九年级数学下册第2章圆2.1圆的对称性同步练习1新版湘教版

2.1圆的对称性知|识|目|标1．通过观察生活中的圆形物体和自己画圆，理解圆的有关概念．2．通过测量比较，能判断点与圆的位置关系．3．在复习回顾中心对称与轴对称的基础上，理解圆的对称性.目标一理解圆的有关概念例1 教材补充例题下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤长度相等的弧是等弧．其中错误的说法有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个例2 教材补充例题如图2－1－1所示，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，点A在DC 的延长线上，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．图2－1－1【归纳总结】圆中容易混淆的两组基本概念：(1)弦与直径：①直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；②弦是连接圆上任意两点的线段，但直径是经过圆心的弦．(2)弧与半圆：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫作半圆.目标二能判断点与圆的位置关系例3 教材补充例题2017·陕西模拟⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O内B．点P的⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外【归纳总结】判断点与圆的位置关系的方法：(1)判断点与圆的位置关系的“三步法”：①连接该点和圆心；②计算该点与圆心之间的距离d；③依据圆的半径r与d的大小关系得出结论．(2)点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径的关系，这是从形到数的认识；反过来，也可以通过点到圆心的距离与半径的关系来判断点与圆的位置关系，这是从数到形的认识．目标三理解圆的对称性例4 教材补充例题在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明( )A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴C．圆的直径互相平分D．直径是圆内最长的弦【归纳总结】圆的对称性：(1)轴对称性：圆是对称轴最多的轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，或者说过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．(2)中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．事实上圆绕着圆心旋转任意角度都能和自身重合，圆的这一性质也称为圆的旋转不变性．知识点一圆的定义圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半径．圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心，定点与动点的连线段叫作半径．知识点二点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点与圆的三种位置关系和d与r的大小关系的对应关系如下表：[注意] 符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．知识点三圆的有关概念1．弦、直径弦：连接圆上任意两点的______叫作弦．直径：经过______的弦叫作直径．直径是圆中______的弦．2．弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意________的部分叫作圆弧，简称弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．劣弧：小于半圆的弧是劣弧．优弧：大于半圆的弧是优弧．3．弦与弧的区别：4．把能够重合的两个圆叫作______，把能够互相重合的弧叫作______．知识点四圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆又是中心对称图形，______是它的对称中心．[点拨] “直径是圆的对称轴”这一说法是错误的，因为对称轴都是直线，而直径是线段．1．判断正误：(1)弦是直径；( )(2)半圆是弧；( )(3)长度相等的弧是等弧；( )(4)经过圆内一点可以作无数条直径．( )2．若一个点到一个圆的最短距离为4 cm，最长距离为8 cm，则这个圆的半径为________．答案：6 cm以上答案是否正确？若不正确，请给出正确的答案．教师详解详析【目标突破】例1[解析] C根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；能够互相重合的弧叫作等弧，所以①③⑤的说法是错误的．例2[解析] 已知∠EOD＝78°，与∠A构成了内、外角的关系，而∠E的度数也未知，且AB＝OC这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需作半径OB，从而得到OB ＝AB.解：如图，连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝78°，∴3∠A＝78°，∴∠A＝26°.例3A例4[解析] B根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性．【总结反思】[小结]知识点三 1.线段圆心最长2．两点间 4.等圆等弧知识点四圆心[反思] 1.(1)×(2)√(3)×(4)×[解析] 直径是弦，但弦不一定是直径，故(1)不正确；弧包括半圆、优弧和劣弧，故(2)正确；等弧是能够重合的弧，故(3)不正确；经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心)，故(4)不正确．反思：要切实去掌握弦、直径、弧、等弧等各种概念的包含关系与成立条件．2．不正确．当点P在⊙O内时(如图①)，此时PA＝4 cm，PB＝8 cm，AB＝12 cm，因此圆的半径为6 cm；当点P在⊙O外时(如图②)，此时PA＝4 cm，PB＝8 cm，直线PB过圆心O，直径AB＝PB －PA＝8－4＝4(cm)，因此圆的半径为2 cm.所以这个圆的半径为6 cm或2 cm.图①图②反思：在没有图形的情况下要进行分类讨论．。

章节测试题1.【答题】下列说法错误的是（）A. 圆有无数条直径B. 连接圆上任意两点之间的线段叫做弦C. 过圆心的线段是直径D. 能够完全重合的圆叫做等圆【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，所以选项C错误，选C.2.【答题】用12.56分米长的铁丝围成下面图形，（）面积最大。

A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形【答案】C【分析】算出各图形的面积比较即可解答即可.【解答】在周长一定的情况下，所围成的平面图形的面积从大到小依次是圆、正方形、长方形、三角形，即越接近圆面积越大．选C.3.【答题】下列说法中，不正确的是（）A. 过圆心的弦是圆的直径B. 等弧的长度一定相等C. 周长相等的两个圆是等圆D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧【答案】D【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】解：A、过圆心的弦是圆的直径，说法正确；B、等弧的长度一定相等，说法正确；C、周长相等的两个圆是等圆，说法正确；D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧；选D.4.【答题】下列命题中正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，选A.5.【答题】半径为5的圆的一条弦长不可能是( )A. 3B. 5C. 10D. 12【答案】D【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度.选D.6.【答题】在以下所给的命题中，正确的个数为（）①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，故④正确；长度相等的两条弧不一定能够重合，故⑤错误．选C.7.【答题】下列说法，正确的是( )A. 半径相等的两个圆大小相等B. 长度相等的两条弧是等弧C. 直径不一定是圆中最长的弦D. 圆上两点之间的部分叫做弦【答案】A【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】A选项中，根据“半径确定圆的大小”分析可知，A正确；B选项中，根据“等弧的概念”分析可知：长度相等的两条弧不一定能够重合，故B 错误；C选项中，根据“三角形的两边之和大于第三边”，可以证明直径是圆中最长的弦，故C错误；D选项中，因为“圆上任意两点间的部分叫弧”，故D错误．选A.8.【答题】把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据圆的面积公式解答即可.【解答】设原来的圆的半径为r，则面积S1=πr2，∴半径缩小到原来的后所得新圆的面积，∴ .选D.9.【答题】⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为( )A. a>bB. a≥bC. a<bD. a≤b【答案】B【分析】根据圆的相关概念解答即可.【解答】∵直径是圆中最长的弦，∴.选B.10.【题文】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【答案】20㎝．【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，根据题意得出四边形ABCD为矩形，根据垂径定理得出PA=8cm，PE=4cm，然后根据Rt△AOP的勾股定理求出OA的值，从而得出圆的直径.【解答】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．11.【题文】如图，已知在⊙O中，AB,CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段.（1）求圆心O到CD的距离；（2）若⊙O的半径为8cm，求CD的长.【答案】（1）3（2）【分析】根据垂径定理解答即可.【解答】（1）根据垂径定理，得AM=7，因为AE=4，所以EM=ON=3（2）连接OD,ND=，所以CD=12.【题文】如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．【答案】（1）OM=1；（2）CD=【分析】（1）作辅助线；首先根据题意求出ON，根据30°角的直角三角形的性质即可求得OM；（2）借助勾股定理求出CM的长度，即可解决问题．【解答】解：∵AB=10，∴OA=5，∵ON：AN=2：3，∴ON=2，∵∠ANC=30°，∴∠ONM=30°，∴OM=ON=1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2=CO2-OM2=25-1=24，∴CM=2，∴CD=2CM=4．13.【题文】如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？（）【答案】不采取紧急措施,理由见解析.【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON=R-4，OM=R-18．根据垂径定理求得AM的长，在直角三角形AOM中，根据勾股定理求得R的值，在直角三角形A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断．【解答】解:不采取紧急措施。

2.1圆的对称性同步练习题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共10题；共30分）1.下列说法中，不正确的是（）A. 过圆心的弦是圆的直径B. 等弧的长度一定相等C. 周长相等的两个圆是等圆D. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧2.下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个3.下列命题中，是真命题的为（）A. 三个点确定一个圆B. 一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径C. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 同弧所对的圆周角与圆心角相等4.⊙O中，直径AB=a，弦CD=b，则a与b大小为（）A. a＞bB. a≥bC. a＜bD. a≤b5.已知⊙O中，=2，则弦AB和2CD的大小关系是（）A. AB＞2CDB. AB=2CDC. AB＜2CDD. 不能确定6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积为( ).A. πB. 3πC. 6πD. 9π7.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BA C=20°，则∠BDC=（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°8.如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A. AB+CD=EFB. AB+CD＞EFC. AB+CD＜EFD. 不能确定9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（）A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°10.如图点A，D，G，B在半圆上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a, EF=b, NH=c,则下列说法正确的是（）A. a＞b＞cB. a＝b＝cC. c＞a＞bD. b＞c＞a二、填空题（共8题；共24分）11.将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是________．12.已知线段AB=6cm，则经过A、B两点的最小的圆的半径为________．13.如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角等于________度.14.如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=________度．15.如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝________．16.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC 与点E．则的度数为________．18.如图，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是________度．三、解答题（共9题；共66分）19.如图，已知AB，CB为⊙O的两条弦，请写出图中所有的弧．20.如图，AD=CB，求证：AB=CD．21.如图，在⊙O中，AD是直径，弧AB=弧AC，求证：AO平分∠BAC．22.如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.23.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70°．求∠EOC的度数．24.如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．25.如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．26.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．（1）求∠AOB的度数;（2）求∠EOD的度数．27.我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D．（1）求证：AB＝CD；（2）若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．答案一、单选题1. D2. B3. C4. B5. C6. D7. B8. B9. A 10. B二、填空题11. 140°12. 3cm 13. 12 14. 144 15.40°16. 2 17. 34°18. 20三、解答题19.解：图中的弧为20.证明：∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA）．∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．21.解：∵弧AB=弧AC，∴∠AOB=∠AOC，在△AOB与△AOC中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，∴△AOB≌△AOC（SAS）. ∴∠OAB=∠OAC.∴AO平分∠BAC.22.解：在☉O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,∴∠FO D=∠AOC=∠BOE.∴= = ,∴AC=EB=DF.23.解：连接OE，∵的度数为70°，∴∠AOC=∠BOD=70°，∵CE∥AB，∴∠BOD=∠C=70°，∵OC=OE，∴∠C=∠E=70°，∴∠EOC=180°﹣70°﹣70°=40°24.证明：连接AC、BD，∵C、D是弧AB的三等分点，∴AC=CD=DB，∵∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AEC=∠EAO+∠AOE=45°+30°=75°，∴∠AEC=∠OCA,∴AE=AC，同理可得：BF=BD，∴AE=BF=CD.25.证明：如图，∵AB∥CE，∴∠ACE=∠BAC．又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠C=∠CAD，∴ = ，∴ + = + ，∴ = ，∴AD=CE26.（1）解：连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°（2）解：∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．27.（1）证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，∴AB＝CD （2）解：上述结论成立．当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，∴PB＝PD，即AB＝CD。

第2章圆 2.1 圆的对称性1. 下列命题中正确的有()①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为()A.38°B.52°C.76°D.104°3.若⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O内B.点P在⊙O外C.点P在⊙O上D.点P在⊙O内或在⊙O外4.对于下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理5. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.不能确定6. 已知两个同心圆的圆心为O，半径分别为2和3，且2＜OP＜3，那么点P在()A.小⊙O内B.大⊙O内C.大⊙O外D.小⊙O外大⊙O内7. 下列说法中，正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧B.优弧一定大于劣弧C.不同的圆中不可能有相等的弦D.直径是弦且是同一个圆中最长的弦8.下列命题中，不正确的是()A.圆的对称轴是直径B.圆是轴对称图形C.圆是中心对称图形D.圆的对称中心是圆心9. 点在圆上、点在圆内、点在圆外.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则当d r时，点P在⊙O内；当d ＝r时，点P在⊙O上；当d r时，点P 在⊙O外.10. 到已知点A的距离等于3cm的所有点组成的图形是.11. 以(3,0)为圆心，5为半径画圆，则圆与x轴的交点坐标为.12. .图中是⊙O的直径；弦有；劣弧有；优弧有.13. 已知⊙O的半径是5cm，AB是⊙O的一条弦，设其长度为xcm，则x的取值范围是.14. P是⊙O内一点，它到圆周上最近的距离是4cm，最远的距离是10cm，则这个圆的半径是cm.15. 已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，则点P与⊙O的位置关系是.16. 如图所示，已知OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点.求证：AD＝BC.17. 如图所示，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于B、E，AB 等于⊙O的半径，∠DOE＝78°.求∠A的度数.18. 在⊙O中，直线AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ长；(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.答案：1---8 ACABC DDA9. ＜＞10. 以A为圆心、3cm为半径的圆11. (8,0)，(－2,0)12. AC AB、BC、AC13. 0＜x ≤1014. 715. 点P 在⊙O 外部16. 解：∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴OA＝OB ，又∵C、D 分别是OA 、OB 的中点，∴OC＝OD.在△OAD 与△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ OA ＝OB ∠O＝∠OOD ＝OC ，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴AD ＝BC.17. 解：设∠A＝x°，∵AB＝OB ＝OE ，∴△ABO、△OBE 都是等腰三角形，∴∠BOA＝∠A＝x°，∴∠OBE＝2x°，∴∠E＝2x°.由：∠DOE＝∠A＋∠E，得78°＝x ＋2x ，x ＝26°.答：∠A 的度数为26°.18. 解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB.在Rt△OPB 中，OP ＝ 3.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－32＝6；(2)∵PQ 2＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，∴当OP 最小时，PQ 最大，此时，OP ⊥BC ，∴OP ＝12OB ＝32，∴PQ 长的最大值为9－322＝332.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。