2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3 7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟二、填空题（共6小题）.11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．12．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为．三、解答题（共4小题）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝；f（4）﹣5f（2）g（2）＝；f（9）﹣5f（3）g（3）＝；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅解：根据题意得，M＝{x|x＜4}，N{x|x≥4}，∴M∩N＝∅．故选：D．2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°解：sin2021°＝sin（360°×60﹣139°）＝sin（﹣1390）＝﹣sin139°＝﹣sin41°．故选：B．3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．解：y＝sin（x+）＝cos x，因为x∈（﹣，]，所以cos x∈[﹣，1]，即函数的值域为[﹣，1]．故选：B．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为a＝f（1），b＝f（2），＝f（），又2＞1＞＞0，则b＞a＞c．故选：C．6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α＝，cos2α＝，因为α∈（﹣，﹣π），所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣．故选：D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．解：当x＝时，A，B两点重合，此时f（x）＝0，故排除C，D；当x∈（0，）时，f（x）＝π﹣2x是关于x的一次函数，其图象是一条线段，故选：A．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．解：因为3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝3cosα+sinα＝﹣，所以，整理得，所以，①当时，，则②当cos时，，则故选：C．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为t＝t，所以在t时此人相对于地面的高度为h＝10sin（t﹣）+12（t≥0）；由10sin（t﹣）+12≥17，得sin（t﹣）≥，解得≤t﹣≤，即5≤t≤15；所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 m．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝﹣2．解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣212．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为{}．解：角α的取值集合是{α|α＝2kπ+，k∈Z}，角β与角的终边关于直线y＝x对称，可得β＝2kπ+﹣2×（﹣）＝﹣+2kπ，k∈Z，可得角β的取值集合是{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}，故答案为：{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}．13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为0解：由题意得：m﹣1＝±1，解得：m＝0或m＝2，m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）递增，符合题意，m＝2时，f（x）＝1，是常函数，不合题意，故答案为：0．14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．解：设图中每个小正方形的边长为1，则＝（2，1），＝（﹣2，﹣2），＝（1，﹣2），∴x+y＝（2x﹣2y，x﹣2y），∵与x+y共线，∴﹣2（2x﹣2y）＝x﹣2y，∴5x＝6y，即＝故答案为：15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．解：（1）∵函数y＝27﹣mt（m为常数）经过点（4，64），∴64＝27﹣4m，解得m＝；（2）由（1）得y＝，由，解得t≥32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故答案为：（1）；（2）32．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为②④．解：对于①，，此时P点在∠BAC平分线上，但未必在△ABC 的内心，则①错；对于②，由λ＝μ＝1知，AP＝，由向量加法法则知APBC中点，AP经过△ABC的重心，则②对；对于③，λ+μ＝1⇒λ＝1﹣μ⇒＝，当μ＞1，P点在BC延长线上，不在BC边上，则③错；对于④，令t＝λ+μ＞1，＝t，t＞1，由向量加法法则知，P点在△ABC外，则④对；对于⑤，取λ═﹣1/4，μ＝1/2，λ+μ＝1/4，0＜λ+μ＜1，但P点在△ABC外，则⑤错；故答案为：②④．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．解：（1）函数．则f（x）＝，因为y＝1﹣x在（﹣2，0）单调递减，可得f（x）值域为[1，3）．（2）当0＜a＜1，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象恒有交点，当1＜a时，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x是单调递增函数，则log a2≥1，可得a≤2．则1＜a≤2．故得实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤2．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．解：（1）∵方程的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝＞0，∵，∴θ+∈（，π），即sinθ+cosθ＝sin（θ+）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×＝，解得：b＝（负值舍去），则b＝；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×＝，∴sinθ﹣cosθ＝，∵sinθ+cosθ＝，∴＝＝＝．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝0；f（4）﹣5f（2）g（2）＝0；f（9）﹣5f（3）g（3）＝0；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．解：（1）①函数f（x）为奇函数．②f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（﹣）（1+）因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．（2）经过代入计算可得＝0，f（4）﹣5f（2）g（2）＝0，f（9）﹣5f（3）g（3）＝0．（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式为f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0（x≠0），证明：f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0＝﹣5••＝﹣＝0．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝6；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．解：（1）①根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6个，∴p＝6；②不妨设b1＜b2＜b3＜b4，＝，∵1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），则当b1＝1，b2＝2，b3＝100，b4＝101时，X取得最大值为，当b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X取得最小值为；（2）由B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1可知，实数a，b，c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是S中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”a，b，c的对称性，可只计算的最大值，∵a2+b2+c2＝1，则（a+b）2≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）＝2，可得，故当时a+b达到最大值，故；②当0不是S中的“元”时，，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，则，当且仅当时，取到最大值，故C（A，S）max＝1，综上，C（A，S）max＝1．。

2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．60°D．120°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。

北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题共8小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1.复数z 11i i -=+，则|z |=( )A. 1B. 2 【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】 ,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A a-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin b B， ∵sin sin A b a B -=﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. arctan2【答案】A【解析】【分析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小.【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,OF =,11cos 2OF FOA OA ∠==,所以1=30FOA ∠︒. 故选A【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5.已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A. 2216448x y -= B. 2214864x x += C. 2214864x y -= D. 2216448x y += 【答案】D【解析】【分析】 设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切， 113MC r ∴=-，23MC r =+，12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ． 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A. 34B. 1C. 54D. 74【答案】C【解析】【分析】 抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离. 【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A. 1+C. D. 【答案】B【解析】【详解】动点P 的轨迹为如图三角形MEF,3322322+=选B. 8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. （123]B. （1223，+∞） 2+∞）【答案】B【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1b a ≤,则双曲线的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≤ ⎪⎝⎭又1e >,则12e <≤故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式2222221c c a b b e a a a a +⎛⎫====+ ⎪⎝⎭考查了理解能力和转化能力. 二、填空题共6小题每小题5分共30分9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点pp ,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为: ①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____ 【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b -<<.222641616168011225525b b b AB --+=+⋅-=⋅，当0b =时，max 804102255AB =⋅=. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足5≤|A 1P |6≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】 (1).4π (2). 43【解析】【分析】 结合题意先找到满足条件156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43 【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答共5小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证明过程15.已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ； （2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式. （2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z|=得x 2+y 2=2; 又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（225. 【解析】【分析】 （1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =（0,1,0）,CD =（﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914 OBOB CDCD⋅===⋅⨯,∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为13.（2）OB=（0,1,0）,OC=（1,0,0）,OD=（0,12,1）,设平面COD的法向量n=（x,y,z）,则12n OC xn OD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2y=,得n=（0,2,﹣1）,设直线OB与平面COD所成角为θ,则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:sinθ255OB nOB n⋅==⋅=.【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC-（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P ABC-中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CP λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】 试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意2PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,31n OB n OB nOB ⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）. （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-= 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22 1.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 【解析】（Ⅰ）因为314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=． （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,{20,y kx m x y =+-=可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k-++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8． 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 考点：本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。

北京第一一O中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合若,则（）A．B．C．D．参考答案：D2. 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A3. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）参考答案：D略4. 等比数列中，，公比，则等于（）A.6B.10C.12D.24参考答案：D5. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；参考答案：C【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．6. 三角形的面积为、、为三边的边长，为三角形内切圆半径，利用类比推理可得出四面体的体积为（）A． B．C ．D ．（其中、、、分别为四面体4个面的面积，为四面体内切球的半径）参考答案：D7. 在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）参考答案：B考点：进位制；排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．解答：解：85（9）=8×9+5=77；210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；11111（2）=24+23+22+21+20=31．故210（6）最大，故选B．点评：本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．8. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22=4c2，又因为，∴e1e2≥，故选：C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题．9. 已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或7参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．10. 已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A B C D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是，则a ＋b 的值是________.参考答案：略12. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，前n 项和为Sn ，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③前n 项和为可以表示为Sn ＝nan －d ； ④若d>0，则Sn 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．参考答案：①②③ 略13. 函数在上有极值，则的取值范围是参考答案：14. 已知函数f （x ）=x 3，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集是 ．参考答案：（﹣∞，）根据题意，由函数的解析式分析可得f （x ）为奇函数且在R 上递增，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0可以转化为2x ＜1﹣x ，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）=x 3，f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3， 即有f （﹣x ）=﹣f （x ），为奇函数； f （x ）=x 3，其导数f′（x ）=3x 2≥0，为增函数；则f （2x ）+f （x ﹣1）＜0?f （2x ）＜﹣f （x ﹣1）?f （2x ）＜f （1﹣x ）?2x ＜1﹣x ， 解可得x ＜，即不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集为（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）．15. 已知函数，（、且是常数）．若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，则函数为奇函数的概率是____________. 参考答案：16. 过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条， 过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 参考答案：1,无数17. 与直线垂直，且过抛物线焦点的直线的方程是 _________ ．参考答案：8x-4y+1=0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

北京市一零一中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1。

在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（ )A. 第一象限 B 。

第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 直线013=+-y x 的倾斜角的度数是（ ）A. 30°B. 45° C 。

60° D 。

90°3。

点(0，1）到直线1-=kx y 距离的最大值为（ ）A. 1 B 。

2 C 。

3 D. 2 4。

直线01)1()2(:1=--++y a x a l 与02)32()1(:2=+++-y a x a l 互相垂直，则实数a 的值为( ）A 。

-1 B. 1 C. -1或1 D 。

以上都不对5. 已知向量a =(1，x ，-2）,b =（0，l,2),c =（1，0，0），若a ,b ，c 共面，则x 等于( ）A. —1 B 。

l C 。

1或—1 D 。

1或06。

如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=41A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B 。

21 C 。

178D.237。

如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A. 3个 B 。

4个 C. 5个 D. 6个8. 设复数z 满足|z —1—i|=2,则｜z|的最大值为（ ）A 。

2 B. 2 C 。

22 D. 4 9。

通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。

已知0332:1=--y x l ,012:2=++y x l ，则l 1，l 2夹角的余弦值是（ ）A. 6565B. 65654C. 65657 D 。

2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．arctan2【答案】A【解析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小. 【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,3OF =113cos OF FOA OA ∠==所以1=30FOA ∠︒.故选A 【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5．已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2216448x y -=B ．2214864x x +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程． 【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，Q 圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切，113MC r ∴=-，23MC r =+， 12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆， 可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ．【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系. 6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ．1 BC ．D ．【答案】B 【解析】略8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．（1]B ．（1]C ．，+∞）D ．，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____． 【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____410【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 80410225AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值； （2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）3;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ .【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v 由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【解析】（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即．①又由可得；同理可得．由原点到直线的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则，，所以，当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。

2020~2021学年9月北京海淀区北京一零一中学高二上学期月考数学试卷（本大题共10小题）1. A. B. C. D.已知复数满足，则的虚部为（ ）．2. A. B. C. D.已知复数满足，且，则（ ）．3. A. B. C. D.已知，，复数和在复平面内对应的点分别为，，则线段长度为（ ）．4. A. B. C. D.设复数满足，则的最大值为（ ）．5. A.， B.， C.， D.，设有下面四个命题：：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，满足，则；：若复数，则．其中的真命题为( )6. A. B.若，则或C. D.已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ）．一、选择题若，则或若，则或若，则7. A. B. C. D.在四面体中，，，，为中点，为的中点，则（ ）．8. A. B. C. D.以上都不对已知，，，，则与之间的夹角为( )9. A. B. C. D.如图，已知边长为的正方形和正方形所在平面互相垂直，是的中点，，则线段的长为( )10.A. B. C. D.已知球的直径为，，，，是球上四个不同的点，且满足，，，分别用，，，表示，，的面积，则的最大值是（ ）．二、填空题（本大题共5小题）11.已知复数，则 ；其共轭复数 ．12.若是关于的实系数方程的一个根，则 ， ．13.在长方体 中，若，，则．14.已知，，，点在平面内，则 ．15.在空间直角坐标系中，已知，，若直线交平面于点，则点的坐标为 ．三、解答题（本大题共3小题）16.（1）（2）已知向量，，向量满足且．求所有满足条件的向量．若，求向量．17.（1）（2）（3）在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点．如图，建立空间直角坐标系．求的坐标及的长．求的值．求证：．18.（1）（2）从下列两问中选择一个作答：设是模长为的复数，求的最小值．已知为实数，且，求的值．。

2024北京一零一中高二（上）期末数 学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则8a =（ ） A. 9B. 11C. 13D. 152. 若直线210x y +−=与直线0x my −=垂直，则m =（ ） A. 2−B. 12−C. 2D. 123. 已知{}n a 为等比数列，公比23150,12,81q a a a a >+=⋅=，则5a =（ ） A. 81B. 27C. 32D. 164. 已知圆C 的圆心在抛物线24y x =上，且此圆C 过定点(10)，，则圆C 与直线10x +=的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定5. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 曲线的一支6. 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +−−+=≥， 则214n S n −−= A. 2−B. 0C. 1D. 27. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.32D.28. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20240S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D −的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A. B. C. D.10. 已知12,F F 同时为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2222221x y a b −=（20a >，20b >）的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,e e ，O 为坐标原点，给出下列四个结论：①22221122a b a b −=+； ②若12π3F MF ∠=，则22123b b =； ③122F F MO =的充要条件是2212112e e +=； ④若1223F F MF =，则12e e 的取值范围是3(,3)5. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线2221(0)x y a a−=>的一条渐近线方程为20x y +=，则=a ___________．12. 在空间直角坐标系中，若直线l 的方向向量是()2,2,1v =−，平面α的一个法向量是()2,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于_________. 13. 已知数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，*N n ∈，若317a =，则1a =_______．14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c −，若双曲线上存在一点P使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.15. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence ），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有_________.①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若()11,2,3,,9a k k ==⋅⋅⋅，则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 可能既是等差数列又是等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N均不包含数字4.三、解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知数列{}n a 满足()12N n n a a n *+−=∈，且569,,a a a 成等比数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值.17. 如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2DAB ADC π∠=∠=，PA AD ⊥，3=，2CD AD ==，PA =.（1）求证：CD ∥平面PAB ； （2）求点B 到平面PCD 的距离； （3）求二面角A BC P −−的余弦值.18. 已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =.过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线MA ，NA 分别与直线4x =交于点,P Q . （1）求椭圆C 的方程；（2）判断点A 与以PQ 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论；（3）求AMN 面积的最大值.19. 设m 为给定的正奇数，定义无穷数列1:1m A a =，11,,2,,n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数其中*n ∈N .若k a 是数列m A 中的项，则记作k m a A ∈.（1）若5m =，写出5A 的前5项；（2）求证：集合{}*,2k m k B k a A a m =∈∈>N 是空集；（3）记集合{}m m S x x A =∈，{},m S x m x S =∀∈正奇数，求集合S .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知2141135a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=−⎩，所以12(1)23n a n n =−+−=−，所以816313a =−=.故选：C. 2. 【答案】C【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1，列出方程求解即可. 【详解】∵直线210x y +−=与直线0x my −=垂直，121(0)m m∴−⨯=−≠ 2m ∴=故选：C 3. 【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】根据1581⋅=a a 可得()2111428181aqaaq ⋅=⇒=，所以39a =或39a =−，若39a =−，则32321221,0a a a q a +===<−不符合要求， 若39a =，则3232123,30a a a q a +=−===>符合要求，故25381a a q ==， 故选：A 4. 【答案】A【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线方程为=1x −，根据抛物线的定义可知，C 到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆C 与直线10x +=相切. 故选：A 5. 【答案】A【分析】先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.【详解】如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上.【点睛】本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 6. 【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +−+=≥，所以220n n a a −=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n −−=−⨯−=−，故选A.考点：等差数列. 7. 【答案】C【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==， 2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22bAF a∴=，1212222tan F F cF AF bAF a∴∠===，2222ac ∴==，220e −=，解得：e =e = ∴双曲线C.故选：C. 8. 【答案】D【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项即可. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，当0q ≠且1q ≠时，202412024(1)1a q S q−=−，充分性：当10a >，且公比2q =−时，得10q −>，202410q −<，则20240S <，不满足充分性； 必要性：当10a <，且公比2q =−时，得10q −>，202410q −<，满足20240S >，但不满足10a >，不满足必要性； 故选：D. 9. 【答案】B【详解】试题分析：由题意知，MN ⊥平面BB 1D 1D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线BD 1上从点B 向D 1运动时，x 变大y 变大，直到P 为BD 1的中点时，y 最大为AC ．然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B ．考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题． 10. 【答案】D【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A 选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B 、C 选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出12,a a 的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D 选项.【详解】对于A 项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，22221122a b a b −=+，故A 选项正确； 对于B 项，根据椭圆以及双曲线的定义，可得12112222MF MF a MF MF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，所以112212MF a a MF a a ⎧=+⎪⎨=−⎪⎩.在12F MF △中，由余弦定理可得222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+−⋅， 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a =++−−+−⨯， 整理可得：2221243c a a =+.所以()2222123a c c a −=−，即22123b b =，故B 项正确；对于C 项，必要性：若122F F MO =，则12F MF △为直角三角形， 所以2221212F F MF MF =+，即()()22212124c a a a a =++−， 整理可得：222122a a c +=，两边同时除以2c 可得，22122a a c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212112e e +=，满足必要性； 充分性：若2212112e e +=，易可得222122a a c +=，()()22212124c a a a a =++−，所以2221212F F MF MF =+，所以12F MF △为直角三角形，且1290F MF ∠=︒，可得122F F MO =，满足充分性. 故C 项正确；对于D 项，由已知可得()1223c a a =−.所以，()22121212121294a a c c c e e a a a a a a −=⋅==()221122121221299244a a a a a aa a a a −+⎛⎫==+− ⎪⎝⎭.令12a t a =，则129124e e t t ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭. 因为12a a >，所以121a t a =>. 又1212MF MF F F +>，所以有()112223a c a a >=−，所以有123a a <；1212MF MF F F −<，所以有()212223a c a a <=−，所以有1235a a >.所以125(,3)3a t a =∈. 设函数12y t t =+−，再设12533t t <<<，则121212121212()(1)1((12)2)t t y t y t t t t t t t −−+−−+−=−=， 由于12533t t <<<，得120t t −<，120t t >，1210t t −>， 所以120y y −<，即12y y <，函数12y t t =+−在区间5(,3)3上单调递增， 所以44153y <<，所以12335e e <<，故D 正确. 故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得a 的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，所以双曲线的方程可设为()2204x y λλ−=≠，即2214x y λλ−=，因为2221(0)x y a a−=>，所以241a λλ⎧=⎨=⎩，解得2a =（负值舍去），所以2a =. 故答案为：2.12. 【答案】5【分析】利用空间向量的坐标求出直线l 与平面α法向量夹角的余弦值，即可得到直线l 与平面α所成角的正弦值.【详解】直线l 与平面α所成角的正弦值即直线l 与平面α法向量夹角的余弦值的绝对值． 设直线l 与平面α所成的角为θ，则：所以|||sin |cos ,|||||5(2)v n v n v n θ⋅=<>===⋅−.故答案为：5. 13. 【答案】13【分析】由递推式，结合317a =依次求出2a 、1a 即可.【详解】由2321217a a a ==+，可得：215a =，又1211215a a a ==+，可得：113a =.故答案为：13. 14.【答案】1)【详解】因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =，12c PF PF a=, 由双曲线的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a−=−=⇒=−,， 由双曲线的几何性质知22222,20,a PF c a c a c ac a c a>−>−⇒−−<−所以2210,e e −−<解得11e <<，又1()e ∈+∞,，故双曲线的离心率1)e ∈ 15. 【答案】②③④【分析】由外观数列的定义可判断①和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④. 【详解】对于①，当13a =时，由外观数列的定义可得：213a =，31113a =，43113a =，故①错； 对于②，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，所以第一项的k ()1,2,3,,9k =⋅⋅⋅始终在最右边，即最后一个数字，故②正确； 对于③，取122a =，则42322a a a ====，此时{}n a 既是等差数列又是等比数列，故③正确；对于④，当1123a =时，由外观数列的定义可得：2111213a =，331121113a =，41321123113a =，. 设()*,5k a k k ∈≥N 第一次出现数字4，则1k a −中必出现了4个连续的相同数字m ()1,2,3,,9m =⋅⋅⋅.而2k a −的描述必须包含“m 个m ，m 个m ”，显然2k a −的描述不符合外观数列的定义. 所以当1123a =时，()*n a n ∈N 均不包含数字4，故④正确.故答案为：②③④【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.根据数列的定义可判断①和②；举出特殊例子可判断③；通过反证法及数列的定义可判断④.三、解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）29n a n =−（2）最小值为16−,4n =【分析】（1）{}n a 为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出2(4)16n S n =−−，求出最小值及n 的值. 【小问1详解】由12n n a a +−=知{}n a 为等差数列，设{}n a 的公差为d ，则2d =，569,,a a a 成等比数列，所以2659a a a =，即()()()211110816a a a +=++， 解得17a =−，又2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =−；【小问2详解】由(1)得()227298(4)162n n n S n n n −+−==−=−−， 所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16−17. 【答案】（1）证明见解析（2（3）4【分析】（1）由题意得//AB CD ，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系A xyz −，利用向量法求解空间距离即可，（3）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】底面ABCD 为直角梯形，π2DAB ADC ∠=∠=，//AB CD ∴， 又AB ⊂平面PAB ，CD ⊂/平面PAB ， //CD ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又PA AD ⊥，PA ∴⊥平面ABCD ， 又π2DAB ∠=，即DA AB ⊥，则以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz −，如图所示：又3AB =，2CD AD ==，PA =，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，(0,0,P ，故(2,0,0)DC =，(0,2,PD =−，()1,2,0BC =−，设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则20220DC n xPD n y ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取y =1z =，0x =，∴平面PCD 的一个法向量为(0,3,1)n =，所以点B 到平面PCD 的距离为232BC n n ⋅==. 【小问3详解】设平面PCB的一个法向量为(),,m a b c =，()1,2,0BC =−，(3,0,PB =−， 则20320BC m a b PB m a⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取2a =，则1,b c ==∴平面PCB 的一个法向量为(m =，又PA ⊥平面ABC ，则平面ABC 的一个法向量为(AP =， cos ,2m APm AP m AP ⋅∴===， 由图形得二面角A BC P −−所成角为锐二面角，∴二面角A BC P −−的所成角的余弦值为4． 18. 【答案】（1） 22143x y += （2） 点A 在以PQ 为直径的圆的内部，详见解析（3）32【分析】（1）由题意得121c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，，求出,a c ，然后求解b ，即可得到椭圆方程．（2）当直线l 的斜率不存在时，验证0AP AQ ⋅<，即90PAQ ∠>︒．当直线l 的斜率存在时，设l :(1)y k x −＝，其中0k ≠．联立()2213412y k x x y ⎧=−⎨+=⎩，，设1122(,),(,)M x y N x y ，利用韦达定理，结合直线MA 的方程，求出,P Q 的坐标．利用向量的数量积0AP AQ ⋅<，转化求解即可．（3）分直线l 的斜率不存在和存在两种情况讨论，其中当直线l 的斜率存在时，先求出点A 到直线l 的距离，再利用韦达定理求出线段MN 的长，进而求出AMN 面积的最大值.【小问1详解】 由题意得121c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，，解得2,1a c ==，从而b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． 【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，有31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(4,3),(43),(1,0),(2,0)P Q F A −，， 则()2,3AP =−，()2,3AQ =，故5AP AQ ⋅=−，即90PAQ ∠>︒．当直线l 的斜率存在时，设l :(1)y k x −＝，其中0k ≠．联立()2213412y k x x y ⎧=−⎨+=⎩，，得2222(43)84120k x k x k +−+−=．由题意，知0∆＞恒成立，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+． 直线MA 的方程为()1122y y x x =−−， 令4x =，得1122P y y x =−，即1124,2y P x ⎛⎫ ⎪−⎝⎭，同理可得2224,2y Q x ⎛⎫ ⎪−⎝⎭． 所以1122,2y AP x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，2222,2y AQ x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭． 因为()()()()()()()()221212121212121212414114444222224k x x x x k x x y y AP AQ x x x x x x x x ⎡⎤−++−−⎣⎦⋅=+=+=+−−−−−++ ()()()()2222222222222222412841441284343434450412164121644344343k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−−+ ⎪⎡⎤−−++++⎝⎭⎣⎦=+=+=−<−−−++−+++， 所以90PAQ ∠>︒，综上90PAQ ∠>︒，点A 在以PQ 为直径的圆的内部.【小问3详解】当直线l 的斜率不存在时，有31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2,0)A ， 则AMN 的面积为1333(21)[()]222⨯−⨯−−=． 当直线l 的斜率存在时，由于l :(1)y k x −＝，点A 到直线l的距离为：d ==， 线段MN的长为：||MN =2212(1)43k k +=+． 则AMN的面积为221112(1)||2243k MN d k +⋅==+， 构造函数2311162y t t =−−+，令214(0,)334t k =∈+， 显然函数2311162y t t =−−+在区间4(0,)3上单调递减， 且当0=t 时，1y =；当43t =时，0y =；所以01y <<，从而AMN 面积的范围为3(0,)2；综上，AMN 面积的最大值为32. 19. 【答案】（1）1,6,3,8,4，（2）证明见解析 （3）{1S =,2}．【分析】（1）根据递推公式即可逐一代入求解；（2）利用反证法证明；（3）由1{1S =,2}，提出猜想{1S =,2}，证明．【小问1详解】当5m =时，由11,,25,,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数可得213243541156,3,58,422a a a a a a a a =+====+===， 所以5A 的前5项为1,6,3,8,4，【小问2详解】假设集合*{N |k m B k a A =∈∈，2}k a m >非空，当1k =时，11a =，又m 是正奇数，22m ≥，而12a m <，不合题意，当2k =时，21a m =+，若22a m >，则需1m <，又m 是正奇数，不合题意，设B 中元素的最小值为k （显然3)k ≥，因为12k k a m a −>≥，所以1k k a a m −=+，因此1k a −为奇数，且1k a m −>．若12k k a a m −−=+，则2k a −为偶数， 但此时应有1212k k a a −−=，与12k k a a m −−=+矛盾， 若1212k k a a −−=，则22k a m −>，即2k B −∈，与k 的最小性矛盾， 因此假设不成立，集合B 为空集．【小问3详解】猜想{1S =,2}．因为1{1S =,2}，以下只需证对任意大于1的奇数m ，1，2m S ∈，若1j a =，1j >，则12j a −=，故只需证必存在1j a =，1j >．由（2）知无穷数列m A 中所有的项都属于集合{1，2，，2}m ，因此必存在i j <，使得i j a a =，取其中i 的值最小的一组，若1i a >，则1i j a a K ==>；若K m >，则必有111i j a a K m −−==−>，与i 的最小性矛盾；若K m ≤，则必有112i j a a K −−==，也与i 的最小性矛盾．因此只能1i a =，因此11j a a ==，1j >，12j a −=，即1，2m S ∈．综上，{1S =,2}．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。

上学期高二（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1） B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。

则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ）A. 2B. 2C. 2±D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。

北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数z 11ii-=+，则|z |=()A.1B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11ii -=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z .故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -，sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B- =﹣1，∴两条直线垂直．故选C．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（）A .30°B.45°C.60°D.以上答案均不正确【答案】A 【解析】【分析】画出满足条件的图形，由112212,A O B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角.【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A =，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F .则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,A O B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角.在1A OF △中，12,A O OF ==所以113cos 2OF FOA OA ∠==.由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒故选：A【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题.5.已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A.2216448x y -= B.2214864x y +=C.2214864x y -= D.2216448x y +=【答案】D 【解析】【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B.1C.54D.74【答案】C 【解析】【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，则动点P 的轨迹的周长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG ，然后求解即可.【详解】由0PE AC ⋅=，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE .设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O .所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥,由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O = 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG .由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以111,,222EF BD GE SB FG SD ===又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以BD =,SB =所以EF FG GE ++=故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.（1，3] B.（1]C.[3，+∞） D.，+∞）【答案】B 【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====,又1e >,则1e <≤.故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点p p,03622p =∴=∴=（）,故答案为6考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos 6022cos 60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为:①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==--,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+=.故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<.222641616168011225525b b b AB --+=+-，当b =时，max 804102255AB ==.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所≤|A 1P |≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】(1).4π(2).43【解析】【分析】1A P ≤≤的平面区域,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1和之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=.故答案为:4π；43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.已知复数z 满足|z |=，z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z |=x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x =1,y =1;所以复数z =1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（2）5.【解析】【分析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）,OB = （0,1,0）,CD = （﹣1,112，）,设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123OB OB CD CD ⋅==⋅ ,∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13.（2）OB = （0,1,0）,OC = （1,0,0）,OD = （0,12,1）,设平面COD 的法向量n = （x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,取2y =,得n = （0,2,﹣1）,设直线OB 与平面COD 所成角为θ,则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ5OB nOB n ⋅==⋅= .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈.【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .由题意PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO==所以POA ∆≌POB ∆≌POC∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB = 由()1,1,0BC =- ，()1,0,1PC =- 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,331n OB n OB n OB⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ= ，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=-- ()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=- 令0BM AN ⋅= 得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y pxy x b ==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==-因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8．【解析】【详解】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN = ，且1DN ON == ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩）即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+．①又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得．②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128(8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。

2020-2021学年北京市一零一实验学校高二下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B解：∵∁R A＝{x|x≥1}，∁RB＝{x|x≤﹣1}，∴∁RA⊆B，故选：D．2．下列数列中，156是其中一项的是（）A．{n2+1} B．{n2﹣1} C．{n2+n} D．{n2+n﹣1}【解答】解；根据题意，依次分析选项：对于A，若数列为{n2+1}，则有n2+1＝156，无正整数解，不符合题意；对于B，若数列为{n2﹣1}，则有n2﹣1＝156，无正整数解，不符合题意；对于C，若数列为{n2+n}，则有n2+n＝156，解可得n＝12或﹣13（舍），有正整数解n＝12，符合题意，对于D，若数列为{n2+n﹣1}，则有n2+n﹣1＝156，无正整数解，不符合题意；故选：C．3．已知x＝51 2log，y＝（）0.1，z＝132，则（）A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．z＜x＜y解：∵x＝51 2log＜log51＝0，0＜y＝（）0.1＜z＝132＞20＝1，∴x＜y＜z．故选：A．4．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0解：因为c＜b＜a，且ac＜0，所以a＞0，c＜0，对于A，a＞0，b﹣c＞0，所以ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，c（b﹣a）＞0，故B错误；对于C，当b＝0时，cb2＝ab2，故C错误；对于D，ac＜0，a﹣c＞0，所以ac（a﹣c）＜0，故D正确．故选：BC．5．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．36解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝8，∴（1+x）（1+y）＝1+（x+y）+xy＝9+xy≤9+＝9+16＝25，当且仅当x＝y＝5时，取等号，∴（1+x）（1+y）的最大值为25．故选：B．6．设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，则（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≥D．a≤解：∵关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，∴，在x∈[1，2]上有解⇔，x∈[1，2]．∵函数f（x）＝，在[1，2]上单调递增，∴，∴a≤．故选：D．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）（log2A．B．[1，2] C．D．（0，2]解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）＝f（﹣log2a）＝f（log2a），。