初中数学九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆练习新版湘教版0918199.docx

2.4 过不共线三点作圆知|识|目|标1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一过平面内的点作圆例1 教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )图2－4－1A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．目标二理解三角形的外接圆例2 教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．图2－4－2【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．例3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图2－4－3A ．第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径．已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．知识点一 过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆．[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．知识点二 三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，△ABC 外接圆的半径为5，求AB 的长．图2－4－4解：如图2－4－4，连接OB ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD 垂直平分BC ，∴BD ＝12BC ＝4. 在Rt △OBD 中，OD ＝OB 2－BD 2＝52－42＝3，∴AD ＝AO ＋OD ＝5＋3＝8.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝82＋42＝4 5.以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 C例2 解：(1)如图所示．(2)如图，在优弧BC 上任取一点D ∵∠BOC ＝128°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝64°， ∴∠BAC ＝180°－∠BDC ＝116°.例3 A备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用例 如图①，△ABC 内接于⊙O ，AD 为边BC 上的高．(1)若AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，求⊙O 的直径AE ；(2)若AB ＋AC ＝10，AD ＝4，求⊙O 的直径AE 的最大值，并指出此时边AB 的长．[解析] (1)需要找到AB ，AC ，AD ，AE 之间的数量关系，连接BE ，则∠ABE ＝90°＝∠ADC ，∠E ＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE ∽△ADC ，可得AB ∶AD ＝AE ∶AC ，进而求出AE 即可；(2)根据已知得出AC ＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将AE 转化为关于AB 的二次函数，最值可求．解：(1)如图②，连接BE.∵AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE ＝90°＝∠ADC.又∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC， ∴AE ＝AC·AB AD ＝4×63＝8. (2)∵AB ＋AC ＝10，∴AC ＝10－AB.设AB ＝x ，AE ＝y ，∵AD ＝4，由(1)中AB AD ＝AE AC，得y ＝x （10－x ）4＝－x 24＋52x ＝－14(x －5)2＋254， ∴⊙O 的直径AE 的最大值为254，此时边AB 的长为5. [归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．【总结反思】[小结] 知识点二 三条边的垂直平分线[反思] 不完整．补充：若△ABC 是锐角三角形，则AB ＝4 5；若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接OA ，OB ，OA 交BC 于点D.此时AD ＝OA －OD ＝5－3＝2.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝22＋42＝2 5.∴AB 的长为2 5或4 5.。

2.4 过不共线三点作圆基础题知识点1 过不共线三点作圆1．下列条件中，可以画出唯一一个圆的是(C)A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是(B)A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块3．(教材P63练习T2变式)某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹)解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．知识点2 三角形的外接圆、外心4．三角形的外心是(B)A．三角形三角平分线交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是(B)A．40°B．50°C．60°D．100°6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是(A)A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3)B．(3，2)C．(1，3)D．(3，1)8．如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部．易错点 概念不清9．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中正确的是②．(填序号) 中档题10．(内江中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为(C) A. 3B ．3C ．2 3D ．411．(2017·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为5.若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为(D) A ．5B.532C ．5 2D ．5 312．(2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC ＝5 cm ，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸313．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．(1)点A ，B ，C 能确定一个圆吗？说明理由；(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置； (3)写出圆心P 的坐标，并求出⊙P 的半径．解：(1)点A ，B ，C 能确定一个圆，理由是点A ，B ，C 不在同一条直线上． (2)如图．(3)由AB 的垂直平分线，BC 的垂直平分线的交点，得圆心P 的坐标是(2，0)． 半径的长为42＋22＝2 5.14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若△AB C 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)略．(2)∵∠BAC＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC＝10米，△ABC 外接圆的半径为5米． ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 综合题15．阅读材料，解答问题：命题：如图1，在锐角△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ，则a sinA ＝bsinB ＝csinC＝2R.证明：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接DB ，则∠D＝∠A.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC 中，sin∠D＝BC DC ＝a 2R ，所以sinA ＝a 2R ，即a sinA ＝2R ，同理，b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R ，asinA ＝b sinB ＝csinC＝2R. 请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题： (1)前面阅读材料中省略了“b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R”的证明过程，请你把“b sinB＝2R”的证明过程补写出来；(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图2，已知在锐角△ABC 中，BC ＝3，CA ＝2，∠A＝60°，求△ABC 的外接圆半径R 及∠C.图1 图2解：(1)证明：连接AD ，则∠ABC＝∠ADC. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC＝90°.在Rt△DAC 中，sin∠ADC＝AC DC ＝b2R .∴sin∠ABC＝b 2R ，即bsinB ＝2R.(2)由命题结论知，BC sinA ＝ACsinB ，∴3sin60°＝2sinB.∴sinB＝22. ∵BC＞CA ，∴∠A＞∠B.∴∠B＝45°.∴∠C＝75°. 由3sin60°＝2R ，得R ＝1.。