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《材料力学》第章%B应力状态和强度理论%B习

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材料力学 第七章 应力状态及强度理论

材料力学 第七章 应力状态及强度理论


2 4 x y x 2
2 x
cos 2 0
将
1 1 tg 2 2 0



2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
2 4 x y x 2
2 x
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 10 30 10 30 cos 60 20 sin 60 2 2 2.32MPa

x y
2 10 30 sin 60 20 cos 60 2 1.33MPa
第七章
应力状态与强度理论
7-1 何谓应力状态 1、什么是应力状态 同一点处，不同方向斜截面上 应力也不一样， 同一点处，不同方向斜截 面上应力的集合，称为该 点的应力状态 一点处所有斜截面上的应力情况 研究应力状态：
cos2
sin 2
1 2
最大、最小正应力、切应力
主应力采用符号：
1 , 2 , 3
并且规定
1 2 3
5、按主应力分类应力状态 （1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零 .
（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零
7-2 平面应力状态
有一对面没有应力（假设前、后一对面没有），将单元体用平 面图形表示
sin 2 x cos 2
二、 最大正应力和最大剪应力
1、最大正应力

令
当
x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2

材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

材料力学应力状态分析强度理论

材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。

材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。

材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论

2 0

ar
c
tan

x
2 x
y

第26页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变化的应
力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态 吗？
第27页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
§7-3 空间应力状态的概念
第21页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
一点处切应力等于零的截面称 为主平面，主平面上的正应力 称为主应力。据此可知，应力 圆圆周上点A1和A2所代表的就 是主应力；但除此之外，图a所 示单元体上平行于xy平面的面 上也是没有切应力的，所以该 截面也是主平面，只是其上的 主应力为零。

D1 x , x

O
C
D2 y , y
(b)
第16页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论

D1 x , x

O
C
D2 y , y
(b)
值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的 x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单
2

第20页 / 共79页
材料力学
Ⅲ. 主应力与主平面
第七章 应力状态和强度理论
由根据图a所示单元体上的 应力所作应力圆(图b)可见，圆 周上A1和A2两点的横坐标分别 代表该单元体的垂直于xy平面 的那组截面上正应力中的最大 值和最小值，它们的作用面相 互垂直(由A1和A2两点所夹圆心 角为180˚可知)，且这两个截面 上均无切应力。

厦门理工材料力学-第8章b

厦门理工材料力学-第8章b

第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
根据第一强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元内的最 大拉应力达到了某个共同的极限值。

max

o max
( 1 0)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述
大量实验结果表明，无论应力状态多么复杂， 材料在常温、静载作用下主要发生两种形式的强 度失效：一种是屈服；另一种是断裂。 本节将通过对屈服和断裂原因的假说，直接 应用单向拉伸的实验结果，建立材料在各种应力 状态下的屈服与断裂的强度理论。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述 关于脆性断裂的强度理论 关于屈服的强度理论 工程应用之二：圆轴承受弯曲与扭转共同作用 时的强度计算 工程应用之三：圆柱形薄壁容器应力状态与 强度计算 结论与讨论(B)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
零件或构件在载荷作用下，没有明显的破坏 前兆（例如明显的塑性变形）而发生突然破坏的 现 象 ， 称 为 断 裂 失 效 （ failure by fracture or rupture）。
2 y 4 xy 2

x y
2

1 2

x
2 y 4 xy 2
0
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用

例 题
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
解：最后应用第一强度理论校核强度
max= 1= 29.28MPa < [] = 30MPa

孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-应力状态和强度理论(圣才出品)

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六、强度理论及其相当应力 强度理论是关于材料破坏规律的假设。材料破坏或失效的基本形式有两种： （1）脆性断裂：在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂的破坏形式； （2）塑性屈服：产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力的破坏形式。 按照强度理论所建立的强度条件可统一写作：σr≤[σ]。常用强度理论分类及其主要内容 见表7-1-5。
一、应力状态概述（见表7-1-1） 表7-1-1 应力状态概述主要内容
二、平面应力状态的应力分析·主应力（见表7-1-2）
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表7-1-2 主应力主要内容
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三、空间应力状态的概念 对于受力物体内一点处的应力状态，最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力 和切应力，这种应力状态为一般的空间应力状态。在一般的空间应力状态中，有9个应力分 量，分别为正应力σx、σy、σz和切应力τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy，其中τxy＝τyx、τxz＝τzx、 τyz＝τzy。 四、应力与应变间的关系（见表7-1-3）
τA＝M2/Wp＝16×78.6/（π×0.023）Pa＝50MPa
σA＝M1/Wz＝32×39.3/（π×0.023）Pa＝50MPa
A 点单元体如图 7-2-2（d）所示。
图 7-2-2（d）
7-2 有一拉伸试样，横截面为 40mm×5mm 的矩形。在与轴线成 α＝45°角的面上 切应力 τ＝150MPa 时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力 F 的数值。

B
=
FS 2Iz
( h2 4
−
y2)

工程力学课件 10.材料力学-应力状态和强度理论

工程力学课件 10.材料力学-应力状态和强度理论
目录
8.1 应力状态的概念 8.2 二向应力状态 8.3 三向应力状态 8.4 广义胡克定律 8.5 强度理论及其应用
2
一、引言
§8.1 应力状态概述
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
P 铸铁拉伸
铸铁压缩
M
P
低碳钢
铸铁
P
P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。
4
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集
合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。
三、单元体：
单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小
的几何体，常用的是正六面体。
sy
单元体的性质—a、平行面上，应力均布；
2
3
[例6] 求图a)所示单元 体(应力单位为MPa)的主应 力、最大正应力和最大切 应力。
解 由图a)所示单元体可知，一个主应力为–30 MPa。为求 另外两个主应力，可分析与已知主应力平行的单元体斜截面上
的应力情况。在 s t 坐标面内，按选定的比例尺，由坐标
(120，–30)和(40，30)分别确定D、E两点(图b))，以DE为直径 作圆即得所求应力圆。该圆与x轴交于A、B两点。量得OA＝ 130 MPa、OB＝30 MPa。由此可知单元体处于三向应力状态。
主应力分别是
s1 s max 39 MPa，s 2 0，s 3 s min 89 MPa
3、应力圆（ Stress Circle）
sy
y
sx

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

材料力学 第七章 应力状态与强度理论

取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2

cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2

x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2

应力状态和强度理论-工程力学-课件-11

应力状态和强度理论-工程力学-课件-11
4
材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概 念，可知： （1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。
（2）受力构件的破坏都与极值应力有关，而极值应力不 一定作用在横截面上。 实际构件大部分都承受组合变形，要讨论组合变形的 强度问题，必须研究过一点不同截面上的应力情况。
5
§11.2 一点应力状态的描述
极值剪应力作用面与主平面互成45°。 tg 2 0

x y
sin 2 xy cos 2
1 tg 2 1
21
例 7－ 2： 求主应力并画出主单元体。 解：
x 10 MPa y 30 MPa xy 20 MPa
y
30
求主应力
x y max x y 2 xy 2 2 min

sin 2 xy cos 2
定义域：
－≤≤，以为周期，即相互平行的面（夹
角为0或180°）表示同一截面。 由于 易得
cos 2 cos 2 2
sin 2 sin 2 2

＋

2
x y 常量
任务：已知通过一点互相垂直截面上的应力，讨论任意斜截
面上的应力，进一步确定过该点的极值应力及其作用面。 从受力构件内部一点截取原始单元体（各侧面上的应力已知） 习惯：建立坐标轴 xy，应力符号的下标表示作用面法线。 习惯： 为便于分析，得到通用公式规定如下： 正应力 ：拉应力为正。 y
σy τyx σx τxy




17
§11.4 主应力、主平面与极值剪应力
11.4.1 主应力与主方向的确定

材料力学第六章应力状态与强度理论

材料力学第六章应力状态与强度理论
(c)
e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2

x y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为：
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x y
2

x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论

材料力学应力状态与强度理论

材料力学应力状态与强度理论

p cos cos2
p sin sin cos sin 2
2
过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状
态。
二、单元体
y
y yz
yx
xz
zx
z zy
xy
z
围绕构件内一点截取一无限小正
六面体称为单元体。
x
单元体相对两面上的应力大小相
x 等，方向相反。
若所取单元体各面上只有正应 力，而无剪应力，此单元体称为主
60
60
80 0 2
80 0 cos120 40 sin120 2
54.64MPa
60
80 0 sin120 40 cos120 2
54.64MPa
[例7－2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体
上标出主应力的方位。
40MPa
解：已知 x 50MPa,
2
二、主平面的方位
设主平面的方位角为0，有
0
x
y
2
sin 20
x
cos 20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
tg 2 0
2 x x
y
三、主应力
将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得
' "
x
y
2
x
2
y
2
2 x
四、最大剪应力
max
1
2
3
※解题注意事项：
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
2 x x
y
在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有两个解，
其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
[例7－1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
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第七章 应力状态和强度理论 习题解[习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

[习题7-1（a ）]解：A 点处于单向压应力状态。

224412d F d F F A N A ππσ-=-==[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。

3316161d T d T W T P A ππτ-===MPa mm mm N 618.798014.310816336=⨯⋅⨯⨯=[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。

0=∑AM04.028.02.1=⨯--⨯B R )(333.1kN R B =A σA τ)(333.1kN R Q B A -=-=MPa mmN A Q A 417.01204013335.15.12-=⨯⨯-=⨯=τB 点处于平面应力状态MPam m m m m m N I y M zB B 083.21204012130103.0333.1436=⨯⨯⨯⋅⨯⨯==σMPa m m m m m mN b I QS z zB 312.0401204012145)3040(1333433*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ[习题7-1（d ）]解：A 点处于平面应力状态MPa m m m m N W M zA A 064.502014.3321103.39333=⨯⨯⋅⨯==σMPa m m m m N W T PA 064.502014.3161106.78333=⨯⨯⋅⨯==τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540⨯的矩形。

在与轴线成045=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。

试求试样所受的轴向拉力F 。

解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2x yx τσστ+-=AF 2045=τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，1502045≤=AFτ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==⨯⨯==[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。

由于实用的原因，图中的α角限于060~0范围内。

作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。

现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3，且这一拉杆A τB τBσAτA σ的强度由胶合缝强度控制。

为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++=][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=A F A F A F ][22cos 1σα≤+A F][cos 2σα≤AFασ2cos ][A F ≤ασ2max,cos ][AF N =ατασστα2cos 2sin 2x yx +-=][43][2sin 2στατα=≤=A F ασ2sin ][5.1A F ≤ασ2sin ][5.1max,AF T =α（）0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60N F max,（A ][σ） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 T F max,（A ][σ）47.754 4.386 2.334 1.732 1.5621.523 1.523 1.732最大荷载随角度变化曲线0.0001.0002.0003.0004.0005.0000102030405060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,TFmax,NFmax,T最大荷载随角度变化曲线0.0001.0002.0003.0004.0005.0000102030405060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,TFmax,NFmax,T由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当060=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：A F ][732.1max σ=[习题7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力][5.0][στ=，而M P a 7][=τ，MPa 14][=σ，则α值应取多大？若杆的横截面面积为21000mm ，试确定其最大许可荷载。

解： 由上题计算得：ασ2max,cos ][AF N =ατασστα2cos 2sin 2x yx +-=][5.0][2sin 2στατα=≤=A Fασ2sin ][A F ≤ασ2sin ][max,AF T =α（0）0.9102026.565051 30405060 N F max,（A ][σ）1.000 1.031 1.132 1.250 1.333 1.7042.420 4.000 T F max,（A ][σ）31.836 2.924 1.556 1.2501.155 1.015 1.0151.155由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当0565051.26=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：kN N mm mm N A F 5.17175001000/1425.1][25.122max ==⨯⨯==σ[习题7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面n m -上正应力及切应力的计算公式。

设截面n m -的法线与x 轴成α角如图所示（作图时可设||||x y σσ>）。

解：坐标面应力：X （x σ，0）；Y （y σ，0）设n m -斜面的应力为M （ασ，ατ）。

X 、Y 点 作出如图所示的应力圆。

由图中的几何关系可知：)(11N O O O NO --=-=ασ)2cos 22|(|ασσσσσyx yx x ---+-=)2cos 22(ασσσσσyx yx x ---+--=)2cos 222(ασσσσσyx yx x ---+--=ασσσσ2cos 22yx yx -++=ασσατα2sin 22sin yx OM -==[习题7-6] 某建筑物地基中的一单元体如图所示，MPa y 2.0-=σ（压应力），MP ax 05.0-=σ（压应力）。

试用应力圆求法线与x 轴成顺时针060夹角且垂直于纸面的斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。

解：坐标面应力：X （-0.05，0）；Y （-0.2，0）060-=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 05.0。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 1625.0060-=-σMPa 065.0060-=-τ按习题7-5得到的公式计算如下：ασσσσσα2cos 22yx yx -++=MPa 1625.0)120cos(22.005.022.005.00600-=-+-+--=-σασστα2sin 2yx -=MPa 065.0)120sin(22.005.00600-=-+-=-τ作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。

[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力MPa mm mm mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124363=⨯⨯⋅⨯⨯⨯===σMPa m m m m m m N bI QS z z 88.0801608012160)4080(10104333*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ（2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）Y （0，0.88）(3) 作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。

从图中按比例尺量得：MPa 66.101=σMPa 06.03-=σ0075.4=α[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a ）]解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）060=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 250120-=σ， MPa 260120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；000=α。

[习题7-8（b ）]解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）030=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 26060-=σ ，MPa 15060=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ；0045-=α。

[习题7-8（c ）]解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）030=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 50060-=σ ，0060=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。

单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图1σ3σ[习题7-8（d ）]解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）00=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 40045=σ ，10045=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；'003539=α。

[习题7-9] 各单元体如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-9（a ）]解：坐标面应力：X （130，70）；Y （0，-70）。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 5.1601=σ,MPa 02=σ，MPa 5.303-=σ；'005623-=α。

单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图单元体图应力圆（O.Mohr 圆）主单元体图2σ3σ[习题7-9（b ）]解：坐标面应力：X （-140，-80）；Y （0，80）。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 40。

按比例尺量得斜面的应力为：MPa 0.361=σ,MPa 02=σ，MPa 1763-=σ；006.65=α。