【全国百强校】北京市101中学2020-2021学年高一(上)期中考试数学试题

2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。

北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8） 【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项. 3.已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A. 3-B. 6C.6 D.3【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果． 【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈ 即sin 2αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=6故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A 【解析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．3 【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,3a b ==，所以3z i =，则3z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()13cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()1313cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-. 下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:2x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】 (1). 642 (2).5112【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以22为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai 的宽度为122i a +，()1A i +的长度为2122i i a a ++=，所以，数列{}n a 是以22为公比的等比数列，由题意知4A 纸的宽度为5222a =，522a ∴=51222821242a a ∴===⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，0A 纸的面积为(22211228264222S dm ==⨯=，又22n n S =，22211122212222n n n n n nS a S a a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S 是以212为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：6425112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q，若OP aOA bOB=+u u u vu u u r u u u v，则+a b的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】【分析】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，并设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b的取值范围.【详解】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A、B、Q三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOBλμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a kλ=，b kμ=，()()0,1a b k k k kλμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f xg x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数.当2(]0,x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k>.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。

2020-2021学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1201.（单选题.4分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1＜x≤0}C.{x|-1≤x＜1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题.4分）命题“∀x＞0.x2+2x-3＞0”的否定是（）A.∃x＞0.x2+2x-3≤0B.∀x＞0.x2+2x-3≤0C.∃x＜0.x2+2x-3≤0D.∀x＜0.x2+2x-3≤03.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞b”是“ ab＞1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-2x-3＜0}.B={x|-1＜x＜m}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件.则实数m的取值范围为（）A.（3.+∞）B.（-1.3）C.[3.+∞）D.（-1.3]5.（单选题.4分）方程组{x+y=0，x2+y2=2的解集是（）A.{（1.-1）.（-1.1）}B.{（1.1）.（-1.-1）}C.{（2.-2）.（-2.2）}D.{（2.2）.（-2.-2）}6.（单选题.4分）已知a.b是方程x2+x-3=0的两个实数根.则a2-b+2019的值是（）A.2023B.2021C.2020D.20197.（单选题.4分）下列函数中.在区间（1.+∞）上为增函数的是（）A.y=-3x-1B. y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+28.（单选题.4分）若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则实数a的取值范围是（）A.a＞1B.a≥1C.a＞7D.1＜a＜79.（单选题.4分）已知a＞0.b＞0.若a+b=4.则（）A.a2+b2有最小值B. √ab有最小值C. 1a +1b有最大值D.√a+√b有最大值10.（单选题.4分）设函数f（x）在（-∞.+∞）上有意义.且对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.若函数g（x）-f（x）=x.则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）A.（-∞.1）∪（2.+∞）B.（1.2）C.（-∞.-1]∪（2.+∞）D.（-1.2）11.（填空题.5分）函数f(x)=√2x+1___ ．12.（填空题.5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.且当x＞0时.f（x）=x2.则f（- 12）=___ ．13.（填空题.5分）写出一个使得命题“∀x∈R.ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值：___ ．14.（填空题.5分）某餐厅经营盒饭生意.每天的房租、人员工资等固定成本为200元.每盒盒饭的成本为15元.销售单价与日均销售量的关系如表：15.（填空题.5分）函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数.则t 的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）几位同学在研究函数 f (x )=x 1+|x|（x∈R ）时给出了下面几个结论： ① 函数f （x ）的值域为（-1.1）；② 若x 1≠x 2.则一定有f （x 1）≠f （x 2）；③ f （x ）在（0.+∞）是增函数；④ 若规定f 1（x ）=f （x ）.且对任意正整数n 都有：f n+1（x ）=f （f n （x ））.则 f n (x )=x 1+n|x| 对任意n∈N *恒成立．上述结论中正确结论的序号为___ ．17.（问答题.8分）设全集U=R.集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1]．求：（1）∁U （A∪B ）；（2）记∁U （A∪B ）=M.N={x|a-1≤x≤-2a}.且M∩N=N .求a 的取值范围．18.（问答题.10分）定义在R 上的函数f （x ）=x 2-（2a+1）x-1（a∈R ）．（1）若f （x ）为偶函数且f （m+1）＞f （-m ）.求实数m 的取值范围；（2）若f （x ）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.求实数a 的取值范围．19.（问答题.10分）记关于x 的方程a （x-2）=- 1x 在区间（0.3]上的解集为A.若A 至多有2个不同的子集.求实数a 的取值范围．20.（问答题.10分）已知不等式ax+1＜0（a∈R）．x−1（1）当a=2时.解这个不等式；≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.求实数a的最大值．（2）若ax+1x−121.（问答题.12分）已知f（x）是定义在R上的单调递减函数.对任意实数m.n都有f（m+n）=f（m）+f（n）.函数g（x）=2（x-x2）．定义在R上的单调递增函数h（x）的图象经过点A（0.0）和点B（2.2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若∃t∈[-1.2].使得f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为常实数）成立.求m的取值范围；（3）设f（1）=-1.F1（x）=f（x）-x.F2（x）=g（x）.F3（x）=h（x）-h（2-x）.b i= i100（i=0.1.2.….100）．若M k=|F k（b1）-F k（b0）|+|F k（b2）-F k（b1）|+…+|F k（b100）-F k（b99）|（k=1.2.3）.比较M1.M2.M3的大小并说明理由．2020-2021学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1201.（单选题.4分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1＜x≤0}C.{x|-1≤x＜1}D.{x|0＜x＜1}【正确答案】：C【解析】：先求出集合A.集合B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|-1≤x≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.∴A∪B={x|-1≤x＜1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义、不等式性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）命题“∀x＞0.x2+2x-3＞0”的否定是（）A.∃x＞0.x2+2x-3≤0B.∀x＞0.x2+2x-3≤0C.∃x＜0.x2+2x-3≤0D.∀x＜0.x2+2x-3≤0【正确答案】：A【解析】：根据全称命题的否定是特称命题.即可得到结论．【解答】：解：根据全称命题的否定是特称命题即可得到：￢p：∃x＞0.x2+2x-3≤0.故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定.比较基础．＞1”的（）3.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞b”是“ abA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D＞1⇔a＞b＞0.或a＜b＜0．即可判断出结论．【解析】：ab＞1⇔a＞b＞0.或a＜b＜0．【解答】：解：ab＞1”的既不充分也不必要条件．∴“a＞b”是“ ab故选：D．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．4.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-2x-3＜0}.B={x|-1＜x＜m}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件.则实数m的取值范围为（）A.（3.+∞）B.（-1.3）C.[3.+∞）D.（-1.3]【正确答案】：A【解析】：化简集合A.根据x∈A是x∈B的充分不必要条件.可得A⫋B．进而得出实数m的取值范围．【解答】：解：集合A={x|x2-2x-3＜0}=（-1.3）.B={x|-1＜x＜m}.由x∈A是x∈B的充分不必要条件.得A⫋B．∴m＞3．则实数m的取值范围为（3.+∞）．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、集合之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．5.（单选题.4分）方程组 {x +y =0，x 2+y 2=2的解集是（ ） A.{（1.-1）.（-1.1）}B.{（1.1）.（-1.-1）}C.{（2.-2）.（-2.2）}D.{（2.2）.（-2.-2）}【正确答案】：A【解析】：运用代入消元法解方程组即可．【解答】：解：记 {x +y =0，①x 2+y 2=2，②.由 ① 得：x=-y ③ .将 ③ 代入 ② 得2y 2=2.解得y=±1. 当y=1时.x=-1.当y=-1时.x=1.故原方程组的解集为{（1.-1）.（-1.1）}.故选：A ．【点评】：本题考查解方程组.运用代入法进行消元是关键.属于基础题．6.（单选题.4分）已知a.b 是方程x 2+x-3=0的两个实数根.则a 2-b+2019的值是（ ）A.2023B.2021C.2020D.2019【正确答案】：A【解析】：先证明a 2-b=b 2-a.再根据根与系数的关系计算a 2-b 即可得出答案．【解答】：解：∵a .b 是方程x 2+x-3=0的两个根.∴a 2+a=3.b 2+b=3.两式相减可得：a 2+a-b 2-b=0.即a 2-b=b 2-a.由根与系数的关系可得：a+b=-1.ab=-3.a 2-b+b 2-a=（a+b ）2-2ab-（a+b ）=1+6+1=8.∴a 2-b=b 2-a=4.故a 2-b+2019=4+2019=2023．故选：A．【点评】：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.属于基础题．7.（单选题.4分）下列函数中.在区间（1.+∞）上为增函数的是（）A.y=-3x-1B. y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2【正确答案】：D【解析】：结合一次函数.二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【解答】：解：由一次函数的性质可知.y=-3x-1在区间（1.+∞）上为减函数.故A错误；在区间（1.+∞）上为减函数.由反比例函数的性质可知.y= 2x由二次函数的性质可知.y=x2-4x+5在（-∞.2）上单调递减.在（2.+∞）上单调递增.故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知.y=|x-1|+2在（1.+∞）上单调递增．故选：D．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断.属于基础试题．8.（单选题.4分）若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则实数a的取值范围是（）A.a＞1B.a≥1C.a＞7D.1＜a＜7【正确答案】：A【解析】：由绝对值三角不等式求得|x-3|+|x-4|的最小值.即可求得不等式的解集不是空集时实数a的取值范围．【解答】：解：由绝对值三角不等式可得|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1.若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则 a＞1．故选：A．【点评】：本题主要考查绝对值三角不等式的应用.属于基础题．9.（单选题.4分）已知a＞0.b＞0.若a+b=4.则（）A.a2+b2有最小值B. √ab有最小值C. 1a +1b有最大值D.√a+√b有最大值【正确答案】：A【解析】：根据基本不等式的性质判断即可．【解答】：解：∵a＞0.b＞0.且a+b=4.a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥16-2（a+b2）2=16-8=8.有最小值.故选：A．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.是一道基础题．10.（单选题.4分）设函数f（x）在（-∞.+∞）上有意义.且对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.若函数g（x）-f（x）=x.则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）A.（-∞.1）∪（2.+∞）B.（1.2）C.（-∞.-1]∪（2.+∞）D.（-1.2）【正确答案】：A【解析】：由已知可知f（x）为奇函数.从而可得g-x）也为奇函数.然后结合|f（x）-f（y）|＜|x-y|.及导数的定义可知g′（x）＞0.从而可知g（x）单调递增.结合单调性及奇函数的定义可求．【解答】：解：由函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.可得f（x）的图象关于（0.0）对称即f（x）为奇函数.∴f（-x）=-f（x）.∵g（x）-f（x）=x.∴g（x）=f（x）+x.∴g（-x）=f（-x）-x=-f（x）-x=-g（x）.∵对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|.∴|g（x）-g（y）-（x-y）|＜|x-y|.∴ |g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|＜1 .即| g(x)−g(y)x−y−1 |＜1.∴0＜g(x)−g(y)x−y＜2.即g′（x）＞0.∴g（x）单调递增.∵g（2x-x2）+g（x-2）＜0.∴g（2x-x2）＜-g（x-2）=g（2-x）.∴2x-x2＜2-x.整理可得.x2-3x+2＞0.解可得.x＞2或x＜1.故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式.解题的关键是结合导数的定义判断出函数g（x）的单调性．11.（填空题.5分）函数f(x)=√2x+1___ ．【正确答案】：[1] (−12，+∞)【解析】：直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】：解：由2x+1＞0.得x ＞−12．∴函数f(x)=√2x+1(−12，+∞)．故答案为：(−12，+∞)．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.是基础的计算题．12.（填空题.5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.且当x＞0时.f（x）=x2.则f（- 12）=___ ．【正确答案】：[1]- 14【解析】：根据题意.由函数的解析式求出f（12）的值.结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】：解：根据题意.当x＞0时.f（x）=x2.则f（12）=（12）2= 14.又由f（x）是定义在R上的奇函数.则f（- 12）=-f（12）=- 14.故答案为：- 14．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用.涉及函数值的计算.属于基础题．13.（填空题.5分）写出一个使得命题“∀x∈R.ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值：___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：将条件转化为“∃x∈R.ax2-2ax+3≤0成立.检验a=0是否满足条件.当a≠0 时.必须a＜0或{a＞04a2−12a≥0.从而解出实数a的取值范围.进而得解．【解答】：解：命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题.即“∃x∈R.ax2-2ax+3≤0成立”是真命题① ．当a=0时. ① 不成立.当a≠0 时.要使① 成立.必须a＜0.或{a＞04a2−12a≥0.∴a＜0或a≥3故答案为：-1．【点评】：本题考查一元二次不等式的应用.注意联系对应的二次函数的图象特征.体现了等价转化和分类讨论的数学思想．14.（填空题.5分）某餐厅经营盒饭生意.每天的房租、人员工资等固定成本为200元.每盒盒饭的成本为15元.销售单价与日均销售量的关系如表：【正确答案】：[1]21.5【解析】：由表格信息可知.销售单价为16元时.销售量为480盒.当销售单价每增加1元.销售量则减少40盒.设销售单价为x元.则销售量为480-40（x-16）.再根据利润=总收入-总成本即可求出利润y关于销售单价x的函数.由二次函数的性质即可求出y的最大值．【解答】：解：由表格信息可知.销售单价为16元时.销售量为480盒.当销售单价每增加1元.销售量则减少40盒.设销售单价为x元.则销售量为480-40（x-16）=1120-40x.所以日销售利润y=（x-15）（1120-40x ）=-40x 2+1720x-16800.所以当x=21.5时.y 取得最大值.最大值为1690.即每盒盒饭定价为21.5元时.利润最大.最大利润为1690元．故答案为：21.5．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用.考查了二次函数的性质.是基础题．15.（填空题.5分）函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数.则t 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：画出分段函数的图象.即可判断t 的取值范围．【解答】：解：函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t （t ＞0）的图象如图：函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数. 所以t≥1．故答案为：[1.+∞）．【点评】：本题考查函数的图象的画法.分段函数的应用.函数的单调性的应用.考查数形结合以及计算能力．16.（填空题.5分）几位同学在研究函数 f (x )=x 1+|x|（x∈R ）时给出了下面几个结论： ① 函数f （x ）的值域为（-1.1）；② 若x1≠x2.则一定有f（x1）≠f（x2）；③ f（x）在（0.+∞）是增函数；④ 若规定f1（x）=f（x）.且对任意正整数n都有：f n+1（x）=f（f n（x））.则f n(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立．上述结论中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③ ④【解析】：① 因为|x|＜1+|x|.所以由绝对值不等式得.函数值域（-1.1）．② f（x）= x1+|x|是一个奇函数.当x≥0时.f（x）= x1+x=1−11+x.可得函数f（x）在（0.+∞）上是一个增函数.由奇函数的性质知.函数f（x）= x1+|x|(x∈R)是一个增函数. 进而可得出正确．③ 理由同上．④ 由数学归纳法得证．【解答】：解：① 正确；∵|x|＜1+|x|.∴ x1+|x|∈(−1，1) .故函数值域（-1.1）．② 正确；f（x）= x1+|x|是一个奇函数.当x≥0时.f（x）= x1+x =1−11+x.可得函数f（x）在（0.+∞）上是一个增函数.由奇函数的性质知.函数f（x）= x1+|x|(x∈R)是一个增函数. ∴x1≠x2.一定有f（x1）≠f（x2）；③ 正确；由② 可知f（x）在（0.+∞）是增函数．④ 正确；当n=1时.f1（x）=f（x）= x1+|x|.f2（x）=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|.当n=k时.f k（x）= x1+k|x|成立.当n=k+1时.f k+1（x）=x1+k|x|1+|x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立.由数学归纳法知.此命题正确．故答案为：① ② ③ ④ ．【点评】：本题考查函数的性质以及恒成立问题.属于中档题．17.（问答题.8分）设全集U=R.集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1]．求：（1）∁U（A∪B）；（2）记∁U（A∪B）=M.N={x|a-1≤x≤-2a}.且M∩N=N.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（2）根据条件M∩N=N.得N⊆M.利用集合关系进行求解即可．【解答】：解：（1）∵集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1].∴A∪B=（-∞.1]∪[4.+∞）.∴∁U（A∪B）=（1.4）；（2）∵∁U（A∪B）=M=（1.4）；∵M∩N=N.∴N⊆M.若a-1＞-2a.即a＞13.此时N是空集.满足条件．若a ≤13 .则N不是空集.则满足{−2a≥a−1a−1＞1−2a＜4.即a不存在.综上：a＞13．即a的取值范围：{a|a ＞13}．【点评】：本题主要考查集合的基本运算.根据条件求出集合的等价条件.结合集合的基本运算是解决本题的关键．18.（问答题.10分）定义在R上的函数f（x）=x2-（2a+1）x-1（a∈R）．（1）若f（x）为偶函数且f（m+1）＞f（-m）.求实数m的取值范围；（2）若f（x）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.由二次函数的性质以及函数奇偶性的性质可得f（m+1）＞f（-m）⇒f（|m+1|）＞f（|m|）⇒|m+1|＞|m|.解可得m的取值范围.即可得答案.（2）根据题意.求出f（x）的对称轴.由单调性的定义可得-1≤ 2a+12≤2且2a+12≠0.解可得a的取值范围.即可得答案．【解答】：解：（1）函数f（x）=x2-（2a+1）x-1.为开口向上的二次函数. 若f（x）为偶函数.则其对称轴为y轴.在区间[0.+∞）上为增函数.则f（m+1）＞f（-m）⇒f（|m+1|）＞f（|m|）⇒|m+1|＞|m|.解可得m＞- 12.即m的取值范围为（- 12.+∞）.（2）函数f（x）=x2-（2a+1）x-1.其对称轴为x= 2a+12.若f（x）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.则有-1＜2a+12＜2且2a+12≠0.解可得- 32＜a＜32且a≠- 12.即a的取值范围为（- 32 .- 12）∪（- 12. 32）．【点评】：本题考查二次函数的性质.涉及函数的奇偶性与单调性的性质.属于基础题．19.（问答题.10分）记关于x的方程a（x-2）=- 1x在区间（0.3]上的解集为A.若A至多有2个不同的子集.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：由题意可知方程最多有1解.结合函数图象即可求出a的范围．【解答】：解：由题意可知集合A为空集或A中只有1个元素.故方程a（x-2）=- 1x在（0.3]上最多只有1解.故直线y=a（x-2）与y=- 1x在（0.3]上的图象最多有1个交点.不妨设直线y=a（x-2）与y=- 1x相切.切点为（x0.y0）.则{1x02=ay0=a(x0−2)y0=−1x0.解得x0=1.y0=-1.a=1.∴当a≤1时.直线y=a（x-2）与y=- 1x在（0.3]上的图象最多有1个交点.∴a≤1．【点评】：本题考查函数零点个数与函数图象的关系.属于中档题．20.（问答题.10分）已知不等式ax+1x−1＜0（a∈R）．（1）当a=2时.解这个不等式；（2）若ax+1x−1≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.求实数a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）a=2时不等式为2x+1x−1＜0.求出解集即可；（2）问题等价于a≤-x- 2x +2恒成立.求出f（x）=-x- 2x（x＜0）的最小值即可．【解答】：解：（1）a=2时.不等式ax+1x−1＜0为2x+1x−1＜0.等价于（2x+1）（x-1）＜0.解得- 12＜x＜1.所以不等式的解集为（- 12.1）．≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.（2）由ax+1x−1即x∈（-∞.0）时.x-1＜0.所以不等式可化为ax+1≥（1-x）（x-1）；即ax≥-x2+2x-2.+2；所以a≤-x- 2x.其中x＜0.设f（x）=-x- 2x) =2 √2 .所以f（x）的最小值为f（x）min=2 √(−x)•(−2x即a≤2 √2 +2；所以实数a的最大值为2 √2 +2．【点评】：本题考查了不等式恒成立问题.也考查了转化思想与计算能力.是中档题．21.（问答题.12分）已知f（x）是定义在R上的单调递减函数.对任意实数m.n都有f（m+n）=f（m）+f（n）.函数g（x）=2（x-x2）．定义在R上的单调递增函数h（x）的图象经过点A（0.0）和点B（2.2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若∃t∈[-1.2].使得f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为常实数）成立.求m的取值范围；（3）设f（1）=-1.F1（x）=f（x）-x.F2（x）=g（x）.F3（x）=h（x）-h（2-x）.b i= i100（i=0.1.2.….100）．若M k=|F k（b1）-F k（b0）|+|F k（b2）-F k（b1）|+…+|F k（b100）-F k（b99）|（k=1.2.3）.比较M1.M2.M3的大小并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）首先考查函数的定义域.然后利用赋值法进行证明即可得到函数的奇偶性；（2）结合函数的奇偶性和函数的单调性将原问题进行转换.然后利用二次函数在闭区间上的最小值即可确定实数m的取值范围；（3）结合函数的单调性求得M1.M2.M3的值.然后比较大小即可．【解答】：解：（1）f（x）为R上的奇函数．证明：函数的定义域关于坐标原点对称.取得m=n=0.则：f（0）=f（0）+f（0）.解得：f（0）=0取m=x.n=-x得f（0）=f（x）+f（-x）=0∴f（x）为R上的奇函数．（2）∵f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0.∴f（g（t）-1）＜-f（8t+m）=f（-8t-m）结合函数的单调性有∃t∈[-1.2].g（t）-1＞-8t-m成立.即∃t∈[-1.2].使得2（t-t2）-1＞-8t-m成立.整理可得∃t∈[-1.2].使得m＞2t2-10t+1成立.则m＞（2t2-10t+1）min.结合二次函数的性质可得二次函数g（t）=2t2-10t+1在[-1.2]上的最小值为g（2）=-11．m的取值范围是{m|m＞-11}．（3）由函数的解析式可得F1（x）=f（x）-x单调递增.则M1=|F1（b1）-F1（b0）|+|F1（b2）-F1（b1）|+…+|F1（b100）-F1（b99）|=F1（b1）-F1（b0）+F1（b2）-F1（b1）+…+F1（b100）-F1（b99）=F1（b100）-F1（b0）=-f（1）+1-1=2．而g（x）=-2（x- 12）2+ 12在区间[0. 12]上单调递增.在区间[ 12.1]上单调递减.故M2=|F2（b1）-F2（b0）|+|F2（b2）-F2（b1）|+…+|F2（b100）-F2（b99）|=F2（b1）-F2（b0）+F2（b2）-F2（b1）+…+F2（b50）-F2（b49）+f2（b50）-F2（b51）+…+F2（b99）-F2（b100）=2F2（12）-F2（0）+F2（1）=2× 12-0-0=1．由h（x）在R上单调递增.易证F3（x）=h（x）-h（2-x）在R上单调递增.所以M3=|F3（b1）-F3（b0）|+|F3（b2）-F3（b1）|+⋯+|F3（b100）-F3（b99）|=F3（b1）-F3（b0）+F3（b2）-F3（b1）+⋯+F3（b100）-F3（b99）=F3（b100）-F3（b0）=F3（1）-F3（0）=（h（1）-h（2-1））-（h（0）-h（2））=0-（0-2）=2.综上.M1=M3＞M2．【点评】：本题考查了抽象函数奇偶性的判断.函数的单调性.恒成立问题.新定义知识的应用等.属于较困难的试题．。

可编辑修改精选全文完整版2019—2020年度第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题1.设集合{}0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤,则M N ⋂中元素的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 4 2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A. 2,220x x x ∀∈++>RB. 2,220x R x x ∀∈++≤C. 2,220x x x ∃∈++>RD. 2,220x x x ∃∈++≥R 3.下列四组函数,表示同一函数的是( )A. ()f x =()g x x =B. ()f x x =,()21x x g x x -=-C. ()f x x =,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x =()g x =4.条件p :a b =是条件q :a b c c>的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知集合30x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭,{}B x x a =<,若A B B ⋃=,则实数a 的取值范围是( ) A. [)3,+∞ B. ()3,+∞ C. (],0-∞ D. ,0 6.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()23f f f π>->-B. ()()()32f f f π>->-C. ()()()23f f f π>->-D. ()()()32f f f π>->-7.函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 38.已知函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,若()4f a =,则a 等于( ) A. 2 B. 2- C. 2± D. 2或16-9.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为( )A. 2B. 6C. 8D. 1010.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值（ ）A. 一定大于12B. 一定小于12C. 一定等于14D. 一定小于14第Ⅱ卷二､填空题11.函数()f x =的定义域是______．12.已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩;则()3f f -⎡⎤⎣⎦等于______．13.已知()1,x ∈+∞,则函数91y x x =+-的最小值等于______． 14.已知函数()221f x x x =-++, ①函数的值域是______．②若函数在[]3,a -上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______．15.已知实数,a b 满足2850a a -+=,2850b b -+=,则22a b +=______．16.若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一个根,则实数a 的取值范围是______．17.函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．18.能够说明“若()0f x <对任意的(]0,2x ∈都成立,则函数()f x 在(]0,2是减函数”为假命题的一个函数是______．(答案不唯一)19.对于函数()1f x x=(0x >)的定义域中任意1x ,2x (12x x ≠)有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=+;②()()12120f x f x x x ->-;③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭上述结论中正确结论的序号是______．20.已知函数()212f x x x=+,a ,b 均为正数且2a b +=,则()()f a f b +的最小值等于______． 三､解答题21.已知函数()43f x x x =-+的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+ (1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围．22.已知函数()4f x x x=- (1)判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)证明:函数()f x 在0,上单调递增; (3)求函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域．23.已知函数()()22f x x a x b =+++,其中a ,b R ∈． (1)当1a =,4b =-时,求函数()f x 的零点;(2)当2b a =时,解关于x 的不等式()0f x ≤;(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方,证明:2b >．参考答案1【答案】C【详解】解:因为集合()0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤, 所以{}{}00,1,22N x N x =∈≤≤=,所以{}0,1,2M N ⋂=,则M N ⋂中元素的个数为3个.故选:C2【答案】A【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A.3【答案】C【详解】解: 选项A.:()f x =R ,()g x x =的定义域为R()f x x ==,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:()f x x =定义域为R ,()21x x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠, 定义域不同,不是同一函数.选项C:()f x x = 定义域为R ,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R . (),0,0f x x x x x x ≥⎧=⎨-<=⎩,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:()f x ={}|1x x ≥,()g x =定义域为|11x x ,定义域不同,不是同一函数.故选:C4【答案】D 详解】解:证充分性:若:p a b =,则a b c c=,则 p q ≠>,则充分性不成立.证必要性: 若q : a b c c>,则a b >,则q p ≠>,则必要性不成立. 故条件:p a b =是条件q :a b c c>的既不充分也不必要条件. 故选:D5【答案】B【详解】解: {}3003x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬⎩⎭, 又因为: {}B x x a =<,若A B B ⋃=,所以A B ⊂,则|3a a所以实数a 的取值范围是: ()3,+∞.故选:B6【答案】B【详解】由题意，函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=， 又由当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-.故选：B .7【答案】B【详解】解: ()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩,当1x ≥ 时, ()10f x x ==无解,则不存在零点. 当1x < 时,()220f x x =-+=,解得x =1x =>(舍去),则零点为x =综上所述: ()f x 的零点个数是1.故选:B8【答案】D【详解】解:因为函数()2,0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,()4f a = 当0a ≥ 时, ()24f a a ==,解得2a =.当0a < 时, ()4f a a =-=,解得16a =-故a 等于2或16-.故选:D9【答案】A【详解】2(10010)70%1121016028x x x x x -⨯⨯≥⇒-+≤∴≤≤，x 的最小值为2，选A. 10【答案】D【详解】由题可得：()()010f n f n ⎧>⎪⎨+>⎪⎩. 又,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，所以p αβ+=-，q αβ⋅=.将函数()2f x x px q =++图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数()2f x x px q =++图像往上平移时，()(){}min ,1f n f n +变大， 即：当αβ→时，()(){}min ,1f n f n +越大， 又由二次函数的对称性得：当2121,22n n αβ++→→时，()(){}min ,1f n f n +最大 令212n αβ+==，则：122n αβ+=-，()(){}min ,1f n f n +就是()f n ． 又()2f n n pn q =++=2112222p q αβαβ++⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2112222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()2144αβ--由已知得αβ<，所以()f n 一定小于14， 所以()(){}min ,1f n f n +一定小于14. 故选D 【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 11【答案】[]2,2-【详解】解: ()f x =:20x -≥,解得22x -≤≤ ,故函数的定义域为:[]2,2-.故答案: []2,2-12【答案】8-【解析】【详解】解: 因为函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩, 则()()()2339918f f f f ⎡⎤-=-==-+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 故答案为:8-.【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.13【答案】7【详解】解: 已知()1,x ∈+∞,则10x ->, 所以()991111y x x x x =+=-++--17≥=, 当且仅当911x x -=-,即4x =时,等号成立. 所以函数91y x x =+-的最小值为7. 故答案为: 714【答案】 (1). (],2-∞ (2). 1,【详解】解: ①()221f x x x =-++,定义域为R ,开口向下,()221f x x x =-++()2212x x =--++()2122x =--+≤,所以函数的值域是(],2-∞.②因为()()212f x x =--+,对称轴为1x =,若函数在[]3,a -上不是单调函数,则1a >,故实数a 的取值范围是1,.故答案为: ①(],2-∞;②1,15【答案】54或54±【详解】解:因为2850a a -+=,2850b b -+=, ①当a b 时,可设,a b 是方程2850x x -+=的两根, 85a b a b , ()2222282554a b a b ab ∴+=+-=-⨯=②当a b =时,解2850a a -+=得411a ,所以当4a b ==, 2254a b +=+当4a b ==, 2254a b +=-综上所述: 22a b +的值为54或54±.故答案为: 54或54±16【答案】1,【详解】解:令()221f x ax x =--.当0a =时,()1f x x =--,0f x 的根为1x =-,显不在区间0,1内,所以0a =时不成立.当0a ≠时,若一元二次方程0f x在0,1内恰有一个根, 则有以下两种情况：①0f x有两个相等的实数根, 则180a ,18a =, 此时0f x的解为2x =-,不在区间0,1内, 所以18a =时不成立； ②0f x 有两个不相等的实数根,且有一个根在0,1内,则()()010f f ⋅<,则()()22200121110a a ⨯--⋅⨯--<,解得1a >.综上可知,实数a 的取值范围是:1,.故答案为: 1,17【答案】 (1). []1,2 (2). 2-【详解】由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =， 当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =， 所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时，2x =或7x =，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈，7b =-或2b =-， 则实数b 的最大值是2b =-． 故答案为[]1,22-；18【答案】()sin f x x =-(答案不唯一)【详解】解:令()sin f x x =-,则对任意的(]0,2x ∈,()0f x <都成立. ()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减,在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增. 故函数()f x 在(]0,2是减函数不成立.故()sin f x x =-是符合题意的一个函数.故答案为: ()sin f x x =-(答案不唯一)19【答案】③【详解】解: 对于①,12121f x x x x ,121211f x f x x x , 显然()()()1212f x x f x f x +≠+,故①不正确;对于②,取121,2x x ==,则1211,2f x f x , 可得()()121211120122f x f x x x --==-<--,故②不正确; 对于③121222x x f x x +⎛⎫=⎪+⎝⎭,()()12121212111222f x f x x x x x x x +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, 2121212121222f x f x x x x x f x x x x ,120,0x x 且12x x ≠,21212120x x x x x x , 1212022f x f x x x f , 121222f x f x x x f ,故③正确.故答案为: ③20【答案】3【详解】解:因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以20b a ,则02a <<,()()221122a b a f a f b b ++=++ ()212422a b a b ab ab ab ab+=+-+=-+ 因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以a b +≥,则2220122a b ab +⎛⎫⎛⎫<≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t ab =,则01t <≤, ()142f t t t=-+在01t <≤单调递减, 所以()min 142131f t =-⨯+= 所以()()3f a f b +≥. 故()()f a f b +的最小值等于3.故答案为:321【答案】(1)|34x x A ;(2){}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .【详解】解: (1)要使函数()f x =有意义, 则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x.所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, , {}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A, 若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩,综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤ 22【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）[]3,3--.【详解】解: （1）证明:定义域为(,0)(0,)-∞+∞; 444()()f x x x x f x x x x ,f x 为奇函数.（2）证明:对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()12112244x x f x f x x x ⎛⎫=--- ⎝-⎪⎭()121244x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x -=-+()121241x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭120x x <<,12120,0x x x x ,()()120f x f x ∴-<()()12f x f x ∴<f x 在0,上单调递增. （3）f x 为奇函数且在0,上是增函数, 则()f x 在,0上是增函数,f x 在[]4,1--上是增函数,()()()41f f x f -≤≤-,即()33f x -≤≤,所以函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域为[]3,3-- 23【答案】(1) 4-或1;(2)当2a =时,解集为|2x x ,当2a >时解集为,2a ,当2a <时,解集为2,a ;(3)证明见解析.【详解】解: (1)因为函数()()22f x x a x b =+++, 当1a =,4b =-时, ()()2221434f x x x x x =++-=+- 0f x ,则2340x x +-=,解得4x =-或1x =. 所以函数的零点为4-或1;(2)当2b a =时,()()222f x x a x a =+++, 令0f x 解得x a =-或2x =-,①当2a =时, ()0f x ≤的解集为|2x x②当2a >时, ()0f x ≤的解集为,2a , ③当2a <时, ()0f x ≤的解集为2,a .(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 则()22f x x >+对任意的x ∈R 恒成立,即220x ax b ++->对任意的x ∈R 恒成立24(2)0a b ∴=--<,即224a b -> 又因为204a ≥,所以20b ->,2b >. 所以函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 2b >成立.。

2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京2024—2025学年高一年级第一学期数学期中测试题（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一､单选题1.下列说法不正确的是（）A.*0∈N B.0∈NC.0.1∉ZD.2∈Q2.已知集合{}0,1,2A =，则集合{},B x yx A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.93.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60件B.80件C.100件D.120件4.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A ､径赛项目B ､其他健身项目C .该班有25名同学选择球类项目A ，20名同学选择径赛项目B ，18名同学选择其他健身项目C ；其中有6名同学同时选择A 和,4B 名同学同时选择A 和C ，3名同学同时选择B 和C .若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（）A.51B.50C.49D.485.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(),a b 内，当a b ε-<（ε为精确度）时，函数零点的近似值02a bx +=与真实零点的误差的取值范围为（）A.0,4ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,2ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)0,ε D.[)0,2ε6.已知关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围是（）A.()(),40,∞∞--⋃+ B.[)4,0- C.][(),40,∞∞--⋃+ D.[]4,0-7.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（）A.0B.1C.2D.38.已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 中的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数()f x =，则()()1212g x f x x =-+-的定义域为（）A.3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.()3,22,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭C.()3,22,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D.()(),22,∞∞-⋃+10.已知函数()f x m =+，若存在区间[](),1a b b a >≥-，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则实数m 的取值范围是（）A.178m >-B.102m <≤C.2m ≤- D.1728m -<≤-二､填空题11.下列集合：①{}0；②{}21,0,M xx n x n ==+<∈R ∣；③{}∅；④∅；⑤(){}0,0；⑥方程210x+=的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________.12.若集合{}2210M xax x =++=∣只含一个元素，则a =__________.13.若二次函数()y f x =图象关于2x =对称，且()()()01f a f f <<，则实数a 的取值范围是__________.14.若关于x 的不等式212kx x k ≤++≤的解集中只有一个元素，则实数k 的取值集合为__________.15.若关于m 的方程2260m am a -++=的两个实数根是,x y ，则22(1)(1)x y -+-的最小值是__________.三､解答题16.设集合A 中的三个元素分别为,0,1a -，集合B 中的三个元素分别为1,,1c b a b++.已知A B =，求,,a b c 的值.17.已知集合{}(){}{}22224430,10,220A xx ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=∣∣∣，其中至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的不等式()221x x a a -->∈R .（1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求实数a 的范围.19.已知函数()2a f x x x =-，且()922f =.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在[]2,3上的最值.20.定义在区间[]0,1上的函数()f x 满足()()010f f ==，且对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12122x x f f x f x +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.（1）证明：对任意的[]0,1x ∈都有()0f x ≥；（2）求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（3）计算202411112422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R .（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数[]0,4a ∈使得关于x 的方程()()0f x tf a -=恰有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.答案一､单选题1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.C8.B9.C10.D二､填空题11.②④⑥12.0或113.()(),04,∞∞-⋃+14.12,22⎧-+⎪⎨⎪⎪⎩⎭15.8三､解答题16.因为1,0A B a b=≠+，所以10,1,1c b a a b+==-=+，解得1,2,2a b c ==-=，所以,,a b c 的值分别为1,2,2-.17.当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解，即()2122223Δ164430,Δ(1)40,Δ480.a a a a a a ⎧=--+<⎪=--<⎨⎪=+<⎩解此不等式组，得312a -<<-.所以所求实数a 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃-+ ⎥⎝⎦.18.（1）1a =时，原不等式为2211x x -->，整理，得2220x x -->，对于方程2220x x --=，因为Δ120=>，所以它有两个不等的实数根，解得1211x x ==+结合函数222y x x =--的图象得不等式的解集为{1x x <-∣或1x >+.（2）原不等式可化为2210x x a --->，由于不等式解集为R ，结合函数221y x x a =---图象可知，方程2210x x a ---=无实数根，所以()Δ441840a a =++=+<，所以a 的范围是{2}aa <-∣.19.（1）因为()2a f x x x =-，且()922f =，所以9422a -=，所以1a =-.（2）函数()f x 在()1,∞+上单调递增.证明如下：由（1）可得，()12f x x x=+，任取()12,1,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()2121112x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()1221122x x x x x x -=-+()211212x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21121221x x x x x x --=因为()12,1,x x ∞∈+且12x x <，所以2112120,210,0x x x x x x ->->>，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以()f x 在()1,∞+上单调递增.（3）由（2）知，函数()f x 在[]2,3上单调递增，则当2x =时，()f x 有最小值()922f =；当3x =时，()f x 有最大值()1933f =.20.（1）任取[]120,1x x x ==∈，则有()()22x f f x f x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，即()()2f x f x ≤，于是()0f x ≥，所以，对任意的[]0,1x ∈都有()0f x ≥.（2）由()()010f f ==，得()()01010002f f f +⎛⎫≤+=+=⎪⎝⎭，于是102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，但由（1）的结果知102f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()10,102f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()1112100022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，于是304f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，由（1）的结果知304f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以304f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（3）由()100,02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得()1012000022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，于是104f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，但由（1）的结果知104f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以211042f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，继续求下去，可得10,1,2,3,,20242k f k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此，2024111102422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.（1）()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩.由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤.（2）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()0f x tf a -=不可能有三个不等的实数根.当(]2,4a ∈时，由()()()222,2,x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，得x a ≥时，()()22f x x a x =+-对称轴22a x -=，则()f x 在[),x a ∞∈+为增函数，此时()f x 的值域为())[),2,f a a ∞∞⎡+=+⎣；x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22a x +=，则()f x 在2,2a x ∞+⎛⎤∈- ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ∞⎛⎤+- ⎥⎝⎦，()f x 在2,2a x ∞+⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(]2,4a ∈，方程()()2f x tf a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(]2,4a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令()2(2)8a g a a+=，只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，()max 9()48g a g ==，故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭.。

北京市高一上学期期中考试数学试题含答案考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号----- --- 总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2,请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1.设集合/= {见。

2,0}, B = {2,4},若4nB = {2},则实数a的值为( □A. 2B. ±2C. A/2D. ±A/22.计算log2V访的结果是O3 「「4 c _3A 4DA. §B・％ C. 一5 D. *3.下列函数中，是偶函数的是(□A. /(%) = -B. /(%) = IgxC. /(%) = e x - e^xD. /(%) = |x| X4.函数/•(%)=婕+% — 4的零点所在的区间是()A. (0Z1)B. (1 匚 2)C. (213)D. (3 二 4)5.已知f(x + l) =疝，则函数f(x)的大致图像是( 口6. g 6rZlog25nbZlog35Dc01og32,则。

二的大小关系为()A. aucZbB. aJbZcC. b% 二 cD. c二。

二b7.已知XC[1,2]二/—恒成立，则实数。

的取值范围是()A. [1^ + 00)B. (1,+8)C. (—8,1]D. (—8,1)8.设函数f(x) = 1 + [划一％,其中国表示不超过x的最大整数，若函数y = loga”的图象与函数/• (%)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范闱是()A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4) O O ••■■••••■■••••■■••••■■••然••■■••••■■••••■■••••■■••O O••■•■••■•■••■■•■■••■•■•O•■••■••■••■•摒•■••■••■••■•O•■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■••■••■••■••■••■••■••■•O•■•■••■••■••■•O•■第n卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9.计算：e lnl Z10.已知集合/= {x|x > 1}, B = {x\x > d］,若A之B,则实数a的取值范围是.11.函数/1 (x) = log a(a - a x) (0 < a < 1)的定义域为.12.己知/(')匚，则/丁(—切= ______________________________ ；若/(、)= —1,则I一X十1, X > 1X =二13.已知函数f(x) = a/ —2% —2在区间［1,+8)上不单调，则实数。

北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8） 【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项.3.已知3(,)22ππα∈，且tan α=sin α=A. -B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=3-故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C 【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<【答案】A 【解析】 【分析】在坐标系中作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的图象，将1x 、2x 、3x 分别视为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log 1y x =+、3log y x =、2log y x =交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x 、3x 、2x ，所以132x x x <<． 故选A ．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，∴正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，∴不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________∴【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．10.已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____.【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值.【详解】()11cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.的故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.不等式()221n n n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系都为:x y =0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】(1).(2).【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a成以2为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和.【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai的宽度为12i a +，()1A i +的长度为21i i a ++=，所以，数列{}n a为公比的等比数列，由题意知4A纸的宽度为522a =，5a ∴=512142a a ∴===⎛⎫⎪⎝⎭所以，0A纸的面积为(22211S ===，又22n n S a =，222111122n n n n n na S a S a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：4. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+u u u v u u u r u u u v，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】 【分析】设OP kOQ =u u u r u u u r ，可得出()0,1OP k OQ=∈u u u r u u u r ，并设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =u u u r u u u r，可得出()0,1OP k OQ=∈u u u r u u u r ， 设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】的分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

2019-2020学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．方程2560x x --+=的解集为( ) A ．{6-，1}B ．{2，3}C ．{1-，6}D ．{2-，3}-2．“2x >”是“24x >”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是( ) A ．31y x =--B ．2y x=C ．245y x x =-+D ．|1|2y x =-+4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =，则1()(2f -= )A ．14-B ．14 C ．94-D ．945．设函数1()41(0)f x x x x=+-<，则()(f x ) A ．有最大值3B ．有最小值3C ．有最小值5-D ．有最大值5-6．若函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．37．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩…是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2]C ．(0,3)D ．(0，3]8．设函数()f x 在(,)-∞+∞上有意义，且对于任意的x ，y R ∈，有|()()|||f x f y x y -<-并且函数(1)f x +的对称中心是(1,0)-，若函数()()g x f x x -=，则不等式2(2)(2)0g x x g x -+-<的解集是( )A ．(-∞，1)(2⋃，)+∞B ．(1,2)C ．(-∞，1](2,)-+∞D ．(1,2)-二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知1x ，2x 是方程2250x x +-=的两根，则211122x x x x ++的值为 ．10．已知方程210ax bx ++=的两个根分别为14-，3，则不等式210ax bx ++>的解集为 ．（结果用区间表示）11．命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 ．12．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()2f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）的值等于 ．13．若函数2()21f x x x =-+在区间[a ，2]a +上的最小值为4，则实数a 的取值集合为 ． 14．已知函数||2,(),x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩…（1）若0a =，则函数()f x 的零点有 个；（2）若()f x f …（1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设集合2{A x =，1}x -，{5B x =-，1x -，9}． （1）若3x =-，求A B ；（2）若{9}A B =，求AB ．16．已知函数2()f x ax x=-．（1）求定义域，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若f （1）f +（2）0=，证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并求函数()f x 在区间[1，4]上的最值．17．一元二次方程2210x mx m m -++-=有两实根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围； （2）求12x x 的最值；（3）如果12||x x ->m 的取值范围．18．某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19．已知函数2()f x x bx c =++，其中b ，c R ∈． （Ⅰ）当()f x 的图象关于直线1x =对称时，b = ；（Ⅱ）如果()f x 在区间[1-，1]不是单调函数，证明：对任意x R ∈，都有()1f x c >-； （Ⅲ）如果()f x 在区间(0,1)上有两个不同的零点．求2(1)c b c ++的取值范围．2019-2020学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．方程2560x x --+=的解集为( ) A ．{6-，1}B ．{2，3}C ．{1-，6}D ．{2-，3}-【解答】解：2560x x --+=， 2560x x ∴+-=， (6)(1)0x x ∴+-=， 6x ∴=-或1，方程2560x x --+=的解集为{6-，1}． 故选：A ．2．“2x >”是“24x >”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由24x >，解得2x >，或2x <-． ∴ “2x >”是“24x >”的充分不必要条件．故选：B ．3．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是( ) A ．31y x =--B ．2y x=C ．245y x x =-+D ．|1|2y x =-+【解答】解：由一次函数的性质可知，31y x =--在区间(1,)+∞上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，2y x=在区间(1,)+∞上为减函数， 由二次函数的性质可知，245y x x =-+在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，|1|2y x =-+在(1,)+∞上单调递增． 故选：D ．4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =，则1()(2f -= )A ．14-B ．14 C ．94-D ．94【解答】解：根据题意，()f x 满足0x >时，2()f x x =，则2111()()224f ==，又由函数()f x 为奇函数，则111()()224f f -=-=-；故选：A ．5．设函数1()41(0)f x x x x=+-<，则()(f x ) A ．有最大值3B ．有最小值3C ．有最小值5-D ．有最大值5-【解答】解：当0x <时，11()41[(4)]1)15f x x x x x x=+-=--+---=---…． 当且仅当14x x -=-，即12x =-时上式取“=”．()f x ∴有最大值为5-．故选：D ．6．若函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，则a 的值可以是( )A ．2-B ．0C ．1-D ．3【解答】解：由()0af x x x=+=可得，2a x =-， 由函数()()af x x a R x=+∈在区间(1,2)上恰有一个零点，可知2a x =-在(1,2)只有一个零点，当(1,2)x ∈时，2(4,1)y x =-∈--，41a ∴-<<-，结合选项可知，A 符合题意．故选：A ．7．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩…是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2]C ．(0,3)D ．(0，3]【解答】解：因为()f x 为R 上的减函数， 所以1x …时，()f x 递减，即30a -<①，1x >时，()f x 递减，即0a >②，且(3)152a a -⨯+…③， 联立①②③解得，02a <…． 故选：B ．8．设函数()f x 在(,)-∞+∞上有意义，且对于任意的x ，y R ∈，有|()()|||f x f y x y -<-并且函数(1)f x +的对称中心是(1,0)-，若函数()()g x f x x -=，则不等式2(2)(2)0g x x g x -+-<的解集是( )A ．(-∞，1)(2⋃，)+∞B ．(1,2)C ．(-∞，1](2,)-+∞D ．(1,2)-【解答】解：由函数(1)f x +的对称中心是(1,0)-，可得()f x 的图象关于(0,0)对称即()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-， ()()g x f x x -=， ()()g x f x x ∴=+，()()()()g x f x x f x x g x ∴-=--=--=-，对于任意的x ，y R ∈，有|()()|||f x f y x y -<-， |()()()|||g x g y x y x y ∴---<-， ∴|()()()|1||g x g y x y x y ---<-，即()()|1|1g x g y x y--<-，()()02g x g y x y-∴<<-，即()0g x '>，()g x ∴单调递增，2(2)(2)0g x x g x -+-<， 2(2)(2)(2)g x x g x g x ∴-<--=-，222x x x ∴-<-，整理可得，2320x x -+>， 解可得，2x >或1x <， 故选：A ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知1x ，2x 是方程2250x x +-=的两根，则211122x x x x ++的值为 0 ． 【解答】解：1x ，2x 是方程2250x x +-=的两根， 则211250x x +-=，125x x =-．211122550x x x x ∴++=-=．故答案为：0．10．已知方程210ax bx ++=的两个根分别为14-，3，则不等式210ax bx ++>的解集为 (4，3) ．（结果用区间表示） 【解答】解：由已知方程210ax bx ++=的两个根分别为14-，3，134b a ∴-+=-，11()34a -⨯=；解得：43a =-，113b =．∴不等式210ax bx ++>对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：14-和3． ∴所求不等式的解集为1(4-，3)．故答案为：1(4-，3)．11．命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是 00x ∃>，20230x x +-… ． 【解答】解：命题为全称命题，则命题“0x ∀>，2230x x +->”的否定是为00x ∃>，200230x x +-…，故答案为：00x ∃>，20230x x +-…． 12．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()2f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）的值等于 2 ．【解答】解：()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， ()()f x f x ∴-=，()()g x g x -=-，32()()2f x g x x x -=++， 32()()2f x g x x x ∴-+-=++，则f （1）g +（1）1122=-++=． 故答案为：213．若函数2()21f x x x =-+在区间[a ，2]a +上的最小值为4，则实数a 的取值集合为 {3-，3} ．【解答】解：因为函数22()21(1)f x x x x =-+=-， 所以对称轴为1x =，顶点坐标为(1,0)． 令2214x x -+=得：2230x x --=， 解得：1x =-或3， 所以21a +=-或3a =， 即：3a =-或3． 故答案为：{3-，3}14．已知函数||2,(),x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩…（1）若0a =，则函数()f x 的零点有 2 个；（2）若()f x f …（1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）当0a =时，如图，由图可知，()f x 有2个零点．（2）①当0a …时，22,(),x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩…，如图，(1,0)A ，当x a =在A 点左侧时，总能满足()f x f …（1），此时01a <…； 当x a =在A 点右侧时，不满足， ②当0a <时，22,(),x x x a f x x x a ⎧+=⎨<⎩…，如图，此时，无论a 取何值均不能满足()f x f …（1）． 综上01a <…．故答案为：2；01a <…．三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设集合2{A x =，1}x -，{5B x =-，1x -，9}． （1）若3x =-，求A B ；（2）若{9}AB =，求AB ．【解答】解：（1）3x =-时，{9A =，4}-，{8B =-，4，9}， {9}AB ∴=； （2）{9}AB =，9A ∴∈，29x ∴=，或19x -=，解得3x =±或10，3x =时，不满足集合B 中元素的互异性，3x ∴=-或10，由（1）知，3x =-时，{8A B =-，4-，4，9}，10x =时，{100A =，9}，{5B =，9-，9}，{9AB ∴=-，5，9，100}．16．已知函数2()f x ax x=-．（1）求定义域，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若f （1）f +（2）0=，证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性，并求函数()f x 在区间[1，4]上的最值．【解答】解：（1）由题意可得，0x ≠， 2()()f x ax f x x-=-+=-， ()f x ∴为奇函数；（2）由f （1）f +（2）2210a a =-+-=， 1a ∴=，2()f x x x=-， 设120x x <<，则1212122112222()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=-+， 120x x <<，120x x ∴-<，12210x x +>， 12122()(1)0x x x x ∴-+<，即12()()f x f x <， ()f x ∴在(0,)+∞上的单调递增，∴函数()f x 在区间[1，4]上的最大值f （4）72=，f （1）1=-． 17．一元二次方程2210x mx m m -++-=有两实根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围； （2）求12x x 的最值；（3）如果12||x x ->m 的取值范围．【解答】解：（1）一元二次方程2210x mx m m -++-=有两实根1x ，2x ．∴△22()4(1)0m m m =--+-…， 从而解得：223m-剟． （2）一元二次方程2210x mx m m -++-=有两实根1x ，2x ．∴由根与系数关系得：2212151()24x x m m m =+-=+-， 又由（1）得：223m -剟， ∴2515()1424m -+-剟， 从而，12x x 最小值为54-，最大值为1． （3）一元二次方程2210x mx m m -++-=有两实根1x ，2x ．∴由根与系数关系得：21212,1x x m x x m m +==+-，∴212||x x m -===>从而解得：113m -<<-， 又由（1）得：223m-剟， ∴1(1,)3m ∈--． 18．某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．【解答】解：（1）由题意，有22004x AM x-=，由0AM >，有 0x <<；则22222004200210(200)802()4x S x x x -=+-+⨯⨯； 2422222400000400010400000420042000210400038000x x S x x x x x -+=+-+=++； S ∴关于x 的函数关系式：22400000400038000S x x =++，(0x <<)； （2）22240000040003800038000118000S x x x =+++=…；当且仅当224000004000x x =时，即x =(0，，S 有最小值；∴当x =118000min S =元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．19．已知函数2()f x x bx c =++，其中b ，c R ∈．（Ⅰ）当()f x 的图象关于直线1x =对称时，b = 2- ；（Ⅱ）如果()f x 在区间[1-，1]不是单调函数，证明：对任意x R ∈，都有()1f x c >-； （Ⅲ）如果()f x 在区间(0,1)上有两个不同的零点．求2(1)c b c ++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数2()f x x bx c =++的对称轴为2b x =-， 由()f x 的图象关于直线1x =对称，可得12b -=，解得2b =-， 故答案为：2-．（Ⅱ）证明：由()f x 在[1-，1]上不单调，可得112b -<-<，即22b -<<， 对任意的x R ∈，222()()2424b b b b f x fc c -=-+=-…， 由22b -<<，可得2()14b f xc c ->-…； （Ⅲ）()f x 在区间(0,1)上有两个不同的零点，设为r ，s ，()r s ≠，r ，(,1)s ∈，可设()()()f x x r x s =--，由2(1)(1)(0)c b c c b c f f ++=++=（1）(1)(1)rs r s =--，且22(1)(1)10(1)(1)[][]2216r r s s rs r s +-+-<--<=， 则2(1)(0c b c ++∈，1)16．。

北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8） 【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项. 3.已知3(,)22ππα∈，且tan 2α=，那么sin α=A. 3-B. 6C.6 D.3【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果． 【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan 2cos ααα=>0，故3(,)2παπ∈ 即sin 2αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=6故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<【答案】A 【解析】在坐标系中作出函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的图象，将1x、2x、3x分别视为函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log1y x=+、3logy x=、2logy x=交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log1y x=+，3logy x=，2logy x=的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x、3x、2x，所以132x x x<<．故选A．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________．3 【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,3a b ==，所以3z i =，则3z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力． 10.已知函数()13cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____. 【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值. 【详解】()1313cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11.不等式()221nn n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-. 下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:2x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm . 【答案】 (1). 642 (2).5112【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a 成以22为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai 的宽度为122i a +，()1A i +的长度为2122i i a a ++=，所以，数列{}n a 是以22为公比的等比数列，由题意知4A 纸的宽度为5222a =，522a ∴=51222821242a a ∴===⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，0A 纸的面积为(22211228264222S dm ==⨯=，又22n n S =，22211122212222n n n n n nS a S a a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S 是以212为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：6425112. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q，若OP aOA bOB=+u u u vu u u r u u u v，则+a b的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】【分析】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，并设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b的取值范围.【详解】设OP kOQ=u u u r u u u r，可得出()0,1OPkOQ=∈u u u ru u u r，设OQ OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A、B、Q三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOBλμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a kλ=，b kμ=，()()0,1a b k k k kλμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f xg x是定义在R上的两个周期函数，()f x的周期为4，()g x的周期为2，且()f x是奇函数.当2(]0,x∈时，2()1(1)f x x=--，(2),01()1,122k x xg xx+<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k>.若在区间(0]9，上，关于x的方程()()f xg x=有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。

北京一零一中学2021-2022高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题） 1.方程-x 2-5x +6=0的解集为（ ）. A. {}6,1-B. {}2,3C. {}1,6-D.{}2,3--【答案】A 【解析】 【分析】因式分解法求解一元二次方程． 【详解】∵-x 2-5x +6=0， ∴x 2+5x -6=0， ∴(x +6)(x -1)=0， ∴x =-6或1，方程-x 2-5x +6=0的解集为{-6，1}． 故选：A ．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2.“2x >”是“24x >”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】因为242x x >⇔>或2x <-，所以，“2x >”能推出“24x >”， “24x >”不能推出“2x >”， “2x >”是“24x >”的充分不必要条件，故选B. 3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.A. 31y x =--B. 2y x=C. 245y x x =-+D.12y x =-+【答案】D 【解析】 【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可． 【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =，则1()2f -=A. 14-B.14 C. 94-D. 94【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可. 【详解】由奇函数的性质结合题意可得：211112224f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设函数f （x ）=4x +1x-1（x ＜0），则f （x ）（ ）. A. 有最大值3 B. 有最小值3C. 有最小值5-D. 有最大值5- 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求得函数f (x )=4x +1x-1(x ＜0)的最值得答案．【详解】当x ＜0时，f (x )=4x +1x-1=-[(-4x )+1x -]-115≤-=-． 当且仅当-4x =-1x ，即x =-12时上式取“=”． ∴f (x )有最大值为-5． 故选：D ．【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题． 6.若函数()af x x x=+ (a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A. －2 B. 0 C. 1 D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】函数()af x x x=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．7.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是A. (0，3)B. (0，3]C. (0，2)D. (0，2]【答案】D 【解析】 【分析】由()f x 为R 上的减函数，根据1x ≤和1x >时，()f x 均单调递减，且2(3)151aa -⨯+≥，即可求解.【详解】因为函数()f x 为R 上的减函数，所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >， 且2(3)151aa -⨯+≥，解得2a ≤， 综上可知实数a 的取值范围是(0,2]，故选D.【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8.设函数f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x -y |并且函数f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数g （x ）-f （x ）=x ，则不等式g （2x -x 2）+g （x -2）＜0的解集是（ ）. A. ()(),12,-∞⋃+∞ B. ()1,2 C. (],1(2-∞-⋃,)+∞ D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知f (x )为奇函数，从而可得g (-x )也为奇函数，然后结合|f (x )-f (y )|＜|x -y |，得()()0g x g y x y->-，从而可得g (x )单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．【详解】由函数f (x +1)的对称中心是(-1，0)，可得f (x )的图象关于(0，0)对称即f (x )为奇函数，∴f (-x )=-f (x )， ∵g (x )-f (x )=x ， ∴g (x )=f (x )+x ，∴g (-x )=f (-x )-x =-f (x )-x =-g (x )，∵对于任意的x ，y ∈R ，有|f (x )-f (y )|＜|x -y |， ∴|g (x )-g (y )-(x -y )|＜|x -y |， ∴()()()g x g y x y 1x y----＜，即|()()g x g y 1x y---|＜1，∴0＜()()g x g y x y--＜2，由对任意实数,()x y x y ≠有()()0g x g y x y->-得g (x )单调递增，∵g (2x -x 2)+g (x -2)＜0，∴g (2x -x 2)＜-g (x -2)=g (2-x )， ∴2x -x 2＜2-x ， 整理可得，x 2-3x +2＞0， 解可得，x ＞2或x ＜1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合单调性定义判断出函数g (x )的单调性．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，则x 12+2x 1+x 1x 2的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，可得x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5．即可得出．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根， 则x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5．∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0． 故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.已知方程210ax bx ++=的两个根为14-，3，则不等式210ax bx ++>的解集为______． 【答案】134x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】根据韦达定理求出,a b ，代入不等式，解一元二次不等式求得结果.【详解】由题意得：1341134b a a ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩ 43113a b ⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩则不等式可化为：241130x x --< 134x ⇒-<< 本题正确结果：134x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查一元二次方程的根与一元二次不等式求解的问题，属于基础题. 11.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______． 【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0， 故答案为：∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+2，则f （1）+g （1）的值等于______．【答案】2 【解析】 【分析】由已知可得f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，结合f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，可得f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，代入x =-1即可求解．【详解】f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， ∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )， ∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2， ∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2， 则f (1)+g (1)=-1+1+2=2． 故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值，属于基础试题． 13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为______． 【答案】{-3，3} 【解析】 【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a 的值． 【详解】因为函数f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2， 所以对称轴为x =1，顶点坐标为(1，0)． 令x 2-2x +1=4得：x 2-2x -3=0， 解得：x =-1或3， 所以a +2=-1或a =3， 即：a =-3或3． 故答案为：{-3，3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．14.已知函数()2,x x x x af x x x a -+≥⎧=<⎨⎩．①若0a =，则函数()f x 的零点有______个；②若()()1f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】 (1). 2 (2). 1⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】①把a=0带入，令f(x)=0，求解，有几个解就有几个零点；②分类讨论，令a>0,a=0,a<0分别进行讨论，最后求得a 的取值范围.【详解】①当a=0，22,0(),0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨<⎩当0x ≥,时，22x x -+=0，解得x=2或x=0， 当0x <，x=0无解 故有两个零点②（1）当1a >时，f （1）=1，此时()1f a >，不成立，舍；（2）当a=1，此时f （x ）的最大值为f （1），所以成立；（3）当1a <，2,(),x x x x af x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩ 令222,0()22,0x x x g x x x x x x x ⎧+<=-+=⎨-+>⎩()(1)1f x f ≤= ()1g x ∴≤当x<0时，221,[1x x x +≤∈- 当0x ≥时，221x x -+≤，恒成立；故1a ≥--综上11a -≤≤故答案为1⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题，本题第二问的求参数主要考查了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目. 求函数零点方法：1.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数. 15.设集合A ={x 2，x -1}，B ={x -5，1-x ，9}． （1）若x =-3，求A ∩B ； （2）若A ∩B ={9}，求A ∪B ．【答案】（1）{9} （2）x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}，x =10时， A ∪B ={-9，5，9，100}． 【解析】 【分析】(1)x =-3时，可求出A ={9，-4}，B ={-8，4，9}，然后进行交集的运算即可；(2)根据A ∩B ={9}即可得出x 2=9或x -1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x =-3或10，从而x =-3时，求出集合A ，B ，然后求出A ∪B ；x =10时，求出集合A ，B ，然后求出A ∪B 即可．【详解】(1)x =-3时，A ={9，-4}，B ={-8，4，9}，∴A ∩B ={9}； (2)∵A ∩B ={9}， ∴9∈A ，∴x 2=9，或x -1=9，解得x =±3或10， x =3时，不满足集合B 中元素的互异性，∴x =-3或10，由(1)知，x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}，x =10时，A ={100，9}，B ={5，-9，9}，∴A ∪B ={-9，5，9，100}．【点睛】本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题． 16.已知函数()2f x ax x=-． （1）求定义域，并判断函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）+f （2）=0，证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x ）在区间[1，4]上的最值．【答案】（1）{}|0x x ≠ ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值72，最小值-1； 【解析】【分析】(1)由题意可得，x ≠0，然后检验f (-x )与f (x )的关系即可判断；(2)由f (1)+f (2)=a -2+2a -1=0，代入可求a ，然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可求函数f (x )在区间[1，4]上的最大值f (4)，最小值f (1)．即可求解． 【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为{}|0x x ≠∵f (-x )=-ax +2x=-f (x )， ∴f (x )奇函数；(2)由f (1)+f (2)=a -2+2a -1=0， ∴a =1，f (x )=x -2x， 设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 22122x x +-=(x 1-x 2)(1+122x x )， ∵0＜x 1＜x 2， ∴x 1-x 2＜0，1+122x x ＞0， ∴(x 1-x 2)(1+122x x )＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，∴函数f (x )在区间[1，4]上的最大值为f (4)=72，最小值为f (1)=-1． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于函数性质的简单应用．17.一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）求x 1•x 2的最值；（3）如果12x x -m 的取值范围． 【答案】（1）223m -≤≤（2）最小值为54-，最大值为1 （3）113⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】 【分析】(1)一元二次方程有两实根，则判别式△≥0；(2)利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；(3)利用公式22121212()4()x x x x x x +-=-得到|x 1-x 2|的表达式从而解不等式求m ． 【详解】(1)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴△=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0， 从而解得：-223m ≤≤． (2)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：2212151()24x x m m m ⋅=+-=+-， 又由(1)得：-223m ≤≤， ∴2515()1424m -≤+-≤， 从而，x 1•x 2最小值为54-，最大值为1．(3)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：212121x m m m x x +=⋅=+-，x ，∴12x x -==从而解得：113--＜m ＜， 又由(1)得： 223m -≤≤，∴113m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考点是一元二次方程根与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式； （2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区． 【答案】（1）(22400000400038000,0102S x x x=++<<；（2）118000元 【解析】 【分析】(1)根据由两个相同的矩形ABC D 和E FG H 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；(2)利用基本不等式求出(1)中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可．【详解】(1)由题意，有 AM =2200x 4x -，由AM ＞0，有 0＜x ＜2；则S =4200x 2+210(200-x 2)+80×2×22200x ()4x-；S =4200x 2+42000-210x 2+2424000004000x 10x x-+=4000x 2+2400000x +38000； ∴S 关于x 的函数关系式：S =4000x 2+2400000x +38000，(0＜x ＜2 )； (2)S =4000x 2+2400000x 224000004000x x⋅+38000=118000； 当且仅当4000x 2=2400000x 时，即x 1010∈(0，2)，S 有最小值； ∴当x 10米时，S m in =118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知函数f （x ）=x 2+bx +c ，其中b ，c ∈R ．（1）当f （x ）的图象关于直线x =1对称时，b =______；（2）如果f （x ）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x ∈R ，都有f （x ）＞c -1； （3）如果f （x ）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c 2+（1+b ）c 的取值范围． 【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）（0，116） 【解析】 【分析】(1)求得f (x )的对称轴，由题意可得b 的方程，解方程可得b ； (2)由题意可得-1＜-2b＜1，即-2＜b ＜2，运用f (x )的最小值，结合不等式的性质，即可得证；(3)f (x )在区间(0，1)上有两个不同的零点，设为r ，s ，(r ≠s )，r ，s ∈(，1)，可设f (x )=(x -r )(x -s )，将c 2+(1+b )c 写为f (0)f (1)，再改为r ，s 的式子，运用基本不等式即可得到所求范围．【详解】(1)函数f (x )=x 2+bx +c 的对称轴为x =-2b ， 由f (x )的图象关于直线x =1对称， 可得-2b=1，解得b =-2， 故答案为：-2．(2)证明：由f (x )在[-1，1]上不单调， 可得-1＜-b2＜1，即-2＜b ＜2， 对任意的x ∈R ，f (x )≥f (-2b )=24b -22b +c =c -24b ，由-2＜b ＜2，可得f (x )≥c -24b ＞c -1； (3)f (x )在区间(0，1)上有两个不同的零点， 设为r ，s ，(r ≠s )，r ，s ∈(0，1)，可设f(x)=(x-r)(x-s)，由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，且0＜rs(1-r)(1-s)＜[()12r r+-]2•[()12s s+-]2=116，则c2+(1+b)c∈(0，116)．【点睛】本题考查二次函数的单调性和对称性的应用，考查函数零点问题的解法，注意运用转化思想，以及基本不等式和不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

【全国百强校】北京师大实验中学【最新】高一（上）期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．函数()f x 的定义域是（ ）． A ．(,2)-∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．(2,)+∞ 3．设集合A ={（x ，y ）|4x +y =6}，B ={（x ，y ）|3x +2y =7}，则满足C ⊆(A ∩B)的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．22y x =-+B ．41y x =-C ．24y x x =+D ．1y x = 5．已知函数()2()3x f x =，则函数y =f （x +1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y =x 2-（k +1）x +k +4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()(),35,-∞-⋃+∞B ．()(),53,-∞-⋃+∞C ．()3,5-D ．()5,3-7．下列大小关系正确的是（ ）A ．30.440.43log 0.3<<B ．30.440.4log 0.33<<C ．30.44log 0.30.43D ．0.434log 0.330.4<<8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、双空题9．若映射f ：x →y =2（x -2），则8的原象是______，8的象是______．三、填空题 10．设函数()246,06,0x x x f x x x -+≥⎧=+<⎨⎩，则f （f （-1））=______． 11．142355lg lg lg +-=______． 12．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________．13．函数f （x ）=12log （x 2-2x -3）的单调递增区间为______． 14．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”．③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4．其中所有正确命题的序号是______．15．已知f （x +y ）=f （x ）f （y ）对任意的非负实数x ，y 都成立，且f （1）=4，则()()()()()()()()()()1234201001232009f f f f f f f f f f ++++⋯+=______．16．若f （x ）是定义在实数集上的偶函数，且f （x +5）=-f （x ），当x ∈（5，7.5）时，()1f x x=，则f （2011）的值等于______．四、解答题17．设集合A ={x |y =lg （x 2-x -2）}，集合B ={y |y =3-|x |}．（1）求A ∩B 和A ∪B ；（2）若C ={x |4x +p ＜0}，C ⊆A ，求实数p 的取值范围．18．已知二次函数f （x ）对任意实数x 满足f （x +2）=f （-x +2），又f （0）=3，f （2）=1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （x ）在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，求m 的取值范围．19．设函数f （x ）=x 2-x +m ，且f （log 2a ）=m ，log 2f （a ）=2，（a ≠1）．（1）求a ，m 的值；（2）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 的值．20．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为函数f （x ）的不动点．已知f （x ）=x 2+bx +c（1）当b =2，c =-6时，求函数f （x ）的不动点；（2）已知f （x ）有两个不动点为，求函数y =f （x ）的零点；（3）在（2）的条件下，求不等式f （x ）＞0的解集．21．某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式P =-750x +15000，其中P 为零售商进货的数量（单位：件），x 为零售商支付的每件产品价格（单位：元）．现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用以外的其他费用），为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？并求此时的最大利润．22．已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，当0a b +≠时，总有()()0f a f b a b+>+． （1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：1(1)()1f x f x +<-； （3）若2()21f x m pm ≤-+对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．参考答案1．A【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．考点：集合的运算．2．D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得：2x >，所以函数的定义域是：(2,)+∞，故选D ．3．C【分析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ()46{|}327x y x y x y +=⎧==⎨+=⎩，{（1，2）}，∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．D【分析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数1y x=在（﹣∞，0）上为减函数 故选D ．【点睛】 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．B【分析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得()12221()()333x x f x ++==⋅，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得()12221()()333x x f x ++==⋅，f （x ）单调递减； 同时有()2013f ＜=，213＜，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合； 只有B 的图象符合两点，故选B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键． 6．A【分析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．C【解析】试题分析：根据题意，由于30.44log 0.30,00.41,31<<那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为30.44log 0.30.43<<，选C. 考点：指数函数与对数函数的值域点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题．8．A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232[()2()]2f x f x x x x x =--=----=+，故选A ．考点：函数的奇偶性的应用．9．5 64【分析】正确理解象与原象的概念，代入计算即可．【详解】∵8＝2x ﹣2∴x ＝5；y ＝28﹣2＝26＝64．故答案为(1). 5 (2). 64．【点睛】本题考查映射的概念，解决的关键是理解象与原象的概念，是容易题．10．11【分析】按照先内后外的顺序：先求内层f （﹣1）＝5，再求外层f （5）即可．【详解】∵﹣1＜0，∴f （﹣1）＝﹣1+6＝5＞0，则f （f （﹣1））＝f （5）＝52﹣4×5+6＝11．故答案为11．【点睛】本题考查分段函数求函数值，求解过程中始终要注意自变量的取值范围，代入相对应的解析式计算，属于基础题.11．4【分析】根据对数的运算律：lgM+lgN ＝lg （M•N ），M lgM lgN lgN-=，lgM n ＝nlgM ．计算可得结果．【详解】根据对数的运算律知： ()434142352551045lg lg lglg lg +-=⋅⋅==． 故答案为4．【点睛】 本题考查对数式的求值及对数的运算律，重点在于公式的熟练程度和计算能力.12．15-【详解】∵函数f （x ）在[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，∴函数f （x ）在[﹣6，﹣3]上也是增函数，区间[﹣6，﹣3]上的最大值为f （﹣3）＝1，最小值为f （﹣6）＝﹣8，∴2f （﹣6）+f （﹣3）＝-15,故答案为﹣15.13．(),1-∞-【分析】先求函数的定义域为{x |x ＞3或x ＜﹣1}，要求函数()()21223f x log x x =--的单调递增区间，只要求解函数t ＝x 2﹣2x ﹣3在定义域的单调递减区间即可【详解】函数的定义域为{x |x ＞3或x ＜﹣1}，令t ＝x 2﹣2x ﹣3，则y12log t =， 因为y 12log t =在（0，+∞）单调递减，t ＝x 2﹣2x ﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），故答案为（﹣∞，﹣1）.【点睛】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，注意函数的单调增区间的写法，属于基础题．14．②③④【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和．【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤. 故答案为②③④．【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题． 15．8040【解析】【分析】在f （x +y ）＝f （x ）f （y ）中，令y ＝1可得，f （x +1）＝f （x ）f （1），进而可得()()()()()()1114f x f x f f f x f x +⋅===，将其代入所求中，可得答案．【详解】 根据题意，在f （x +y ）＝f （x ）f （y ）中，令y ＝1可得，f （x +1）＝f （x ）f （1），()()()()()()1114f x f x f f f x f x +⋅===，则()()()()()()()()12320102010480400122009f f f f f f f f ++++=⨯=；故答案为8040．【点睛】本题考查抽象函数的运用，解决这类问题一般用赋值法．16．16- 【分析】 由f （x +5）＝﹣f （x ）可求得f （x ）的周期，再利用x ∈（5，7.5）时，()1f x x =，即可求得f （2011）的值．【详解】∵f （x +5）＝﹣f （x ），∴f （x +10）＝﹣f （x +5）＝f （x ），∴f （x ）是以10为周期的函数，∴f （2011）＝f （1）＝﹣f （6），又当x ∈（5，7.5）时，()1f x x =， ∴f （6）16=， ∴()120116f =-． 故答案为16-． 【点睛】 本题考查函数的周期性，关键是求得f （x ）的周期，再转化到给定的区间上，属于基础题．17．（1）{}123A B x x 或⋂=<-<≤，AB R =；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负，列出不等式求得A,B 代表函数的值域，分别求得A 、B 后直接求交集，并集即可.（2）由题意知14p -≤-，解得p 即可． 【详解】（1）x 2-x -2＞0， ∴（x -2）（x +1）＞0，∴x ＞2或x ＜-1，∴A ={x |x ＜-1或x ＞2}；y =3-|x |≤3，∴B ={x |x ≤3}；∴A ∩B ={x |x ＜-1或2＜x ≤3}；A ∪B =R ．（2）{|}4p C x x =-＜， ∵C ⊆A ， ∴14p -≤-， ∴p ≥4.∴p 的取值范围为[4，+∞）【点睛】本题是比较常规的集合与一元二次不等式的解法的交汇题，主要考查交集、并集及其运算属于基础题．18．（1）()21232f x x x =-+；（2）[]2,4. 【分析】（1）先由题意设f （x ）＝ax 2+bx +c ，再结合f （2+x ）＝f （2﹣x ）得到x ＝2是对称轴，从而建立a ，b ，c 的关系式，即可求得a ，b ，c ．最后写出函数f （x ）的解析式即可；（2）由于对称轴为x ＝2，且f （2）＝1，得到f （0）＝f （4）＝3，从而有：2≤m ≤4，即m 的取值范围为[2，4]．【详解】（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，∵f （2+x ）=f （2-x ），∴x =2是对称轴，故2,2b a-=f （0）=c =3,f （2）=4a +2b +c =1， ∴1,22a b ==-， ∴()21232f x x x =-+. （2）∵对称轴为x =2，且f （2）=1，∴f （0）=f （4）=3，为了使得f （x ）在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴2≤m ≤4，∴m 的取值范围为[2，4]．【点睛】本小题主要考查二次函数的性质、二次函数在闭区间上的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．19．（1）2a m ==；（2）当x 74. 【分析】（1）由题意，可由f （log 2a ）＝m ，log 2f （a ）＝2，（a ≠1）建立方程求出a ，m 的值． （2）由（1）得()2217224f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12x =时 f （x ）取得最小值74，故可令212log x =求出函数取最小值时x 的值. 【详解】（1）f （log 2a ）=log 22a -log 2a +m =m,∴log 2a （log 2a -1）=0∴a =1（舍）或a =2,∴a =2,f （2）=2+m,∴log 2f （a ）=log 2f （2）=log 2（m +2）=2,∴m =2,综上：a =2，m =2.（2）()22172()24f x x x x =-+=-+ 当12x =时,f （x ）取得最小值74∴212log x =时，f （log 2x ）取得最小值.∴x =f （log 2x ）最小，()274f log x = 【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x 的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征. 20．（1）2或3-；（2）1或2-；（3）()(),21,-∞-⋃+∞.【分析】（1）设x 为不动点，则有f （x ）＝x ，变形为x 2+x ﹣6＝0，解方程即可．（2）根据题中条件得x 2+（b ﹣1）x +c ＝0利用根与系数的关系得出b ，c 的值，最后解方程f （x ）＝0即可得出f （x ）的零点．（3）由题意得f （x ）＞0即（x +2）（x ﹣1）＞0，解之即可．【详解】（1）f （x ）=x 2+2x -6，由f （x ）=x ，∴x 2+x -6=0，∴（x -2）（x +3）=0，∴x =2或x =-3，∴f （x ）的不动点为2或-3.（2）∵f （x ）有两个不动点f （x ）=x 有两个根，∴x 2+（b -1）x +c =0，1b =-，c =，∴b =1，c =-2，∴f （x ）=x 2+x -2，令f （x ）=0，即（x +2）（x -1）=0，解得x =-2或x =1，∴f （x ）的零点为x =1或x =-2.（3）f （x ）＞0，∴（x +2）（x -1）＞0，∴x ＞1或x ＜-2，∴f （x ）＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）.【点睛】本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及函数的零点．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．21．每件收取12元，最大利润为4.1万元.【解析】【分析】根据生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元，可建立函数关系式，利用配方法可求函数的最值．【详解】工厂获得的利润为y 元．则根据利润等于销售额减去材料和劳动生产费，减去总固定成本可知y =x •P -4P -7000=（x -4）（-750x +15000）-7000=-750（x 2-24x +80）-7000=-750[（x -12）2-64]-7000 当x =12时，y 最大．此时y =41000∴工厂对零售商每件收取12元，此时最大利润为4.1万元．【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查二次函数最值的求解，解题的关键是挖掘本质，抽象出函数模型．22．（1）见解析；（2）{|2x x -≤<．（3）见解析.【分析】（1）任取x 1、x 2两数使x 1、x 2∈[-1，1]，且x 1＜x 2，进而根据函数为奇函数推知f （x 1）-f （x 2）=f （x 1）+f （-x 2），让f （x 1）+f （-x 2）除以x 1-x 2再乘以x 1-x 2配出()()f a f b a b++的形式，然后进而判定．（2）根据函数f （x ）在[-1，1]上是增函数知x 满足的不等式组1111{111111x x x x -≤+≤-≤≤-+<-，进而可解得x 的范围（3）由（1）知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m pm ≤-+对所有的[1,1]x ∈-恒成立，只需2121m pm ≤-+成立，即(2)0m m p -≥成立．对p 讨论得到．【详解】（1）()f x 在[]1,1-上是增函数，证明如下：任取[]121,1x x ∈-、，且12x x <，则120x x -<，于是有12121212()()()()0()f x f x f x f x x x x x -+-=>-+-， 而120x x -<，故12()()f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数（2）由()f x 在[]1,1-上是增函数知：111201{11{2,0211111x x x x x x x x x x -≤+≤-≤≤-≤≤⇒≥≤⇒-≤<-<<<+<-或或故不等式的解集为{|2x x -≤<．（3）由（1）知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m pm ≤-+对所有的[1,1]x ∈-恒成立，只需2121m pm ≤-+成立，即(2)0m m p -≥成立．① 当[1,0)p ∈-时，m 的取值范围为(,2][0,)p -∞⋃+∞；②当(0,1]p ∈时，m 的取值范围为(,0][2,)p -∞⋃+∞；③当0p =时，m 的取值范围为R ．。