四年级数字谜(一)讲解

竖式谜解题思路四年级（一）一位数的乘、除法竖式数字谜问题。

例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。

分析与解：由于积的个位数是5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是5，另一个是奇数。

因为乘积大于被乘数的7倍，所以乘数是大于7的奇数，即只能是9(这是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是5。

因为7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只能是7。

至此，求出被乘数是785，乘数是9(见右上式)。

例2在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。

分析与解：由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除数的千位、百位分别填4，8。

又显然，被除数的十位填1。

由1□=商的个位×8知，两位数1□能被8除尽，只有16÷8=2，推知被除数的个位填6，商的个位填2。

填法如右上式。

例2是从最高位数入手分析而得出解的。

例3在右边除法竖式的□中填入合适的数字。

使竖式成立。

分析与解：从已知的几个数入手分析。

首先，由于余数是5，推知除数＞5，且被除数个位填5。

由于商4时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除数必为3或8。

由于已经知道除数＞5，故除数=8。

(这是关键！)从8×4=32知，被除数的百位应填3，且商的百位应填0。

从除数为8，第一步除法又出现了4，8×8=64，8×3=24，这说明商的千位只能填8或3。

试算知，8和3都可以。

所以，此题有下面两种填法。

（二）两位数的竖式数字谜问题例1在下列乘法竖式的□中填入合适的数字：分析与解：(1)为方便叙述，将部分□用字母表示如左下式。

第1步：由A4B×6的个位数为0知，B=0或5；再由A4B×C=□□5，推知B＝5。

第2步：由A45×6＝1□□0知，A只可能为2或3。

但A为3时，345×6＝2070，不可能等于1□□0，不合题意，故A=2。

数字谜（⼀）数字谜（⼀）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少⽅法。

例如⽤猜想、拼凑、排除、枚举等⽅法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及⼩数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填⼊下⾯等式的○内，使等式成⽴（每个运算符号只准使⽤⼀次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应⾸先确定“÷”的位置。

当“÷”在第⼀个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第⼆个括号内是13的倍数，此时只有下⾯⼀种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第⼆或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下⾯的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填⼊下式中的□中，使等式成⽴：□□□×□□=□□×□□=5568。

解：将5568质因数分解为5568=26×3×29。

由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：58×96和64×87，分解为⼀个两位数与⼀个三位数的乘积有六种：12×464， 16×348， 24×232，29×192， 32×174， 48×116。

显然，符合题意的只有下⾯⼀种填法：174×32=58×96=5568。

例3 在443后⾯添上⼀个三位数，使得到的六位数能被573整除。

分析与解：先⽤443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。

由443000÷573=773 (71)推知， 443000+（573-71）=443502⼀定能被573整除，所以应添502。

小学四年级逻辑思维学习—数字谜知识定位什么是数字谜？数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。

这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断。

重难点：1．横式迷问题2．竖式迷题中的除法式迷3．试验法在解决数字谜问题的应用考点： 1．复杂的横式迷题2．复杂的竖式谜题3．枚举和筛选相结合的方法（试验法）解决数字谜题知识梳理如何解决数字谜题？解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。

推理时应注意：（1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取0～9中的某个数字；（2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；（3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；（4）数字谜解出之后，最好验算一遍。

横式的补填空格和破译字母问题中，解题的基本方法有尾数分析，分情况试算，数值估算，以及因数分解等。

同学们在解题时要灵活应用。

例题精讲【题目】在下面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。

那么所填的3个数字之和是多少？□，□8，□97【题目】在下列各等式的方框中填入恰当的数字，使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称：（1）12×23□=□32×21，（2）12×46□=□64×21，（3）□8×891=198×8□，（4）24×2□1=1□2×42，（5）□3×6528=8256×3□。

【题目】在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：（1）6□□4÷56=□0□，（2）7□□8÷37=□1□，（3）3□□3÷2□=□17，（4）8□□□÷58=□□6。

【题目】把1至9这9个数字分别填入下面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

四年级数学数灯谜（一）解说我们在三年级已经学习过一些简单的数灯谜问题。

这两讲除了复习稳固学过的知识外，还要学习一些新的内容。

例 1 在下边算式等号左侧适合的地方添上括号，使等式建立：5+7×8+12÷4-2 ＝20。

剖析：等式右侧是 20，而等式左侧算式中的 7×8 所得的积比 20 大得多。

所以一定想法使这个积减小必定的倍数，化大为小。

从整个算式来看， 7×8 是 4 的倍数， 12 也是 4 的倍数， 5 不可以被 4 整除，所以可在 7× 8+12 前后添上小括号，再除以 4 得 17，5＋17-2=20。

解：5+（ 7×8+12）÷ 4-2=20。

例 2 把 1～9 这九个数字填到下边的九个□里，构成三个等式（每个数字只好填一次）：剖析与解：假如从加法与减法两个算式下手，那么会出现很多种情况。

假如从乘法算式下手，那么只有下边两种可能：2×3＝6 或 2×4＝8，所以应当从乘法算式下手。

由于在加法算式□ +□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□ - □=能够变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。

于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应当是偶数。

若乘法算式是 2×4＝8，则剩下的六个数 1，3，5，6，7，9 的和是奇数，不合题意；若乘法算式是 2×3＝6，则剩下的六个数 1，4，5，7，8，9 可分为两组：4＋5＝9， 8-7 ＝1（或 8-1 ＝7）；1＋7＝8， 9－ 5＝ 4（或 9－4＝5）。

所以答案为例 3 下边的算式是由 1～ 9 九个数字构成的，此中“ 7”已填好，请将其他各数填入□，使得等式建立：□□□÷□□ =□- □=□-7 。

剖析与解：由于左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只好填9，由此知左端被除数的百位数只好填1，故中间减式有8-6 ， 6-4 ，5-3和 4-2 四种可能。

第一讲 数字谜年级 姓名 学号【知识要点】我们常常会遇猜谜游戏似的数学问题：题目给出某个运算式子，可是式中缺少一些数字，要求我们确定出这些缺少的数字，把整个运算式子补充完整。

这些缺掉的数字就像谜一样等待着人们把它解开，因而人们称这类问题为数字谜题。

数字谜题有以下特点：（1）首位数字不为0；两个数字相加，最大进位为1，三个数字相加，最大进位为2；两个数字相乘，最大进位为8。

（2）一般情况相同字母、文字代表相同的数字，不同的字母、文字代表不同的数字。

（3）解题时首先找到一个突破口，然后运用运算法则、性质、运算顺序、加减乘除各部分之间的关系等知识进行认真分析与合理的推理，找到所缺失的数字。

【例题】★例1：在下式的每一个□内填入一个数字，使算式成立。

★★例2：下面是一个乘法算式，每个□内填一个数字。

这个算式中的乘积应该是___________。

1 □× □ □□ 5 □□ □ □□ 8 □ □★1.下面算式中不同汉字代表不同的数字，请解这个数字谜。

学 啊 学+ 努 力 学努 力 学 啊1 21 3★2.在下面的算式中，商是两位数，而且没有余数，把这个算式填写完整。

★3.下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。

那么，“奥林匹克”所代表的四位数是( )。

奥 林 匹 克× 4克 匹 林 奥★4.下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么A+B+C+D+E+F+G 的和是( )。

A B C D D C B A + E F G + G F E2 0 03 5 6 8 45.通过下面的除法算式，求出A 与B 的乘积是( )。

6.下面的算式中，每个不同的字母表示0—9中不同的数字，那么ABCDE 所代表的五位数是__________。

A B C D E× 4E D C B A 54 32A B 63491012 91 0 1 2 1349 6 9 83 14 13 1 4 10。

知识图谱-复杂乘法竖式复杂估算多个结果枚举排除多种方法综合应用数字谜第01讲_复杂乘法竖式错题回顾复杂乘法竖式知识精讲一．常见突破口1．算式的首位、末位、进位．2．观察算式中数的位数，利用估算确定数的范围．二．对于多位数乘法1．拆成若干个多位数乘一位数的算式，和加减法算式，分别寻找突破口．2．比较同一个数乘以不同一位数所得结果的差异，获得大小估算信息．三点剖析重难点：较复杂的多位数乘法竖式数字谜．题模精讲题模一复杂估算例1.1、如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是__________．答案：6156解析：因为2乘三位数得四位数，而a乘三位数得三位数，所以a只能为1．加进位得10或20，试算可知，只能为．容易判断，所以，从而个位只能为3（个位为8排除）．可得如下竖式，所以乘积为6156．例1.2、如右图，若将数字谜补充完整，它的乘积是_______．答案：46472仔细观察，发现与D、E、F相乘后末位为4、3、2，所以C是一个奇数，而且我们观察到末位是3时乘积是四位数，其他两个乘积是三位数，所以C只能是7，考虑到乘积位数变化，所以两个乘数是157和296，乘积是46472．例1.3、如图所示，在乘法竖式的每个□中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是_________？答案：2204观察第二个乘积是首位为1的三位数，可得到第二个乘数的十位是1，第一个乘数的首位也是1，如下图所示．由于第一个乘数的百位是1，且一定小于120，而与第二个乘数的个位相乘得到的积是一个四位数，所以第二个乘数的个位如果是9，则有可能通过乘积得到一个四位数；而如果是8，则乘积不可能大于，即不可能是四位数，因此第二个乘数的个位为9，竖式才能成立，如下图所示．竖式最后一行的乘积的十位是0，这个数是由第一步乘积的十位和第二步乘积的个位相加得到数的尾数．因此可以将第一个乘数的各位进行从0到9的枚举筛选，发现第一个乘数个位是6时满足题意，最终得到算式为，如下图所示：题模二多个结果枚举排除例2.1、如图，第一个乘数是______________．答案：264解析：2112是264的8倍，第二个乘数的十位数字是个位数字的8倍，第二个乘数只能是81，所以第一个乘数是264．例2.2、填写下面的竖式．答案：解析：末位为7，有，成立．如果，显然不成立．如果，则，那么，可得如下图所示填法．如果，显然不成立．如果，则，显然不成立．综上，有一种填法如下图所示．题模三多种方法综合应用例3.1、在右边的乘法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是五位数___________．答案：48351解析：由原题易得第三行最后一个数字是1，现在考虑乘数的个位．由于第三行第一个数字是6，说明乘数的个位不能超过6，而乘数的个位乘以一个数的末位是1，所以乘数的个位只能是3或者1，分别如图a、图b．由图a易知出现矛盾，第四行变成了三位数，和实际情况不符，而图b暂无矛盾，可以继续．现在考虑第四行第二个数字，只可能是8（图c）或者7（图d），结果图c出现了矛盾，因此只能是图d的情况，最后补完所有空格．．例3.2、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式．那么所得的乘积是________．答案：解析：由已知条件，最后结果的首位数字不能是2，因此只能是3，这说明千位上做加法时有进位，百位上相加时最多向千位进2，所以要使千位数有进位，其中的未知数至少是，即三个三位加数中第二个至少是600．因为它是一个乘数与一个一位数字的乘积，因此该数肯定大于60．第二个乘数的百位数字与第一个数的乘积在220-229之间，所以它只能是3（否则）．而220-229之间个位数字不是2且是3的倍数的只有和．如果第一个数是75，又第二个乘数的百位数字是3，不满足．乘数是76，另一个乘数就大于，那么只能有395、396、397、398、399这五中可能，它们与76的乘数依次为30020、30096、30172、30248、30324，由于各个数字不能为2，满足题目要求的只能是．随堂练习随练1.1、在竖式中☆处填______________．答案：3解析：计算结果首位为1，第四行的首位也为1．那么第一个乘数首位只能是3，如果是4的话超出，如果是2则第四行最大是不可能，所以☆处填3．随练1.2、请将如图所示的竖式补充完整．答案：解析：比较竖式中两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比8大，只能是9，进而尝试分析可得，只能是、，所以满足条件的乘法算式只能是12．随练1.3、如图，竖式的乘积是______________．答案：69104解析：第一个乘数乘的个位是4，第二个乘数的十位是5．第一个乘数的十位是3，根据第三行乘积数位，得出第一个数的首位是1，竖式如下图乘积是69104．随练1.4、请把1~9这9个数字填在图下图的□内（其中有3个数字已经填好），使得加法和乘法这两个算式都成立．答案：见解析解析：由第一个乘数需要比最后的乘积小，故十位数字只能填1、2、4、5中的一个．通过枚举试算，发现当这个十位数字为2、4、5时，都不可能使积的十位数为；而只有第一个乘数十位数字是1、第二个乘数为4时，有，如左下图所示，满足题意．还有1~9中的2、5、9未填，如右上图所示．尝试可得加法竖式为．综上，整个算式完成，如下图所示．随练1.5、在左下图中的乘法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么第二个乘数是多少？答案：901解析：第二个乘数的十位为0，第一个乘积是28，第二个乘积是232，，第二个乘积是第一个乘积的9倍，所以第二个乘数的首位是个位的9倍，所以这个数只能是901.．随练1.6、如图，竖式的乘积是_________________．答案：1955解析：，第一个乘数为23，第二个乘数十位是8，竖式的乘积是1955．随练1.7、如图，第一个乘数是______________．答案：234解析：1638是234的7倍，第二个乘数的十位数字是个位数字的7倍，第二个乘数只能是71，整个竖式如下图，第二个乘数是234．随练1.8、如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数和是___________．答案：<解析：首先判断出第一，第二，第三，第四排第一个数均为1（如下左图），进而求出两个乘数的末尾数字（如下右），这时经测试发现A可取4和5，由题意要求最小则两个乘数分别为143和17，求和得160．随练1.9、在乘法竖式的每个□中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？答案：15805解析：观察竖式，发现第二个乘数的十位是0，且第三行的四位数的后两位分别是0和5．进一步发现，第一个乘数与第二个乘数百位的乘积的百位是1，所以两个乘数的首位都只能是1，得到下图的形式．接下来观察第二个乘数的个位．首先，它和5的乘积的个位还是5，所以第二个乘数的个位是奇数．其次，第一个乘数最大是195，而它与第二个乘数的个位相乘的积是四位数，因此第二个乘数的个位大于5．于是第二个乘数的个位只能是7或者9．如果第二个乘数的个位是7，则个位向十位有进位3，因此第一个乘数的十位是1．而，不是四位数，因此第二个乘数只能是109．用同样的方法计算出第一个乘数是145．因此，经验算符合题意．原题中的竖式为下边的形式．自我总结课后作业作业1、在竖式中☆处填______________．答案：1解析：第二个乘数的十位是0，第三行后两位是0和5，第一个乘数与第二个乘数的百位的乘积是1，两个乘数的首位只能是1．作业2、右边残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是__________．答案：3243解析：第一个乘数×下面乘数的个位有，可估算下面乘数的个位为9，上面乘数的个位大于等于5．经试算，时，满足乘积的十位为4，算式为，所以乘积为3243．作业3、图7-4是一个残缺的乘法竖式，那么乘积是________？答案：1012解析：由乘积的最高位不难看出积应该是10?2，且在它上面的乘积应该是9？；因为加2后有进位，所以，个位只有8、9两种可能；又第一个乘积的十位为2，个位也是2，说明被乘数为22，乘数个位为1；或者被乘数为11，乘数个位为2；如果被乘数为22，乘数个位为1，乘数的个位只能是4，显然不行；那么，被乘数为11，乘数个位为2，这样，乘数个位就为9，即整个算式为11*92=1012．所以，乘积是1012．作业4、如图所示，请把这个乘法竖式补充完整．答案：见解析解析：首先观察第一个乘数的个位，它乘以乘数的个、十、百、千位的数字所得结果的个位分别是1、9、9、9．所以共有四种情况：①；②；③；④．但是显然，第一种和第二种情况不符合题意．对于第三种和第四种情况，进行试算．对于第三种情况，可以把竖式改写成：因此可以计算出①号位是数字0，然后②号位是6，因此③号位都是6．竖式就又可以改写成为：此时，可以计算出④号位是数字4，⑤号位是数字4，然后⑥号位都是2．竖式就又可以改写成为：最后，可以计算出⑦号位是数字1，⑧号位是数字0．因此第三种情况不符合题意．接下来，尝试第四种情况，竖式如下图：可以计算出①号位是数字0，然后②号位是4，因此③号位都是2．竖式就又可以改写成为：此时，可以计算出④号位是数字8，⑤号位是数字5，然后⑥号位都是6．竖式就又可以改写成为：最后，可以计算出⑦号位是数字1，⑧号位是数字4．完整的竖式如下图：作业5、如下图所示，请把这个乘法竖式补充完整．答案：解析：首先，第一个乘数和3乘积的末位是5，因此第一个乘数个位为5．其次，第一个乘数乘以2得到一个三位数，所以第一个乘数的百位小于5．另一方面，第一个乘数乘以乘数的十位得到一个千位为4的四位数，所以第一个乘数的百位至少为4，因为399乘以9也达不到4000．因此第一个乘数的百位是4，且第二个乘数的十位是9，因为即使499乘以8也达不到4000．此时竖式如下图所示．综合原竖式中第3行的数字9，可以发现第一个乘数的十位不是4就是9．再结合第4行的数字5，就可以得到第一个乘数的十位应该是9．最后答案如下：作业6、在图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使竖式都成立，那么乘积为__________．答案：2204解析：，所以为，再根据加法算式，可得，所以整个乘法算式为．作业7、在右上图中的乘法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么第二个乘数为__________．答案：109解析：第二个乘数十位数字是0；根据乘积首位为1，可得两个乘数百位都是1；然后根据第一个乘数与第二个乘数个位数字的乘积可得第二个乘数的个位数字只可能是7或者9，然后逐一尝试即可．作业8、如图，第一个乘数是______________．答案：456解析：3648是456的8倍，912是456的2倍，所以第二个乘数是821，整个竖式如下图，第一个乘数是456．作业9、如图，第一个乘数是______________．答案：121解析：726是121的6倍，第二个乘数的十位数字是个位数字的6倍，第二个乘数只能是61，所以第一个乘数是121．。