()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+.同理可求得直线BP 的方程为12344y y x y =-+.由2112344344y y x y y y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，结合121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩，解得()3,3P t -，所以P在定直线3x =-上.直线l 的方程为110x ty x ty =+⇒--=，P 到直线l的距离为1d ==Q 到直线l的距离为2d ==所以PABQABS S ∆∆2121343232212222AB d t t t t t t AB d ⨯⨯+===+=+≥=⨯⨯32,23t t t ==±时取等号.所以PAB QAB S S ∆∆的最小值为【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.22．已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，. （1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）单调减区间为3(2,2-+-，单调增区间为3()2-++∞；（2）详见解析；（3）(,2)-∞.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数()h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围. 试题解析： （1）()()2'212f x x x =-++ ()2231(2)2x x x x -++=>-+，当()'0f x <时，2310++>x x .解得x >当()'0f x >时，解得2x -<<所以()f x 单调减区间为32,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，单调增区间为32⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设()()()h x f x g x =-()()()22ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．()()223122'x x x h x -++=-+()()2312x x x -++=+，∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为()()223'12x x k x h x -++=-+()226222x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()22ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．∴()()()()22ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.。