第7章 拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算 328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N ，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N ．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法． 7.1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，若广义积分dte tf pt ⎰∞+-0)(在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作)(P F ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()(（7-1）称（7-1）式为函数)(t f 的拉氏变换式，用记号)()]([P F t f L =表示．函数)(P F 称为)(t f 的拉氏变换(Laplace) (或称为)(t f 的象函数)．函数)(t f 称为)(P F 的拉氏逆变换（或称为)(P F 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求)(t f 在0≥t 时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0<t 时，0)(=t f ． （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数at t f =)(（a t ，0≥为常数）的拉氏变换．解⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p ．7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(t i ，以)(t Q 表示上述电路中的电量，则⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0≠t 时，0)(=t i ；当0=t 时，∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数． 定义设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(，当ε→0时，)(t εδ的极限)(lim )(0t t εεδδ→=称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为-δ函数． 当0≠t 时，)(t δ的值为0；当0=t 时，)(t δ的值为无穷大，即⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ．)(t εδ和 )(t δ的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何0>ε，有11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ，所以1)(=⎰∞+∞-dt t δ．工程技术中，常将-δ函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将-δ函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示-δ函数的积分，叫做-δ函数的强度．例7-2 求)(t δ的拉氏变换． 解 根据拉氏变换的定义，有dte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ00001lim0lim)1lim ()()]([ 11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ，即1)]([=t L δ．例7-3 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u 的拉氏变换．解 pe p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰，)0(>p ．例7-4求指数函数ate tf =)(（a 为常数）的拉氏变换．解dt e dt ee e L t a p ptat at⎰⎰∞+--∞+-=⋅=)(0][)(1a p a p >-=，即)(1][a p a p e L at >-=． 类似可得)0(][sin 22>+=p p t L ωωω；)0(][cos 22>+=p p pt L ωω．习题7–1求1-4题中函数的拉氏变换 1．t e t f 4)(-=． 2．2)(t t f =． 3．atte t f =)(4．ϕωϕω，()sin()(+=t t f 是常数）．7.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．性质 1 (线性性质) 若 1a ，2a 是常数，且)()]([11p F t f L =，)()]([22p F t f L =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=．（7-2）证明dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）)1(1)(at e a t f --=； （2）t t t f cos sin )(=．解（1）)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----． （2）412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L ． 性质2（平移性质） 若)()]([p F t f L =，则)()]([a p F t f e L at-= （a 为常数）．（7-3）证明 ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat at．位移性质表明：象原函数乘以ate 等于其象函数左右平移a 个单位．例7-6 求 ][at te L ，]sin [t e L at ω-和 ]cos [t e L atω-．解 因为21][p t L =，22][sin ωωω+=p t L ，22][cos ωω+=p pt L ，由位移性质即得。
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、 收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分 布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉 斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义 单边拉普拉斯变换：st正变换 [f(t)] F(s) 0 f(t)e dt双边拉普拉斯变换:的收敛域。
0与函数f(t)的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质逆变换[F(s)] f(t)stF(s)e正变换F B(S )f(t)edt1 jst逆变换 f(t)2 jjF B(s)eds(2)定义域若0 时，lim f (t)et0则St 「 ” ”t ”f(t)e 在0的全部范围内收敛，积分0就是f(t)的单边拉普拉斯变换st[f2(t)] F2(S) , 1 , 2 为常数(2 ) 原函数微分若[f (t)] F(s)则[響]sF(s) f(0 ) dt[d df>] s n F(s) n1s nr1f(r)(0 ) dt r 0r式中f⑴(0 )是r阶导数在0时刻的取值。
dt r(3)原函数积分(4)延时性F (s)，则[f(t t°)u(t t。
)] e st0F(s)(5)s域平移at若[f (t)] F (s)，则[f(t)e ] F(s a)(6)尺度变换1 s若[f (t)] F (s)，则[f (at)] F( )( a 0)a a(7)初值定理lim f (t) f(0 ) limsF(s)to s(8)终值定理lim f (t) lim sF(s)t s(9)卷积定理若[f1(t)] F1(s)，[f2(t)] F2(S)，则有[f1(t) f2(t)] F1(S)F2(S) (1) 线性性［仏“⑴］1 1肓[h(s) F2(s)] = ^-j.h(p)F2(s p)dpj[i f l(t) 2f2(t)] 1F1(S) 2F2(S)t若[f (t)] F (s)，则[f(t)dt] F(s)s3 式中f(D(0)s f(t)dt若[f (t)]3.拉普拉斯逆变换(1 ) 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将F (s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数 f (t)。
