第一章 变量与函数

第一章 函数与极限一．学习目的理解函数的概念,熟悉基本初等函数的各种性质,掌握反函数、隐函数、复合函数、分段函数的概念；掌握极限的定义，理解无穷小的概念及阶的比较，熟练运用两个极限存在准则及两个重要极限。

理解连续的概念，反函数及复合函数的连续性，熟悉和掌握闭区间上连续函数的概念，熟练运用闭区间上连续函数的性质。

二．学习重点深刻领会数列极限、函数极限的定义，掌握简单的极限证明问题，熟练运用两个极限存在准则及两个重要极限。

连续的概念，闭区间上连续函数的性质三．学习难点对初学者来讲，极限的概念比较抽象，要真正理解把握有一定的困难，但它又是微积分的基石，只有真正理解了极限的概念，才能对学习后续的连续、导数、可积及数列的收敛等内容打下坚实的基础。

从某种角度上说，微积分至始至终都是极限的思想。

它是我们的灵魂所在，因此把握好极限的概念对学好高等数学至关重要。

运用闭区间上连续函数的性质证明有关问题四．内容提要1．函数及其性质（1） 定义：如果当变量x 在其变化范围任取一个值时，变量y 按一定的法则总有确定的数值和它对应，就称y 是x 的函数，记作：y = f (x) 或)(x y ϕ=, y = F(x) 等x 称为自变量,y 称为因变量,或函数.自变量x 的变化范围称为这函数的定义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。

（2） 性质a ． 有界性：设函数f(x)在I 内有定义，如果存在正数M ，使得当x 取I 内任何一个值时，对应的函数值f(x)都满足不等式M x f ≤|)(|则称)(x f 在I 内有界；否则称)(x f 无界。

注：1）正数M 不唯一，因此M x f ≤|)(|也可换成M x f <|)(|2）)(x f 是否有界与所讨论区间有关。

b. 单调性：如果函数)(x f 在区间I 上有定义，对任意的两1x ，2x ∈I ，当1x <2x 时,有 )()(21x f x f < ())()((21x f x f >则称函数)(x f 在区间I 上单调增加(减少)的. c. 奇偶性：如果函数)(x f 对于定义域内任意x 都有)(x f -= )(x f （)(x f -= )(x f -）则称)(x f 为偶函数（奇函数）。

其图形关于y 轴（原点）对称。

注：1）奇偶函数的定义域一定关于原点对称，反之不然。

2）如果)(x f 为奇函数，则f （0）=0。

d. 周期性：设函数)(x f 的定义域为D ，如果存在一个不为零的数t ，使得对于任意x ∈D有（x ±t ）∈D ，且)(t x f += )(x f 则称)(x f 为周期函数，t 称为)(x f 的周期。

注：1）)(t x f += )(x f 中的非零常数与x 无关。

2）如果t 是)(x f 的周期，则kt （k=±1，±2，……）也是 )(x f 的周期。

通常的周期指最小正周期。

3）并非任何一个周期函数都有最小正周期。

例如，)(x f = C （C = constant ）。

则任何实数t 都是其周期。

2．反函数定义：设函数y = )(x f 的定义域为D ，值域为R ，对于R 中的每一个y 值，在D 上必有确定的x 值与之对应。

使)(x f =y 。

此时x 也是y 的函数。

称为y=)(x f 的反函数，记为x=)(1x f - 。

注：1）通常所说的函数为单值函数。

因此，往往讨论一个函数的反函数时要求其单调。

即对于R 中一个确定的y 值，在D 上只能有一个唯一的x 值与之对应。

2）反函数与直接函数有相同的单调性。

3．复合函数定义：设函数y = f （u ）的定义域为1D ，函数u=g （x ）在D 上有定义，且g （D ）⊂1D ，则由下式确定的函数：y = [])(x g f ，x ∈D称为由函数u=g （x ）和函数y=f （u ）构成的复合函数，变量u 称为中间变量。

注：定义中的g （D ）⊂1D 是函数f 与函数g 能构成复合函数的关键所在。

如果g （D ）⊄1D ，则对某个0x ∈D ，g （0x ）=0u ∉1D 。

此时f （0u ）将没有定义。

4．初等函数 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。

5．数列的极限和无穷大量 （1） 数列极限的定义若对任意的ε>0，存在N ∈N ，使得对于一切n > N,有||a x n -< ε成立，则称数列}{n x 的极限为a ，记为：n n x ∞→lim = a此时称数列}{n x 收敛，否则称数列}{n x 发散。

（2） 无穷大量的定义若对任意的G>0，存在N ∈N ，使得对于一切n > N,有||n x > G成立，则称数列}{n x 是一个无穷大量，记为：∞=∞→n n x lim 。

6． 函数极限a ．x->0x 时函数的极限设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义，若对任意ε>0,总存在δ>0,使得对一切满足0<||0x x -<δ的x,有ε<-|)(|a x f成立,则称a 为函数)(x f 当x->0x 时的极限,记作:)(lim 0x f x x → = a注：1）ε反映了)(x f 与a 间的距离。

2）δ反映了x 与0x 靠近的程度，δ为ε的函数，δ不唯一。

3）函数在一点处是否有极限与函数在该点处是否有定义无关。

ｂ．x->∞时函数的极限。

设函数)(x f 在|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数a ，对于任意的ε>0,总存在M>0，使得当|x|>M 时，ε<-|)(|a x f 总成立，则称常数a 为函数)(x f 当x->∞时的极限，记作：)(lim 0x f x x → = a注：1）ε反映了)(x f 与a 之间的距离。

2）M 不唯一，但与ε有关，在取M 时没必要取最小的M 。

c. 函数值趋于无穷大的情形∞=→)(lim 0x f x x 的定义 若对任意的G>0，存在δδ<-<>00,0x x 当时有|)(|x f > G 成立，则称0)(x x f 在点趋于无穷大（或发散到无穷大）， 记为：∞=→)(lim 0x f x x 。

+∞=→)(lim 0x f x x 的定义 若对任意的G>0，存在δδ<-<>00,0x x 当时有)(x f > G 成立，则称0)(x x f 在点趋于正无穷大（或发散到正无穷大）， 记为：+∞=→)(lim 0x f x x 。

∞=∞→)(lim x f x 的定义 若对任意的G>0，存在X >>x 当,0X 时有|)(|x f > G 成立，则称在)(x f 无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大）， 记为：∞=∞→)(lim x f x 。

类似有+∞=∞=∞=+∞→→→-+)(lim ,)(lim ,)(lim 0x f x f x f x x x x x 等等的定义。

d. 左右极限左右极限主要目的是研究分段函数在分段点处函数的极限问题。

函数)(x f 当x->0x 时极限存在的充要条件是)(x f 当x->0x 时的左右极限存在并且相等，即：)(lim 0x f x x → = a ⇔)(lim 0x f x x +→= a = )(lim 0x f x x -→ 7．函数的连续设函数y = )(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果y x ∆→∆0lim = []0)()(lim 000=-∆+→∆x f x x f x那么就称函数y = )(x f 在点 0x 连续注：1）首先)(x f 一定在 0x 的某一邻域有定义，而不是去心邻域内有定义。

2）与之等价的定义：)(lim 0x f x x → = )(0x f3）左右连续同样是为了研究分段函数在分段点处的连续性问题：)(l i m 0x f x x → = )(0x f ⇔)(lim 0x f x x -→ = )(lim 0x f x x +→ = )(0x f 1． 间断点及其类型（1） 第一类间断点：)(lim 0x f x x -→、)(lim 0x f x x +→均存在 a ． 可去间断点：)(lim 0x f x x -→ = )(lim 0x f x x +→ b ． 跳跃间断点：)(lim 0x f x x -→ ≠ )(lim 0x f x x +→ （2） 第二类间断点：除去第一类间断点之外的间断点，主要包括：无穷间断点和振荡间断点。

2． 反函数及复合函数的连续性（1） 如果函数 y = )(x f 在区间 x I 上单调且连续，那么它的反函数x= )(1y f-也在对应的区间 y I 上单调且连续（2） 设函数y=()[]x g f 是由y =)(u f 与函数u= )(x g 复合而成，gf x U ⊂)(0若函数u=)(xg 在0x x =连续，且00)(u x g =，而函数)(u f y =在o u u =连续，则复合函数y=()[]x g f 在0x x =也连续。

3． 闭区间上连续函数的性质（1） 闭区间上的连续函数必有界。

（2） 闭区间上的连续函数存在最大值与最小值。

闭区间上的连续函数可以取到介与最大值与最小值之间的任一函数值。

8．无穷小阶的比较及应用无穷小阶的比较主要是研究在同一变化过程中的无穷小量趋于零的速度的“快慢”。

对等价的无穷小量主要用来求极限问题，即：若0)(lim )(lim 1==x x αα ，且 )(~)(1x x αα0)(lim )(lim 1==x x ββ ，且 )(~)(1x x ββ 则)()(lim )()(lim )()(lim )()(lim1111x x x x x x x x βαβαβαβα=== 五．疑难解析：1． 对∞的理解∞ 表示变量的一种变化趋势，如果说某一变量在某个变化过程中趋于∞，是说在此变化过程中此变量的绝对值越来越大。

因此∞并不是一个通常意义上的一个数。

初学者往往会把它当一个数来处理，比如犯：0∞⋅=0，0∞=1等类似的错误。

2． 对极限的理解 如果把数列{n x } 看成是定义在自然数集上的函数，则前面所说的数列极限及函数极限都可看成是函数极限。

把n->∞,x->0x ,x->∞看成是自变量的某个变化过程。

因此，我们可以对极限做如下的概括：对于任意的ε>0，在函数)(x f 的某一变化过程中，总存在那么一个时刻，从那个时刻之后，ε<-|)(|a x f 总成立，则称)(x f 在此变化过程中以a 为极限，记为 a x f =)(lim（1）如果函数)(x f 是数列{n x }，则“变化过程”指“n->∞”；“总存在那么一个时刻”指“总存在N ∈M ”；“从那个时刻之后”指“当n > N 时” ；（2）如果函数)(x f 是定义于)(00x U ,“变化过程”指“ x->0x ”；“总存在那么一个时刻”指“总存在正数δ”；“从那个时刻之后”指“当0< ||0x x -<δ时”。