2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第三章 3.1.1 平均变化率 Word版含答案

3.1.1 变化率问题学习目标1．通过实例分析、了解函数平均变化率的意义．2．会求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．3．掌握求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率的方法与步骤．学习重难点1．求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(重点)2．理解实际问题中的平均变化率．(难点)自学导引1．函数的变化率的定义函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为()()2121f x f x x x --，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，于是平均变化率可以表示为Δy Δx. 即Δy Δx ＝()()2121f x f x x x --＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 称为函数在区间[x 1，x 2]上的平均变化率． 2．平均变化率的计算公式想一想：1.函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率为0，能否说明函数y ＝f (x )没有发生变化？提示 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f (x )＝x 2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f (x )的图象在[－2,2]上先减后增．2．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 、Δy 的值是否可为任意实数？ 提示 否．Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.名师点睛1．关于平均变化率的理解关于函数的平均变化率，应注意以下几点：(1)Δx 是自变量x 2相对于x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx ＝x 2－x 1，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)．(3)在公式Δy Δx ＝()()2121f x f x x x --＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 中，当x 1取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx 取定值，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f (x )为常数函数时，Δy ＝0，则Δy Δx＝0. 2．一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率．3．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能 准确体现函数的变化情况.课堂讲练互动题型一 求平均变化率例1：求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．思路探索：解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式求解．规律方法 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)；(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0；(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.变式1：在例1中，分别求函数在x 0＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小．题型二 求物体运动的平均速度例2：以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为：s (t )＝v 0t －12gt 2. (1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间的平均速度v ；(2)求物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间的平均速度． 思路探索：由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→Δs Δt规律方法 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．变式2：动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt ＝1，(2)Δt ＝0.1，(3)Δt ＝0.01.题型三 平均变化率的实际应用例3：蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率．(2)体温T (t )对时间t 的变化率．审题指导利用平均变化率的定义求解．题后反思：平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．变式3：一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数．试求铁板面积对温度的膨胀率．学习小结：通过本节课的学习，你收获了哪些知识？——★ 参 考 答 案 ★——：题型一 求平均变化率例1：解：函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx ＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.变式1：解：由例题可知，函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx .当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5； 当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5； 当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3. 题型二 求物体运动的平均速度例2：解：(1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt .Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝Δtv 0－gt 0·Δt －12g (Δt )2. v ＝Δs Δt ＝Δt v 0－gt 0·Δt －12g (Δt )2Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . (2)当t 0＝10 s 时，Δt ＝0.4 s ，则物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间的平均速度 v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g . 变式2：解：动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5(Δt )2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)(2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)(3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．题型三 平均变化率的实际应用例3：解： (1)ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10＝12015＋15－1205－1510＝－16 ℃/min. ∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－16 ℃/min.(2)设时间的增量为Δt ，则体温T (t )的改变量为ΔT ＝T (t ＋Δt )－T (t )＝120t ＋Δt ＋5＋15－120t ＋5－15＝－120Δt (t ＋Δt ＋5)(t ＋5)， ∴ΔT Δt ＝－120(t ＋Δt ＋5)(t ＋5). 故体温T (t )对时间t 的变化率为－120(t ＋Δt ＋5)(t ＋5). 变式3：解：设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2， ∴ΔS Δt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .。

k P1P2
f x2 f x1 .
x2 x1
(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不 一定说明函数f（x）没有发生变化. （3）平均变化率的物理意义 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即 v st2 st1 .
【解题指导】
【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
s 3t （t）②2 ， 3… …t ………………………………3分
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案：f(x0+Δx)-f(x0)
1.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
y f x2 f x1 f x1 x f x1 . 式子中的Δx是一个整体
x
x2 x1
x
符号，不是Δ与x相乘.
(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间
t12+t，
4
Δs=
（14 t0+Δt）2+(t0+Δt)-(

“量化”BC段曲线 的陡峭程度吗？
o 1
32
34
t /d
T (℃ )
C (34, 33.4)
30
20 10 A (1, 3.5) 2 0 2
B (32, 18.6)
10
20
30
34
t(d)
气温在区间【1，32】 的平均变化率为:
你能据此归 纳出“函数f(x) y y 1 8 . 6 3 . 51 5 . 1 B A 0 . 5 , 在区间[x ,x ]上 1 2 x x 3 2 1 3 1 B A 的平均变化率” 气温在区间【32，34】 的平均变化率为: 的一般性定义 y y 3 3 . 4 1 8 . 61 4 . 8 吗？ C B
T/oC 33.4
时间
日最高气温
3月18日 4月18日 4月20日 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
联想 直线？ 气温变化慢
C(34,33.4) B(32,18.6)
陡 峭问题3] 你能用数学语言来
18.6
A(1,3.5) 3.5
平缓
xC-xB
气温曲线
[情境1]下图是一段登山路线。
y/m
[ 问题 1] 同样是 登山，但是从 A
yC
登山路线
C
yC-yB
处到 B 处会感觉
比较轻松，而 从 B 处到 C 处会
yB A o [问题2] xB
B
xC-xB
感觉比较吃力。
想想看，为什 么？
xC
x/m
“陡峭” 是生活用语，如何量化线段BC的陡峭程度呢？
[情境2] 下面是 某市2004年3月 18日到4月20日 期间的日最高气 温变化曲线图.

◎一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应 的平均速度为( )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
D．－3Δt－6
【错因】 没有搞清平均变化率，其变化率为
fxx22－ －fx1x1＝ΔΔyx. 【正解】 v ＝5－31＋ΔtΔ2－t 5－3×12＝－3Δt－6.
ΔΔyx＝fxx11－－fx0x0＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
而当 Δx 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变 化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 变化的快慢 .
题目类型一、求平均变化率
例1.求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化 率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
答案： －2，－2
4．求函数 y＝1x当自变量 x 从 x1 变为 x2 时的平均变化率． 解析： 当自变量从 x1 变到 x2 时，函数自变量的改变量为 Δx ＝x2－x1，函数值的改变量为 Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)，所以函数的 平均变化率为 ΔΔyx＝fx1＋ΔΔxx－fx1＝x1＋1 ΔΔxx－x11＝－x1＋1Δxx1.
π
2＝cos
Δx－1 Δx .4
分
由于是在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变化率，可知 Δx 较小，
但 Δx 既可为正，又可为负．
当 Δx>0 时，k1>0，k2<0，此时有 k1>k2；6 分 当 Δx<0 时，k1－k2＝sinΔxΔx－cosΔΔxx－1
＝sinΔx－ΔcxosΔx＋1＝ 2sinΔΔxx－4π＋1，8 分
∵Δx<0，∴Δx－π4<－π4，∴sin(Δx－π4)<－