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变量与函数一、知识回顾1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，函数中用x表示。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量，往往用c来表示。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数的表示方法（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、典型例题例1：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠B．体温 C．时间D．骆驼分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，∴自变量是时间；故选C．______________________________________________________________________例2：在圆的周长公式C=2r中，变量是________,________,常量是________.分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．解答：∵在圆的周长公式C=2r中，C与r是改变的，是不变的；∴变量是C，r，常量是2．例3．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）分析：根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数．解答：在A、B、D、选项的图上任意取一点，做垂直于x的直线，发现只有一个交点，故正确。
变量与函数教材解析
变量与函数是计算机科学和数学中的基本概念。
以下是对这两个概念在教材中的解析：
1.变量：
o在计算机科学中，变量是用来存储和表示数据的容器。
它们可以存储各种类型的数据，如数字、文本、布尔值
等。
变量可以通过赋值操作来存储数据，并且可以在程
序中被多次引用和修改。
o在数学中，变量是用来表示未知数或可变的数值。
它们可以表示各种数学问题中的参数或未知量，并用字母或
符号来表示。
变量在数学中常常用于建立方程、解方程
和表示数学关系。
2.函数：
o在计算机科学中，函数是一段封装了特定功能的代码块。
它接收输入参数（也称为参数或实参），通过执行一
系列操作或算法，产生输出结果。
函数可以在程序中被
多次调用和重复使用，提高代码的可重用性和模块化。
o在数学中，函数是一个映射关系，将一个集合的元素（输入）映射到另一个集合的元素（输出）。
函数用符号
表示，并以输入变量的值来确定输出变量的值。
函数可
以描述数学关系、图形变换、物理规律等，是数学中的
基本概念之一。
在教材中，变量和函数通常被介绍为基本的编程和数学概念。
学生通过理解和掌握这些概念，可以进行数据存储、处理和计算，以及建立数学模型和解决问题。
教材会涵盖变量和函数的定义、用法、语法规则以及实际应用案例，以帮助学生建立对这些概念的深入理解和应用能力。
变量和函数是数学和计算领域中的重要概念。
它们在数学教材中通常被详细解析和说明。
下面是对变量和函数在教材中的解析：变量（Variable）：变量是表示数值或量的符号或字母，其值可以在一定范围内变化。
在数学中，变量通常用字母表示，例如x、y、z 等。
变量可以代表任意数值，并且在数学问题中的解决过程中可以发生变化。
函数（Function）：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值（称为自变量）映射到一个输出值（称为因变量）。
函数通常用符号f(x) 表示，其中f 是函数名称，x 是自变量。
函数可以表示为数学公式、图形、表格或算法的形式。
自变量（Independent Variable）：自变量是函数中输入的值，它的值可以独立选择。
自变量的变化会影响函数的输出结果。
因变量（Dependent Variable）：因变量是函数中输出的值，它的值依赖于自变量的取值。
当自变量改变时，因变量的值也会相应地改变。
定义域（Domain）：函数的定义域是自变量可能取值的集合。
它规定了函数有效的输入范围。
值域（Range）：函数的值域是函数可能取得的所有因变量值的集合。
它表示了函数的输出范围。
图像（Graph）：函数的图像是在坐标系中表示函数的点集合。
自变量对应于横坐标，因变量对应于纵坐标。
线性函数（Linear Function）：线性函数是具有形如f(x) = mx + b 的函数，其中m 和 b 是常数。
线性函数的图像为一条直线。
指数函数（Exponential Function）：指数函数是具有形如f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数。
指数函数的特点是自变量为指数。
对数函数（Logarithmic Function）：对数函数是指满足f(x) = logₐx 的函数，其中 a 是正实数且不等于1。
对数函数和指数函数是互为反函数。
教材通常会详细讨论这些概念，并提供示例、练习和图表来帮助学生理解和应用变量和函数的概念。
变量与函数知识要点：1.常量和变量的概念在某一变化过程中，我们称数值可以发生变化的量（即可以取不同数值的量）叫变量，数值保持不变的量叫常量。
2.常量和变量的关系常量与常量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：①看它是否在一个变化过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。
常量是相对于某一个过程或另一个变量而言，绝对的常量是不存在的。
3.函数的概念在一变化过程中，如果有x和y两个变量，并且对于x的每一个确的值，y都有惟一确定与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
4.自变量的取值范围（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在一下几个方面：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开放式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解。
（2）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
5.函数值（1）对于自变量在取值范围的一个值。
如当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值；（2）求函数值的一般步骤：①代入；②计算求值。
注意：函数值是惟一确定的，但对应的自变量可以是多个。
6.函数图像对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，在坐标平面内就有一个点。
由这样的点的集合组成的图形叫作函数的图像。
7.画函数图像的步骤（1）列表：根据函数的解析式列出函数对应值表；（2）描点：用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点；（3）连线：把这些点用平滑的曲线连结起来，可得函数图像。
8.函数的三种表示方法（1）解析式法：优点是简明扼要、规范准确，便于分析推导函数的性质，不足之处是不能把一个函数在自变量取值范围内的所有函数值都列出来，所以有局部性；（2）列表法：优点是能够清晰地呈现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；（3）图像法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，不足之处是求得的函数值是近似的。
数学中的变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
变量是指在数学问题中可以改变的数值，而函数则是将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
本文将探讨变量与函数之间的关系，并介绍在数学中常见的变量与函数的应用。
一、变量的概念与特点变量是数学中常见的概念，它表示可以改变的数值。
在数学问题中，我们经常需要考虑各种不同的情况，而这些情况中的数值就可以用变量来表示。
例如，我们可以用字母x表示一个未知的数值，这样就可以通过改变x的值来研究不同的数学关系。
变量的特点主要有以下几个方面：1. 可变性：变量的值可以根据需要进行改变，从而反映不同的情况或条件。
2. 未知性：变量通常代表一个未知的数值，我们需要通过运算或实验来确定其具体的取值。
3. 表示方式：变量通常用字母表示，如x、y、z等，但也可以使用其他符号或字母组合。
二、函数的定义与表示方式函数是一种将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
它描述了输入和输出之间的关系，并可以用数学方式来表示。
通常，一个函数由以下几个要素组成：1. 自变量：函数的自变量是指输入的变量，也就是函数的参数。
它可以是一个或多个变量。
2. 因变量：函数的因变量是指函数的输出，也就是函数的值。
它通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。
3. 函数表达式：函数表达式是用来描述函数的数学式子，它由自变量和因变量之间的关系构成。
例如，f(x) = 2x表示一个线性函数，表示自变量x经过乘以2的运算后得到因变量f(x)。
函数可以用不同的表示方式来进行表达，常见的有以下几种形式：1. 显式表达式：函数表达式中直接给出了因变量与自变量之间的关系，如f(x)= 2x。
2. 隐式表达式：函数表达式中未直接给出因变量与自变量之间的关系，而是通过方程或不等式来描述，如x^2 + y^2 = 1表示一个圆的方程。
3. 参数方程：函数表达式中通过参数来描述因变量与自变量之间的关系，如x= cos(t), y = sin(t)表示一个单位圆的参数方程。
变量与函数
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
【要点梳理】
要点一、变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否
都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量x 的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变
量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
要点三、函数的定义域与函数值
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数
不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值.
要点诠释：
对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对
应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2. 要点四、函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典型例题】
类型一、变量与函数
1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）
22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-===
A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个
【答案】C ；
【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于22
1,x y -= 当x 取
2，y ||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.
举一反三：
【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.x
x y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；
提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.
2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】 C ；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构
成函数关系．
【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一
个变量就有唯一的一个值与其对应．
类型二、函数解析式
3、求出下列函数的定义域.
（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．y =
（4）．
y =（5）．y （6）．2
y x =+ 【答案与解析】
解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义；
（2）．423x y x =
-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32
；
（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．
y =2x －1＞0，即12x >；
（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；
（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩
，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.
4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P
不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)求自变量x 的取值范围．
【答案与解析】
解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022
ABC S AC BC ∆==⨯⨯=．
又116322
APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．
(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．
【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图
形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．
举一反三：
【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长
y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．
【答案】
解：由题意得，2x y +＝80,
所以802y x =-，
由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，
所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩
，解得2040x <<
所以802,2040y x x =-<<.
类型三、函数值 5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13
时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4
【答案】C ；
【解析】130610643y
=⨯-=-=.
【总结升华】把13
x =
代入关系式可求得函数值. 类型四、函数的图象
6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题
（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；
（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；
（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．
【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.
【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500
米的邮亭返回家里.
【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.
这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.
举一反三：
【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．
【答案】B；。
