传热学60-第四章 导热问题的数值解法

基本泰勒 展开式
一阶导数
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i, j
x 3
3!
t i 1,
j
ti,
j
t x
i,
j
x
2t x 2
i, j
x 2
2!
3t x 3
i,
j
x 3
3!
二阶导数中心差分
向前 差分
向后 差分
中心 差分
t x
i, j
F
o
a
x2
稳定性条件 14Fo0
11
隐式格式
tin1,j tin,j y tin1,j tin,j y tin,j1 tin,j x tin,j1 tin,j x
x
x
y
y
c x y tin,j tin,j1
或 xy 时：
14Fotin,j Fo tin1,j tin1,j tin,j1tin,j1 tin,j1
ti1, j ti, j
x
Ox
2t x 2
i, j
ti1, j
ti1, j
x 2
2ti, j
O
x 2
t x
i, j
ti, j
ti1, j
x
Ox
同理，y方向二阶导数中心差分
t x
i, j
ti1, j ti1, j
2x
O
x 2
2t y 2
i, j
ti, j1 ti, j1
tin,j1 Fo 2tin1,j tin,j1tin,j12Bit f 14Fo2BiFotin,j

——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程

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2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
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(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
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绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y

t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y

（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤: