画法几何 第五章平面的投影

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在特定条件下，平面投影后仍保持其形状和大小的真实性或类似性。
平面投影的平行性
当平面与投影面平行时，其投影为一线段。
平面与投影面的关系
01
02
03
平行关系
当平面与投影面平行时， 其投影是一条直线或一个 点。
垂直关系
当平面与投影面垂直时， 其投影为一个点。
倾斜关系
当平面与投影面倾斜时， 其投影为一条线段。
画法几何第五章平 面的投影
contents
目录
• 平面的投影特性 • 特殊位置平面的投影 • 一般位置平面的投影 • 平面对一个投影面的垂直投影 • 平面对两个投影面的平行投影
01
平面的投影特性
平面投影的基本性质
平面投影的等积性
在投影过程中，平面的面积与其投影的面积相等。
平面投影的真实性和类似性
在建筑设计过程中，常常需要绘制建筑物的平面图，如建 筑物的平面布置、平面尺寸等。利用平面对两个投影面平 行的特性，可以方便地绘制出这些平面图。
用于地理信息系统
在地理信息系统（GIS）中，常常需要绘制各种地图，如 地形图、交通图等。利用平面对两个投影面平行的特性， 可以方便地绘制出这些地图。
THANKS
投影特性
在该投影面上的投影反映该平面的实形，另外两 个投影面上的投影积聚为一直线。
实例
正平面、水平面。
投影面垂直面
定义
01
与一个投影面垂直，与另外两个投影面倾斜的平面。
投影特性
02
在该投影面上的投影积聚为一直线，另外两个投影面上的投影
是该平面的类似形。
实例
03
侧垂面、正垂面。
投影面倾斜面
1 2 3
标注在相应的位置。

a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O

H
3、一般位置直线变成投影面垂直线
• 先将一般位置直线变成 投影面平行线； • 再将投影面平行线变成 X 投影面垂直线。 1 X 2 X • 注意：什么是二次变换？
b a'
2 2
土木工程制图
a' b'
a
b a'
1
b'
1
土木工程制图 4、一般位置平面变成投影面垂直面 • 在一般面上作一投影面平行线，例作一水 平线；
第5章 投影变换—换面法
土木工程制图
教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问 题，一般可以归纳为定位和度量问题。 当几何元素处于一般位置时，为了求 解方便，常采用换面法改变其中的某 些元素与投影面的相对位置，成为有 利于解题的特殊位置。 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的 一般概念及特点，能够使用换面法解 决有关点、直线和平面等几何元素之 间的定位和度量问题。
分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θ。
土木工程制图
a' f'c' e'd' 1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线。
X
V H
土木工程制图
3）求平面的实形： 将平面变成投影面平行面。 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线 与平面交点和两平面交线等： 将一般面变成投影面垂直面。
二、换面法基本方法
土木工程制图
1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处 在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系 中的一个投影面。 2、基本概念：

(3)积聚性与存真性同时存在
Both collecting and true-show type
(5)一般位置平面General position plane/Oblique plane
Z
V
b
X
a
A
a
c
B b
H
C
O
a c
W
c b
Y
一般位置平面投影 Projections oZf General position plane
V 正垂面 V-perp. plane
V
H 铅垂面 H-perp. plane
W 侧垂面 W-perp. plane
b
a c
Z
A
a
X
C O c
B
b
H
a
c
W
b
Y
铅
垂 面 H-perp. plane
Lead
Perpendicular
Plane
plumb line ：a cord from which a metal (lead) weight is suspended pointing directly to the earth's center of gravity; used to determine the vertical from a given point
亲似性
Affinity
b
b
亲似性
Affinity
a
积聚性
c c a
collecting
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
H-perpendicular plane
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。