7第七讲、第二章 弹性力学平面问题(9~10)

4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

弹性力学-平面问题第二平面章问的基题理本要论—点建立—平面题问的本方基程括：平衡包微方分；几程方程何物理；方程；变协形调程；方界边条件的描；述方的求解程法方等第二章平面问题的基本理论12. 1面应力问平题与面平应问变题 2.2 衡微平分方 2.程几3何程刚方体移 2位4 .理方物程2. 5边条件界 .62圣维南原理 2.7 一点应的状力态2. 8位移法解求平问面题2 9. 力法求应平面问解题相容方程2 1.0 应函力数能与源动学力院学 >- -0209方建立程边界条件求解方2法能与动力源院学学> - 20-0921. 面平应与力面应变问题平一般学问题力2..11两平面问题的提出类类两面问平题平面：力应（Palnestre s）；s 面平变（Pl应ae nstrian; 必要性：合理简），化减少分计算析；量使求解成为可（能获解得析解；可）性：行当性弹体几何的状，形外荷分布，载约束条件满等一足定的件条时简，化为面问平题后与际情实况差误小；理论较和践实证，明化简后解足的精够确3；4x στx yτ x z ⎡[ ] σ=⎡τ xyσ y yzτ⎡ [ ε]= ⎡⎡ ⎡ zτx τyz σz⎡⎡⎡⎡ε γx x γ xz ⎡ ⎡y ⎡⎡ yxγε yγ y ⎡z⎡ γ x z zγyε z ⎡ ⎡ ⎡⎡ u ⎡[u = ⎡v]⎡ ⎡ ⎡ ⎡⎡ ⎡w⎡6独立个应分变：量εx ,ε y, εz , γ x y ,γyz , γx z个位移3分：量u, v , w能源动力学院与6个独应力分量立：σ x , σy , σ z, xτ ,τ yz ,τ yxz> 性- 200-9源与能动学力院弹 >-- 201912.12. 面应力问平题.1几何特等厚征板——一薄方个尺向比另寸两方个向寸尺得多小t ；( x ,y >>z)bxt3 .内应力板征特于板由面上不力：受(σ z z )=± tz=0(τxz)z = ±tσz=0xbzt=yy(aτ)2τ zx 0=zyz = ± 2t=τ yz= 0yay2.受特力征力外（力、体力面）约和束仅平，行板于面用，作沿方z不变化向因此只有平面应力量存在分，且为x,y的数σ函y τ y xσ x =σ ( xx ,y;)σ y=σ y( , y)x;τ xy τ= y(x ,xy ;)σx σ x 论推：zx γ γ= zy =0 ,但ε =z −τ yxμEσ( +x σ y)≠ 0 （松泊效）应σy τ yxyτxyx6能源动与力院学>- 2-009能源与力动院力> - 200-9.2.1 平3应变问面 1.题几特何征有很长具向轴的柱纵体形；横截面大小的形状沿和轴不变。

，
n
）。
1、首先求斜截面应力分量（ px ，py ）由三角形微分
体的平衡条件可得
px l x m yx , p y m y l xy
2、分别计算（ px ，py ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lpx mpy l2x m2 y 2lm xy
x
y
O
因为任一横截面都可以看作对称面 所以各点都只能沿x 和y 方向移动,即w=0。 只要u,v位移分量。因此，此问题可称为 平面位移问题。
由对称性，
0, z 0, zx 0, zy 0( zx 0, zy 0) 只有平面应变分量 x , y , xy存在，
形变和位移间的关系 刚体位移
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理 概念可知，当物体变形后各点的位置完全确定时，任 一微分线段上的形变（包括伸缩、转角）即完全确定。 从数学推导也可看出，由位移函数求形变是一个求导 过程，所以位移确定，形变即唯一确定。
2、如果形变分量确定，位移分量并不完全确定。从 物理概念可知，物体在保持内部形变不变的条件下还 可以做刚体运动（平移和转动）。从数学角度看，由 形变求位移是一个积分过程，在常微分中，要出现一 个任意常数；在偏微分中，要出现一个与积分变量无 关的任意函数。这些未定项正是刚体的平移和转动。
u
dy
y
所以
xy




v x

u y
(c)
平面问题中的几何方程：
x

u x
y

v y

xy

v x

u y
几何方程适用于 两类平面问题。

v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x