连续型随机变量及其密度函数的概念与性质

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连续型随机变量的分布与例题讲解

(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m

(t )
m 1

( t )m
e

dt 1 e

( x )m

(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。（三）对数正态分布定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本内
容
备注
其中，， 0 为常数，则称 X 服从参数为和的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

2.4连续型随机变量的概率密度

中间大，左右对称”。
决定了图形的中心位置，
决定了图形中峰的陡峭程度。
正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：
⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
0 其它
则称随 X服机从变 a，区量 b上间的均匀
记作 X ~ U [a , b]或 X ~ R [a, b]
均匀分布的概率背景
如果随机 X服变从量区 a，间 b上的均匀分布变，量 X在区a，间b上的任意一个取子值区的间概上率与
间的长度成正该比子，区而间与的位置无关
例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
fx c4x2x2 0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵P ． X1．

解： ⑴．由密度函数的性质 f xdx 1

0
2

得 1 f xdxfxdxfxdxfxdx

2
x
由高等数学中我的们知有识：，f (x)
⑴．曲线关于 x直对线称，
这表明：对于h任 0，意有的
PhXPXh
0 h h x
正态分布密度函数的图形性质
⑵．当x 时，f x取到最大值 f 1
2
x离越远，f x的值就越小．这表明对，于
解：当x 2 时，
x
F x f t dt

0
1
2
x
ftd tftd tftd tftdt

2.4连续型随机变量及其概率密度函数

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣琪琪桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3

连续型随机变量

分布函数 F(x)
定义： F(x) P X x
性质: 0≤F(x)≤1； F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
应用：※ (1) P(a X b) F(b) F(a)
(2) P X c 1 F(c)
(3)P X d F(d)
定义：设函数 Biblioteka (x) 在区间规定：上连续,
称此函数为 f (x) 在
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f (x) 0( x );
2.归一性： f (x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) kx, 0 x 1
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C
xC
1 x1 C ( 1)
1
ln | x | C
ex C
ax C
ln a
不定积分的基本公式
sin x C
cos x C
tan x C cot x C
f (x)dx 1
设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数定义]
x
F (x) f (t)dt
[密度函数求区间概率]
b
P(a X b) f (x)dx a
2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零. 即，不可能事件与零概率事件的关系：

2-3连续型随机变量的概率密度函数

1 dx ba a
b a b
a
b

1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比,与该区间的位置无关.
2.指数分布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如：其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150

f x dx

概论论与数理统计讲义 (5)

长度在 10.05 0.12 内为合格品，试求螺栓为合格品的概率。
解：根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…

2-4_连续型随机变量及其概率密度

第2.4节连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义定义
设 X 为随机变量， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离散型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。

连续型随机变量及其概率密度函数

概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度，并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则 X 取 a 附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
f (x)
o
f ( x )x 在连续型
随机型变量理论中所的作用与
x
P ( X xk ) pk
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则称 X 为服从参数的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0

x 2a
]
x 0
1 e

x 2a
0 综合上述得: F ( x ) x2 2a 1 e
x0 x0
1 2a
(2). P (0 X 1) F (1) F (0) 1 e
概率统计
例5. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x)
求 : F(x) 解: 当

x

f ( x )dx
当 x 0 时 f ( x) 0
F ( x ) 0 dx 0
x
概率统计
x 当 x 0 时 f ( x) e a x2 0 x x F ( x ) 0 dx e 2a dx 0 a 2 2
x2 2a
[ e
2 1 x2 , 1 x 1 f ( x ) 0, 其它

概率第一章第4节连续型随机变量及其概率密度讲解

7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
指数分布
定义若随机变量 X 的概率密度为
例1 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)

x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求 (1) 概率 P{0.3 X 0.7};
(2) X 的密度函数.
解由连续型随机变量分布函数的性质, 有
(1) P{0.3 X 0.7} F (0.7) F (0.3) 0.72 0.32 0.4;
P{X

st
|
X

s}
P{( X
st)(X P{X s}

s)}

P{X s P{X
t} s}

1 F(s t) 1 F(s)

e(st ) e s

e t

P{ X

t }.
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件
数，简称为概率密度或密度函数.
易见概率密度具有下列性质：
(1) f ( x) 0;
y f (x)
(2)

f ( x)dx 1.

A1
Ox
x
注：上述性质有明显的几何意义.

概率论第二章第四节

分布函数
密度函数
则称X为连续性随机变量，其中函数f (x)称为X的
概率密度函数, 简称概率密度.
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.
3
x
2. 密度函数的性质
用这两条性质判断 F( x) f (t)dt
是否为连续型随机
1
f (x) 0 ;
变量的密度函数
(非负性)
y
f (x)
2 f ( x)dx 1 ; (归一性)
0
3
2
1 2
kx2
3 0
2 x
1 4
x
2
4
3
9 2
k
1 4
,
令 9k 1 1 k 1.
24
6
9
(2)
x
求X的分布函数，F(x) f
0,
x0,
x xdx , 0 x 3
(t )dt
,
f
(
x)
206x,,2x
,
0 x3, 3 x4,
其他.
F ( x)
06
3xdx
x
x
(2 )d x ,
0
0,
o
x 0, 1 ex ,
x 0, 0,
x
x 0,
x 0.
18
(3) 指数分布的背景电子元件的寿命；生物的寿命；电话的通话时间； ……
“寿命”服从指数分布
指数分布广泛应用于可靠性理论和排队论
19
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0 , 有 P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
证明 Z X 的分布函数为

概率论与统计第二章第三节连续型随机变量

x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x

2-3连续型随机变量及其概率密度

f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
就称 X 服从[a,b] 上的均匀分布，记为 X ~ U[a,b]．
【注】 X 的分布函数为
0, x a,
F ( x)
x
b
a a
,
a
x
b,
1, b x.
均匀分布与第一章中介绍的几何概型原理相通，适用于一维
的几何概型试验．此时， X 落入某区间 I 内（上）的概率为 P{X I} P{X I I [a,b]} I I [a,b]的长度． ba
(b ) (a ) ．
特别地， P{X b} (b ), P{X a} 1 ( a ) 。
其中 (a ) 和 (b ) 可查表得．
•22
例 3.5 设随机变量 X ~ N(1, 4) ，分别计算
P{X 3}， P{1 X 5} ．
解由题意知， 1, 2 ．
y (x)
y
y (x) 1
1 2
O
x
O
x
•20
由于(x) 为偶函数，利用本节例 3.2 的结论，有
F(x()x)
F((x)x)
1；1；F(0()0)
1
1；；P{PX{ X
x}x}
2F(Fx)(x)1．1．
22
当 x 0 时， (x) 可以通过直接查标准正态分布表求得．
当 x 0 时， (x) 1 (x) ，再查标准正态分布表可得．
【注 7】如果 X ~ N(0,1) ，则对于任意的实数 a,b (a b) ， P{a X b} (b) (a) ，
其中 (a), (b) 可查标准正态分布表计算．
•21

2.4连续型随机变量及其密度函数

连续型随机变量
定义1、对于随机变量X，若存在非负函数定义1 对于随机变量X
f ( x) x∈( −∞ +∞) 使对任意实数 ∈ ,
x,
都有
F(x) P(X ≤ x) ∫ ＝＝
简称概率密度或密度. 简称概率密， f ( x) 为x 的概率密度函数，则称X为连续型随机变量，的概率密度函数，常记为 X ~ f ( x) , x∈( −∞ +∞ , ) ∈
(
) ( )
例4
某种晶体管的寿命（h)是随机变量某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
kx−2 f ( x) = 0
求
x >100 other
1、常数 k . 该晶体管不能工作150 的概率。 2、该晶体管不能工作150 h 的概率。一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150 3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，至少有1只失效的概率。至少有1只失效的概率。 +∞ 1 +∞ k −2 1 ∴ k =100 解 1、 = k∫ x d x=−k = 100 x 100 100
f (x)
要注意的是: 要注意的是: 密度函数
1
0 x
f (x) 在某点处 a 的高度 f (a) 并不是 X =a的概率. 的概率.
但是这个高度越大，则X 取但是这个高度越大，
a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线附近的值的概率就越大. 也可以说，的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度. 的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度.
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例7 设随机变量X的概率密度为设随机变量X • （1）试确定常数C：由试确定常数C
ce−2x, x ≥0 p(x) = 0, x <0

连续型随机变量及概率密度

(4) 可由分布函数求分布密度，对于 F(x)不存在的点可人为的补充定义.
2021/8/17
7
0 x 0
ex1.设X的分布函数为 F(x) x 0 x 1,
求X的分布密度 f (x).
1 x 1
解 f(x ) F (x ),
而端点处情况可人为规定.
f(x)10
0x1 其它
orf(x) 10
1(1e2)5.
2021/8/17
16
三、正态分布
1. 正态分布的定义
如果连续型随机变量X的概率密度为
f(x)
1
(x)2
e 22
2
( x)
其 , 中 (0 )为,常则 X 服数称从 , 参的数正
分布或 .记高 X 为 ~N 斯 (,2)分 . 布
特,令别 0 ,地 1 得 (x) 1 2ex22 ( x)
且 1 (z) ( z) 2
2
2
从 2021/8而 /17 (z2)12
z
2
( x)
O z x
( x)
2
O z x
2
26
e5 .x 设 X ~ N (1,9 0 ) N 8 (1,3 0 2 )8 , (1 )求 P { 1.1 0 X 1 1.6 1 }7 ;
( 2 ) 求 a 使 P { X a } 0 .9 ;
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
2021/8/17
5
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不点存 ;处在 (用 F (x 0 ) lx i0 F m (x 0 x x ) F (x 0 )证 ) 明 (5 )对任 a ,P { X 意 a } F ( 实 a ) F (a 数 0 ) 0 ;

连续型随机变量及其密度函数

即f ( x)不是X取值x的概率，而是它在x点概率分布的密集程度 .因此，f ( x)的大小能反映出X在x附近取值的概率的大小 .
密度函数的性质:
1. f ( x) 0
2.

f ( x)dx 1

注意：
1. 求f ( x)中的参数：利用 f ( x)dx 1;

2. 求F ( x)中的参数：F () lim F ( x) 0;
例 3: 设随机变量 X 的密度函数为
0 x 1 Ax( x 1)， f ( x) 0，其他
(1) 确定常数 A; (2)
1 P ( 1 X ) 计算概率 2 .
解
1
(1)由密度函数性质

6 Ax3 Ax2 1 5 f ( x)dx Ax( x 1)dx ( A ) |0 A 0 3 2 6 5
任取其中 5 只,求: (1) 使用最初 150 小时内,无一晶体管损坏的概率. (2) 使用最初 150 小时内,至多有一只晶体管损坏的概率.
解
100 ， x 100 因为X~ f ( x) x 2 0， x 100
p P( X 150)

150
对任意的实数a<b
① P(a X b) F (b) F (a)

b

f (t )dt

a

f (t )dt
f (t)dt
a
b
即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线 t=a,t=b及t轴所围面积.
②X取任意单点值a的概率
P( X a ) 0

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连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.

当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以

− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型可能值为离散可列个点,如,次品数.

随机
变量连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,

π
+
= + = .

即

= ,

⇒

= .
π
,

⇒ () =
+ ,

,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质

(2) − < <
=
− −

= +
−= .

(3)随机变量的概率密度为

′
() = () = ൞ −
+
‫׬‬
()d
→
= .
由此可得
{ ≤ ≤ } = { < ≤ } = { ≤ < } = { < < }.
连续型随机变量取值落在
某一区间的概率与区间的开闭无关
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
若是连续型随机变量, { = } 是不可能事件, 则有
,
,
− < ≤ ,
其他.
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例2 设连续型随机变量的分布函数为
,

= + ,

,
≤ −,
− < ≤ ,
> .
求： (1)系数 , 的值;

(2) − < < ;

(3)随机变量的概率密度.
解
(1)因为是连续型随机变量, 所以 () 连续.

+∞

e− d = − ⅇ− ฬ = = ,

解得 = . 于是的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
+∞
(2) { > . } = න
+∞
()d = න
.
(3) 由密度函数的定义知
+∞
(2) 归一性: න
() = ;
−∞

(3) { < ≤ } = − ( ) = න () ;

y
()
o
x1
x2
x
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
同时得以下计算公式

{ ≤ } = () = න ()d;
= = .
若 = = , 则不能确定 = 是不可能事件.
若为离散型随机变量,则
= 是不可能事件 ⇔ = = .
可见, 由 = , 不能推出 = ∅.
同样的, 由 =1, 不能推出 = .
称为几乎不可能事件, 为几乎必然事件.

()
() = න () d
−∞
则称为连续型随机变量, 称 ()为 X 的概
率密度函数, 简称概率密度.

知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
2. 概率密度函数的性质
这两条性质是判定一个函数
() 是否为某个变量的概率
密度函数的充要条件.
(1) 非负性: () ≥ 0；
−∞
+∞
{ > } = − () = න
()d .

(4) 若 f (x)在点 x 处连续, 则有′ () = ().
知识点2.5
注意
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
对于任意可能值 ,连续型随机变量取的概率等于零, 即
{ = } = .
证明
{ = } =