2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷-含详细解析

北京市第二中学2019-2020学年第一学期期中试卷高一数学2016年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 一、选择题1．已知集合{1,3,5,7,9}U =，{1,5,7}A =，则U A =ð（ ）． A ． {1,3}B ．{3,9}C ．{3,5,9}D ．{3,7,9}2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[(2)]f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ．23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数，则（ ）． A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x = B ．()1f x x -= C ．()12f x x = D ．()3f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）． A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123 ()f x6.12.93.5-那么函数()f x A ．(1),-∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,2) D ．(2,3) 8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称；（3）643log [log (log 81)]1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f =__________．10．函数()f x __________．11．已知函数()31x f x a -=+（0a >，且1a ≠）．恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x ，满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t （年）．的函数图像（如图）．以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：t (年)①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算： （1）)2103227161-+-．（2）7log 2222632log 3loglog 778-+-．16．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若全集{4}U x x =≤，求U A ð． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17． 已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式． 18．已知函数22()log (4)f x x =- （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()y f x =（x ∈R 且0x ≠），对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．高一数学期中考试答案一、选择题910．2,13⎛⎤⎥⎝⎦11．(3,2) 12．113．指数函数或值为1或0的常函数 14．②④ 三、解答题 15．334；1 16．U A =ð{2x x -≤或3<4}x ≤；3a > 17．（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 18．（1）(2,2)-（2）当0x =时，()f x 的最大值是2 19．（1）证略 （2）证略（3x <且0x ≠且12x ≠。

北京市101中学2020年秋高一数学上学期期中试卷一、单选题1．已知集合{(1)0}A x x x =+≤∣，集合{11}B x x =-<<∣，则A B =（ ）A ．{11}x x -≤<∣B ．{10}xx -<≤∣C ．{11}x x -≤≤∣D ．{01}x x <<∣ 2．命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是 A ．20,230x x x ∃>+-≤ B ．20,230x x x ∀>+-≤ C ．20,230x x x ∃<+-≤D ．20,230x x x ∀<+-≤3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x m =-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．[)3,+∞D ．(]1,3-5．方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)} C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)}D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)}6．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是 A ．2023B ．2021C ．2020D ．20197．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）. A ．31y x =--B ．2y x=C ．245y x x =-+ D ．12y x =-+8．若不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a <1D ．a >19．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值BC ．11a b+有最大值D 有最大值10．设函数()f x 在（-∞，+∞）上有意义，对任意的x ，y ∈R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，并且函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），若函数()g x -()f x =x ，则不等式g 2(2)x x -+g (2)x -<0的解集是（ ） A ．（-∞，1）（2，+∞） B ．（1，2） C ．（-∞，-1）（2，+∞）D ．（-1，2）二、填空题 11．若函数()f x =，则()f x 的定义域为_________．12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________． 13．写出一个使得命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是假命题的实数a 的值________：14．某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：15．函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________. 16．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：∈函数()f x 的值域为()1,1-；∈若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；∈()f x 在()0,∞+是增函数；∈若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________.三、解答题17．设全集U =R ，集合A =（-∞，-1][4，+∞），B =（-∞，1]．求：（1）()UA B ；（2）记()UA B =M ，N ={x |a -1≤x ≤-2a }，且MN N =，求a 的取值范围．18．定义在R 上的函数2()(21)1f x x a x =-+-(a ∈R )．(1)若()f x 为偶函数且(1)f m +>(1)f m -，求实数m 的取值范围； (2)若()f x 不是偶函数且在区间[-1，2]上不单调，求实数a 的取值范围．19．记关于x 的方程1(2)a x x-=-在区间（0，3]上的解集为A ，若A 至多有2个不同的子集，求实数a 的取值范围．20．已知不等式()101ax a R x +<∈-． （1）当2a =时，解这个不等式；（2）若111ax x x +≤--对(),0x ∀∈-∞恒成立，求实数a 的最大值．21．已知()f x 是定义在R 上的单调递减函数，对任意实数m ，n 都有()f m n +=()()f m f n +．函数2()2()g x x x =-．定义在R 上的单调递增函数()h x 的图象经过点A （0,0）和点B (2,2)．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若[1,2]t ∃∈-，使得(()1)(8)f g t f t m -++<0（m 为常实数）成立，求m 的取值范围； （3）设(1)1f =-，1()()F x f x x =-,2()()F x g x =，3()()(2)F x h x h x =--，100i ib =（i =0，1，2…100）．若10()()k k k M F b F b =-+21()()k k F b F b -+…+10099()()k k F b F b -（k =1，2，3），比较123,,M M M 的大小并说明理由．解析北京市101中学2020年秋高一数学上学期期中试卷一、单选题1．已知集合{(1)0}A x x x =+≤∣，集合{11}B x x =-<<∣，则A B =（ ）A ．{11}x x -≤<∣B ．{10}xx -<≤∣C ．{11}x x -≤≤∣D ．{01}x x <<∣ 【答案】A【分析】首先求集合A ，再求AB .【详解】由题意集合{10}A xx =-≤≤∣，{11}A B x x ⋃=-≤<∣ 故选:A .2．命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是 A ．20,230x x x ∃>+-≤ B ．20,230x x x ∀>+-≤ C ．20,230x x x ∃<+-≤D ．20,230x x x ∀<+-≤【答案】A【详解】命题“20,230x x x ∀>+->”的否定是20,230x x x ∃>+-≤,所以选A. 3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1ab>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得； 【详解】解：当1a =-，2b =-时，a b >，但112a b =<；当2a =-，1b =-时，1ab >，但a b <；综上，“a b >”是“1ab>”的既不充分也不必要条件，故选：D. 【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.4．已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x m =-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．[)3,+∞D ．(]1,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由充分不必要条件定义可知A B ≠⊂，由此求得m 范围.【详解】由2230x x --<得：13x ，即()13A ,=-；x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，A B ≠∴⊂，3m ∴>，即实数m 的取值范围为()3,+∞.故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分条件和必要条件求解参数范围，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．5．方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)} B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)} C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)} D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩， 其解集为 {(1,1),(1,1)}--． 故选：A ．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(,)x y ，一个解可表示为(1,1)-．6．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是 A ．2023 B ．2021C ．2020D ．2019【答案】A【分析】根据题意可知23b b =-，1a b +=-，3ab =，所求式子化为222201932019a b a b -+=-++()222016a b ab =+-+即可求解；【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根， ∴23b b =-，1a b +=-，3ab =-，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．7．下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）. A ．31y x =-- B ．2y x=C ．245y x x =-+ D ．12y x =-+【答案】D【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可． 【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增． 故选D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 8．若不等式|x -3|+|x -4|<a 的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1 B ．a ≥1C ．a <1D ．a >1【答案】D【分析】不等式转化为()min34a x x >-+-，求得函数的最小值后，即得a 的取值范围.【详解】由条件可知,34x R a x x ∃∈>-+-成立，即()min 34a x x >-+-，()()34341x x x x -+-≥---=，即1a >.故选：D9．已知0a >，0b >，若4a b +=，则A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥，即2()42a b ab +≤=， 所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8， 故选A ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10．设函数()f x 在（-∞，+∞）上有意义，对任意的x ，y ∈R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，并且函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），若函数()g x -()f x =x ，则不等式g 2(2)x x -+g (2)x -<0的解集是（ ） A ．（-∞，1）（2，+∞） B ．（1，2） C ．（-∞，-1）（2，+∞）D ．（-1，2）【答案】A【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数，从而可得()g x 也为奇函数，然后结合|()f x -()|f y <|x -y |，可得()g x 在R 上单调递增，结合单调性和奇函数的定义可得222x x x -<-，从而可求出不等式的解集【详解】解：由函数(1)f x +的对称中心是（-1，0），可得函数()f x 的图像关于(0,0)对称，所以()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因为()()g x f x x -=，所以()()g x f x x =+，所以()()()()g x f x x f x x g x -=--=--=-，所以()g x 为奇函数，因为对任意的x ，y ∴R 且x ≠y ，都有|()f x -()|f y <|x -y |，所以()()()g x g y x y x y ---<-， 所以()()()1g x g y x y x y---<-，即()()11g x g y x y--<-，所以()()02g x g y x y -<<-， 所以对任意的x ，y ∴R 且x ≠y ，()()0g x g y x y->-，所以()g x 在R 上单调递增，因为g 2(2)x x -+g (2)x -<0，所以2(2)(2)(2)g x x g x g x -<--=-， 所以222x x x -<-，即2320x x -+>，解得1x <或2x > 故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式，解题的关键是由已知条件判断出()g x 的奇偶性和单调性，考查数学转化思想，属于中档题 二、填空题 11．若函数()f x =，则()f x 的定义域为_________．【答案】1(,)2-+∞ 【分析】由于根式在分母上，所以只要被开方数大于零，解不等式可得结果 【详解】解：由题意得，210x +>，解得12x >-，所以函数的定义域为1(,)2-+∞， 故答案为：1(,)2-+∞ 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________． 【答案】14-． 【分析】由于函数是奇函数，所以11()()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111()()224f ==， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111()()224f f -=-=-，故答案为：14- 13．写出一个使得命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是假命题的实数a 的值________： 【答案】1-（答案不唯一，只需()[),03,a ∈-∞⋃+∞）．【分析】求出命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题的范围即可. 【详解】若命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题 则当0a =时成立，0a ≠时有24120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得0<<3a ， 所以当03a ≤<时命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”是真命题 所以当()[),03,a ∈-∞⋃+∞时，命题“x R ∀∈，223ax ax -+>0恒成立”为假命题故答案为：1-（答案不唯一，只需()[),03,a ∈-∞⋃+∞）14．某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：【答案】21.5．【分析】由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为x 元，则销售量为48040(16)x --，再根据利润=总收入-总成本，即可求出利润y 关于销售单价x 的函数，则二次函数的性质即可求得答案【详解】解：由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为x 元，利润为y 元，则由题意得(15)[48040(16)]y x x =---(15)(112040)x x =--240172016800x x =-+-所以当172021.580x =-=-时，y 取得最大值，最大值为1690， 即每盒盒饭定价为21.5元时，利润最大，最大为1690元，故答案为：21.515．函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________. 【答案】1t【分析】作出函数2,()(0),0x x tf x t x x t ⎧=>⎨<<⎩的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数2,()(0),0x x tf x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图像如图.由图像可知要使函数2,()(0),0x x tf x t x x t⎧=>⎨<<⎩是区间(0,)+∞上的增函数， 则1t . 故答案为1t【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目. 16．几位同学在研究函数()()1xf x x R x=∈+时给出了下面几个结论：∈函数()f x 的值域为()1,1-；∈若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；∈()f x 在()0,∞+是增函数；∈若规定()()1f x f x =，且对任意正整数n 都有：()()()1n n f x f f x +=，则()1n xf x n x=+对任意*n N ∈恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________. 【答案】∴∴∴∴【分析】考虑0,0,0x x x ><=时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出∴∴∴是否正确，利用归纳推理的思想判断()1n xf x n x=+是否正确.【详解】()f x 的定义域为R ，当0x >时()()110,111x f x x x ==-∈++且()f x 是单调递增的， 当0x <时()()111,011x f x x x==-+∈---且()f x 是单调递增的， 当0x=时()00f =，又因为()()1xf x f x x--==-+-，所以()f x 是奇函数，由此可判断出∴∴∴正确，因为()()()2112x f x f f x x ==+，()()()3213xf x f f x x ==+，......，由归纳推理可得：()1n xf x n x=+，所以∴正确.故答案为∴∴∴∴.【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难. （1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.三、解答题17．设全集U =R ，集合A =（-∞，-1][4，+∞），B =（-∞，1]．求：（1）()UA B ；（2）记()UA B =M ，N ={x |a -1≤x ≤-2a }，且MN N =，求a 的取值范围．【答案】（1）()UA B =（1，4）；（2）（13，+∞）． 【分析】（1）先求AB ，再求()UA B ；（2）由条件可知N M ⊆，分N =∅和N ≠∅两种情况，列不等式求参数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意知，A B =（-∞，1][4，+∞），又全集U =R ，所以()UA B =（1，4）．（2）由（1）得M =（1，4），由M N =N 得N ⊆M ．∴当N =∅时，有a -1>-2a ，所以a >13； ∴当N ≠∅时，有12,11,24,a a a a -≤-⎧⎪->⎨⎪-<⎩此不等式组无解．综上，a 的取值范围是（13，+∞）．18．定义在R 上的函数2()(21)1f x x a x =-+-(a ∈R )．(1)若()f x 为偶函数且(1)f m +>(1)f m -，求实数m 的取值范围； (2)若()f x 不是偶函数且在区间[-1，2]上不单调，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(0，+∞)；(2)3113(,)(,)2222--⋃-． 【分析】(1)利用偶函数定义求得a ，再讨论函数f (x )的单调性，并利用它求解； (2)利用二次函数不单调的充要条件，结合不是偶函数的条件解得. 【详解】(1)因为()f x 为偶函数，所以()f x -=()f x 恒成立， 即22()(21)()1(21)1x a x x a x --+--=-+-恒成立，所以12a =-， 所以()f x =21x -，其图像是开口向上的抛物线且关于y 轴对称， 因为(1)f m +>(1)f m -，所以11m m +>-，所以m >0．所以实数m 的取值范围是(0，+∞)．(2)依题意，210,112,2a a +≠⎧⎪⎨-<+<⎪⎩所以3122a -<<-或1322a -<<， 所以实数a 的取值范围是3113(,)(,)2222--⋃-． 【点睛】解含有抽象法则“f”的偶函数不等式，利用偶函数性质()(||)f x f x =变形不等式，再利用单调性去法则求解.19．记关于x 的方程1(2)a x x -=-在区间（0，3]上的解集为A ，若A 至多有2个不同的子集，求实数a 的取值范围．【答案】(],1-∞【分析】原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点，分类讨论a 的取值范围即可得结果．【详解】因为A 至多有2个不同的子集，所以A 至多有1个元素． 因为1(2)a x x -=-，所以0,(2)10,x ax x ≠⎧⎨-+=⎩所以2(1)1a x a -+-=0， 所以原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点． ∴当a =0时，()f x =1在区间（0，3]上无零点，符合题意；∴当a >0时，抛物线()f x =2(1)1a x a -+-开口向上，对称轴为x =1，(0)f =1，所以(1)f =1-a ≥0，所以0<a ≤1；∴当a <0时，抛物线()f x =2(1)1a x a -+-开口向下，对称轴为x =1，(0)f =1=(2)f ，所以()f x 在（0，3]上至多有一个零点，符合题意．综上，实数a 的取值范围是(],1-∞．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于判断原题等价于函数2()(1)1f x a x a =-+-在区间（0，3]上至多有1个零点．20．已知不等式()101ax a R x +<∈-． （1）当2a =时，解这个不等式；（2）若111ax x x +≤--对(),0x ∀∈-∞恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2． 【分析】（1）根据分式不等式的求解方法可直接求得结果；（2）将恒成立不等式化为22a x x ≤--+，则min 22a x x ⎛⎫≤--+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得min 22x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，由此可确定给结果.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为()()2110x x +-<，解得：112x -<<， ∴不等式的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）当(),0x ∈-∞时，10x -<，()()211121ax x x x x ∴+≥--=-+-， 即22222x x a x x x-+-≤=--+； ()22x x x x --=-+≥=-（当且仅当2x x -=-，即x = min222x x ⎛⎫∴--+=⎪⎝⎭，2a ∴≤，则实数a 的最大值为2. 21．已知()f x 是定义在R 上的单调递减函数，对任意实数m ，n 都有()f m n +=()()f m f n +．函数2()2()g x x x =-．定义在R 上的单调递增函数()h x 的图象经过点A （0,0）和点B (2,2)．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若[1,2]t ∃∈-，使得(()1)(8)f g t f t m -++<0（m 为常实数）成立，求m 的取值范围；（3）设(1)1f =-，1()()F x f x x =-,2()()F x g x =，3()()(2)F x h x h x =--，100i i b =（i =0，1，2…100）．若10()()k k k M F b F b =-+21()()k k F b F b -+…+10099()()k k F b F b -（k =1，2，3），比较123,,M M M 的大小并说明理由．【答案】（1）()f x 为奇函数；证明见解析；（2）(11,)-+∞；（3）132M M M =>；答案见解析．【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可；（2）根据奇函数将不等式转化为(()1)f g t -<(8)f t m --，再根据单调性将f 脱去，等价为[1,2]t ∃∈-，22101m t t >-+，最后转化为最值问题解题即可；（3）根据函数的单调性及特殊值分别计算123,,M M M ，最后比较大小即可. 【详解】（1）()f x 是R 上的奇函数．证明如下：因为任意实数m ，n 都有()()()f m n f m f n +=+，所以(00)(0)(0)f f f +=+，所以(0)f =0，从而对∀x ∴R ，恒有()f x x -+=()()f x f x -+，所以()()(0)0f x f x f -+==，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．（2）由（1）知，()f x 为R 上单调递减的奇函数，由(()1)(8)f g t f t m -++<0得(()1)f g t -<(8)f t m -+=(8)f t m --，所以()1g t ->-8t -m ，22()1t t -->8t m --，22101m t t >-+．令2()2101h t t t =-+，则2523()2()22h t t =--． 当[1,2]t ∃∈-时，min ()(2)11h t h ==-．所以[1,2]t ∃∈-，使得(()1)f g t -+(8)f t m +<0成立，等价于[1,2]t ∃∈-，使得()m h t >成立，所以min ()11m h t >=-，所以m 的取值范围是(11,)-+∞．（3）依题意，易证F 1(x )=()f x -x 在R 上单调递减， 所以11110()()M F b F b =-+1121()()F b F b -+…+1100199()()F b F b -0111()()F b F b =-+1112()()F b F b -+…+1991100()()F b F b -001011()()F b F b =-11(0)(1)F F =-((0)0)((1)1)(00)(11)2f f =---=----=．因为()g x =22()x x -=-2211()22x -+在1[0,]2单调递增，在1[1]2，单调递减， 所以22120()()M F b F b =-+2221()()F b F b -+…+2100299()()F b F b -2120()()F b F b =-+2221()()F b F b -+…+250249()()F b F b -+250251()()F b F b -+251252()()F b F b -+…+()()2992100F b F b -202502502100()()()()F b F b F b F b =-++-222211(0)()()(1)22F F F F =-++-1100122=-++-=． 由()h x 在R 上单调递增，易证3()()(2)F x h x h x =--在R 上单调递增， 所以33130()()M F b F b =-+3321()()F b F b -+…+3100399()()F b F b -3130()()F b F b =-+3321()()F b F b -+…+3100399()()F b F b -310030()()F b F b =-33(1)(0)F F =-((1)(21))((0)(2))0(02)2h h h h =----=--=，所以132M M M =>．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f （2x ）=3x 2+1，则函数f （4）= ．10．求值：2﹣（）+lg +（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ．12．函数f （x ）=3x 的值域是 ．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 ．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．17．已知g （x ）=﹣x 2﹣3，f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0），函数h （x ）=g （x ）+f （x ）是奇函数．（1）求a ，c 的值；（2）当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）的最小值是1，求f （x ）的解析式．18．已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f （2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x ∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，可得f （0.5）=1．由于函数y=f （x+2）是奇函数，可得f （﹣x+2）=﹣f （x+2），即可得出．【解答】解：∵x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，∴f （0.5）=1．∵函数y=f （x+2）是奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∴f （3.5）=﹣f （﹣1.5+2）=﹣f （0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f （x ）=3x 的值域是 [0，+∞） ．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x 2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f （x ）=3x=， ∵x 2≥0，∴，则函数f （x ）=3x的值域是[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 （0，1） ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f （x ）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f （2x ﹣1）＜f （1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围．【解答】解：f （x ）为偶函数；∴由f （2x ﹣1）＜f （1）得，f （|2x ﹣1|）＜f （1）；又f （x ）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x ﹣1|＜1；解得0＜x ＜1；∴x 的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ②③ ．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f （x ）=x 2（x ∈R ），由f （﹣1）=f （1），但﹣1≠1，得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数，故①错误；在②中，“x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）”的逆否命题是“若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f （x ）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A ，B ，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}在数轴上表示可得：故A ∪B={x|2＜x ＜10}，C R A={x|x ＜3，或x ≥7}（C R A ）∩B={2＜x ＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知 ①当C=∅时，有5﹣a ≥a ，得；②当C ≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a 的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；f（x）min当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），f（x）min∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，=﹣，由此能够证明f （x ）在R 上是减函数．（3）不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，等价于f （t ﹣2t 2）＞f （k ），由f （x ）是R 上的减函数，知t ﹣2t 2＜k ，由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a •2x +1=a+2x ，即a （2x ﹣1）=2x ﹣1对一切实数x 都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2则 =﹣， ∵x 1＜x 2，∴，，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在R 上是减函数，（3）∵不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，∴f （t ﹣2t 2）＞﹣f （﹣k ），∴f （t ﹣2t 2）＞f （k ），∵f （x ）是R 上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．。

2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）一、选择题共8 小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -12.已知为等差数列，为其前n 项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 33.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a 的值可以为（）A. B. C. D.5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4 本不同的名著中选出3 本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6 种B. 12 种C. 18 种D. 24 种6.已知△的内角的对边分别为，若，，则△面积的最大值是A. B. C. D.7.如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A. 有极小值，没有极大值B. 有极大值，没有极小值C. 至少有两个极小值和一个极大值D. 至少有一个极小值和两个极大值8.已知非空集合A，B 满足以下两个条件：①；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二、填空题共 6 小题。

9.已知集合，则M∩N＝.10.在等比数列中，，且，则的值为.11.能够说明“恒成立”是假命题的一个x 的值为.12.已知向量a，b 的夹角为60°，，则＝.13.在边长为1 的等边三角形ABC 中，点D、E 分别是边AB，BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE＝2EF. 设，则14.已知；＝.（1）若有两个零点，则a 的取值范围是，（2）当时，则满足的x 的取值范围是.三、解答题共 4 小题。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.已知函数的图像与x 轴的相铃两个交点的距离为.（1）求的值；（2）设函数，求在区间上的最大值和最小值.16.如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD 的长和△ABC 的面积.17.设数列的前n 项和为，且，在正项等比数列中，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在区间上的最大值.2019 北京一零一中高三（上）统练五数学（理）参考答案一、选择题共8 小题。

2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= ．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ．12．函数f（x）=3x的值域是．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f（2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x∈（0，2）时，f（x）=2x，可得f（0.5）=1．由于函数y=f（x+2）是奇函数，可得f（﹣x+2）=﹣f（x+2），即可得出．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）＜f（1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c ﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，=﹣，由此能够证明f（x）在R上是减函数．（3）不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t2）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t﹣2t2＜k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．11。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。

2019-2020学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合，，若，则实数a的值为（）A． 2 B． C． D．2．计算的结果是（）A． B． C．－ D．－3．下列函数中，是偶函数的是（）A． B． C． D．4．函数的零点所在的区间是（）A． (0，1) B． (1，2) C． (2，3) D． (3，4)5．已知，则函数的大致图像是（）A． B．C． D．6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． b＞a＞c D． c＞a＞b7．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．设函数 ，其中 表示不超过x 的最大整数，若函数 的图象与函数 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．9. 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，当x ≥0时)(x f =1-x ，则)(x f <0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （∞-，1-） （1，+∞）D. （－1，1） 10. 若a >1，b <0，则函数b a y x +=的图象有可能是二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算：2lg +5lg =________；328=________。

12. 若函数)(x f y =的定义域为[－2，3]，则函数)1(-=x f y 的定义域为________。

13. 函数34)(2--=x x x f ，则其图象的对称轴方程为x =________；)(x f 的增区间是________。

14. 已知函数⎩⎨⎧>≤--=0,0,2)(2x x x x x x f ，若函数g （x ）=f （x ）－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝ ．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为 ．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是 ． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为 ． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i ）男学生人数多于女学生人数； （ii ）女学生人数多于教师人数； （iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}． （1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}． 故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中， 令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确； 故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}． 故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5； 故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17， 所以函数的值域为[−134，17]． 故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0）， 所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]， 故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确． 故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14， 当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2， 即实数a 的取值范围是[0，√2]， 故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2． 当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0； 当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1． 综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增， 则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0． 且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0． 于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]， 由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根 设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24， 所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立， 综上：c ∈[0，163）．。

2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= ．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ．12．函数f（x）=3x的值域是．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京101中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f（2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32B．a≥32C．a≥16D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x∈（0，2）时，f（x）=2x，可得f（0.5）=1．由于函数y=f（x+2）是奇函数，可得f（﹣x+2）=﹣f（x+2），即可得出．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）＜f（1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c ﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，=﹣，由此能够证明f（x）在R上是减函数．（3）不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，等价于f（t﹣2t2）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t﹣2t2＜k，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．。

2019-2020学年北京市101中学高一（上）分班考数学试卷一、选择题（每小题3分，共40分）1．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是( )A ．230cmB ．230cm πC ．215cmD ．215cm π2．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个．A ．45B ．48C ．50D ．553．（3分）已知矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）要使分式2939x x -+的值为0，你认为x 可取得数是( ) A ．9 B ．3± C ．3- D ．35．（3分）若0ab >，则一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x =在同一坐标系中的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图，点(,)P a a 是反比例函数16y x =在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边PAB ∆，使A 、B 落在x 轴上，则POA ∆的面积是( )A ．3B ．4C ．12433-D ．24833- 7．（3分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，则BD的长为( )A ．157B ．125C ．207D ．2158．（3分）如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，则不等式24x ax <+的解集为( )A ．32x <B ．3x <C ．32x >D ．3x >9．（3分）如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<，其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（3分）已知点(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C t +，(3,)D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为( )A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知1|1|0a a b -+++=，则b a = ．12．（4分）如图，ABC ∆中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，AF BC ⊥，则EFC ∠=︒．13．（4分）如图，ABC DEF ∆≅∆，请根据图中提供的信息，写出x = ．14．（4分）下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，⋯那么第n 个数是 ． 15．（4分）如图，一个正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是 ．三、解答题（每小题12分，共60分）16．（12分）（1）计算：2020201(1)()(sin98)32sin6022π--⨯+︒-+-︒．（2）先化简，再求值：231839x x ---，其中103x =-． 17．（12分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图．组别A B C D E 时间t （分钟）40t < 4060t < 6080t < 80100t < 100t 人数 1230 a 24 12 （1）求出本次被调查的学生数；（2）请求出统计表中a 的值；（3）求各组人数的众数；（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．18．（12分）如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，67A ∠=︒，37B ∠=︒．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A D C B →→→去超市B ．求他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675︒≈，3sin375︒≈，4cos375︒≈，3tan37)4︒≈19．（12分）如图，O 的直径6AB =，AD 、BC 是O 的两条切线，2AD =，92BC =． （1）求OD 、OC 的长；（2）求证：DOC OBC ∆∆∽；（3）求证：CD 是O 切线．20．（12分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,0)，(5,0)，(3,4)-．（1）求该二次函数的解析式；（2）当3y >-，写出x 的取值范围；（3）A 、B 为直线26y x =--上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时ABC ∆的面积最小？求出此时点C 的坐标及ABC ∆面积的最小值．21．（10分）如图，已知抛物线经过(2,0)A-，(3,3)B-及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC∆相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年北京市101中学高一（上）分班考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共40分）1．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是( )A ．230cmB ．230cm πC ．215cmD ．215cm π【分析】圆柱侧面积=底面周长⨯高．【解答】解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：223530cm ππ⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．2．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个．A ．45B ．48C ．50D ．55【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1:9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1:9；即可计算出红球数．【解答】解：小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1:9，白球有5个，∴红球有9545⨯=（个)，故选：A ．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例．3．（3分）已知矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意有：36xy =；故y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据x 、y 实际意义x 、y 应0>，其图象在第一象限，即可得出答案．【解答】解：矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，36xy ∴=，∴函数解析式为：36(0,0)y x y x=>>． 故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．4．（3分）要使分式2939x x -+的值为0，你认为x 可取得数是( ) A ．9 B ．3± C ．3- D ．3【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得290x -=，390x +≠，由290x -=，得3x =±，由390x +≠，得3x ≠-，综上，得3x =．故选：D ．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．（3分）若0ab >，则一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系中的大致图象是( )A．B．C．D．【分析】根据0ab>，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．【解答】解：A、根据一次函数可判断0a>，0b>，根据反比例函数可判断0ab>，故符合题意，本选项正确；B、根据一次函数可判断0a<，0b<，根据反比例函数可判断0ab<，故不符合题意，本选项错误；C、根据一次函数可判断0a<，0b>，根据反比例函数可判断0ab>，故不符合题意，本选项错误；D、根据一次函数可判断0a>，0b>，根据反比例函数可判断0ab<，故不符合题意，本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6．（3分）如图，点(,)P a a是反比例函数16yx=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边PAB∆，使A、B落在x轴上，则POA∆的面积是()A．3B．4C 1243-D2483-【分析】如图，根据反比例函数系数k的几何意义求得点P的坐标，则易求4PD=．然后通过等边三角形的性质易求线段433AD =，所以111243248342233POA S OA PD ∆--==⨯⨯=． 【解答】解：如图，点(,)P a a 是反比例函数16y x=在第一象限内的图象上的一个点， 216a ∴=，且0a >，解得，4a =，4PD ∴=．PAB ∆是等边三角形，43tan 603PD AD ∴==︒． 124343OA AD -∴=-=， 111243248342233POA S OA PD ∆--∴==⨯⨯=． 故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，等边三角形的性质．等边三角形具有等腰三角形“三合一”的性质．7．（3分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，则BD的长为( )A ．157B ．125C ．207D ．215【分析】根据勾股定理列式求出BC ，再利用三角形的面积求出点A 到BC 上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D 到AB 、AC 上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D 到AB 的长，再利用ABD ∆的面积列式计算即可得解． 【解答】解：90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，2222345BC AB AC ∴=+=+=， BC ∴边上的高123455=⨯÷=， AD 平分BAC ∠，∴点D 到AB 、AC 上的距离相等，设为h ，则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =， 11211232725ABD S BD∆=⨯⨯=， 解得157BD =． 故选：A ．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．8．（3分）如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，则不等式24x ax <+的解集为( )A ．32x <B ．3x <C ．32x >D ．3x >【分析】先根据函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，求出m 的值，从而得出点A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式24x ax <+的解集．【解答】解：函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ， 32m ∴=， 32m =，∴点A 的坐标是3(2，3)， ∴不等式24x ax <+的解集为32x <； 故选：A ．【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．9．（3分）如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<，其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：（1）图象与x 轴有2个交点，依据根的判别式可知240b ac ->，正确； （2）图象与y 轴的交点在1的下方，所以1c <，错误； （3）对称轴在1-的右边，12ba∴->-，又0a <，20a b ∴-<，正确； （4）当1x =时，0y a b c =++<，正确； 故错误的有1个． 故选：A ．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10．（3分）已知点(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C t +，(3,)D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为() A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9【分析】分别求出1t =， 1.5t =，2t =，0t =时的整数点，根据答案即可求出答案．【解答】解：当0t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C ，(3,0)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6个点；当1t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,5)C ，(3,1)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，共8个点；当 1.5t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,5.5)C ，(3,1.5)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，共7个点；当2t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,6)C ，(3,2)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共8个点；故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确； 故选：C ．【点评】本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力． 二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知1|1|0a a b -+++=，则b a = 1 ．【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b ，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，10a -=，10a b ++=， 解得1a =，2b =-， 所以，211b a -==． 故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12．（4分）如图，ABC ∆中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，AF BC ⊥，则EFC ∠= 45 ︒．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE BE =，然后求出ABE ∆是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出45BAE ABE ∠=∠=︒，再根据等腰三角形两底角相等求出ABC ∠，然后求出CBE ∠，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF CF =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF EF =，根据等边对等角求出BEF CBE ∠=∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，BE AC ⊥，ABE ∴∆是等腰直角三角形，45BAE ABE ∴∠=∠=︒，又AB AC =，11(180)(18045)67.522ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，67.54522.5CBE ABC ABE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， AB AC =，AF BC ⊥， BF CF ∴=， 12EF BC =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， BF EF CF ∴==， 22.5BEF CBE ∴∠=∠=︒，22.522.545EFC BEF CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：45．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出ABE ∆是等腰直角三角形是解题的关键．13．（4分）如图，ABC DEF ∆≅∆，请根据图中提供的信息，写出x = 20 ．【分析】先利用三角形的内角和定理求出70A ∠=︒，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，180506070A ∠=︒-︒-︒=︒，ABC DEF ∆≅∆， 20EF BC ∴==， 即20x =． 故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．14．（4分）下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，⋯那么第n 个数是 2213n n -+ ． 【分析】观察不难发现，分子是连续的奇数，分母减去3都是平方数，根据此规律写出第n 个数的表达式即可．【解答】解：分子分别为1、3、5、7，⋯，∴第n 个数的分子是21n -，24311-==，27342-==，212393-==，2193164-==，⋯，∴第n 个数的分母为23n +， ∴第n 个数是2213n n -+． 故答案为：2213n n -+． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，从分子与分母两个方面考虑求解是解题的关键． 15．（4分）如图，一个正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是 2y x =- ．【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．【解答】解：正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，P 点的纵坐标为2，解得：1x =-∴点P 的坐标为(1,2)-，∴设正比例函数的解析式为y kx =，2k ∴=-解得：2k =-∴正比例函数的解析式为：2y x =-，故答案为：2y x =-【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是首先求得点P 的坐标． 三、解答题（每小题12分，共60分）16．（12分）（1）计算：2020201(1)()(sin98)2sin6022π--⨯+︒-︒．（2）先化简，再求值：231839x x ---，其中3x ． 【分析】（1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式1412=⨯++41|=++，410=++， 5=；（2）原式3(3)18(3)(3)x x x +-=+-3918(3)(3)x x x +-=+-39(3)(3)x x x -=+-33x =+．当3x =时，原式==【点评】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题17．（12分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图． 组别 AB C D E时间t （分钟）40t <4060t <6080t <80100t <100t人数1230a2412（1）求出本次被调查的学生数； （2）请求出统计表中a 的值； （3）求各组人数的众数；（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．【分析】（1）根据A 组有12人，占被调查总数的10%，据此即可求得总人数； （2）总人数减去其它各组的人数即可求得； （3）根据众数的定义即可求解；（4）利用2400乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：（1）1210%120÷=（人)； （2）1201230241242a =----=； （3）众数是12人；（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：42241224001560120++⨯=（人)．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（12分）如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，67A ∠=︒，37B ∠=︒．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A D C B →→→去超市B ．求他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走多少米． （参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675︒≈，3sin375︒≈，4cos375︒≈，3tan37)4︒≈【分析】（1）设CD 与AB 之间的距离为x ，则在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中分别用x 表示BF ，AE ，又AB AE EF FB =++，代入即可求得x 的值；（2）在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中，分别求出BC 、AD 的长度，求出AD DC CB AB ++-的值即可求解．【解答】解：（1）CD 与AB 之间的距离为x ， 则在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中， tan37CF BF =︒，tan 67DEEA =︒， 4tan373CF BF x ∴=≈︒，5tan 6712DE AE x =≈︒，又62AB =，20CD =， ∴452062312x x ++=， 解得：24x =，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中， 24403sin 375CF BC =≈=︒，242612sin 6713DE AD =≈=︒， 4020266224AD DC CB AB ∴++-=++-=（米)，答：他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走约24米．【点评】本题考查了解直角三角形，难度适中，解答本题的关键是在直角三角形中运用解直角三角形的知识求出各边的长度．19．（12分）如图，O 的直径6AB =，AD 、BC 是O 的两条切线，2AD =，92BC =． （1）求OD 、OC 的长； （2）求证：DOC OBC ∆∆∽； （3）求证：CD 是O 切线．【分析】（1）由AB 的长求出OA 与OB 的长，根据AD ，BC 为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD 与三角形BOC 都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD 与OC 的长；（2）过D 作DE 垂直于BC ，可得出BE AD =，DE AB =，在直角三角形DEC 中，利用勾股定理求出CD 的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；（3）过O 作OF 垂直于CD ，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS 得到三角形OCF 与三角形OCB 全等，由全等三角形的对应边相等得到OF OB =，即OF 为圆的半径，即可确定出CD 为圆O 的切线． 【解答】（1）解：AD 、BC 是O 的两条切线，90OAD OBC ∴∠=∠=︒，在Rt AOD ∆与Rt BOC ∆中，3OA OB ==，2AD =，92BC =， 根据勾股定理得：2213OD OA AD +22313OC OB BC =+=；（2）证明：过D 作DE BC ⊥，可得出90DAB ABE BED ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，2BE AD ∴==，6DE AB ==，52EC BC BE =-=，在Rt EDC ∆中，根据勾股定理得：22132DC DE EC =+=， 133OD OC DC OB CB OC ===， DOC OBC ∴∆∆∽；（3）证明：过O 作OF DC ⊥，交DC 于点F ， DOC OBC ∆∆∽， BCO FCO ∴∠=∠，在BCO ∆和FCO ∆中， 90OBC OFC BCO FCOOC OC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BCO FCO AAS ∴∆≅∆， OB OF ∴=，则CD 是O 切线．【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 20．（12分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,0)，(5,0)，(3,4)-． （1）求该二次函数的解析式； （2）当3y >-，写出x 的取值范围；（3）A 、B 为直线26y x =--上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时ABC ∆的面积最小？求出此时点C 的坐标及ABC ∆面积的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）求出3y =时x 的值，结合函数图象，求出3y >-时x 的取值范围；（3）ABC ∆的底边AB 长度为2，是定值，因此当AB 边上的高最小时，ABC ∆的面积最小．如解答图所示，由点C 向直线26y x =--作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE 的表达式，根据表达式求出CE 的最小值，这样问题得解．【解答】解：（1）点(1,0)，(5,0)，(3,4)-在抛物线上，∴02550934a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得165a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴二次函数的解析式为：265y x x =-+．（2）在265y x x =-+中，令3y =-，即2653x x -+=-，整理得：2680x x -+=，解得12x =，24x =．结合函数图象，可知当3y >-时，x 的取值范围是：2x <或4x >．（3）设直线26y x =--与x 轴，y 轴分别交于点M ，点N ，令0x =，得6y =-；令0y =，得3x =-(3,0)M ∴-，(0,6)N -，3OM ∴=，6ON =，由勾股定理得：35MN =，1tan 2OM MNO ON ∴∠==，5sin 5OM MNO MN ∠==． 设点C 坐标为(,)x y ，则265y x x =-+．过点C 作CD y ⊥轴于点D ，则CD x =，OD y =-，6DN y =+．过点C 作直线26y x =--的垂线，垂足为E ，交y 轴于点F ，在Rt CDF ∆中，1tan 2DF CD MNO x =∠=，152sin sin 255x DF DF CF x DCF MNO ====∠∠． 162FN DN DF y x ∴=-=+-． 在Rt EFN ∆中，51sin (6)52EF FN MNO y x =∠=+-． 551(6)252CE CF EF x y x ∴=+=++-， (,)C x y 在抛物线上，265y x x ∴=-+，代入上式整理得：225575(411)(2)555CE x x x =-+=-+， ∴当2x =时，CE 有最小值，最小值为755． 当2x =时，2653y x x =-+=-，(2,3)C ∴-．ABC ∆的最小面积为：11757522255AB CE =⨯⨯=． ∴当C 点坐标为(2,3)-时，ABC ∆的面积最小，面积的最小值为755．【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似三角形）等知识点．难点在于第（3）问，确定高CE 的表达式是解题的关键所在；本问的另一解法是：直线2y x k =-+与抛物线265y x x =-+相切时，切点即为所求的点C ，同学们可以尝试此思路，以求触类旁通、举一反三．21．（10分）如图，已知抛物线经过(2,0)A -，(3,3)B -及原点O ，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于抛物线经过(2,0)A -，(3,3)B -及原点O ，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D 的坐标；（3）分两种情况讨论，①AMP BOC ∆∆∽，②PMA BOC ∆∽，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,0)A -，(3,3)B -，(0,0)O ，代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故函数解析式为：22y x x =+．（2）当AO 为平行四边形的边时，//DE AO ，DE AO =，由(2,0)A -知：2DE AO ==， 由四边形AODE 可知D 在对称轴直线1x =-右侧，则D 横坐标为1，代入抛物线解析式得(1,3)D ．综上可得点D 的坐标为：(1,3)．（3）存在．如图：(3,3)B -，(1,1)C --，根据勾股定理得：218BO =，22CO =，220BC =，222BO CO BC +=，BOC ∴∆是直角三角形，假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与BOC ∆相似，设(,)P x y ，由题意知0x >，0y >，且22y x x =+，①若AMP BOC ∆∆∽，则AM PM BO CO =， 即223(2)x x x +=+，得：113x =，22x =-（舍去）． 当13x =时，79y =，即1(3P ，7)9， ②若PMA BOC ∆∆∽，则AM PM CO BO =， 即：223(2)x x x +=+，得：13x =，22x =-（舍去）当3x =时，15y =，即(3,15)P ．故符合条件的点P 有两个，分别是1(3P ，7)9或(3,15)．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．。

北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8） 【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项. 3.已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A. 3-B. 6C.6 D.3【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果． 【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈ 即sin 2αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=6故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A 【解析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．3 【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,3a b ==，所以3z i =，则3z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()13cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()1313cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-. 下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:2x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】 (1). 642 (2).5112【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以22为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai 的宽度为122i a +，()1A i +的长度为2122i i a a ++=，所以，数列{}n a 是以22为公比的等比数列，由题意知4A 纸的宽度为5222a =，522a ∴=51222821242a a ∴===⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，0A 纸的面积为(22211228264222S dm ==⨯=，又22n n S =，22211122212222n n n n n nS a S a a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S 是以212为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：6425112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q，若OP aOA bOB=+u u u vu u u r u u u v，则+a b的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】【分析】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，并设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b的取值范围.【详解】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A、B、Q三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOBλμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a kλ=，b kμ=，()()0,1a b k k k kλμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f xg x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数.当2(]0,x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k>.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

北京一零一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.方程-x2-5x+6=0的解集为（）A. B. C. D.2.“x＞2”是“x2＞4”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.4.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2，则f（-）=（）A. B. C. D.5.设函数f（x）=4x+-1（x＜0），则f（x）（）A. 有最大值3B. 有最小值3C. 有最小值D. 有最大值6.若函数f（x）=x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，则a的值可以是（）A. B. 0 C. D. 37.已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.设函数f（x）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1，0），若函数g（x）-f（x）=x，则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）A. B.C. ,D.二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．10.已知方程ax2+bx+1=0的两个根分别为，3，则不等式ax2+bx+1＞0的解集为______．（结果用区间表示）11.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．14.已知函数（1）若a=0，则函数f（x）的零点有______个；（2）若f（x）≤f（1）对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．16.已知函数．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x）在区间[1，4]上的最值．17.一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求x1•x2的最值；（3）如果，求m的取值范围．18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19.已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．（Ⅰ）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；（Ⅱ）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；（Ⅲ）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴（x+6）（x-1）=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．因式分解法求解一元二次方程．本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2.【答案】B【解析】解：由x2＞4，解得x＞2，或x＜-2．∴“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件．故选：B．由x2＞4，解得x＞2，或x＜-2．即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间（1，+∞）上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=在区间（1，+∞）上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在（1，+∞）上单调递增．故选：D．结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）满足x＞0时，f（x）=x2，则f（）=（）2=，又由函数f（x）为奇函数，则f（-）=-f（）=-；故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性可得f（-）=-f（），即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：当x＜0时，f（x）=4x+-1=-[（-4x）+]-1．当且仅当-4x=-，即x=-时上式取“=”．∴f（x）有最大值为-5．故选：D．6.【答案】A【解析】解：由f（x）=x+=0可得，a=-x2，由函数f（x）=x+（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，可知a=-x2在（1，2）只有一个零点，当x∈（1，2）时，y=-x2∈（-4，-1），∴-4＜a＜-1，结合选项可知，A符合题意．故选：A．由已知可转化为a=-x2在（1，2）只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a的范围．本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．7.【答案】B【解析】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a-3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a-3）×1+5≥2a③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：B．由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a-3）×1+5≥2a，由此可求a的取值范围．本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．8.【答案】A【解析】解：由函数f（x+1）的对称中心是（-1，0），可得f（x）的图象关于（0，0）对称即f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），∵g（x）-f（x）=x，∴g（x）=f（x）+x，∴g（-x）=f（-x）-x=-f（x）-x=-g（x），∵对于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，∴|g（x）-g（y）-（x-y）|＜|x-y|，∴，即||＜1，∴0＜＜2，即g′（x）＞0，∴g（x）单调递增，∵g（2x-x2）+g（x-2）＜0，∴g（2x-x2）＜-g（x-2）=g（2-x），∴2x-x2＜2-x，整理可得，x2-3x+2＞0，解可得，x＞2或x＜1，故选：A．由已知可知f（x）为奇函数，从而可得g-x）也为奇函数，然后结合|f（x）-f（y）|＜|x-y|，及导数的定义可知g′（x）＞0，从而可知g（x）单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合导数的定义判断出函数g（x）的单调性．【解析】解：∵x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1-5=0，x1x2=-5．∴x12+2x1+x1x2=5-5=0．故答案为：0．x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，可得x12+2x1-5=0，x1x2=-5．即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】（-，3）【解析】解：由已知方程ax2+bx+1=0的两个根分别为，3，∴-+3=-，（-）×3=；解得：a=-，b=．∴不等式ax2+bx+1＞0对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：-和3．∴所求不等式的解集为（-，3）．故答案为：（-，3）．由已知条件以及根与系数的关系求出a，b的值，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系即可求解．本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于基础题．11.【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0【解析】解：命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案为：∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.【答案】2【解析】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），∵f（x）-g（x）=x3+x2+2，∴f（-x）+g（-x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）=-1+1+2=2．故答案为：2由已知可得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），结合f（x）-g（x）=x3+x2+2，可得f（-x）+g（-x）=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值，属于基础试题．13.【答案】{-3，3}【解析】解：因为函数f（x）=x2-2x+1=（x-1）2，所以对称轴为x=1，顶点坐标为（1，0）．令x2-2x+1=4得：x2-2x-3=0，解得：x=-1或3，所以a+2=-1或a=3，即：a=-3或3．故答案为：{-3，3}14.【答案】2 0＜a≤1【解析】解：（1）当a=0时，如图，由图可知，f（x）有2个零点．（2）①当a≥0时，f（x）=，如图，A（1，0），当x=a在A点左侧时，总能满足f（x）≤f（1），此时0＜a≤1；当x=a在A点右侧时，不满足，②当a＜0时，f（x）=，如图，，此时，无论a取何值均不能满足f（x）≤f（1）．综上0＜a≤1．（2）分别画出a≥0时和a＜0时函数示意图，数形结合可得a取值范围．本题考查函数零点及函数恒成立问题，数形结合数关键，属于中档题．15.【答案】解：（1）x=-3时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A∩B={9}；（2）∵A∩B={9}，∴9∈A，∴x2=9，或x-1=9，解得x=±3或10，x=3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x=-3或10，由（1）知，x=-3时，A∪B={-8，-4，4，9}，x=10时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A∪B={-9，5，9，100}．【解析】（1）x=-3时，可求出A={9，-4}，B={-8，4，9}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∩B={9}即可得出x2=9或x-1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x=-3或10，从而x=-3时，求出集合A，B，然后求出A∪B；x=10时，求出集合A，B，然后求出A∪B即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】解：（1）由题意可得，x≠0，∵f（-x）=-ax+=-f（x），∴f（x）为奇函数；（2）由f（1）+f（2）=a-2+2a-1=0，∴a=1，f（x）=x-，设0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1-x2=（x1-x2）（1+），∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，1+＞0，∴（x1-x2）（1+）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）=，f（1）=-1．【解析】（1）由题意可得，x≠0，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可判断；（2）由f（1）+f（2）=a-2+2a-1=0，代入可求a，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可证函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4），f（1）．即可求解．本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．17.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．∴△=（-m）2-4（m2+m-1）≥0，从而解得：-2．（2）∵一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：，又由（1）得：-2，∴，从而，x1•x2最小值为，最大值为1．（3）∵一元二次方程x2-mx+m2+m-1=0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：，∴=，∴．【解析】（1）一元二次方程有两实根，则判别式△≥0；（2）利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；（3）利用公式得到|x1-x2|的表达式从而解不等式求m．本题考点是一元二次方程根与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．18.【答案】解：（1）由题意，有AM=，由AM＞0，有 0＜x＜10；则S=4200x2+210（200-x2）+80×2×；S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000；∴S关于x的函数关系式：S=4000x2++38000，（0＜x＜10 ）；（2）S=4000x2++38000≥2+38000=118000；当且仅当4000x2=时，即x=时，∈（0，10），S有最小值；∴当x=米时，S min=118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．【解析】（1）根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】-2【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=-，由f（x）的图象关于直线x=1对称，可得-=1，解得b=-2，故答案为：-2．（Ⅱ）证明：由f（x）在[-1，1]上不单调，可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，对任意的x∈R，f（x）≥f（-）=-+c=c-，由-2＜b＜2，可得f（x）≥c-＞c-1；（Ⅲ）f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点，设为r，s，（r≠s），r，s∈（，1），可设f（x）=（x-r）（x-s），由c2+（1+b）c=c（1+b+c）=f（0）f（1）=rs（1-r）（1-s），且0＜rs（1-r）（1-s）＜[]2•[]2=，则c2+（1+b）c∈（0，）．（Ⅰ）求得f（x）的对称轴，由题意可得b的方程，解方程可得b；（Ⅱ）由题意可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，运用f（x）的最小值，结合不等式的性质，即可得证；（Ⅲ）f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点，设为r，s，（r≠s），r，s∈（，1），可设f（x）=（x-r）（x-s），将c2+（1+b）c写为f（0）f（1），再改为r，s的式子，思想，以及基本不等式和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。