变量与函数 知识讲解

变量与函数一、知识回顾1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

二、典型例题例1：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠B．体温 C．时间D．骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．______________________________________________________________________例2：在圆的周长公式C=2r中，变量是________,________,常量是________.分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解答：∵在圆的周长公式C=2r中，C与r是改变的，是不变的；∴变量是C，r，常量是2．例3．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：在A、B、D、选项的图上任意取一点，做垂直于x的直线，发现只有一个交点，故正确。

变量与函数教材解析
变量与函数是计算机科学和数学中的基本概念。

以下是对这两个概念在教材中的解析：
1.变量：
o在计算机科学中，变量是用来存储和表示数据的容器。

它们可以存储各种类型的数据，如数字、文本、布尔值
等。

变量可以通过赋值操作来存储数据，并且可以在程
序中被多次引用和修改。

o在数学中，变量是用来表示未知数或可变的数值。

它们可以表示各种数学问题中的参数或未知量，并用字母或
符号来表示。

变量在数学中常常用于建立方程、解方程
和表示数学关系。

2.函数：
o在计算机科学中，函数是一段封装了特定功能的代码块。

它接收输入参数（也称为参数或实参），通过执行一
系列操作或算法，产生输出结果。

函数可以在程序中被
多次调用和重复使用，提高代码的可重用性和模块化。

o在数学中，函数是一个映射关系，将一个集合的元素（输入）映射到另一个集合的元素（输出）。

函数用符号
表示，并以输入变量的值来确定输出变量的值。

函数可
以描述数学关系、图形变换、物理规律等，是数学中的
基本概念之一。

在教材中，变量和函数通常被介绍为基本的编程和数学概念。

学生通过理解和掌握这些概念，可以进行数据存储、处理和计算，以及建立数学模型和解决问题。

教材会涵盖变量和函数的定义、用法、语法规则以及实际应用案例，以帮助学生建立对这些概念的深入理解和应用能力。

变量和函数是数学和计算领域中的重要概念。

它们在数学教材中通常被详细解析和说明。

下面是对变量和函数在教材中的解析：变量（Variable）：变量是表示数值或量的符号或字母，其值可以在一定范围内变化。

在数学中，变量通常用字母表示，例如x、y、z 等。

变量可以代表任意数值，并且在数学问题中的解决过程中可以发生变化。

函数（Function）：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值（称为自变量）映射到一个输出值（称为因变量）。

函数通常用符号f(x) 表示，其中f 是函数名称，x 是自变量。

函数可以表示为数学公式、图形、表格或算法的形式。

自变量（Independent Variable）：自变量是函数中输入的值，它的值可以独立选择。

自变量的变化会影响函数的输出结果。

因变量（Dependent Variable）：因变量是函数中输出的值，它的值依赖于自变量的取值。

当自变量改变时，因变量的值也会相应地改变。

定义域（Domain）：函数的定义域是自变量可能取值的集合。

它规定了函数有效的输入范围。

值域（Range）：函数的值域是函数可能取得的所有因变量值的集合。

它表示了函数的输出范围。

图像（Graph）：函数的图像是在坐标系中表示函数的点集合。

自变量对应于横坐标，因变量对应于纵坐标。

线性函数（Linear Function）：线性函数是具有形如f(x) = mx + b 的函数，其中m 和 b 是常数。

线性函数的图像为一条直线。

指数函数（Exponential Function）：指数函数是具有形如f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数。

指数函数的特点是自变量为指数。

对数函数（Logarithmic Function）：对数函数是指满足f(x) = logₐx 的函数，其中 a 是正实数且不等于1。

对数函数和指数函数是互为反函数。

教材通常会详细讨论这些概念，并提供示例、练习和图表来帮助学生理解和应用变量和函数的概念。

变量与函数知识要点：1.常量和变量的概念在某一变化过程中，我们称数值可以发生变化的量（即可以取不同数值的量）叫变量，数值保持不变的量叫常量。

2.常量和变量的关系常量与常量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：①看它是否在一个变化过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。

常量是相对于某一个过程或另一个变量而言，绝对的常量是不存在的。

3.函数的概念在一变化过程中，如果有x和y两个变量，并且对于x的每一个确的值，y都有惟一确定与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

4.自变量的取值范围（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在一下几个方面：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开放式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解。

（2）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。

5.函数值（1）对于自变量在取值范围的一个值。

如当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值；（2）求函数值的一般步骤：①代入；②计算求值。

注意：函数值是惟一确定的，但对应的自变量可以是多个。

6.函数图像对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，在坐标平面内就有一个点。

由这样的点的集合组成的图形叫作函数的图像。

7.画函数图像的步骤（1）列表：根据函数的解析式列出函数对应值表；（2）描点：用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点；（3）连线：把这些点用平滑的曲线连结起来，可得函数图像。

8.函数的三种表示方法（1）解析式法：优点是简明扼要、规范准确，便于分析推导函数的性质，不足之处是不能把一个函数在自变量取值范围内的所有函数值都列出来，所以有局部性；（2）列表法：优点是能够清晰地呈现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；（3）图像法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，不足之处是求得的函数值是近似的。

数学中的变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

变量是指在数学问题中可以改变的数值，而函数则是将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。

本文将探讨变量与函数之间的关系，并介绍在数学中常见的变量与函数的应用。

一、变量的概念与特点变量是数学中常见的概念，它表示可以改变的数值。

在数学问题中，我们经常需要考虑各种不同的情况，而这些情况中的数值就可以用变量来表示。

例如，我们可以用字母x表示一个未知的数值，这样就可以通过改变x的值来研究不同的数学关系。

变量的特点主要有以下几个方面：1. 可变性：变量的值可以根据需要进行改变，从而反映不同的情况或条件。

2. 未知性：变量通常代表一个未知的数值，我们需要通过运算或实验来确定其具体的取值。

3. 表示方式：变量通常用字母表示，如x、y、z等，但也可以使用其他符号或字母组合。

二、函数的定义与表示方式函数是一种将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。

它描述了输入和输出之间的关系，并可以用数学方式来表示。

通常，一个函数由以下几个要素组成：1. 自变量：函数的自变量是指输入的变量，也就是函数的参数。

它可以是一个或多个变量。

2. 因变量：函数的因变量是指函数的输出，也就是函数的值。

它通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。

3. 函数表达式：函数表达式是用来描述函数的数学式子，它由自变量和因变量之间的关系构成。

例如，f(x) = 2x表示一个线性函数，表示自变量x经过乘以2的运算后得到因变量f(x)。

函数可以用不同的表示方式来进行表达，常见的有以下几种形式：1. 显式表达式：函数表达式中直接给出了因变量与自变量之间的关系，如f(x)= 2x。

2. 隐式表达式：函数表达式中未直接给出因变量与自变量之间的关系，而是通过方程或不等式来描述，如x^2 + y^2 = 1表示一个圆的方程。

3. 参数方程：函数表达式中通过参数来描述因变量与自变量之间的关系，如x= cos(t), y = sin(t)表示一个单位圆的参数方程。

变量与函数知识点总结在计算机编程领域中，变量和函数是两个十分基础且重要的概念。

本文将对变量与函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用它们。

一、变量变量是一种存储数据的容器。

在编程中，我们可以通过定义变量来存储各种类型的数据，如整数、浮点数、字符等。

以下是变量的相关知识点：1. 变量定义与命名变量的定义需要指定变量名和类型。

变量名是由字母、数字和下划线组成的字符串，不能以数字开头，且要遵循命名规范。

命名规范一般要求变量名具有描述性，能清晰表达变量的含义。

2. 变量的赋值与修改通过赋值操作，可以将某个值存储到变量中。

例如：int age = 25;这行代码将整数25赋值给名为age的变量。

变量的值可以随时修改，只需要通过赋值操作重新赋予新的值。

3. 变量的作用域变量的作用域指的是变量的可访问范围。

在不同的代码块中定义的变量拥有不同的作用域。

全局变量在整个程序中可见，而局部变量只在定义它们的代码块内可见。

4. 变量的数据类型常见的数据类型包括整型、浮点型、字符型等。

数据类型决定了变量能够存储的数据范围和操作方式。

不同编程语言可能支持的数据类型有所差异，需要根据具体语言的规范来选择适合的数据类型。

二、函数函数是一段可重复调用的代码块，用于完成特定的任务。

通过定义函数，可以提高代码的可读性和可维护性。

以下是关于函数的相关知识点：1. 函数的定义与调用函数定义包括函数名、参数列表和函数体。

函数名用于标识函数，参数列表指定函数接收的输入，函数体包含具体的代码实现。

函数的调用通过函数名和参数完成。

2. 函数的返回值函数通常可以返回一个结果，在函数体中使用return语句返回特定的值。

函数的返回类型需要在函数定义时指定。

3. 函数的参数传递函数可以接收多个参数，参数可以是不同的类型。

参数传递可以按值传递，也可以按引用传递。

按值传递是传递参数的副本，而按引用传递直接传递参数的地址。

4. 函数的递归递归是指函数可以直接或间接地调用自身。

变量与函数的概念知识点一函数的概念1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．知识点二函数相等一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：取遍数轴上所有的值3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．1．集合A ＝{}正方形可以作为某个函数的定义域．( ) 2．若1∈A ，则对于f ：A →B ，f (1)可能不存在．( )3．对于函数f ：A →B ，当x 1，x 2∈A 且x 1>x 2时，可能有f (x 1)＝f (x 2)．( ) 4．区间不可能是空集．( )类型一 函数关系的判断 例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1. 类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝2x ＋3－12－x＋1x.跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三 求函数的值域例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x 2.类型四 对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．跟踪训练4 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③D ．②③课时对点练一、选择题1．下列各式中是函数的个数为( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23．已知f (x )＝π(x ∈R)，则f (π2)的值是( ) A ．π2B ．π C.π D ．不确定4．已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或15．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16二、填空题7．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 9．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是________． 10．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (a )； (2)若f (a )＝11，求a 的值．12．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．13．已知A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，求A ∩B .四、探究与拓展14．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 215．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．。

变量与函数【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。

（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式3、求出下列函数的定义域.（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．2y x =+ 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【答案】C ； 【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】把13x =代入关系式可求得函数值. 类型四、函数的图象6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B ；。

《变量与函数》教案第一章：变量的概念与分类1.1 引入变量通过现实生活中的实例引入变量的概念，让学生理解变量表示事物变化的量。

讲解变量可以用字母表示，如x, y等。

1.2 变量分类讲解常量和变量的区别，常量是固定不变的数，变量是可以改变的数。

讲解自变量和因变量的概念，自变量是独立变量，因变量是依赖于自变量的变量。

第二章：函数的定义与性质2.1 函数的定义讲解函数的概念，函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。

讲解函数的表示方法，如解析式、表格、图象等。

2.2 函数的性质讲解函数的单调性，即函数值随自变量变化的趋势。

讲解函数的奇偶性，即函数关于原点的对称性。

讲解函数的周期性，即函数值随自变量变化的周期性。

第三章：一次函数与二次函数3.1 一次函数讲解一次函数的定义，一次函数是形式为y=kx+b的函数，其中k和b是常数。

讲解一次函数的图象特征，如直线、斜率等。

3.2 二次函数讲解二次函数的定义，二次函数是形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。

讲解二次函数的图象特征，如抛物线、开口方向、顶点等。

第四章：函数的图像4.1 函数图像的绘制讲解如何绘制函数的图像，如利用描点法、直线平移法等。

讲解如何利用函数图像分析函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

4.2 函数图像的变换讲解如何对函数图像进行平移，如向上平移、向下平移、向左平移、向右平移等。

讲解如何对函数图像进行缩放，如水平缩放、垂直缩放等。

第五章：函数的应用5.1 函数在实际问题中的应用讲解如何利用函数解决实际问题，如成本问题、利润问题等。

讲解如何建立函数模型，即将实际问题转化为函数问题。

5.2 函数在数学问题中的应用讲解如何利用函数解决数学问题，如求解函数的零点、最值等。

讲解如何利用函数性质解决数学问题，如证明不等式等。

第六章：函数的极限与连续性6.1 函数的极限讲解函数在某一点邻域内的极限概念，即当自变量趋近于该点时，函数值的趋近行为。

变量函数知识点总结高中本文将围绕变量和函数这两个重要的数学概念展开讨论，介绍它们的定义、性质、特点和应用，重点总结高中阶段学习所需掌握的重要知识点。

一、变量的概念与性质：1. 变量的定义：在代数或数学分析中，变量是指可变化的量，通常用字母表示。

变量在数学中占有重要地位，其作用是用来表示数学问题中的未知量，帮助我们建立方程和不等式，进而解决问题。

2. 自变量和因变量：在函数的概念中，自变量是指独立变量，其取值不受任何限制；而因变量是自变量所决定的，其取值依赖于自变量的值。

3. 变量的性质：变量可以取不同的值，从而使得表达式、方程、不等式的值也随之变化。

变量的性质决定了其在数学运算中的作用和意义。

二、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。

即给定自变量x，总能确定唯一的因变量y，称y是x的函数。

2. 函数的值域与定义域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

值域可以是有限的或无限的，与定义域相关联。

3. 函数的性质：函数可以是线性的、多项式的、指数的、对数的、三角的等。

不同类型的函数有着不同的性质和特点，需要我们分别加以研究和掌握。

三、函数的运算：1. 函数的加减乘除：两个函数的和、差、积还是商也是函数。

我们可以通过加减乘除的运算，得到新的函数表达式。

2. 复合函数：复合函数是指一个函数的自变量不再是普通的实数，而是另一个函数。

复合函数的运算是解决复杂数学问题的重要方法之一。

3. 反函数：如果一个函数f有反函数，那么这个反函数将原函数的自变量和因变量进行互换。

反函数在求解函数的逆运算中起着关键作用。

四、高中阶段重点要掌握的知识点：1. 函数的图像：通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的性质和特点，帮助我们更好地理解函数的规律和规则。

2. 函数的性质与特点：如奇偶性、周期性、单调性、最值等。

掌握这些性质对于理解和分析函数至关重要。

3. 解函数对应的方程与不等式：函数与方程、不等式有着密切的联系，解函数的对应关系是数学问题的基本方法之一，需要我们在学习中加以重视和掌握。

变量函数知识点总结归纳一、变量1.概念变量是计算机程序中用于存储和表示数据的一种符号。

变量具有名称和值，可以根据需要赋予不同的值，并且在程序执行过程中可以被修改。

2.声明和赋值声明变量是指在程序中定义变量的名称和类型，而赋值是将具体的值赋给变量。

在大多数编程语言中，声明变量的语法是通过使用关键字来声明变量的类型，如int、float、bool等。

而赋值则通过等号来实现，语法形式为变量名=值。

3.作用域变量的作用域是指其在程序中有效的范围。

一般来说，变量分为全局变量和局部变量。

全局变量在整个程序中都有效，而局部变量只在其定义的函数或代码块中有效。

4.常见问题在变量的使用过程中，常见的问题包括变量未初始化、变量名重复、变量的内存溢出等。

这些问题在程序中可能导致错误的结果，因此在使用变量时需要注意这些方面的问题。

二、函数1.概念函数是一段被命名并封装起来的代码块，它可以接收输入参数，并返回一个结果。

函数可以使程序更加模块化，提高代码的重用性。

2.声明和调用声明函数是指在程序中定义函数的名称、参数和返回值类型。

调用函数是指在程序中使用函数的名称和参数来执行函数内部的代码，并得到返回值。

在大多数编程语言中，声明函数的语法包括函数名、参数列表和返回值类型。

而调用函数的语法为函数名(参数)。

3.参数传递参数传递是指在调用函数时，将值传递给函数内部进行处理。

参数传递的方式有值传递和引用传递两种方式，不同的方式有不同的影响。

值传递是指将参数的值传递给函数，函数内部对参数的修改不会影响到外部的值。

而引用传递则是将参数的地址传递给函数，函数内部的操作会影响到外部的值。

4.递归函数递归函数是指在函数内部调用自身的函数，这种方式可以处理一些复杂的问题，但需要注意递归的结束条件，以防止无限循环。

5.常见问题在函数的使用过程中，常见的问题包括函数未声明、函数参数错误、函数返回值错误等。

在编写函数时需要注意这些方面的问题，以避免程序出现错误。