2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市十一学校高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共13小题，共52.0分）1.有下列命题：①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点；②函数y=3x-x5-1有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象也关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到的．其中错误的命题有______．（填写所有错误的命题的序号）2.已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列；③已知等比数列{a n}的公比为q，则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0＜q＜1”；④记等差数列的前n项和为S n，若S2k＞0，S2k+1＜0，则数列S n的最大值一定在n=k处达到．其中正确的命题有______．（填写所有正确的命题的序号）3.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．4.已知a=3π，b=eπ，c=e3，则a，b，c按从小到大的顺序排序为______．5.已知函数f（x）=（2m2+m）x m是定义在[0，+∞）上的幂函数，则f（4x+5）≥x的解集为______．6.已知下列四个命题：①若a＞b，c＞d，则＞；②若a＞b且＜，则a，b同号；③“x＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件；④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件．其中正确的命题是______．（填写所有正确的命题的序号）7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n次传球之后，共有______种可能的传球方法；②n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有______种．8.已知函数f（x）是偶函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，当0≤x≤1时，f（x）=x2-1，则g（x）=f（x）-log7|x|有______个零点．9.的最小值为______．10.已知实数a，b，c满足a+b+c=3，a2+2b2+2c2=6，则c的取值范围是______．11.函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是______．12.已知数列{a n}中，，若，则a2017=______．13.已知{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，则a n=______．二、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14.已知是偶函数．（1）求m的值；（2）已知不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．15.已知{a n}是公差不为0的等差数列，且a1=1，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足b1=-2，．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）求数列{b n}前n项和S n．16.已知a，b，c均为正数，且a+b+c=4，求证下列不等式，并说明等号成立条件．（1）；（2）．17.已知数列{a n}满足∈，且，，＞．（1）当a1=2时，写出{a n}的通项公式（直接写出答案，无需过程）；（2）求最小整数m，使得当a1≥m时，{a n}是单调递增数列；（3）是否存在a1使得{a n}是等比数列？若存在请求出；若不存在请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=na n+1-2n．设．（1）求{a n}的通项公式（2）猜测b n与的大小关系并证明．答案和解析1.【答案】①③【解析】解：①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，可得x＞1和x＜-1时，各有一个交点；当-1＜x＜1时，y=1-x2和y=1+0.1x，联立可得x2+0.1x=0，即x=0或x=-0.1，则有两个交点；函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点；②函数y=f（x）=3x-x5-1，由f（0）=0，可得x=0为零点；由f（-1）＞0，f（-）=+-1＜0，且f（x）在（-1，-）递减，可得f（x）在（-1，-）有一个零点；由f（1）=1＞0，f（2）=9-32-1＜0，且f（x）在（1，2）递减，可得f（x）在（1，2）有一个零点；则函数y有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，可取f（x）=x3，g（x）=x，则函数y=f（x+1）=（x+1）3的反函数为y=x-1，而g（x）=（x-1），不互为反函数，函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象不关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到．综上可得①③错误；②④正确．故答案为：①③．分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，即可判断①；运用函数的零点存在定理，即可判断②；由互为反函数的图象特点，举例即可判断③；运用函数图象平移变换和对称变换，即可判断④．本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换，考查数形结合思想方法，属于基础题．2.【答案】④【解析】解：对于①，等差数列不一定是单调数列，也可以是常数列，①错误；对于②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列，如非零常数列是等差数列，其前n项和是等差数列，∴②错误；对于③，等比数列{a n}的公比为q，a1＞0时，“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0＜q＜1”；a1＜0时显然不成立，③错误；对于④，等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2k＞0，S2k+1＜0，即＞0，＜0，∴a1+a2k＞0，a1+a2k+1＜0．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a2k=a k+a k+1，a1+a2k+1=2a k+1；∴a k+a k+1＞0，a k+1＜0，∴a k＞0，a k+1＜0，∴d＜0，则当n≥k+1时，a n＜0；因此S1，S2，…，S2k中数值最大的是S k，则数列S n的最大值在n=k处取得，④正确．综上，正确的命题序号是④．故答案为：④．①，等差数列不一定是单调数列；②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列；③，等比数列{a n}的公比为q，分a1＞0和a1＜0时是否成立即可；④，利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质，判断即可．本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，是综合题．3.【答案】65【解析】解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．4.【答案】c＜b＜a【解析】解：由y=e x是增函数，得b=eπ＞c=e3，由y=xπ是增函数，得a=3π＞b=eπ，故c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道基础题．5.【答案】，【解析】解：由题意得：2m2+m=1，解得：m=-1（舍）或m=，故f（x）=在[0，+∞）递增，f（4x+5）≥x，即≥x，故或，解得：-≤x≤5，故答案为：．求出m的值，求出f（x）的解析式，关于x的不等式组，解出即可．本题考查了幂函数的定义，解不等式问题，是一道常规题．6.【答案】②【解析】解：①若a＞b，c＞d，则不正确，比如a=2，b=1，c=-1，d=-2，可得=；②若a＞b且，则a，b同号正确，由于-=＜0，由a-b＞0，可得ab＞0，即ab同号；③“x＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件不正确，应为充分不必要条件，由x＞0，y＞z可得xy＞xz，反之不成立；④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件不正确，应为充分不必要条件，由xy＞0，可得|x|+|y|=|x+y|，反之不成立．故答案为：②．举a=2，b=1，c=-1，d=-2，可判断①；运用不等式性质化简可得ab＞0，可判断②；运用充分必要条件的定义，可判断③，④．本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】2n；【解析】解：每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（n≥2），即-=-（-），（n≥2），∴-=（-）n（-），（n≥2），∵a1=0，∴a n=，故答案为：2n；每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（根据数列的递推公式即可求出通项公式）本题考查了数列的递推公式，考查了转化能力，属于中档题8.【答案】4【解析】解：对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，故函数f（x）的对称中心是（1，0），令g（x）=f（x）-log7|x|=0，得f（x）=log7|x|，函数g（x）的零点个数即函数f（x）和y=log7|x|的交点个数，由函数f（x）是偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2-1，画出函数f（x）和函数y=log7|x|的图象，如图示：，结合图象，函数f（x）和函数y=log7|x|的图象有4个交点，故函数g（x）有4个零点，故答案为：4．根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象，结合图象求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的零点问题，考查函数的奇偶性，对称性以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．9.【答案】【解析】解：由设=t，t≥则x2=t2-2．那么f（x）转化为g（t）=根据勾勾函数的性质，可得“当t=”时，g（t）取得最小值为：．故答案为：．利用换元法，结合勾勾函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值的求法，利用到了勾勾函数的性质．属于基础题．10.【答案】，【解析】解：由a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，由柯西不等式可得≥（a+b）2=（3-c）2，即9-3c2≥（3-c）2，化简得2c2-3c≤0，解得，因此，c的取值范围为，故答案为：．a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，利用柯西不等式得9-3c2≥（3-c）2，解出c的范围即可．本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围，对等式进行合理变形与配凑，是解本题的关键，属于中等题．11.【答案】，【解析】解：由-x2-x+2＞0，得x2+x-2＜0，解得-2＜x＜1．函数t=-x2-x+2在上为增函数，而外层函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是．故答案为：．先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12.【答案】【解析】解：数列{a n}中，，若，则a2=2a1-1=-1=，a3=2a2-1=-1=，a4=2a3=，a6=2a5-1=-1=，…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，则a2017=a672×3+1=a1=，故答案为：．由分段数列的解析式，求得数列的前几项，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，计算可得所求值．本题考查数列的周期和运用，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】26-n【解析】解：∵{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，∴=，且q＞0，解得q=，∴a n=32×（）n-1=26-n．故答案为：26-n．利用等比数列通项公式列出方程，求出q=，由此能求出a n．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】解：（1）∀x，f（x）=f（-x），即，∵ 对x∈R恒成立，∴．（2）由题意得对x∈R恒成立，∵函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴4x+1≥a•2x对x∈R恒成立，即对R恒成立，∵，当且仅当，即x=0时等号成立，∴a≤2，又∵a•2x＞0，∴a＞0，即a的取值范围是（0，2]．【解析】（1）由题意可得：∀x，f（x）=f（-x），化简整理即可得出．（2）由题意得对x∈R恒成立，根据函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，可得4x+1≥a•2x＞0对x∈R恒成立，即0＜对R恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），即d2-d=0，解得d=0（舍）或d=1，∴a n=n．∴ ，两边同除以2n+1得：，又，∴数列{}是以-1为首项，为公差的等差数列，即，∴ ．（2）2S n=-2×21-22+……+（n-4）•2n-1+（n-3）•2n-1，作差得：S n=2-（2+22+……+2n-1）+（n-3）•2n=2-+（n-3）•2n=4+（n-4）•2n．【解析】（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），化简解得d，可得a n．可得，两边同除以2n+1得：，又，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：（1）因为a ，b ，c ＞0，且a +b +c =4，所以（ -1）（ -1）（ -1）=• • ≥ =8， 当且仅当 时等号成立；（2）因为a ，b ，c ＞0，且a +b +c =4，可令2a +b +c =u ，2b +c +a =v ，2c +a +b =t ，u ，v ，t ＞0，则u +v +t =16，所以[（2a +b +c ）+（2b +c +a ）+（2c +a +b ）]（ + + ），≥3 •3=9， 即有 + + ≥ ，当且仅当 时等号成立．【解析】（1）化简变形不等式的左边，再由二元均值不等式和不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件； （2）令2a+b+c=u ，2b+c+a=v ，2c+a+b=t ，u ，v ，t ＞0，则u+v+t=16，运用三元均值不等式，以及不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件．本题考查不等式的证明，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 17.【答案】解：（1）数列{a n }满足 ∈ ，且， ， ＞． 当a 1=2时， 为偶数 为奇数． （2）当a 1=1时，a 2=2，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=2时，由（1）知{a n }不单调递增；当a 1=3时，a 2=4，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=4时，a 2=6，a 3=8，a 4=10，当a 1=5时，a 2=8，a 3=12，a 4=18，由此猜测当a 1≥4时，{a n }是单调递增数列．下面用数学归纳法证明一个更强得猜想：当a 1≥4时，a n ≥2n +2，1°当n =1时，猜想成立；2°假设当n =k （k ≥1，k ∈N *）时，猜想成立，即a k ≥2k +2，当n =k +1时，因为a k ≥2k +2＞k ，所以a k +1=2（a k -k ）≥2（k +2）=2（k +1）+2，即n =k +1时，猜想扔成立．由1°，2°及数学归纳法知，当a1≥4时，a n≥2n+2，此时因为a n＞n，所以a n+1=2（a n-n），所以a n+1-a n=a n-2n≥2，由此当当a1≥4时，{a n}是单调递增数列．（3）由（2）知，a1=1，2，3，4时，{a n}不是等比数列．当a1≥4时，a n≥2n+2＞2，因此a n+1=2（a n-n），可求出通项公式为，所以不存在a1使得{a n}是等比数列．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用猜想法进行归纳证明．（3）根据（2）得出结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用．18.【答案】解：（1）2S n=na n+1-2n，当n≥2时，2S n-1=（n-1）a n-2（n-1），两式相减得：2a n=na n+1-（n-1）a n-2，即na n+1=（n+1）a n+2（n≥2），等式两边同除以n（n+1）得：，因为2=2S1=a2-2，所以a2=4，所以，又因为，所以是恒为3的常数列，所以，即a n=3n-2．由于因为a n单调递增，则，＞=＞=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用放缩法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，放缩法在数列求和中的应用．。

北京101中学2018－2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若sin α=33，0<α<2π，则cos α=（ ）A. 36-B. 21-C.21D.36 2. 集合M={∈+=k k x x ,42|ππZ }，N={∈=k k x x ,4|πZ }，则（ ） A. M ⊆NB. N ⊆MC. M N=φD. M N=R3. 下列命题中正确的是（ ）A. 共线向量都相等B. 单位向量都相等C. 平行向量不一定是共线向量D. 模为0的向量与任意一个向量平行 4. 下列函数为奇函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（ ） A. 2)(-=x x fB. 1)(-=x x fC. x x f 2log )(=D. x x f 3)(=5. 已知函数)4sin()(πω+=x x f （∈x R ，ω>0）的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象（ ）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度6. 如图所示，函数|tan |cos x x y =（0≤x <23π且x ≠2π）的图象是（ ）A B C D7. 函数x y ωsin =（ω>0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是（ ） A. 10π B. 20π C.237πD.239π8. 设偶函数||log )(b x x f a -=在（－∞，0）上是增函数，则)1(+a f 与)2(+b f 的大小关系是（ ）A. )2()1(+=+b f a fB. )2()1(+<+b f a fC. )2()1(+>+b f a fD. 不确定二、填空题共6小题。

9. 求值：241log 232)278(--+1lg )12(1001lg -+=____________。

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、 选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M = （ ）A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ，()2,4B ，()1,3C -，则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ，()4a b b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是（ ）Ａ．平行四边形但不是矩形 Ｂ．正方形 Ｃ． 菱形 Ｄ．矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是（ ）Ａ．()()12f a f b +=+ Ｂ．()()12f a f b +<+Ｃ．()()12f a f b +>+ Ｄ．不确定8. 已知O 为平面内一点，,,A B C 是平面内不共线的三点，且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ） Ａ．内心 Ｂ．垂心 Ｃ．重心 Ｄ．外心二、填空题：本大题共6小题，共30分9. 若()3f x x =，则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-，则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈，则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点，230OA OB OC ++= ，则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 设全集U R =，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()U C A B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足B C C = ，求实数a 的取值范围.16. 求值：()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ，()1,1b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，πϕπ-<≤）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数； （2）证明：对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=； （3）求值：1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、 选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 解：（1）依题意知：集合{}13A x x =-≤<，{}2B x x =≥（解不等式242x x -≥-可得：2x ≥） 故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或（2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得：B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解：由诱导公式可得：()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解：根据向量的坐标运算可得：()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得：()0a a b λ⋅+>而()1,2a =，故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得：53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解：（1）由题意可得：()max 2f x A ==，22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得：222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可得：2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =，可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此，函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得：12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得：函数()f x 在R 上为增函数.（2）证明：因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= （3）由（2）可得：12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...... ，20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得：201512M ⨯= 故可得：20152M = 因此，12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

第一学期高中新课程模块考试试题（卷）高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。

一、单选题1．已知集合，集合．则集合（ ）{}|03A x x =<<{}2B x x =≥A B = A ．B ． {}|2x x <{}2|0x x <≤C ．D ． {}|2x x ≤<3{}|2x x ≥【答案】C【分析】已知集合、集合，由集合的基本运算，直接求解.A B A B ⋂【详解】集合，集合，则集合.{}|03A x x =<<{}2B x x =≥{}|23A B x x =≤< 故选：C2．命题，则是（ ）:1,(1)0p x x x ∀>->p ⌝A ．B ． 1,(1)0x x x ∀>-≤()1,10x x x ∀≤->C ．D ． ()000110x x x ∃≤->，0001,(1)0x x x ∃>-≤【答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题，则：.:1,(1)0p x x x ∀>->p ⌝0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D3．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ）()0,∞+A ．B ． ()f x x x =()1f x x x=+C ．D ． ()ln f x x =()2x f x =【答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数，定义域为，，函数为奇函数，()f x x x =R ()()f x x x x x f x -=--=-=-当时，，在上单调递增，A 选项正确； ()0,x ∞∈+()2f x x =()0,∞+对B ，函数，，不满足在上是增函数，B 选项错()1f x x x =+1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+误； 对C ，函数，定义域为，不是奇函数，C 选项错误；()ln f x x =()0,∞+对D ，函数，定义域为，值域为，函数图象在轴上方，不关于原点对称，不()2x f x =R ()0,∞+x是奇函数，D 选项错误.故选：A4．已知实数满足，则下列式子中正确的是（ ）,,a b c 0a b c <<<A ．B ．C ．D ．b ac b ->-2a bc <22b a --<||||a b c b <【答案】C【分析】ABD 错误的选项可以取特殊值进行判断，C 选项可以利用指数函数的性质判断.【详解】对于A 选项，例如，则，不满足，A 选项1,1,20a b c =-==2,19b a c b -=-=b a c b ->-错误；对于B 选项，例如，，，不满足，B 选项错误； 5,1,2a b c =-==225a =2bc =2a bc <对于C 选项，由可知，，结合指数函数在上递增可知，，C 0a b c <<<b a -<-2x y =R 22b a --<选项正确；对于D 选项，例如，，，不满足，D 选项错误. 5,1,2a b c =-==||5a b =||2c b =||||a b c b <故选：C5．已知，则（ ） 0.20.233,log 3,log 2a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，，，0.20331a =>=0.20.2log 3log 10b =<=，由，则，3log 2c =3330log 1log 2log 31=<<=01c <<所以，a cb >>故选∶B ．6．若角的终边与单位圆交于点，则下列三角函数值恒为正的是（ ） α01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．cos tan ααsin cos ααsin tan ααtan α【答案】A【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.【详解】由题意得：， 1sin 3α=0cos x α===A 选项，， sin 1cos tan cos sin 0cos 3αααααα=⋅==>B 选项，可能正，可能负，不确定； 01sin cos 3x αα=C 选项，可能正，可能负，不确定； 20sin 1sin tan cos 9x αααα==D 选项，. sin tan cos ααα==故选：A7．函数在下列区间内一定存在零点的是（ ）()ln 3f x x x =-A ．B ．C ．D ． ()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】B【分析】构建新函数，根据单调性结合零点存在性定理分析判断. ()3ln g x x x=-【详解】令，则， ()ln 30f x x x =-=3ln 0x x -=构建，则在上单调递增， ()3ln g x x x =-()g x ()0,∞+∵， ()()32ln 20,3ln 3102g f =-<=->∴在内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是，()g x ()0,∞+()2,3故函数一定存在零点的区间是.()ln 3f x x x =-()2,3故选：B.8．已知函数定义域为，那么“函数图象关于y 轴对称”是“，都存在，使()f x D ()f x 1x D ∀∈2x D ∈得成立”的（ ）12()()f x f x =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数定义域为D ，若函数图象关于y 轴对称，则，则，且()f x ()f x x D ∀∈x D -∈，()()=f x f x -所以，都存在，使得满足，即成立，故充分性成1x D ∀∈21x x D =-∈11()()f x f x =-12()()f x f x =立； 若函数，其定义域为，满足，都存在，使得()1f x x =-R 1x ∀∈R 212R x x =-∈成立，221111()12111()f x x x x x f x =-=--=-=-=但是函数的图象不关于y 轴对称，故必要性不成立；()f x 故“函数图象关于y 轴对称”是“，都存在，使得成立”的充分不必()f x 1x D ∀∈2x D ∈12()()f x f x =要条件.故选：A.9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为（a 为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至13少需要经过（ ）A ．0.4hB ．0.5hC ．0.7hD ．1h 【答案】C【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.()0.2,1a 【详解】由题意知，点在函数的图象上，()0.2,119x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，0.2119a -⎛⎫= ⎪⎝⎭解得，0.2a =所以，0.219x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭由，可得， 0.21193x -⎛⎫< ⎪⎝⎭20.41133x -⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，20.41x ->解得，0.7x >所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.0.7故选：C.10．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在ABC 2ABC A AB 轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间x x A x A 的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是；6②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； A ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； A 8π3④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． A x 8π3其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①③【答案】D 【分析】依题意将沿着轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点轨迹，由题目中“一个周ABC A x A 期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.【详解】如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：ABC A x 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨ABC A B BC x 11B C 111A B C △A 迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置；B AB A O A 1AA 1A第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点111A B C △1C 11C A x 22C A 222A B C △A 的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，1C 11C A A 1A A 12A A 2A x 完成一个周期.对于①，∵，∴一个周期，故①正确；11222AB B C C A ===26AA =对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错A A 1AA A12A A 误；对于③，由已知，，∴， 111111π3A B C A C B ∠=∠=11122π3A BA A C A ∠=∠=∴的弧长，的弧长， A 1AA 114π3l A BA BC =∠⋅=A 12A A 2112114π3l A C A C A =∠⋅=∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确； A 4π4π8π333+=对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与A x 1BAA 112C A A 的面积和，∵， 111A B C △11122π3A BA A C A ∠=∠=∴， 1112212π4π2233BAA C A A S S ==⨯⨯=扇形扇形∵等边边长为，∴ ABC A 2111A B C S =A∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误. A x 4π4π8π333+=∴正确的说法为：①③.故选：D.【点睛】方法点睛：分步解决点轨迹，第一步是绕点滚动得到，第二步是A ABC A B 111A B C △绕点滚动得到，再将两步得到的点轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正111A B C △1C 222A B C △A 确.二、填空题11．______. 4sin 3π=【答案】 【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】 4sin sin sin 333ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故答案为： 【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.12．函数___________．()f x =【答案】 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数有意义，则有，解得，即函数定义域为. ()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩1e x ≥1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭故答案为： 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13．函数在区间[0，3]上的值域是___________．()21f x x x =-+【答案】 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】， 2213()1()24f x x x x =-+=-+所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，，，所以值域为. 13()24f =(0)1f =(3)7f =()f x 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：. 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数，若，则x 的范围是___________．()()2log 1f x x =+()f x x >【答案】()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数和函数的图像，如图所示，()2log 1y x =+y x =两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像()0,0()1,1()0,1x ∈()2log 1y x =+y x =的上方，即不等式的解集为.()>f x x ()0,1故答案为：()0,115．在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，角终边与单位圆相交于点xOy αx α，将角终边顺时针旋转后与角终边重合，那么___________． 03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭απβcos β=【答案】##-0.6 35-【分析】先根据三角函数的定义算出，然后根据的关系结合诱导公式计算.cos α,αβcos β【详解】根据三角函数的定义，，由题意，，于是3cos 5α=πβα=-. ()3cos cos πcos 5βαα=-=-=-故答案为： 35-16．已知某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．设年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），那么f （Q ）的最小值是___________．【答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q 时的平均成本为，再利用基本不等式求解. ()1600040C f Q Q Q Q==+【详解】解：因为某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为．24016000C Q =+所以年产量为Q 时的平均成本为， ()16000401600C f Q Q Q Q ==+≥=当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600， 1600040Q Q=20Q =()f Q 故答案为：1600三、双空题17．已知函数，a 为常数． ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（1）当时，如果方程有两个不同的解，那么k 的取值范围是___________；3a =()0f x k -=（2）若有最大值，则a 的取值范围是___________．()f x 【答案】()1,7-[]0,3【分析】（1）通过讨论和的单调性得出函数在时的单调性，将方21x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x 3a =程有两个不同的解转化为函数与直线有两个不同的交点的问题，即可得出k ()0f x k -=()f x y k =的取值范围.（2）根据（1）中得出的和的单调性，分类讨论不同情况时图象的21x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a ()f x 情况，即可得出a 的取值范围.【详解】解（1）由题意，在中，函数单调递增，且，21x y =-1y >-在中，， 163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2163y x x =-+对称轴，()16832213b x a =-=-=⨯-∴函数在处取最大值，为， 83x =28168643339y ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭函数在上单调递增，在上单调递减， 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭在，a 为常数中， ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当时，， 3a =()21,316,33x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩函数在上单调递增，在上单调递减，(),3∞-[)3,+∞当时，，3x <3()21(3)217x f x f =-<=-=∵，()211x f x =->-∴当时，，3x <()17f x -<<当时，， 3x ≥()()221616333733f x x x f =-+≤=-+⨯=∴函数在处取最大值7，3x =∵方程有两个不同的解，()0f x k -=即有两个不同的解，()f x k =∴函数与直线有两个不同的交点， ()f x y k =∴，17k -<<∴的取值范围为，k ()1,7-（2）由题意及（1）得，在中，函数单调递增，且，21x y =-1y >-在中，对称轴，在处取最大值， 163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭83x =83x =649且在上单调递增，在上单调递减， 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭函数，a 为常数 ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩∵有最大值，()f x∴在的值要不大于在的值， 21x y =-x a =16()3y x x =--x a =当时，图象在上方， a<021x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭显然在的值要大于在的值，不符题意，舍去 21x y =-x a =163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x a =当时，由（1）知，0a ≥当时在的值不大于在的值， 03a ≤≤21x y =-x a =163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x a =综上，.03a ≤≤故答案为：；.()1,7-[]0,3【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.四、解答题18．已知， 3cos 5α=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求，；sin αtan α(2)求的值. ()()cos 3ππsin tan π2ααα+⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)，. 4sin 5α=4tan 3α=-(2) 34-【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.【详解】（1）， 222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭∵，∴，∴， π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α>4sin 5α=∴. sin tan s 43co ααα==-（2）原式 ()()()()cos 3πcos cos πsin cos tan sin tan πcos 2cos απααααααααα++-===⋅-⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. cos 3sin 4αα==-19．已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；()f x ()1,3-m (2)解不等式．()21f x x <+【答案】(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当时，不等式的解集为，2m =-()21f x x <+∅当时，不等式的解集为，2m >-()21f x x <+(),2m -当时，不等式的解集为，2m <-()21f x x <+()2,m -【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数的取值区间；m （2）由题化简不等式，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.()21f x x <+【详解】（1）函数的对称轴， ()221f x x mx m =+-+2m x =-函数在区间上单调()f x ()1,3-依题意得或， 12m -≤-32m -≥解得或，2m ≥6m ≤-所以实数的取值范围为.m (][),62,∞-∞-⋃+（2）由，()21f x x <+即，22121x mx m x +-+<+即，()2220x m x m +--<令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为，2,m -当，即时，不等式的解集为，2m =-2m =-()21f x x <+∅当，即时，不等式的解集为，2m >-2m >-()21f x x <+(),2m -当，即时，不等式的解集为，2m <-2m <-()21f x x <+()2,m -综上，当时，不等式的解集为，2m =-()21f x x <+∅当时，不等式的解集为，2m >-()21f x x <+(),2m -当时，不等式的解集为，2m <-()21f x x <+()2,m -20．给定函数． 22()11x f x x =-+(1)求函数的零点；()f x (2)证明：函数在区间上单调递增；()f x (0,)+∞(3)若当时，函数的图象总在函数图象的上方，求实数a 的取值范围,()0x ∈+∞()f x ()3g x ax =-【答案】(1)，； 1x =12x =-(2)见解析；(3).(,2]-∞【分析】(1)令求解即可；()0f x =(2)根据函数单调性的定义证明即可； (3)由题意可得在上恒成立，令，利用函数的单调性的定221x a x x<++,()0x ∈+∞22(),01x h x x x x =+>+义可得在上单调递减，且有，即可得的取值范围.()h x (0,)+∞()2h x >a 【详解】（1）解：因为，所以， 22()11x f x x =-+1x ≠-令，则有， 22()101x f x x =-=+221x x =+即，解得或； 2210x x --=1x =12x =-（2）证明：任取，1212,(0,),x x x x ∈+∞<则, 222212122112121212121212222(1)2(1)2()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==++++++因为，所以， 120x x <<121212122()()0(1)(1)x x x x x x x x -++<++即，1212()()0()()f x f x f x f x -<⇔<所以函数在区间上单调递增；()f x (0,)+∞（3）解：由题意可得在上恒成立， 22131x ax x ->-+,()0x ∈+∞即在上恒成立， 221x a x x <++,()0x ∈+∞令， 22222()22,011(1)x h x x x x x x x x =+=-+=+>+++因为，， 0x >22022(1)x x +>+=+当趋于时，趋于0，趋于2， x +∞2(1)x x +22(1)x x ++所以， ()()2,(0)h x x ∈+∞>，所以由在上恒成立可得， 221x a x x<++,()0x ∈+∞2a ≤故的取值范围为.a (,2]-∞21．如图，四边形是高为2的等腰梯形．OABC //,4,2OA BC OA CB ==(1)求两条腰OC ，AB 所在直线方程；(2)记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．OABC (04)x m m =<≤()f m ①当时，求图形面积的值； 12m =()f m ②试求函数的解析式，并画出函数的图象．()y f m =()y f m=【答案】(1)腰OC 所在直线方程为，腰AB 所在直线方程为；y =y=+(2)① ()f m=②，图象见解析. ()22,0134m f m m m <≤=<≤-+<≤ 【分析】(1)由已知，解三角形求点的坐标，利用待定系数法求其方程；,,,O A B C (2)①解三角形结合三角形面积公式求时的解析式，由此求时，的值； 01m <≤()f m 12m =()f m ②分别在条件，，下求，由此可得函数的解析式，作出01m <≤13m <≤34m <≤()f m ()y f m =函数的图象．()y f m =【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，又，C CE OA ⊥E B BF OA ⊥F //OA BC，2BC =所以四边形为矩形，且，BCEF 2EF =因为四边形为等腰梯形，，OABC 4,2OA OC AB ===所以，1OE AF ==CE BF =所以，()((()0,0,,,4,0O C B A设直线的方程为，所以OC y kx =1k =⨯k =所以腰OC 所在直线方程为， y =设直线的方程为，则，所以， AB y sx t =+304s t s t =+=+⎪⎩s t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以腰AB 所在直线方程为，y =+（2）①当时，设直线与直线的交点分别为，则，01m <≤x m =,OA OC ,M N //MN CE所以，所以，又， ~OMN OEC A A MN OM CE OE =,1OM m CE OE ===所以，MN =所以 ()212OMN f m S m ==⨯A故当时， 12m =()f m =②由①知，当时， ， 01m <≤()2f m =当时，设直线与直线的交点分别为，则，13m <≤x m =,OA OC ,G H //GH CE 由已知四边形为矩形，CEGH所以 ()(1OCE CEGH f m S S m =+=-=A当时，设直线与直线的交点分别为，则，34m <≤x m =,OA OC ,K L //KL BF 所以，~AKL AFB A A 所以，又，所以， KL AK FBAF =4,1AK m BF AF =-==)4MN m =-所以， ()()()21442OABC AKL f m S S m m =-=--=+-A所以，()22,0134m f m m m <≤=<≤-+<≤ 作函数的图象可得()y f m =22．设A 是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A 的生成集．{|||,B u v u v A =-∈}u v ≠(1)当时，写出集合A 的生成集B ；{}1,3,6A =(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集，并说明理由．{}2,3,5,6,10,16B =【答案】(1)；{}2,3,5B =(2)4；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<（3）假设存在集合，可得，，，{},,,A a b c d =d a c a b a ->->-d a d b d c ->->-c a c b ->-，然后结合条件说明即得.16d a -=【详解】（1）因为，所以，{}1,3,6A =132,165,363-=-=-=所以；{}2,3,5B =（2）设，不妨设，{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<因为，21314151a a a a a a a a <<<----所以中元素个数大于等于4个，B 又，则，此时中元素个数等于4个，{}1,2,3,4,5A ={}1,2,3,4B =B 所以生成集B 中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，{},,,A a b c d ={}2,3,5,6,10,16B =不妨设，则集合A 的生成集由组成，0a b c d <<<<B ,,,,,b a c a d a c b d b d c ------又，,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-所以，16d a -=若，又，则，故，2b a -=16d a -=14d b B -=∉2b a -≠若，又，则，故，2d c -=16d a -=14c a B -=∉2d c -≠所以，又，则，而，2c b -=16d a -=18d b c a -+-={},3,5,6,10d b c a --∈所以不成立，18d b c a -+-=所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集.{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.不等式102x x +≤-解集是( )A. {}12x x -≤≤B. {}12x x -≤<C. {2x x >或}1x ≤-D. {}2x x <『答案』B『解析』根据题意，102x x +≤-可以变形为（x +1）（x ﹣2）≤0且x ﹣2≠0， 解得﹣1≤x ＜2，即不等式的解集为{x |﹣1≤x ＜2}， 故选：B2.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13S =( ) A. 13B. 14C. 26D. 52『答案』C『解析』在等差数列{a n }中，由a 4+a 10＝4，得2a 7＝4，即a 7＝2.∴S 13＝()11371313262a a a+⨯==.故选：C.3.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形D. 不能确定『答案』A『解析』因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<，由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 的又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以π(,π)2∈C ，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A.4.已知直线1l 的方程为3470x y +-=，直线2l 的方程为3410x y ++=，则直线1l 和2l 的距离为( ) A.85B.95C.45D.910『答案』A『解析』∵已知直线l 1的方程为3x +4y ﹣7＝0，直线l 2的方程为3x +4y +1＝0，则直线l1和l 2的距离为d ＝85， 故选：A.5.设某直线的斜率为k ，且k ⎛∈ ⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )A. π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭ B. π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭C. 50ππ,,36π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20ππ,,63π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭『答案』D『解析』直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k ，tan α20,,6ππ3πα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：D6.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一组条件是（ ） A. m n ⊥，m α，n β B. m n ⊥，m αβ=，n β⊂C. m n ，n β⊥，m α⊂D. m n ，m α⊥，n β⊥『答案』C『解析』A 选项中，根据m n ⊥，m α，n β，得到αβ⊥或αβ∥，所以A 错误；B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n β⊂，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为m n ，n β⊥，所以m β⊥. 又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到αβ∥，所以D 错误. 故选：C.7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:①BM ⊥平面ADNE ；②//CN 平面ABFE ；③平面BDM 平面AFN ；④平面BDE ⊥平面NCF .其中正确命题的序号是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④『答案』A『解析』把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD ﹣EFMN ，如图1所示；对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①错误；对于②，平面DCMN ∥平面ABFE ，CN ⊂平面DCMN ， ∴CN ∥平面ABFE ，②正确； 对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ， ∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ， ∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；对于④，如图3所示，同③可得平面BDE ∥平面NCF ，④错误. 综上，正确的命题序号是②③.故选：A8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 83B.23C. 2D. 4『答案』B『解析』由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图是长方体的一部分，由三视图的数据，AB＝BC＝2，P到底面的距离为1，∴该几何体的体积：V＝1122132⨯⨯⨯⨯＝23.故选：B.9.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A. 8B. 12C. 16D. 18『答案』C『解析』根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4＝16故选：D.10.如图，四棱锥S ABCD-的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD且SO=E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保⊥，则动点P的轨迹的周长为( )持PE ACA. B. C. 1+ D. 1+『答案』D『解析』分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EF ∥BD ，EF ⊄平面BDS ，BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，， ∴平面EFG ∥平面BDS ，由AC ⊥BD ，AC ⊥SO ，且AC ∩SO ＝O ， 则AC ⊥平面BDS ， ∴AC ⊥平面EFG ，∴点P 在△EFG 的三条边上；又EF ＝12BD ＝12＝1，FG ＝EG ＝12SB ＝122，∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝故选：D.二､填空题共6小题.11.直线:cos106π-+=l x y 的斜率为________.『答案』2『解析』直线l ：x cos6π﹣y +1＝0，即为直线l ﹣y +1＝0，即为y +1，故『答案』.12.设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________.『答案』64『解析』设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128，∴4q ×4q 2＝128， ∴q 3＝8， ∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64， 故『答案』为：64.13.若0a >，0b >，1a b +=，一定有1144ab ab +≥，()22221144ab ab ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立，请将猜想结果填空:1n nn na b a b+≥________. 『答案』144nn +『解析』由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，一定有ab +1ab ≥4+14，（ab ）2+（1ab ）2≥42+214成立， 可以猜想：1144n n nn n n a b a b +≥+，故『答案』为：144nn +.14.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，1BC =，2AB =，3BB '=，M 为AB 的中点，点P 在线段C M '上，点P 到直线BB '的距离的最小值为________.『答案』2『解析』连接MC ，由BB '∥CC '，BB '⊄平面MCC '，CC '⊂平面MCC '，可得BB '∥平面MCC '，由点P 到直线BB '的距离的最小值为异面直线BB '和直线C 'M 的距离， 即有直线BB '和平面MCC '的距离即为异面直线BB '和MC '的距离， 也即B 到平面MCC '的距离， 过B 在底面AC 内作BH ⊥MC ， 由CC '⊥底面AC ，可得CC '⊥BH ， 即有BH ⊥平面MCC '，由BC ＝BM ＝1，且BC ⊥BA ，可得BH ＝2.故『答案』为：2. 15.已知ABC 中，点()1,1A ，()4,2B ，()4,6C -.则ABC 的面积为________.『答案』10『解析』由两点式的直线BC 的方程为262y --＝444x ---，即为x +2y ﹣8＝0，由点A 到直线的距离公式得BC 边上的高dBC ＝∴△ABC 的面积为1210， 故『答案』为：10.16.已知()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足:22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，+的最大值为________.『解析』设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2）， 由x 12+y 12＝1，x 22+y 22＝1，x 1x 2+y 1y 2＝12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上， 且OA OB ⋅＝1×1×cos ∠AOB ＝12， 即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y ＝1平行， 可设AB ：x +y +t ＝0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d， 可得1，解得t＝2，1+，+故『答案』三､解答题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.等比数列{}n a 中，22a =，748a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m . 解：（1）∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 7＝8a 4. ∴2×q 5＝8×（2×q 2）， 解得q ＝2，当q ＝2时，a n ＝2n ﹣1，∴{a n }的通项公式为，a n ＝2n ﹣1，（2）记S n 为{a n }的前n 项和，a 2＝2，q ＝2， 则a 1＝1，则S n ＝1212n--＝2n ﹣1，由S m ＝63，得S m ＝2m ﹣1＝63，m ∈N ， 解得m ＝6.18.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos 45B =，3b =. (1)当6A π∠=时，求a 的值；(2)当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值. 解：（1）∵cos 45B =，∴3sin 5B =， 由正弦定理可知：sin sin a bA B=， ∵A ＝30°，∴sin A ＝sin30°＝12， ∴sin 5sin 2b A a B ==； （2）∵1sin 2ABC S ac B =△，△ABC 的面积为3， ∴3310ac =，∴ac ＝10， 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，∴222249210165a c a c =+-⨯⨯=+-，即a 2+c 2＝25， 则（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25+20＝45，故a c +=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==.四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F 为PC 的中点，求证://EF 平面P AD ；(2)求证:平面AFD ⊥平面P AB ；(3)是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.解：(1)因为E ，F 分别为侧棱PB ，PC 的中点，所以//EF BC ，因为//BC AD ，所以//EF AD ，而EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以//EF 平面P AD ；(2)因为平面ABCD ⊥平面P AC ，平面ABCD平面PAC AC =， 且PA AC ⊥，PA ⊂平面P AC ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥.又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面P AB ；(3)在棱PC 上显然存在点F 使得AF PC ⊥.由已知，AB AD ⊥，//BC AD ，1AB BC ==，2AD =.由平面几何知识可得CD AC ⊥.由(2)知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AC A =，所以CD ⊥平面P AC .而AF ⊂平面P AC ，所以CD AF ⊥.又因为CD PC C =，所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2PA =，AC =90PAC ∠=︒，可求得，PC =PF =可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3. 20.如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为()6,8，直线CD 交AB 于点()6,3D ，交x 轴于点()12,0C .(1)求直线CD 的方程；(2)动点P 在x 轴上从点()10,0-出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t .①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA B ∠=∠?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值.解：（1）直线CD 过点C （12，0），D （6，3），直线方程为030y --＝12612x --， 化为一般形式是x +2y ﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ，由DP ∥OB 得，PA AO ＝AD AB ，即6PA ＝38，∴P A ＝94；∴OP＝6﹣94＝154，∴点P（154，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（334，0），∴满足条件的点P坐标为（154，0）或（334，0）；②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，则直线OB的『解析』式为y＝43 x，直线PQ的『解析』式为y＝43x+403，由440332120y xx y⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得48xy=-⎧⎨=⎩，∴Q（﹣4，8）；∴PQ10，∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；此时点M与点P重合，且t＝0；如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣12m+6），则有m2+2162m⎛⎫-+⎪⎝⎭＝102，解得m；∴点Q；设M的横坐标为a，则62a+＝652+或62a+＝652+，解得a或a；又点P是从点（﹣10，0）开始运动，则满足条件的t ； 如图4，当Q 点与C 点重合时，M 点的横坐标为6，此时t ＝16；综上，满足条件的t 值为0，或16，或925+或925-.。

海淀区高一年级第一学期期末练习数学2018.01学校班级姓名成绩一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,3,5}A =，{(1)(3)0}B x x x =--=，则A B =（）A ．∅B ．{1}C ．{3}D ．{1,3}2.2πsin()=3-（）A.32-B.12-C.32D.123.下列函数为奇函数的是（）A.2x y =B.[]sin ,0,2πy x x =∈C.3y x = D.lg y x=4.若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则()f x 在定义域内（）A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值5.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B C D ，，三点共线，则下列结论不成立．．．的是（）A.3CD BC=B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE 共线D.CA CB CE CD⋅=⋅6.函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（）5π6-1-O 12y xπ3-π62π3A.每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C.先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D.先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）7.已知21()log 2xf x x =-⎛⎫⎪⎝⎭，若实数a ，b ，c 满足0＜a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足0()0f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（）A.0x a< B.0x a> C.0x c< D.0x c>8.如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（）A.无最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D.既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9.已知向量=(1,2)a ，写出一个与a 共线的非零向量的坐标.10.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=.11.向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b .12.函数2,(),0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是.13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg 30.4771≈）14.已知函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则下列结论正确的是.（将所有符合题意的序号填在横线上）ab OBP①函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③ππ()(412f f ≥.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题10分）已知向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若1()3f k α=+且(0π),α∈，求tan α.16.（本小题12分）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-.（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，（ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17.（本小题12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ62π3sin()y A x ωϕ=+0200（Ⅰ）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x =（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．18.（本小题10分）定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数；（Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号12345678答案DACCDCBA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511.312.1t ≥13.202114.①②③注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题:本大题共4小题，共44分.15.解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ，∴()f x =⋅a b =sin +x k .--------------------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解.--------------------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解.--------------------------4分则实数k 的取值范围为[]02,.--------------------------5分（Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α.--------------------------6分当π(0]2,α∈时，22cos 1sin 3αα=-=，sin 2tan cos 4=ααα=.---------------------8分当π(,π)2α∈时，222cos 1sin 3αα=-=-，2tan 4=α-.-------------------------10分16.解：（Ⅰ）4b =-；--------------------------2分0c =.--------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-.--------------------------6分（ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--.-------------------------8分若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩--------------------------10分解得5a >或50a -<<.--------------------------12分综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.17.解:（Ⅰ）x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12sin()y A x ωϕ=+0202-0--------------------------4分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+--------------------------6分（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.---------------------------8分（Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤.得：π11sin(262x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1.--------------------12分18.解：（Ⅰ）③；--------------------------2分（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立.∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =.∴()()G x g x x =-为周期函数.--------------------------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++.∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=；---------------------①令πx =，得sin T kT T -+=；---------------②①②两式相加，得22kT T =.∵0T ≠，∴1k =．--------------------------8分检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =.--------------------------10分。