【配套K12】北京市101中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文

【解答】解： （1﹣i） （1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i， （1+i） （1+i）=2i， 故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i） ， 故选：A． 2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16． （10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且 （Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解： （Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ） 某同学用分析法证明此问， 证明过程如下， 请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证 an≥ 根据均值定理， 所以原命题成立． 17． （10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1） ）处的切线为 l，其中 x0≠0． （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0． （Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题. 9.四，210. 211. (,1][e,)-∞+∞12. (0,1)(1,)+∞13.333222，，14.2 说明：9题，每个空2分，11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分 三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-+…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分 因为23x =是()f x在(0,1-+上的唯一的一个极大值， 所以在23x =时，()f x 取得最大值4027. …………………12分16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =， …………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n n a a +- 0 ≤，…………………6分只需证 2+2n n na a a -0≤，…………………8分 只需证 2402n na a -≤, 只需证n a ≥ 2 ,…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一, 请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率'(1)3k f ==…………………2分所以直线l 的方程为13(1)y x -=-…………………3分化简得到32y x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩所以332x x =- …………………5分 所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以2'()33g x x =-，令'()0g x =，得到得11x =，21x =- …………………7分 所以,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为1x =-时，(1)40g -=>，而(3)160g -=-<所以()g x 在(,1)-∞-上有一个零点） …………………9分而1x =时，(1)0g =，所以()g x 在[1,)+∞上只有一个零点又()g x 在(1,1)-上没有零点，…………………10分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.法二：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩ 所以332x x =- …………………5分所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以32()22(1)(2)g x x x x x x =--+=-+ …………………8分 令()0g x =，得到11x =，22x =- …………………9分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分 18.解：（Ⅰ）因为222222()'()2a x a x a f x x x x x--=-==，其中0x >…………………1分 当0a ≤时，'()0f x ≥对0x >成立所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞…………………3分当0a >时，令'()0f x =，1x =2x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()f x单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ …………………5分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，当0a ≤时，函数()f x 是单调递增函数，而注意到(1)10f =>，但是当0x →时，()f x →-∞所以函数()f x 在区间(0,1)上存在零点，矛盾…………………7分当0a >时，由（Ⅰ）知道，()f x在x 从而()f x在x =2ln (1ln )f a a a a a a a =--=-当0f >，即1ln 0a ->，即0e a <<时，函数()f x 没有零点，当0f =时，即e a =时，显然不合题意，当0f <时，因为当x →+∞时，()f x →+∞从而()f x在区间)+∞上存在零点，矛盾综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分法二：函数()f x 没有零点，等价于方程22ln 0x a x -=无解显然1x =不是零点，所以等价于22ln x a x=无解…………………7分 设2()2ln x g x x= 则222224ln 4ln 22(2ln 1)'()'()(2ln )(2ln )(2ln )x x x x x x x x x g x g x x x x -⋅--====，…………………8分 令'()0g x =，则12e x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()g x 在12e x =处取得极小值12g(e )e =，而当0x →时，()0g x →当1x <且1x →时，()g x →-∞当1x >且1x →时，()g x →+∞当+x →∞时，()+g x →∞综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

北京101中学2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应的点为（1,1）在第一象限.考点：复数的运算、复数和点的对应关系.2. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A. B.C. D.【答案】B考点：程序框图视频3. 一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A. 身高一定是145.83cmB. 身高在145.83cm以上C. 身高在145.83cm左右D. 身高在145.83cm以下【答案】C【解析】由回归模型可得y=7.1910x＋73.93=145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83cm左右。

4. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程x3＋ax＋b=0没有实根B. 方程x3＋ax＋b=0至多有一个实根C. 方程x3＋ax＋b=0至多有两个实根D. 方程x3＋ax＋b=0恰好有两个实根【答案】A【解析】试题分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．考点：反证法与放缩法．视频5. 若，，，则（）A. b＞c＞aB. b＞a＞cC. a＞b＞cD. c＞a＞b【答案】C【解析】，，所以a＞b＞c.点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较。

解决本题的关键是利用指、对数函数的单调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函数单调递增；另外由于指数函数过点（0，1），对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1比较大小6. 下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. B. y=ln（-x） C. y=x3 D.【答案】D【解析】函数是减函数,但不是奇函数,故不满足条件.函数. y=ln（-x）不是奇函数,在（0，+∞）上单调递减,故不满足条件.函数y=x3是奇函数,且在（0，+∞）上单调递增,故不满足条件.函数是奇函数,且在（0，+∞）上单调递减,故满足条件.7. 下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是（）A. a>b＋1B. a>b－1C. a2>b2D. a3>b3【答案】A【解析】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.视频8. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（）A. 28B. 76C. 123D. 199【答案】C【解析】试题分析：由题观察可发现，，即后一个式子的值为它前两个式子的和。

北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题共8小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下列导数公式正确的是（ ） A. （x n ）'=nx n B. （1x）'=21xC. （sinx ） '=-cosxD. （e x ） '=e x【答案】D 【解析】分析：熟练记忆求导公式． 详解：根据求导公式，A 选项()1'nn x nx-= ，所以A 错误．B 选项（1x ）'=21x- C 选项（sinx ） '= cosx D 选项（e x ） '=e x 所以选D点睛：本题考查了几种常见的求导公式，要熟练掌握，属于简单题． 2. 下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值为（ ）A.14B.13C.12D.16【答案】A 【解析】分析：离散型随机变量各概率和为1，即可求出a 的值． 详解：根据离散型随机变量概率分布的特征，1111634a +++= 所以求得14a = 所以选A点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列及其特征，主要是各概率和为1的应用，属于简单题． 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P （B|A ）=（ ） A .118B.112C.13D.29【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，()P B A =()()P AB P A ，可先分别求出()P AB 与()P A ． 详解：111()224P A =⨯= 111()36612P AB =⨯⨯=根据条件概率的运算()P B A = ()()P AB P A 1112134== 所以选C点睛：本题考查了条件概率的应用，关键是掌握好条件概率的计算公式，属于简单题．4. 若11()ax x-⎰dx=1-12ln3，且a>1，则a 的值为（ ） A. -3 B. 1n3D. 3【答案】C 【解析】分析：由微积分基本定理，可求出21()ln 2F x x x =-，列出方程组即可求得a 的值． 详解：根据微积分基本定理21111ln 2aax dx x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰ 2111ln 1ln 3222a a ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以211122a a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以a = 所以选C点睛：本题考查了微积分基本定理的应用，主要是求出原函数，根据积分的上限下限求其值．除了微积分基本定理，还可以用面积法求积分值．5. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A. k 3+1 B. （k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D. 63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到． 详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++当1n k =+时，等式左边33333123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3333(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题． 6. 函数y=e x （x 2-3）的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据特殊值，可排除错误选项．详解：根据函数y=e x （x 2-3），当x →+∞ 时，函数值y →+∞ 当x →-∞ 时，函数值0y →，且0y >所以可排除A 、B 、D ． 所以选C点睛：本题考查了根据函数解析式选择正确的函数图像，利用特殊值法可快速排除错误选项．关键是特殊值的选择，要具有特征性，属于简单题．7. ①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12，由反证法证明时可假设1(1)2f ≥，且1(2)2f ≥，以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C 【解析】 【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可.【详解】解：①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于12． 用反证法证明时假设应为|f （1）|>12且|f （2）|>12，所以②错误． 故选C.【点睛】本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于基础题. 8. 若函数y=f （x ）对任意x ∈（-2π，2π）满足f'（x ）cosx-f （x ）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ） f （-4π）<f （-3π）f （-4π）>f （-3π）C. f （-4π）f （-3π）D. f （-4π）f （-3π）【答案】B 【解析】分析：根据所给式子'()cos ()sin 0f x x f x x ->，构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用函数的单调性即可得到正确答案． 详解：因'()cos ()sin 0f x x f x x ->，所以[]cos ()'0x f x ⋅>令()cos ()g x x f x =⋅ ，所以()g x 为单调递增函数 因为2342ππππ-<-<-<所以()()34g g ππ-<-，即cos ()cos ()3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫-⋅-<-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得()()34f ππ-<-所以选B点睛：点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，主要是根据所给式子的特征构造函数，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．二、填空题共6小题.9. 已知函数f （x ）=sinx,则0()()22limx f x f xππ∆→+∆-∆__________. 【答案】0． 【解析】分析：根据导数的定义，求得0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆，求出'()cos f x x =，代入求解． 详解：0()()22lim'()2x f x f f x πππ∆→+∆-=∆ 因为()sin f x x =，所以'()cos f x x = 所以'()cos022f ππ==点睛：本题考查了导数的定义和简单的求导公式，属于简单题． 10. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为_________． 【答案】49． 【解析】分析：根据独立重复试验概率进行简单的计算．详解：3次射击恰好有两次击中目标，根据独立重复试验概率的计算223213943C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 点睛：本题考查了独立重复试验的概念和计算，属于简单题．11. 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份． 【答案】15． 【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量．详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．12. 如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为__________．【答案】e 2-2． 【解析】分析：根据微积分基本定理，可以求出曲边形ACB 的面积，而函数xy e = 与ln y x =关于y x = 对称，所以两空白部分的面积相等；用正方形的面积减去空白面积即为阴影部分面积． 详解：正方形的面积为2e ； A （1，e ），B （0,1）所以曲边形ACB 的面积为110xx e e dx ex e-=-⎰0(1)1=--=因为xy e = 与ln y x =互为反函数，图像关于y x = 对称所以曲边形DEF 的面积等于曲边形ACB 的面积，都为1．所以阴影部分的面积为22e -点睛：本题考查了微积分基本定理的基本应用，互为反函数图像间的关系，属于简单题．13. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N （n,k ）（k≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N （n ，3）=12n 2+12n ， 正方形数N （n ，4）=n 2， 五边形数N （n ，5）=32n 2-12n ， 六边形数N （n ，6）=2n 2-n ， …可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，20）=________． 【答案】820． 【解析】分析：根据三角形、正方形、五边形及六边形的值，可以归纳出n 变形的表达式，代入公式即可求解． 详解：根据给出的表达式，可以归纳出N （n ，k ）的表达式为()()2112422k n k n -⋅+-⋅ 所以当10,20n k == 时，代入求值为()()211202104201082022-⋅⨯+-⋅⨯= 点睛：本题考查了归纳推理的综合应用，通过归纳出的表达式，求出具体某一项的值，属于简单题．14. 函数f （x ），g （x ）的定义域都是D ，直线x=x 0（x 0∈D ），与y=f （x ），y=g （x ）的图象分别交于A ，B 两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f （x ），y=g （x ）为“平行曲线”，设f （x ）=e x -alnx+c （a>0，c≠0），且y=f （x ），y=g （x ）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g （1）=e ，g （x ）在区间（2，3）上的零点唯一，则a 的取值范围是_________.【答案】（2ln 2e ，3ln 3e ）． 【解析】分析：根据平行曲线的定义，求出()g x 表达式；通过分离参数，分析出()ln xe h x x=在（2,3）上的单调性，即可求出a 的取值范围．详解：因为()f x 与()g x 是在（0，+∞）上的平行曲线，且|AB|≠0，所以可将()f x 的图像上下平移得到()g x 的图像．因为()ln xf x e a x c =-+ ，设()()ln xg x f x m e a x c m =+=-++，因为(1)g e = ，代入可得0c m += 所以()ln xg x e a x =-令()0g x =，分离参数a ，得ln xea x=．令()ln x e h x x =因为()g x 在（2,3）上存在唯一零点，即y a = 与()ln xeh x x=在（2,3）有且仅有一个交点．21(ln )'()(ln )x e x x h x x -=因为在(2,3)x ∈ 时，'()0h x > 所以()h x (2,3)上单调递增．若满足即y a = 与()ln x eh x x=在（2,3）有且仅有一个交点所以(2)(3)h a h << ，代入23ln 2ln 3e e a <<即a 的取值范围为23(,)ln 2ln 3e e点睛：本题考查了新定义，导函数的综合应用，分离参数法在综合型题目中的应用，应用函数的单调性求其值域等知识点，综合性强，属于难题．三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15. 已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值． 【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =- 【解析】 【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()(),x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()1,+∞ 极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =． （2）因为()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ， 则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或，当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-． 所以2b =-或5327b =- . 【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.16. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取8名购物者进行采访，4名男性购物者中有3名倾向于网购，1名倾向于选择实体店，4名女性购物者中有2名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．（1）若从8名购物者中随机抽取2名，其中男女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率： （2）若从这8名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）58（2）见解析 【解析】分析：（1）根据独立事件，可以求出没有人倾向于选择实体店的概率；利用对立事件的概率，可以求出解． （2）根据离散型随机变量的概率分布，列出分布列，即可求出数学期望．详解：（1）设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P （A ）=1-P （A ）=1-11321144C C C C =58．（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P （X=k ）=33538k kC C C -， 则P （X=0）=033538528C C C =，P （X=1）= 1235381528C C C =， P （X=2）=2135381556C C C =，P （X=3）=303538156C C C =. 所以X 的分布列为所以E （X ）=0×28+l×28+2×56+3×56=8． 点睛：本题考查了排列组合数的运算，对立事件的概率，离散型随机变量的概率分布和数学期望，属于简单题．17. 已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝214n n b a -(n∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上【答案】（1）2x ＋y ＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出P 2的坐标，列出直线的两点式方程，化简即可；（2）由（1）知，n=1时，2a 1＋b 1=1成立，假设n=k 时，2a k ＋b k =1成立，进而证得当n=k+1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立，故n ∈N *，P n 都在直线l 上.【详解】(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，故b 2＝111413-=-⨯，a 2＝1×13＝13，∴P 211,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴直线l 的方程为11111133y x +-=+-，即2x ＋y ＝1. (2)证明:①当n ＝1时，由（1）知，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立，②假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．当n ＝k ＋1时，则()()111112122221211141212k k k k k k k k k k k k k kb b a a b a b b a b a a a a +++++-+=⋅+=+⋅=+⋅===--- ∴当n ＝k ＋1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立．由①②知，对于n∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．【点睛】本题考查了直线的两点式方程；考查了数学归纳法的证明，一般步骤为： ①证明n 取第一个值n 0时命题成立；②假设n=k (k≥n 0且k∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立，即可确认命题从n 0开始的所有正整数都成立；注意，在证明n=k 到n=k+1成立时，一定要用到n=k 时得到的中间过渡式. 18. 已知函数f （x ）=-a 2 lnx+x 2-ax （a ∈R ）．（1）试讨论函数f （x ）的单调性：（2）若函数f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）a ∈（-12+e ，-234e ）． 【解析】分析：（1）根据函数定义域，求f'（x ）=()()2x a x a x+-，根据a 的取值情况分类讨论导数的符号，研究其单调性．（2）根据（1）中单调区间，判断有两个零点的条件，列出不等式组求出a 的范围即可．详解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f （x ）=-a 2lnx+x 2-ax （a ∈R ） 可知f'（x ）=()()222222x a x a a x ax a x a x x x+----+-==， 所以若a>0，则当x ∈（0，a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减，当x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增；若a=0，则当f'（x ）=2x>0在（0，+∞）内恒成立，函数f （x ）单调递增；若a<0，则当x ∈（0，-2a ）时，f'（x ）<0，函数f （x ）单调递减， 当x ∈（-2a ，+∞）时，f'（x ）>0，则函数f （x ）单调递增． （2）若a>0，f （x ）在（0，a ）单调递减，在（a ，+∞）单调递增．若a<0，f （x ）在（0，-2a ）单调递减，在（-2a ，+∞）单调递增． 由题意，若f （x ）在区间（1，e ）中有两个零点，则有()()()1,0,10,0a e f a f f e <<⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩或()()1,20,210,0,a e a f f f e ⎧<-<⎪⎪⎛⎫⎪-< ⎪⎨⎝⎭⎪>⎪⎪>⎩ 得a 无解或a ∈（e ，-234e ）. 综上，a ∈（-12+e ，-234e ）． 点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，对含参问题进行讨论分析其单调性；利用零点存在定理，判定零点存在的条件．在高考中，导数的综合应用也是压轴大题，属于难点．。