《不等关系与不等式》参考教案1
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3.1 不等关系与不等式
第一课时
一、教学目标
1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.
2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质
量。
二、教学重、难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
三、教学过程
（一）[创设问题情境]
问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，
怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
2.5
80.2
0.1
x
x
-
⎛⎫
-⨯
⎪
⎝⎭
万元。
那么不等关系“销
售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式
2.5
80.2
0.1
x
x
-
⎛⎫
-⨯
⎪
⎝⎭
≥20
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
5006004000 3
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪≥
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
[练习]：第74页，第1、2题。
提问：除了以上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？
归纳：
文字语言与数学符号间的转换.
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于> 至多≤
小于< 至少≥
大于等于≥不少于≥
小于等于≤不多于≤
（二）典例分析
例1：某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，
现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、
米饭y百克，试写出,x y满足的条件．
例2：配制,A B两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B药需甲料5毫克，乙料4毫克。
今有甲料20毫克，乙料25毫克，若,A B 两种药至少各配一剂，则,A B两种药在配制时应满足怎样的不等关系
（三）知识拓展
1．设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。
不等式是否也有类似的性质呢？
从实数的基本性质出发，实数的运算性质与大小顺序之间的关系：对于任意两个实数a,b,
如果a>b,那么a-b 是正数; 如果a<b,那么a-b 是负数; 如果a-b 等于0. 它们的逆命题也是否正确？
(1)0;
(2)0;(3)0
a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<
2．例3、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.
例4、已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.
归纳：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结论．
（四）课堂小结
1．通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法——求差比较法．
（五）作业： 比较a m
b m ++与a
b （其中0b a >>，0m >）的大小 解：()()()
()()a m a b a m a b m m b
a b m b b b m b b m ++-+--==+++，
∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a
b m b +>+． 说明：不等式a m
a
b m b +>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：
b 克糖水中有a 克糖
（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了．
第二课时 一、教学目标
（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质；
（2）会将一些基本性质结合起来应用.
（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 二、教学重、难点
重点：理解不等式的性质及其证明.
难点：利用不等式的基本性质证明不等式。
三、教学过程 （一）复习提问
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 其数学含义：
(1)若a ＞b ， 则a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ；
(2)若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，
c a ＞c
b ； (3)若a ＞b ，
c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b .. （二）新授
常用的不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>, （对称性） （2）c a c b b a >⇒>>, （传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>, （可加性）
（4）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （可乘性）
（5）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式的可乘性）
（6）n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性） 例1：已知0,0,a b c >><求证：
c c a b
>
例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及y
x 的取值范围. ∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32，
∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６；
∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10；
.82145,16
422430<<<<y x y x 即
例3．已知22π
βαπ
≤<≤-，求2,2β
αβ
α-+的取值范围。
（三）随堂练习1、教材P74面第3题
2、回答下列问题：
(1)如果a ＞b ，c ＞d ，是否可以推出ac ＞bd ?举例说明；
(2)如果a ＞b ，c ＜d ，且c ≠0，d ≠0，是否可以推出b
c a c >？举例说明. 3．若0 b a ，则下列不等式总成立的是（ C ）
A ．11++a b a b
B 。
b b a a 11++
C 。
a b b a 11++
D 。
b
a b a b a 22++ 4．有以下四个条件：b a a b >>0)2(0)1( （3）b a >>0；（4）0>>b a 其中能使b
a 11>成立的有 3 个 5．若a 、
b 、
c R ∈，a>b,则下列不等式成立的是（ C ）
A ．b a 11>
B ．22b a >
C ．1
122+>+c b c a D ．c b c a > 6．22π
βαπ
βα<<<-满足若、，则βα-的取值范围是（ B ）
A ．πβαπ<-<-
B ．0<-<-βαπ
C ．22π
βαπ
<-<- D ．02<-<-βαπ
（四）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。
