信号与系统、第四章习题解答

4-35 解题过程：
H (s) = K
∏(s − z ) ∏(s − p )
j =1 j i =1 l i
k
（K 为系数）
=K =K
s ( s + 2 − j )( s + 2 + j ) ( s + 3)( s + 1 − 3 j )( s + 1 + 3 j )
( s + 3) ( s 2 + 2s + 10 )
（4）由
1 1⎛1 s ⎞ = ⎜ − 2 ⎟得 s ( s + 5) 5 ⎝ s s + 5 ⎠
2
⎡ ⎤ 1 −1 ⎡ 1 ⎤ 1 −1 ⎡ s ⎤ 1 1 L −1 ⎢ 2 ⎥ = L ⎢ s ⎥ − 5 L ⎢ s 2 + 5 ⎥ = 5 1 − cos 5t ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ s ( s + 5) ⎦ 5
−1
4-19 解题过程： 由于 f ( t ) 可以写作 f ( t ) =
∞
∑ f ( t − kT )
k =0 1
∞
= F1 ( s ) ∑ e − skT =
k =0
F1 ( s ) 1 − e − sT
则
⎡∞ ⎤ L⎡ f t F s L = = ⎤ ( ) ( ) ⎣ ⎦ ⎢ ∑ f1 ( t − kT ) ⎥ ⎣ k =0 ⎦
（12）由
4s + 5 7 3 4s + 5 ⎤ −1 ⎡ 得 L ⎢ 2 = − = 7e −3t − 3e −2t ⎥ s + 5s + 6 s + 3 s + 2 ⎣ s + 5s ǂ ) 100 ( s + 50 ) 得 = s + 201s + 200 ( s + 1)( s + 200 )
4
⎡ ⎡ ⎛ T ⎞⎤ ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞⎤ f1 ( t ) = sin ( wt ) ⎢u ( t ) − u ⎜ t − ⎟ ⎥ = sin wtu ( t ) + sin ⎢ w ⎜ t − ⎟ ⎥ u ⎜ t − ⎟ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝ 2 ⎠
T − s F1 ( s ) w w 1+ e 2 w 2 + 则 = = ⋅ e 所以 F1 ( s ) = 2 F s ( ) T T − s − s s + w2 s 2 + w2 s 2 + w2 1− e 2 1− e 2
t ⎡ ⎤ − 1 1 1 1 −1 RC （9）由 得 L ⎢ = − ⎥ = 1− e s ( RCs + 1) s s + 1 ⎣ s ( RCs + 1) ⎦ RC t ⎡ 1 − RCs ⎤ − 1 − RCs 1 2 −1 RC = − 得 L ⎢ = − 1 2 e ⎥ s ( RCs + 1) s s + 1 ⎣ s ( RCs + 1) ⎦ RC
4-3 解题过程： （1）由 f ( t ) = e
−( t − 2 )
u ( t − 2 ) ⋅ e −2 得
−( t − 2 ) −2 L⎡ u ( t − 2 )⎤ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=e L ⎡ ⎣e ⎦ 1 = e −2 ⋅ ⋅ e −2 s s +1 1 −2( s +1) = e s +1 1 −2 s （2） L ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦ = s +1 e
（6）由
3s 6 3 得 = − ( s + 4 ) ( s + 2) s + 4 s + 2
2
⎡ ⎤ 3s ⎡ 3 ⎤ −1 ⎡ 6 ⎤ L −1 ⎢ − L −1 ⎢ = 6e−4t − 3e −2t ⎥= L ⎢ ⎥ ⎥ s 4 ( s 2) s 4 s 2 + + + + ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣( ⎦
4-2 解题过程： （1）由 f ( t ) = sin wt ⎡ ⎣u ( t ) − u ( t − T / 2 ) ⎤ ⎦ = sin wtu ( t ) + sin [ w(t − T / 2) ] u ( t − T / 2 ) 得
L⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦= L ⎡ ⎣sin wtu ( t ) ⎤ ⎦ + L {sin [ w(t − T / 2) ] u ( t − T / 2 )}
（10）由
1 ⎛ ⎞ ⋅w⎟ w RCw ⎜ 1 s 1 （11）由 2 ⋅ = − 2 + RCw ⎟ 得 ⎜ s + w2 ( RCs + 1) 1 + ( RCw )2 ⎜ s + 1 s + w2 s + 1 ⎟ RC RC ⎠ ⎝
t ⎡ w ⎤ ⎤ 1 RCw ⎡ − RC 1 e sin wt ⎥ L ⎢ 2 ⋅ − cos wt + ⎥= 2 ⎢ 2 RCw ⎦ ⎣ s + w ( RCs + 1) ⎦ 1 + ( RCw ) ⎣ −1
（7） L
−1
⎡ 1 ⎤ + 1⎥ = sin t + δ (t ) 2 ⎢ ⎣ s +1 ⎦
（8）由
1 1 1 得 = − s − 3s + 2 s − 2 s − 1
2
1 ⎡ ⎤ −1 ⎛ 1 ⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ 2t t = − L −1 ⎢ 2 L L ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = e −e ⎥ ⎣ s − 3s + 2 ⎦ ⎝ s−2⎠ ⎝ s −1 ⎠
4-4 解题过程： （1） L
−1
⎛ 1 ⎞ −t ⎜ ⎟=e ⎝ s +1⎠
⎡ ⎤ 3 − t ⎢ ⎥ 4 2 4 2 ⎤ −1 ⎡ −1 2 = 得 L ⎢ （2）由 2 e = L = ⎢ ⎥ ⎥ 3 2s + 3 s + 3 2 3 s + ⎣ ⎦ ⎢s + ⎥ 2 2⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ 4 −1 ⎡ 1 ⎤ 4 −1 ⎢ 1 ⎥ 4 4⎜1 1 ⎟ 4 −1 （3）由 = ⎜ − ⎥ = L ⎢ ⎥− L ⎢ ⎟得 L ⎢ 3⎥ s ( 2 s + 3) 3 ⎜ s s + 3 ⎟ ⎣s⎦ 3 ⎣ s ( 2 s + 3) ⎦ 3 ⎢s + ⎥ 2⎠ 2⎦ ⎣ ⎝
2
⎡ 100 ( s + 50 ) ⎤ 100 L −1 ⎢ 2 ( 49e−t + 150e−200t ) ⎥= + + s 201 s 200 199 ⎣ ⎦
（14）令
s+3
( s + 1) ( s + 2 )
3
=
k3 k1 k2 k + + + 4 3 2 s + 2 ( s + 1) ( s + 1) s + 1
s →∞
s ( s 2 + 4s + 5 )
又知 H ( ∞ ) = 5 ，即 lim H ( s ) = K = 5
H (s) =
4-38 解题过程：
( s + 3) ( s 2 + 2s + 10 )
5s ( s 2 + 4 s + 5 )
=
5 ( s 3 + 4 s 2 + 5s ) s 3 + 5s 2 + 16s + 30
故 H (s) =
Rzs ( s ) E (s)
⎡ 1 1 2 ⎤ =⎢ − + ⎥ ⋅ ( s + 1) ⎣ 2 ( s + 1) s + 2 s − 3 ⎦ 1 s + 1 2 ( s + 1) = − + s −3 2 s+2 3 1 8 = + − 2 s + 2 s−3 3 −1 −2 t 3t 所以 h ( s ) = L ⎡ ⎣ H ( s )⎤ ⎦ = 2 δ ( t ) + ( e + 8e ) u ( t )
3
=
−1 2 1 1 + − + 3 2 s + 2 ( s + 1) ( s + 1) s + 1
所以
⎡ ⎤ s+3 L −1 ⎢ ⎥ = −e − t + ( t 2 − t + 1) e− t 3 ⎢ ⎣ ( s + 1) ( s + 2 ) ⎥ ⎦ A ⎤ A A A K −1 ⎡ = sin Kt 得 L ⎢ 2 = ⋅ 2 2 2 2 s +K K s +K ⎣s + K ⎥ ⎦ K
2
−1
（15）由
（16）由于 L
⎡ ⎤ s ⎢ ⎥ = 1 t sin Kt 由拉氏变换的积分性质可得 2 ⎢ ( s 2 + 3) ⎥ 2 3 ⎣ ⎦ 3 t sin ( 3t ) − cos ( 3t ) ( 3τ ) dτ = 18 6
⎡ ⎤ t 1 1 ⎢ ⎥= L τ sin ⎢ ( s 2 + 3)2 ⎥ ∫0 2 3 ⎣ ⎦
（5）由 f ( t ) = ( t − 1) u ( t − 1) − ( t − 2 ) u ( t − 2 ) − u ( t − 2 ) 得
{
}
{
}
L⎡ ⎣ f (t )⎤ ⎦= L ⎡ ⎣( t − 1) u ( t − 1) ⎤ ⎦− L ⎡ ⎣( t − 2 ) u ( t − 2 ) ⎤ ⎦− L ⎡ ⎣u ( t − 2 ) ⎤ ⎦ 1 1 1 = 2 e − s − 2 e−2 s − e− s s s s 1 = 2⎡ 1 − (1 + s ) e − s ⎤ ⎦ s ⎣