华东理工大学本科生线性代数第八册

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华东理工大学本科生线性代数第六册

知（1）秩为 2，可取 1 , 2 为一个最大无关组；
1 0 由初等行变换的结果矩阵 0 0 1 1 1 2 ，知 0 0 0 0 0 0 0 2
（2）
3 21 2 , 4 1 2 2 .
（3）
为构成 R 4 的一个基，只需加入两个向量 1 , 2 ，使
k 0 k1 k 2 k n 1 k n 0 ，这说明 n+1 个向量 x, Ax, A2 x,
,
5
An 1 x, An x 是线性无关的，而这显然与“n+1 个 n 维向量必线性相
关”矛盾，故说明假设错误，即只有 An x 0 . 综合上述，知 An x 0与An 1 x 0 同解，进而有 r ( An ) r ( An 1 ) . 4.4 线性方程组解的结构 1．填空题 (1) 已知方程组 Ax b 有通解 x 1 0 1T t 1 2 3T , (t R), 则
T T
3 0 , 1 , 1T .
解：由于 V 是向量组 1 , 2 , 3 的生成子空间，故 V 的基及维数完全等价于向量组 1 , 2 , 3 的最大无关组及秩.由
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 , 2 , 3 1 0 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 4 3 1 0 1 1 0 0 0
T
）是 Ax 0 的解.
（B） 1 2 3 ；（D） 1 2 3 .
T
，
x 2 2 , 1 , 1 , 4 , 0 ， x3 2 , 8 , 1 , 1 , 1 ，试求该方程组的通解.

华东理工线性代数1-5初等变换 (2)

( 3 ) 把第 i 行 (列）的 k 倍加到第
记作 rij ( k（ cij ( k )) )
j 行（列） ,
定义2 初等行变换与列变换统称为初等变换
初等变换的逆变换仍为初等变换
rij
逆变换逆变换逆变换
ri (λ )
rij ( k )
rij 1 ri ( ) ;
λ
rij ( − k ) .
I
I
以 Rij ( k ) 左乘矩阵 A，得 a12 ⎛ a11 ⎜ M M ⎜ ⎜ a ai 2 i1 ⎜ M M Rij ( k ) A = ⎜ ⎜ a + ka a j 2 + kai 2 j1 i1 ⎜ M M ⎜ ⎜ a am 2 ⎝ m1
⎞ ⎟ M ⎟ ain ⎟ L ⎟ M ⎟ L a jn + ain ⎟ ⎟ M ⎟ L amn ⎟ ⎠
第一章矩阵
第五节
初等变换和初等矩阵
一、初等变换的引入 − −方程组的同解变换
二、矩阵的初等变换
三、初等矩阵的概念四、初等矩阵的应用五、小结、思考题
一、初等变换的引入-----方程组的同解变换
引例求解线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0 ⎪ 3 x1 + x2 = −1 ⎨ ⎪ − x − x − 2x = 1 1 2 3 ⎩
L
a1n
以 C ji ( k ) 右乘矩阵 A
AC ji ( k )
⎛ a11 L a1i + ka1 j L a1 j L a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a21 L a2 i + ka2 j L a2 j L a2 n ⎟ =⎜ L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎜a L ami + kamj L amj L amn ⎟ ⎠ ⎝ m1

10级华东理工大学本科生线性代数第三册

a b c d a D2 n =
⋱ ⋰
b a b c d
⋰ ⋱ =
a b D = (ad − bc ) D2 n− 2 c d 2 n− 2
c
d
= (ad − bc ) 2 D2 n − 4 = ... = (ad − bc ) n −1 D2 = (ad − bc ) n . 2.5 行列式的应用 1.设 A, B 为 n 阶方阵,则( )成立 .
1 ⋯ 1
1 1 ⋮ 1
1 Dn = ⋮ 1
n
n ⋮ n ⋯ 1 1 ⋯ 1
1 ⋯ ⋮ ⋱
1 1 ( n −1) n ⋮ = ( −1) 2 ⋮ 1 1 1 1
n ⋮ 1 1
⋯ 1 ⋱ ⋮ ⋯
n ⋯ 1
n
2n − 1 1 ⋯ 1 = ( − 1)
( n −1) n 2
1 1 ⋮ 1
2n − 1 n ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2n − 1 1 ⋯ n 2n − 1 1 ⋯ 1
⎞ A ⎟ − 12 A* . ⎠
1 1 ∗ = , 及 A−1 = A ,得 9 A
4
次多项式.
a b 0 2．已知 a、b 为整数，且满足 − b a 0 =0，求 a 和 b. 1000 1 8
解： 8a 2 − − 8b 2 = 0
∴a = b = 0
(
)
2.2 n 阶行列式的展开 1. 已知四阶行列式 D 之值为 92 ，它的第 2 行元素依次为 1, 0, t + 3, 2 ，且第 2 行元素的余子式分别为 1,3, −5, 2 ，则
2 = 9⎡ ⎣ a1 , a2 , 2β1 + a1 , a2 , −5β 2 ⎤ ⎦ = 9⎡ ⎣ 2 A + (−5) | B |⎤ ⎦ = 9⎡ ⎣ 2 − 5 × 3⎤ ⎦ = −99 .

资料：华东理工大学本科生线性代数第二册

华东理工大学线性代数作业簿（第二册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设002000030400100A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ).(A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭.解：D .3. (1) 设10a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求nA ；(2)设2100020000310003C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n C . 解：(1) 10100aA aI a ⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 2010101,000000B B O ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以110()nn nni in inn nni a n a A C B aI a I n a B a ---=⎡⎤⋅==+⋅=⎢⎥⎣⎦∑， (2)将C 分块得：12C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中122131,,0203C C ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是由(1)得11122200020003303n n n nn n n n n n CC C n --⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦.4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ，B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20001310211A . 6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1)计算,,i j i j e A Ae e Ae T T，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列；(2)试证：对任一m 维列向量,0x x A A O T =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0x A y A O T =⇔=. 解：（1）[]1212,,,,,,,,Ti i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a TT⎡⎤===⎣⎦(2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]12,,...,0i i i im e A a a a ==T ，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒” 由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =. 7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量T [1,1,,1]=α，(1)计算A α； (2)若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c .解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n kk n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα(2)由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块矩阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，并对其进行初等行变换2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+，求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201111100100121111~010~010111222001132113001222A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.已知123001100456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ =.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（）. (A ) 12APP B =；(B ) 21AP P B =；(C ) 12PP A B =；(D ) 21P PA B =. 解：C .5. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.6. 已知1231021001010,001,20010101P P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求1123()PP P -.解：1111123321110210010211()00101000.220100011010PP P P P P -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆；（2）求1AB -；（3）试证1A -交换i 、j 列后可得矩阵1B -.解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1），得11ij B A R --=，而ij ij R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B --.。

华东理工大学线性代数册答案届版

华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院__________ 专业____________ 班级_______________ 学号__________ 姓名____________ 任课教师___________ 1.1 矩阵的概念1. 矩阵 A a ij 2i j 2 3.解：A2．设1 0 00 1 0 0 3 0 05 2A ,B 0 1 0 0 ,C 2 3 0, D0 3 00 40 0 10 0 4 1 0 0 3其中对角阵为___ ，三角阵有_解：对角阵为D；三角阵有A，C， D.1.2 矩阵的运算3 1 1 2 1 11. 已知2 3X O ，求矩阵X .2 0 23 1 1解：依题意，由3X 6422421311 4 3 3，1 1 1 5 ，41 1即得X 31 13 32. 如果矩阵A m n 与B t s 满足AB BA，试求m,n,t,s 之间的关系解：m nt s.3. 填空：4 3 1 7(1) 1 2 3 25 7 0 11(2) 1, 2, 3 23 ___________1(3) 2 1, 2 ;3__________________1 3 1214 0 0 1 2(4)1 1 3 4 1 3 14 0 235 1 2解：(1) 6 ；(2) 14；(3) 2 4 ；(4) 6 7820 5649 3 60104. 已知矩阵 A 0 0 1 ，试求与 A 可交换的所有矩阵 000解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 abc其为 B d e f ，于是有ghi010aAB 0 0 1 d000g abc0BA d e f 0ghi0def由 AB BA ，即得 g h i000由相应元素相等，则得 d gabc故 B 0 a b （a,b,c 均为任意常数）为与 A 可交换的所有矩阵00a2a 33x 3 (a 12 a 21 )x 1x 2 (a 13 a 31) x 1 x 3 (a 23 a 32)x 2x 33 阶方阵，不妨设b c d e fe f = ghi ，h i 0 0 0 1 0 0 a b 0 1 0 d e ， 0 00 g h0ab0 d e ，0gh h 0,a e i,b f ,a 11 a 12 a 13 x 1(1)x 1, x 2, x 3 a 21a 22 a 23 x 2 ；a 31a 32a 33x 35. 计算下列各题：解：原式等于： 2 a11x1 2 a22x21 33(2) A，求A 2008解：记 A，则A 2A 3 ，Q 2008 3669(3) 解： A9 200820071,1,13)669A .A 9.1,1,1 23 1,1,1 2328A2561 26. 利用等式17 62 3 2 0 7 335 1257 0 3 5 273 2 31 0,5 2 5 70 1,计算 1756.3512 .55解： 176 2 3 2 0 73 3197 12663512 5 7 0 3 527385 29227. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000人，若每年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训，同时又有 60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令资料个人收集整理，勿做商业用途0.7 0.6 8000 A , X0.3 0.42000试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人 . 解：一年后职工状况为： AX 3200不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.6800 2 6680 两年后职工状况为： A A 2 X3200 3320不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人. 218. 设矩阵 A 24 12 ，B求:(1) A T B T B T A T ; (2) A 2 B 2.解： (1) A T B T B T A T10 20 0 0 10 20 5 10 0 0 5 10 (2) A 2 B 22 1 2 13 1 314 24 2 6 2 620 0 15 5 15 5.0 0301030 10 .9. 设 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，则( )是反对称矩阵(A ) AB BA; (B ) AB BA; (C ) (AB)2 ; (D ) BAB . 解：B.1 2 110．试将矩阵 A 3 0 12 23 解：11. 设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵的充分必要条件为 AB BA. 证：必要性 :由(AB)Τ AB 及(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA 即得 AB BA. 充分性: 若 AB BA ，则(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA AB ，知 AB 是反对称阵 .表示成对称矩阵与反对称矩阵之和11A 12(A A T ) 12(A A T )1 5 3 0 1 12 2 2 2 53 1 0122 223 331 12 22212. 设 f (x) a m x m项式，f (A)1)2) 设A解：(1)f(a mm1am 1 1m a m 1xm a m A1L a1xm1a m 1A L证明 f (证明f (A)a0，记 f (A) 为方阵A的多a1A a0If ( 1)f ( 2)Pf ( )Pf(1) 0f ( 2)2) A A kf(A) f(P 1)Pf ( )P 13．设矩阵A a 1a m Pm11m12a1a1001aam 1m12 a1 a0k P 1mP1ma m 1P1P1a1P a0PP 1T2 T ，其中I 为n 阶单位阵，为n 维列向量，试证 A 为对称矩阵，且A2 I .证：A T(I 2 T )T I T2( T )T T2(T)T I 2 T 故 A 是对称矩阵，且T 2A2（I 2 T ）（IT2T) 4T4 (( T T ))2 T I .(T)21.3 逆矩阵1. 设A为n 阶矩阵，且满足A2A ，则下列命题中正确的是（）.A) A O ；B) A I ；（C）若 A 不可逆，解：D.则A O ；（ D ）若 A 可逆，则A I.2. 设n阶矩阵A、（A）CA2B B、I；C 满足ABAC I ，则必有（）.（B）A T B T A T C T I ；（C）解：B.BA2C I；D)A2B2A2C2I .3．已知矩阵A 111111111111111，求A n及A 1（n是正整数）.11证：由A2 4I ，即可得nnA n (A 2)2(4I)2 2nI, n 为偶数 An 1A n 1A (4I) 2 A 2n 1A, n 为奇数及 A (1A ) I ，亦即 A 1 1A . 444. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A 3I O ，求: A 1, (A 2I) 1, (A 4I) 1.( A 2I ) 解：依题意，有 A (A 2I ) 3I ，即 A(A 2I)I ，故311A 1 (A 2I )；( A 2I )1A ，33再由已知凑出 (A 4I)(A 2I) 5I ，即得11(A 4I) 1 1(A 2I).55. 设 A 、 B、ABI 为同阶可逆阵，试证： (1) A B 1 可逆；(2) AB 11A 1也可逆，且有AB1111A 1ABA 证：(1) AB 1ABB 1B 1(A B I)B1A B 1 可逆(2)证法一：AB 11A 1A B11A B11A B 1 A 1AB11I IB1A 1AB A B 1(ABAA)1AB 11A 1可逆，且 AB 1 1A 11ABA A .证法二：由（1）得 AB 11B(AB I） 1 ，因此1A B 1 A 1(ABA A) B(AB I) 1 A 1 (ABA A) 11B(AB I) 1(AB I)A A 1A(BA I) BA BA I I1 1 1 11A B 1 A 1可逆，且 A B 1 A 1 ABA A .。

华东理工大学线性代数习题答案-第二章

第二章行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。

2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质，得证。

华东理工大学本科生线性代数第三册

11
1 1 1 1 0, 0 1 1 1 0 1 0, 0 0
A21 1, A22 1, A23 0, A24 0, A31 0, A32 1, A33 1, A34 0, A41 0, A42 0, A43 1, A44 1.
.
x
解：原式
r21 ( 1)
1 1 x 1 0 1
r43 ( 1)
1 1 y
1 1 y
1
= xy
1 1 x 0 0 0
1 1 y
2.4 行列式的计算 1. 计算下列 n 阶行列式 1 3 3 3
1 1
1 n n 1
.
3 2 3 （1） 3 3 3 3 3 3
3 1 1 3 ；（2） Dn n 1 n n 1
1 x 1 1 x 1 1 0 y 0 1 0 0 1 xy 1 1 1 1 1 1 x 1 1 y x2 y2 . 0 1 y xy 1 1 1 y 1 1 0 1 1 1 1 1y 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 x 1
8. 计算行列式
1 1 1 x 0 1 1 0 0
a b
c c
d a a c
3. 设 4 阶行列式 D4
c d
b d b
，则 A13 A23 A33 A43 ____.
a b d
解：0 4. 设 A 1,2 , 1 , B 1,2 , 2 均为 3 阶矩阵，若已知
| A | 2, | B | 3 ，求 2 A 5B 的值.
和. 解：解法一：直接计算各代数余子式
1 1 1 0 1 2 A11 (1) 0 1 1 1, A12 (1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 4 A13 (1) 0 0 1 0, A14 (1) 0 0 0 1 0

华东理工初试参考书目

华东理工初试参考书目华东理工大学作为中国一流的高等学府，拥有丰富的学术资源和优质的教学团队。

对于准备参加华东理工大学初试的考生来说，选择合适的参考书目是非常重要的。

下面是一份为考生推荐的华东理工初试参考书目，希望能够帮助考生更好地备考。

1.数学类-《高等数学》（上、下册）：作者：林鼎立等。

这是一本系统完整的高等数学教材，涵盖了华东理工大学初试所需的数学知识点。

-《线性代数》：作者：李尚志。

这本书详细介绍了线性代数的基本概念和方法，对于理解矩阵和向量空间等内容非常有帮助。

-《概率论与数理统计》：作者：吴喜之。

这本书介绍了概率论和数理统计的基本理论和应用方法，是初试考生进行数学统计分析的必备参考。

2.专业课-《物理学原理》：作者：郭硕鸿等。

这本书系统地介绍了物理学的基本原理和概念，适合初试考生夯实物理基础知识。

-《化学原理》：作者：王雪峰等。

这本书全面地介绍了化学的基本原理和实验方法，对于理解化学知识和解题能力的提升有很大帮助。

-《计算机科学导论》：作者：唐敬宇。

这本书系统地介绍了计算机科学的基本概念和技术，对于计算机类专业初试考生特别适用。

3.英语类-《新视野大学英语》（第三版）：作者：徐洪磊等。

这是一套为大学英语学习编写的教材，包含了听力、口语、阅读、写作等方面的训练，对于提高英语水平非常有帮助。

-《剑桥商务英语》：作者：Ian MacKenzie等。

这本书主要针对商务英语的学习，包括商务会话、商务写作等内容，适合商科类专业初试考生参考。

总的来说，以上是一些适合华东理工大学初试考生参考的书目。

当然，考生在备考过程中还需要结合自身情况和专业要求，选择适合自己的参考资料。

希望考生们能够利用好这些参考书目，取得优异的成绩，顺利进入华东理工大学。

华理概率论答案第八册

x2 = 91， i
yi = 78 ，
y2 = 1376 ， i
xi yi = 352 ：
1) 计算销售额（y）与广费用(x)的相关系数 2) 求销售额对广告费用的直线回归方程
6
3) 若下月计划广告费支出 10 万元，试预测相应的销售额
解：1) 相关系数 R = Lxy =
n∑ xy − ∑ x∑ y
由水平 α
=
0.05
,查表得
U 1−
α
= U0.975
= 1.96 ,由于 Uˆ
< U0.975 ，
2
故接受 H0 ，即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异。
2．从一批矿砂中，抽取 5 个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：
3.25 3.24 3.26
3.27 3.24
设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25
计算检验统计量的值为Tˆ = X − μ0 = 112.8 −112.6 = 0.4659 ， Sn−1 n 1.1358 7
由水平α = 0.05 ，查表得 t1−α (n −1) = t0.975 (6) = 2.4469 ， 2
由于 Tˆ < t0.975 (6) ，故接受 H0 ，即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.
5) 根据分析结果,当 X=0 时, 预测变元 Y 的点估计为 __1.25___;
6) 回归方程中变元 X 系数的置信水平为 95%的置信区间是___[0.7355, 2.5145]__
二. 选择题：
1. 若要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的方差是否在允许的范围内，宜采用的检验是（ C ）
4. 假设根据样本数据求得变元 X 与 Y 的样本相关系数 R = - 0.9, 则变元 X 与 Y 可能的回归方程是 ( B ) A. Y=1+2X B. Y=1-2X C. Y= -1+2X D. Y= -0.9+0.9X (注: 根据变元负相关, 或 R 与 βˆ1的计算公式可得他们符号相同判断)

东华理工大学线性代数练习册答案

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班级:学号:姓名:序号:
3
2512
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41
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251215221522
371417340216
2
592729570113
461216420120
152215221522
012001200120
..............................
......1......
nn
nn
nn
n
nnnnn
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班级:学号:姓名:序号:
7
1
!()!(1)!2!1!
ijn
njinn
≤
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∏
?
3.
1
2
3
11111
11111
11111(012)
()
()
A
行列式主对角线的元素全为零
()
B
三角形行列式主对角线有一个元素为零
()
C
行列式零元素的个数多于n个
()
D
行列式非零元素的个数小于n个
4．如果
()
()()
()()
30
40
50
A0B1
C1D3
xkyz
yz
kxyz
kk
kk
+?=

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华东理工大学
线性代数作业簿（第八册）
1.设矩阵A 与B 合同，则下述选项正确的是（）.
(A) r(A)=r(B) ； ( B) |A|=|B|；
(C) tr(A)=tr(B) ；
( D) A 与B 有相同特征值.
解：A.提示：A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得C T
AC=B ，故 r(A) =r(B).
n n
2 .设二次型f(X 1,X 2，…;X n) = X i 2
-(2 X i )2
,则此二次型的矩
i=1 i=1
交变换标准型为
任课教师
6.1
二次型及其标准型 ,二次型的秩为
,二次型的正
提示：二次型的秩就是
二次型的矩阵的秩，也
是其标准型中非零项的
个数（注：标准型不唯
一）。

因此求二次型
的秩有两种方法，1）直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.
3.设实二次型f （x ）=x T Ax,其中A T
H A ，则二次型的矩阵为
解：0, -1.提示：A 的特征值为扎1 =1, A 2 = —2，入3 =…== 0，
n
n
根据送h =tr(A), n "T A 易得.
i
=1
i
「n -1 -1
...-1 -1
n —1
...-1
L-
-1 ...n — 1
2 .
丄
2
ny2 +…+ n
标准型为y 12 -2y f ，则A -
，矩阵A 的迹为
秩为2,则参数C 的值为 ,f （X 1，X 2，X 3）=1表示的曲面为解:
2
，n-1，nyi +
2 2 2
Z1 +Z2 +…+Zn 」.
解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵A3涣的秩为2,故|A|=0 , 由此可求得c
=3。

再求出A 的特征值为7叭=0,
几2 = 4,
/"G = 9
，即
标准型为f =4y ；+9yj ，由此知f 区兀^) =1为椭圆柱面。

2 2 2
6.已知二次型 f 区^2必)=2x , + 3x 2 +3X 3 +2ax 2x 3 (a>0)通
正交变换矩阵.
A =片兀2兀3即2(9 — a 2
) = 10 得
1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。

分别求出属于这三个特征值的特征向量匕=[0,1,—1]T ,匕2 =[1,0,0]T , J
=[0,1,1]T
并把它们单位化，得正交变换矩阵为 Q =
7. 已知二次曲面方程 X 2 + ay 2 +z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz =4 可以通过正交变换
过正交变换化成标准型 f = y i 2 2
+ 2y 2 +5y 3，求参数a 及所用的
解：二次型的矩阵为
A =
a = 2。

求a, b的值和正交矩阵P.
A的线性无
关的
特征向量匕 1 =[1,0,_1]T,上
2 =[1,-1,1]T, 5 =[121]T,并
把它们单位
化，可得正交变换矩阵为P =
6.2正定二次型与正定矩阵
tr(A) =tr(B) =5 ,
1.设n阶方阵A,B都正定, 则下述结论不正确的是（）.
（A）A+B正定；
正定;
（B） AB正定;
（C）r B丿
解: B. AB未必对称,
(D) A+B」正定.
故不正定.
（D
）解：
解：由A =
B =0,进而得 a = 3, b = 1.
3.若用A<0表示A为负定矩阵，则下述结论正确的是(). 贝U |A<0;
若 A<0,
若 AvO, 则 A <0;
若 AvO, 则对任意与A同阶的可逆阵C都有C T AC <0；
若人+民+...+代<0,则其中至少有一个 A i <0.
提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上，
= X T
C T
AC X c 0 (XH 0),又等价于 y T Ayc0 (y HO)，等价于 A<0.
4.设 f(X i ,X 2,X 3)=2x ； +x ； +x 1 + 2X I X 2 +tx 2X 3是正定二次型，则 t 的取值范围是 __________ .
解：-72<t <72.提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解. 5.设A 为一个三阶矩阵，其特征值为-1 ,-1 ,2,则当k 满足 _____ 条件时，f(X)=x T (A + kl)3x 为正定二次型,此时的规范型为
解：k >1 , X i 2 + X ； +x 2 .提示：由A 的特征值为-1，-1，2知
(A + kl)3
的特征值为(―1 +k)3
,(—1 +k)3
,(2 +k)3
, 又
f(x) =x T
(A + kl)3
x 为正定二次型，其特征值必须全部都大于零,
故得k >1 .
1 .与“实二次型f （x ）=x T Ax （其中A T =A ）是正定的”等价的是 .
对任意X ，恒有f （X ）＞■ 0 ；二次型的负惯性指数为零；存在可逆阵P,使得A = P T
P ；
A 的特征值均不小于零.
解：C.
C T
AC <0
等价于f
6.设二次型f(x)=x T Ax 经正交变换x = Py 可化为标准型
+…中打丫2，证明：二次型g(x) =X T A X +kx T x (k 亡R)
经相同的正交变换x = Py 可化为标准型
2 2 2
(打 + k)y i +(兀2 +k)y 2 +…+k)y n . 证明：g(x) = (Py)T A( Py) +k(Py)T ( Py)
=y T (P T AP)y +ky T ( P T P)y
=(為 y 2 + 兀2 y ； + …中 A n 『1) + ( kyf + ky ； + …+ ky 2
)
=(再 +k)y i 2 +仏2 +k)y ； + …+&+k)y 2 .
2 2 2
7.设二次型 f (X i ,X 2, X 3)=tX i + tX 2 +tX 3 -4X I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3，试用正交变换化二次型f 为标准型，并讨论当t 取何值时，f 为负定二次型.
解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型
f =
YX I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3的正交变换矩阵及其标准型。

经计算得
二次型f 的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向量为[1,1,O]T ,[1,O,1]T ,[-1,1,1]T .经施密特正交化，单位化可得所求 pA/2 I A/G -1/JT
的正交变换矩阵为p 91/72 -i /76 '—'
[0 2/76
〜 2 2 2 下的标准型为f =-2y-2y2+4y3. f (X I , X 2,X 3)=tX i 2
+tx ； +tx 2
-4X 1X 2 -4X 1X 3 +4X 2X 3 在正交变换
在正交变换
故有:
2 2 2
X = Py 下的标准型为(t -2) % + (t -2)
y^(^4) y 3
.
二次型f 为负定二次型，即t-2c0, t +4c 0,故有t v-4 （也可用顺序主子式来解）
8.
设f （X ）= X T A X （其中A T =A ）为一个n 元实
二次型，
心Z , <…兰為为A 的特征值，P 为正交矩阵，
P T
AP= diag （打，兀2「浊n ）.试证明:
2 2
(1)吋 x <f(x)<Xj x | ；
⑵f （x ）在II x | =1时取到的最大值就等于A 的最大特征值证明：1)令 X = Py ，贝U f = y T PAPy =2； +心 y ； + …•+ 扎Jn ，
f （X ）<入，故f （x ）在I x = 1
时取到的最大值就等于A 的最大特征值
入（同理取X = P[1,0,0,「0]T ，知f （x ）在I x =1时取到的最小值就等于A 的最小特征值）1）.
9. 证明对任意的实对称阵A, —定存在实数t ，使得tl+A 是正定矩阵.
证明：tl +A:>0等价于二次型 f （x ） =x T
（tl+A>X >0 （ xHO ）,由第 8 题的结论知：f(x)=x T
(tl+A)x=tx T
x+x T
Ax>tx T
x+Z1X T
x (其中為为 A 的最小特征值），故取t >一打时有f （x ） =x T
（tl +A ）x 》0 （ X 北0）.
2 2 2
5.若二次型 f (X i ,X 2, X 3)=5x i 中5x 2 中CX 3 -2X I X 2 +6x 1X 3 —6X 2X 3 的
r
A n
2 2
故训y 兰f 兰砧,，又II X
T y ，故1）得证.
2 )令 X = P[0,0,0，…;1]T
，显然x = 1，代入得f （X ）=打•由
1）得。