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第六章连续信号与系统复频域分析第六章习题6.1是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入某）1．若L[f(t)]F(),则L[f(tt0)]etF()（）02．L1ein(t1)（）211(1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。
（）4．若已知系统函数H()，激励信号为某(t)e2tu(t)，则系统的自由响应中必包含稳态响应分量。
（）5．强迫响应一定是稳态响应。
（）6．系统函数与激励信号无关（）6.2求L[2e()d]t6.3已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（）。
6.4对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以某（t）作为激励，v2(t)作为响应，0.5F+某（t）-2Ω+（1）…01234t某（t）v2（t）-1．求系统的冲激响应h（t）与阶跃响应g（t），并画出h（t）及g（t）的波形；2．若激励信号某1(t)u(t)u(t1)，求系统响应v2(t)；3．若激励信号某2（t）如题图所示，求系统响应v2(t)。
126.5系统如题图所示，L=1H，R=2Ω，C=RLEi(t)F，t=0以前开关位于“1”，电路已进入稳定状态；t=0开关从“1”倒向“2”，12RC1．画出系统的域模型；2．求电流i（t）。
6.6有一一阶低通滤波器，当激励为intu（t）时，自由响应为2e3tu(t)，求强迫响应（设起始状态为零）。
6.7电路如题图所示，某（t）为激励信号，以vc(t)作为响应。
2Ω+某（t）-1H+1Fvc（t）-1．求该系统的系统函数H（）及冲激响应h（t）；2．画出该系统的域模型图（包含等效电源）；3．求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统的零输入响应等于冲激响应；4.求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统对某(t)u(t)的全响应仍为u(t)。
6.8选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（）内）1．若一因果系统的系统函数为H()论——————————（）（1）若bi0(i0,1,n,且n2)，则系统稳定。
《信号与系统信号与系统》》自测题第4章 连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性，对于稳定系统，在s 平面其极点位于 左半开平面（不含虚轴） 。
2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的 左半开平面（不含虚轴） 。
3、()H s 的零点和极点中仅 极点 决定了()h t 的函数形式。
4、()H s 是不 随系统的输入信号的变化而变换。
5、已知某系统的系统函数为()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的 极点 。
6、如下图所示系统，若221()2()()22U s H s U s s s ==++，则L = 2 H ，C =14F 。
注：2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =，则该信号的拉普拉斯变换是32s。
注：1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =，则()F s =13s −。
9、431s s ++的零点个数是 0 ，极点个数是 4 。
10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有 部分分式分解法 、 留数法 。
1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +，则()f t =23()t e u t −。
12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++，则原函数()f t 的初值为 1 ，终值为 0 。
注：6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++，则原函数()f t 的初值为 2 ，终值为 0 。
第!章!连续信号与系统的频域分析习题三详解!!"!证明题图!!"所示矩形函数"!#"与##$%$#"$为整数$在区间!&%’!"上正交&题图!!"证!因为#’!&"!#"#$%$#(#%#!&#$%$#(#&#’!!#$%$#(#%&所以"!#"与##$%$#’$为整数$在区间!&%’!"上正交&!!#!设"!#"的正交展开式为"!#"%$()%&*)+)!#"试证明"!#"和#*&%*"%*’%’%*$$是一一对应关系&证!因为"!#"%$()%&*)+)!#"%*&+&!#",*"+"!#",’,*)+)!#",’,*(+(!#"而#+)!#"$为正交函数集%故有##’#""!#"+)!#"(#%##’#"*&+&!#"+)!#"(#,##’#"*"+"!#"+)!#"(#,’!,##’#"*)+’)!#"(#,’,##’#"*(+(!#"+)!#"(#%*)##’#"+’)!#"(#即*)%##’#""!#"+)!#"(###’#"+’)!#"(#故"!#"与#*&%*"%’%*($一一对应&()*(!!!!设!)!#"%"!!!)&""%#%)&!!#其他试问函数组#!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"$在!&%*"区间上是否为正交函数组%是否为归一化正交函数组%是否为完备正交函数组%并用它们的线性组合精确地表示题图!!’所示函数"!#"&解!据!)!#"的定义式可知!"!#"%!’!#"%!!!#"%!*!#"的波形分别如题解图!!!"所示&题图!!’题解图!!!"!!不难得到#*&!)!#")!-!#"(#%&)&-")%#-!!可知在!&%*"区间!)!#"为归一化正交函数集&从而有"!#"%!"!#",&!+!’!#","!+!!!#",’!*!#"!!!!$!证明下列函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集%#&为任意一个正实数&!""##$%$"&#%%-.$"&#"$/&%0"%0’%’$*!’"#12$"&#"$/&%0"%0’%’$&证!!""略&!’"因为##&,’!"&#&12$"&#!12."&#"’(#%##&,’!"&#&12!$&.""&#(#%&.&$’!"&.%()*$故该函数集在#&%#&,’!"!"&区间上是正交函数集&(3*(!!%!试求题图!!!所示信号的三角型傅里叶级数展开式%并画出频谱图&题图!!!解!!/"因为/&%’0#&&0’1(#%1/$%’0#&&0’1#$%$##(#%&2$%’0#&&0’1%-.$##(#!!!#%’!0"%’10&#$%$##$!"#&&0’%&’1$!$为奇数&’1!’$&""!!$%"%’%!()*%’"所以"!#"%1’&$4$%"’1!!’$&""%-.’!0!’$&""+,#!2"因为/&%’#0*&0*1(#%1/$%’0#0*&0*1#$%$##(#!!!#%’!0"%’10%-.$##$#0*&0*%’1$!%-.$!!"’%’1$!$%"%+%5%’&’1$!$%!%)%""()*%’%&’1!!’$&""!&""$!!$%"%’%!%’2$%&所以"!#"%"’1&$4$%"’1!!’$&""!&""$#$%’!!’$&""0!"#(5*(!!&!试求题图!!*所示周期信号的指数型傅里叶级数系数3$%并画出其幅度谱&题图!!*解!!/"3$%"#0’&1%-.’!0#1&2$’!0#(#%10#0’&12’!#&1&2’!#’2)1&2$’!0#(#%1’20#0’&12!"&$"’!0#&1&2!",$"’!!"#(#%1’20!12!"&$"’!0#!2!"&$"’!0&!1&2!",$"’!0#!&2!",$"’!+,-.00’&%112!"&$"!&"&*!!"&$"&1&2!",$"!&"*!!",$+,"%1!!"&$’"%$%&%4’%4*%’&%$为奇数%且’$’&"&"*2$1%$%4()*"!!!2"解法类似!/"%略%结果如下-3$%’1!!"&$’"%$为偶数&%$()*为奇数(&+(!!!*"3$%"0##&,$’#&&$’11&2$’!0#(#%101&2$’!"&#&2$’!"&#&,$’#&&$’!!!"&%"0"%11&2$’!"&!#&&$’"&1&2$’!"&!#&,$’"2’!$%11&2’!$"&#&)12$!"&$&1&2$!"&$2’$!%1$067!$!"&$"1&2’$!"&#&!5"!略"!!’!!略"!!(!设"!#"是满足以下两个条件的周期信号-条件"-"!#"/8"!8#"*条件’-"#00!"’/8"!#"&试证明"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&证!因为"!#"/8"!8#"所以"!#"为奇函数%即/&/&%/$/&&"!#"中仅有2$项%即"!#"中只含正弦分量%有2$%’#&&0’"!#"%-.$##(#,’0#’&"!#"%-.$##(#!!!#%’!0"上式第一项中用#,0’代换#%可得2$%’#0’&"#,0!"’%-.$##,0!"’(#,’#0’&"!#"%-.$##(#!!根据条件’%有2$%’#0’&&"!#"%-.!$##,$!"(#,’0#0’&"!#"%-.$##(#%*0#’&"!#"%-.$##(#%$为奇数&%$()*为偶数故"!#"中只含有奇次谐波的正弦分量&!!)!设周期信号"!#"的指数型傅里叶级数系数为3$%试证明("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$式中"&/’!!"&("+(证!因为"!#"的傅里叶级数系数为3$%所以"!#"%$4$%&43$12$"&#%!!"&%’!0上式两端对#求导%有("!#"(#%$4$%&42$"&3$12$"&#故("!#"(#的指数型傅里叶级数系数为2$"&3$&!!"*!设有一周期信号"!#"%其基波频率为"&/’!%且"!#"的指数型傅里叶级数为"!#"%$!$%&!3$12$’!#这里%3&/"*30"/".**30’/".’*30!/".!&试写出"!#"的三角型傅里叶级数表达式&解!因为"!#"%$!$%&!3$12$##%$!$%&!3$12$’!#!!!#%"&%’!"%3&,$!$%"’’3$’#$%!$##,%$"而3$/"3$"12%$"3&"/"%"30""/"*%"30’"/"’%"30!"/"!%"/%’/%!/&所以"!#"%","*6’#$%’!#,"’6’#$%*!#,"!6’#$%9!#%","’#$%’!#,#$%*!#,’!#$%9!#!!!!""!求题图!!9所示信号的傅里叶变换&题图!!9解!3!2""%#4&4"!#"1&2"#(#%#"&’1&2"#(#,#’"1&2"#(#%"&2"’1&2"#’"&,1&2"#’+,’"%&"2"1&2"’,1&2"&+,’(’+(!!!!"#!求题图!!)所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换&题图!!)解!!/""!#"/’10#80’/#/0’&()*其余!!3!2""%#’&0’’10#1&2"#(#%’10)"&2"#0’&0’#(1&2"!"#%2’1"0#1&2"#0’&0’�’&0’1&2"#(+,#%2’1"00’1&2"0’,12"0!"’&"&2"1&2"#0’&0+,’%2’1"00#$%"0’,"2"1&2"0’&12"0!"+,’%2’1"#$%"0’&67"0!"+,’!!!"&&"当"%&时%3!2""%#’&0’’1#(#%&!2"!略"!*""!#"%1%-."&#%&/#/0!!!"&%’!0"&%()*其余!!3!2""%#0&1%-."&2"#(#%1’2#0&1&2!"&"&"#&1&2!","&"+,#(#%1’2"&2!"&"&"1&2!"&"&"0&!"","2!","&"1&2!","&"0&!"+,"%1’""&"&1&2!"&"&"0&!""&"","&1&2!","&"0&!"+,"%1’!"’&"’&"!","&"1&2!"&"&"0&!"&"&"1&2!","&"0&’"+,&%1’!"’&"’&""12"&0&1&2"&!"0,"&12"&0,1&2"&!"+,01&2"0&’"#$&%1"&"’&"’&1&2"0&+,"!!!"&"&%’!0"(!+(当"%"&%’!0时%!!3!2""%#&1%-."&2"&#(#%#0&1%-."&##$%"&#&2%-."&+,#(#%1#0&"’%-.’"&#&2"’!"&#$%’"&#+,"(#%10’2因此3!2""%1"&"’&"’&!1&2"0&"""&"&%’!010’2"%"&%’!()*0!5"!略"!!"!!试用"!#"的傅里叶变换3!2""表示如下函数的傅里叶变换-!""#"!’#"*!’"!#&’""!#"*!!"!#&’""!&’#"*!*"#("!#"(#*!+"!"&#""!"&#"&解!!"""!#"%#"!’#"因为"!’#"0"’32"!"’所以#"!’#"02’(32"!"’("%2*(3!2""("!’""!#"%!#&’""!#"#"!#"02(3!2""("%!’"!#"0’3!2""因此!#&’""!#"02(3!2""("&’3!2""!!""!#"%!#&’""!&’#"因为"!&’#"0"’3&2"!"’#"!&’#"02’(3&2"!"’("%&2*(3!2""("&’"!&’#"0&3&2"!"’所以!#&’""!&’#"0&2*(3!2""("&3&2"!"’!*""!#"%#("!#"(#因为("!#"(#02"3!2""(*+(所以#("!#"(#02+2"3!2"",7%&3!2""&"(3!2""("!+""!#"%!"&#""!"&#"!!#"!#"0237!2""!#,"""!#,""0212"37!2""!"&#""!"&#"021&2"+37!2"","%&"%21&2"(3!&2""(!&""%&21&2"(3!&2""("!!"$!!略"!!"%!利用傅里叶变换证明如下等式-!"""!#4&4%-."#"("%"#1&&"#%#&!’"#4&4%-./"/"("%!’/’证!!""因为6:.!#"0’2"所以!&"’2+,"%"’!#4&4’2"12"#("%"!#4&4"2"+#$%"#,2%-."#,("%"!#4&4%-."#"("%6:.!#"%"%#1&&"%#%#&故原式得证&!’"因为+’/!#"0’/67!"/"所以!&"’/67!/"+,"%"’!#4&4’/67!/""12"#("%+’/!#"当#%&时%有"!#4&4/67!/""("%"即"!#4&4/%-./"/"("%"故#4&4%-./"/"("%!’/’(++(!!"&!已知题图!!3所示信号""!#"的频谱函数为3"!2""%8!"",29!""%式中8!""/9!""均为"的实函数%试求"’!#"的频谱函数3’!2""&题图!!3解!参见题解图!!"9&已知题解图!!"9""!#"03"!2""%8!"",29!"""!!#"%’""#!"’因此"!!#"0’6’3"!2’""%*8!’"",2*9!’"""*!#"%"!!#","!!&#"故"*!#"0*3"!2’"",*3"!&2’""!!%*8!’"",2*9!’"",*8!&’"",2*9!&’""!!%38!’"""+!#"%"*!#&’","*!#,’"故"+!#"038!’""!1&2’",12’""!!%"98!’""#$%’"而原题图中"’!#"%"+!#"#$%"&!#%故3’!2""%3+8!’!"&"&!""#$%’!"&"&!",8!’!","&!""#$%’!","&!",(9+(!!!!"’!据傅里叶变换的定义及性质%利用三种以上的方法计算题图!!5所示各信号的傅里叶变换&题图!!5解!!7"方法"!按定义求&!3!2""%#&&$’!",’$#"1&2"#(#,#$’&"&’$!"#1&2"#(#%$’67’"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的一阶/二阶导数如题解图!!")"所示&题解图!!")"!!":"!#"%’$&#,$!"’&*$&!#",’$&#&$!"’":"!#"0’$12$’"&*$,’$1&2$’"%’$12$*"&1&2$*!""’""!#"0’$12$*"&1&2$*!""’!2""’%$’67’"$!"*方法!!利用时域卷积性质&""!#"可以看做题解图!!")’所示"’!#"与"’!#"的卷积%则有""!#"%’$"’!#"’"’!#"而"’!#"0$’67"$!"*故""!#"0’$$’67"$!"+,*’%$’67’"$!"*()+(题解图!!")’!2"方法"!按定义求&""!#"%+$!#",+$’!#"而+$!#"0$67"$!"’+$’!#"0$’67"$!"*故""!#"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法’!利用时域积分性质&""!#"的导数如题解图!!")!所示&题解图!!")!!"7"!#"%&#,$!"’,&#,$!"*&&#&$!"*&&#&$!"’!!"7"!#"%12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’故""!#"012"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$’2"%$67"$!"’,$’67"$!"*方法!!利用时域卷积性质&!!""!#"%’#,$!"’,’#,$!"*&’#&$!"*&’#&$!"’而’!#"0!&!"","2"""!#"0!&!"","2!""12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%"2"12"$’,12"$*&1&2"$*&1&2"$+,’%$67"$!"’,$’67"$!"*(3+(!!"(!求题图!!"&!/"/!2"所示3!2""的傅里叶反变换"!#"&题图!!"&解!!/"因为3!2""%1+’"&!""1&2"#&又67!#"0!+’!""67!"&#"0!"&+’""!"&%!"&+’"&!""即1"&!67!"&#"01+’"&!""所以1"&!67+"&!#&#&",01+’"&!""1&2"#&故"!#"%1"&!67+"&!#&#&",!2"3!2""%3!""12%!""而%!""%!’%&"&%"%&&!’%&%"%"()*&!3!2""%1+"&","&!"’12!’,1+"&"&"&!"’1&2!’!%21+"&","&!"’&21+"&"&"&!"’又!67!#"0!+’!""!67"&’!"#0’!"&+"&!""即!"&’!67"&’!"#0+"&!""故!"!#"%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&67"&’!"#12"&’+,#%21"&’!67"&’!"#1&2"&’#&12"&’+,#%’1!#%-.’"&’!"#(5+(!!!!")!试求下列信号的频谱函数-!""%-.#)%-.’##’*!’"+’!!#")#$%+#*!!"1&!’,’#"&!#"*!*"6:.!#")+’!#"&解!!""%-.#)%-.’##’%’67!#")67!’#"而67!#"0!+’!""%!67!’#"0!’+*!""故’67!#")67!’#"0"’!6’!+’!""’!’+*!""%3!2""3!2""%!’!",!"&!/"/&"!&"/"%"!’!!&"""/"/!&’"’1()*!3!2""如题解图!!"5"所示&题解图!!"5"!’"+’!!#"0’!67!!""+’!!#")#$%+#0’!6"’67!!!",+"",67!!!"&++,""!%!+67!!!",+"",67!!!"&+"",题解图!!"5’!!"1&!’,’#"&!#"%1&’&!#"01&’!*"6:.!#")+’!#"的波形如题解图!!"5’所示%即6:.!#")+’!#"%&’!#,"",’’!#"&’!#&""又’!#"0!&!"","2"故6:.!#")+’!#"0!&!"","2+,")’&12"&1&2!""!%!&!"","2+,")&12"’&1&2"!"’+,’!%!&!"","2+,"*)%-.’"!"’!%*2"%-.’"!"’(&9(!!#*!求下列函数的傅里叶反变换"!#"-!"""!’,2""’*!’"&’"’*!!"&!"&"&"*!*"+’"&!""&解!!""因为1&’#’!#"0"’,2"所以"!’,2""’01&’#’!#"’1&’#’!#"%#1&’#’!#"!’"因为6:.!#"0’2"所以!&2#"6:.!#"0’-"!""7%&’2"’故&’"’0#6:.!#"!!"因为"0’!&!""而")12"�’!&!"&"&"所以&!"&"&"0"’!12"&#!*"因为+’"&!#"0’’"&’67!"&""而’’"&’67!"&#"0’!+’"&!""所以+’"&!""0’"&’!67!"&#"!!#"!已知"!#"’"7!#"%!"&#"1&#’!#"%求信号"!#"&解!设"!#"03!2""%因为"!#"’"7!#"03!2"")2"3!2""%2"3’!2""而!"&#"1&#’!#"0"2","&2"2",!""7!%"2","&"!2",""’!%2"!2",""’("9(所以3’!2""%"!2",""’3!2""%4"2","故"!#"%41&#’!#"!!##!已知一系统由两个相同的子系统级联构成%子系统的冲激响应为;"!#"%;’!#"%"!#激励信号为"!#"&试证明系统的响应<!#"/8"!#"&证!因为6:.!#"0’2"所以’2#0’!6:.!8""即"!#026:.!8""系统函数=!2""/26:.!8"";26:.!8""/8"故>!2""/=!2"")3!2""/83!2""因此<!#"/8"!#"!!#!!设"!#"的傅里叶变换为3!2""%且3!2""%&’"’2"<试在2"<条件下化简下式-!+"!#"’67!?#",!!解!因为+’?!#"0’?67!?""所以’?67!?#"0’!+’?!""67!?#"0!+’?!""而!+"!#"’67!?#",0?!3!2"")!+’?!"+,"!/3!2"")+’?!""又因为3!2""/&%"""2"<%且?2"<%故!+"!#"’67!?#",03!2""即!+"!#"’67!?#",/"!#"(’9(!!#$!试求题图!!*所示各周期信号的频谱函数&解!由3!2""%’!$4$%&43$&!"&$#"!/"/!2"略&!*"因为3$%1$067$!$!"01&2$##&所以3!2""%’!$4.%&41$067$!$!"01&2$##+,&&!"&$#"%1#$$4$%&467$!$!"1&2$##&&!"&$#"!5"因为3$%*1$’!’%$为奇数&%$()*为偶数所以3!2""%’!$4$%&4*1$’!’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数%31!$4$%&4"$’&!"&$#"%$为奇数&%$()*为偶数!!#%!!略"!!#&!对下列信号求奈奎斯特间隔和频率-!""67!"&&#"*!’"67’!"&&#"*!!"67!"&&#",67!+&#"*!*"67!"&&#",67’!9&#"&解!!""因为+’&&!#"0’&&67!"&&""所以67!"&&#"0!"&&+’&&!"""</"&&=7(.%%!"</"&&’!/+&!>?0%/"’"</!"&&%%!"%/"0%/"&&!>?!’"对67’!"&&#"%有"</’&&=7(.%%!"</"&&!>?(!9(故0%/!’&&%%!"%/’&&!>?!!""</"&&=7(.%故0%/"’"</!"&&%%!"%/"&&!>?!*""</"’&=7(.%故0%/"’"</!"’&%%!"%/"’&!>?!!#’!已知一线性时不变系统的方程为(’<!#"(#’,*(<!#"(#,!<!#"%("!#"(#,’"!#"求其系统函数=!2""和冲激响应;!#"&解!由系统方程可得=!2""%2",’!2""’,*2",!%2",’!2",""!2",!"%"’2",","’2",!故;!#"/"’18#,"’18!!"#’!#"!!#(!已知-"!#"%’#$%55)#)%-.+#!#*!!;!#"%’#$%"&&&#)%-.*#!#试用傅里叶变换法求"!#"’;!#"&解!"!#"/’#$%55)#)%-.+#!#/"&!67!+#")#$%55)#而67!+#"0!++"&!""故3!2""/"&!;"’!++"&!"855)",!++"&!",55)+,"/+"&!"855)",+"&!",55)"而;!#"/’#$%"&&&#)%-.*#!#/3!67!*#"#$%"&&&#同理=!2""/+3!"8"&&&",+3!","&&&"<@!2""/3!2"")=!2""/+9!"8555",+9!",555"因此"!#"’;!#"/!8"+<@!2"",/9!67!!#"#$%555#/’#$%555#)%-.!#!#(*9(题图!!""!!#)!如题图!!""所示系统%其中-;"!#"%%-.’#!#;’!#"%’!)%-.#!#)%-.’#!#试求整个系统的冲激响应;!#"&解;"!#"/%-.’#!#/’!67!’#";"!#"0+*!"";’!#"/’!%-.#!#)%-.’#!#其中%-.#!#/"!67!#"0+’!""%-.’#!#/’!67!’#"0+*!""因此;’!#"0"’!)’!)+’!""’+*!""/=’!2""=’!2""如题解图!!’5"所示&题解图!!’5"而=!2""/="!2"")=’!2""/+*!"")=’!2""=!2""如题解图!!’5’!/"所示%而=!2""可表示为=/!2""与=2!2""之和%=/!2""和=2!2""如题解图!!’5’!2"/!*"所示&题解图!!’5’(+9(=!2""/=/!2"",=2!2""/+*!"",+"!""’+!!""故;!#"/!8"+=!2"",/%-.’#!#,’!)%-.#’!#)%-.!#’!#!!!*!已知"!#"/67!"##"%@!#"/#$%"&#%且"&3"#&求题图!!"’!/"所示系统的输出<!#"&题图!!"’解!因为+’"#!#"0’"#67!"#""所以’"#67!"##"0’!+’"#!""67!"##"0!"#+’"#!""从而有"!#"@!#"0!’"#+’"#!"8"&",+’"#!","&+,">!2""/!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&,+’"#!","&"182!","&"#+,&而+’"#!""0"#!67!"##"+’"#!""182"#&"#!67+"#!#8#&",+’"#!"8"&"182!"8"&"#&0"#!12"C+"#!#8#&",从而有!1’"#+’"#!"8"&"182!"8"&"#&01’12"C+"#!#8#&",故<!#"/167+"#!#8#&",#$%"&#(99(!!!"!已知系统如题图!!"!所示%其中-"!#"%3#$%"&&#)#$%+&&#%!!@!#"%#$%+&&#理想低通滤波器的系统函数=!2""/’!","’&"8’!"8"’&"%试求系统响应<!#"&题图!!"!解!"!#"@!#"/3#$%"&&#)#$%’+&&##$%"&�!+&!","&&",&!"8"&&",#$%+&�!+&!",+&&",&!"8+&&",#$%’+&�"’!!’+&!","&&&",&!"8"&&&",’&!"",/!’+’&!"",&!","&&&",&!"8"&&&","!#"@!#"03)"’!)!’’+’&!","&&",’&!"8"&&",&!",""&&",&!",5&&",&!"85&&",&!"8""&&",>!2""/*!+&!","&&",&!"8"&&",故<!#"/*#$%"&&#%!#4!84%4"!!!#!已知系统的传输函数如题图!!"*所示%若输入"!#"%$4$%&#$%$#%试求响应<@!#"&题图!!"*解!"!#"%$4$%&#$%$#%",#$%#,#$%’#,’%!!#2&>@!2""%!+"!#",)=!""1&2’"%!+’!#",#$%#’!#",)=!""1&2’"%’!+’!#",1&2’",!+#$%!#"’!#",1&2’"因此<@!#"%’’!#&’",#$%!#&’"’!#&’"()9(!!!!!!!理想低通滤波器具有特性=!2""/+’""182"#&&试证明它对于信号""!#"/!""&!#"和"’!#"/67!""#"的响应是一样的&证!因为&!#"0"%所以""!#"/!""&!#"0!"">"!2""/!""+’""182"#&而"’!#"/67!""#"因为+’""!#"0’""67!""""所以’""67!""#"0’!+’""!""即67!""#"0!""+’""!"">’!2""/!""+’""!"")=!2""/!""+’"!""182"#&>"!2""/>’!2""故<"!#"/<’!#"!!!$!一个因果线性时不变滤波器的系统函数是=!2""/8’2"&求系统对下列信号"!#"的响应<!#"-!"""!#"/12#*!’""!#"/%-."&#)’!#"%求稳态响应<%!#"*!!"3!2""/"2"!9,2""*!*"3!2""/"’,2"&解!!""/!’"略&!!"!!>!2""/3!2"")=!2""/"2"!9,2"")!8’2""/8’9,2"故<!#"/8’189#’!#"!*">!2""/3!2"")=!2""/8’2"’,2"/8’,*’,2"故<!#"/8’&!#",*18’#’!#"!!!%!!略"(39(。
基础与提高题4-1 求下列各信号的傅里叶级数表达式。
(1)j200e t (2) []cos π(1)/4t - (3) t t 8sin 4cos + (4) t t 6sin 4cos + (5) ()f t 是周期为2的周期信号，且()e ,11t f t t -=-<< (6) ()f t 如题图4-1(a)所示。
题图4-1(a)(7) []()()1cos 2πcos 10ππ/4f t t t =++⎡⎤⎣⎦(8) ()f t 是周期为2的周期信号，且(1)sin 2π,01()1sin 2π,12t t t f t t t -+<<⎧=⎨+<<⎩(9) ()f t 如题图4-1(b)所示。
题图4-1(b)(10) ()f t 如题图4-1(c)所示题图4-1(c)(11) ()f t 如题图4-1(d)所示题图 4-1(d)(12) ()f t 是周期为4的周期信号，且sin π,02()0,24t t f t t ≤≤⎧=⎨≤≤⎩(13) ()f t 如题图4-1（e ）所示题图4-1(e)(14) ()f t 如题图4-1(f)所示题图4-1(f)4-2 设()f t 是基本周期为0T 的周期信号，其傅里叶系数为k a 。
求下列各信号的傅里叶级数系数（用k a 来表示）。
（1）0()f t t - （2）()f t -（3）*()f t （4）()d t f z z -∞⎰ （假定00=a ）（5）d ()d f t t（6）(),0f at a > （确定其周期）4-3 求题图4-3所示信号的傅里叶变换（a ） （b ） （c ） （d ）题图4-3 4-4 已知信号()f t 的傅里叶变换为()j F ω，试利用傅里叶变换的性质求如下函数的傅里叶变换（1）()3t f t ⋅ （2）()()5t f t -⋅ （3）()()d 1d f t t t-⋅（4）()()22t f t -⋅- 4-5 已知信号()f t 如题图4-5（a ）所示，试使用以下方法计算其傅里叶变换（a ） （b ）题图 4-5（1）利用定义计算()j F ω；（2）利用傅里叶变换的微积分特性计算；（3）()u u u u 2244f t t t t t ττττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，利用常用信号()u t 的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性及时移特性计算()j F ω；（4）()()()11f t f t f t =+-（()1f t 如题图4-5（b ）所示），先计算()1j F ω，然后利用尺度变换性质计算()j F ω；（5）()()()/2f t g t g t ττ=+，利用门函数的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性()j F ω；（6）()()/2/4/433288f t g t g t g t τττττ⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用门函数的傅里叶变换和傅里叶变换的线性特性及()j F ω时移特性计算()j F ω。
一、画出函数的波形图 1. ()t U t f πcos )(= 的波形图 。
2.()[]t U dt dt f πsin )(=的波形图 。
3. ()[]t U e dtd t f tcos )(-= 的波形图 。
4. ()()⎰-=td t f 0sin τπτδ 的波形图 。
5. ()[]t t t f sgn sin )(π= 的波形图 。
6. ()()()11sin sin )(--+=t U t t tU t f ππ的波形图 。
7.()()[]()()[]{}1cos 1sin )(--+--=t U t U t dtdt U t U t t f πππ 的波形图 。
二、波形的变换1. 已知信号)(t f 的波形如图所示，则)2(t f -的波形为 。
2. 已知信号)(t f 的波形如图所示，则⎪⎭⎫⎝⎛-12t f 的波形为 。
3. 已知信号)(t f 的波形如图所示，则()t f dtd的波形为 。
4. 已知)25(t f -的波形如图所示，依反折—尺度变换—时移次序顺次画出)(t f 的波形。
5. 已知)25(t f -的波形如图所示，依时移—尺度变换—反折次序顺次画出)(t f 的波形。
6. 信号)(t f 的波形如图所示，则()()322)(-*+=t t f t y δ，则)(t y 的波形为_________。
7. 已知信号()2t /1-f 的波形如图所示，则()()t U f -+1t 的波形为_________。
8.()12t +-f 的波形如图所示，则)(t f 的波形为_________。
三、冲激函数()t δ的性质 1. ()()[]t e dtd t tδ21--= 。
2.()()[]⎰∞∞--+dt t t e t δδ'2= 。
3.()⎰∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+dt t t t 24sin 2δπ= 。
4. ()⎰∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-dt t t e t t t 1sin 12πδ= 。
信号与系统题库(完整版)信号与系统题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分)一、选择题(7小题,共0.0分)[1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。
A 、231()(3)()5tt h t ee t ε-=+-B 、32()()()t th t ee t ε--=+C 、3232()()55tte t e t εε--+D 、3232()()55ttet e t εε--+-[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad s π，通带内传输值为1，相移为零的理想低通滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++B 、012sin 20sin 40CC t C t ππ++C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20CC tπ+[4]已知周期性冲激序列()()Tk t t kT δδ+∞=-∞=-∑的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2TπΩ=；又知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭；则()f t 的傅里叶变换为________。
A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩD 、22()δωΩΩ[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()kkh k k k εε-=--+，则该系统是________系统。
A 、因果稳定B 、因果不稳定C 、非因果稳定D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（23kk--+）u(k), 零状态响应为(1)2()kk u k -+,则该系统的阶数A 、肯定是二阶B 、肯定是三阶C 、至少是二阶D 、至少是三阶[7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。
第一章时域离散信号和系统的频域分析2.1填空题（1） 双边序列z 变换的收敛域形状为 。
解：圆环或空集（2）对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。
解：411,01z z z --->-（3）抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。
解：k Nj eZπ2=（4）序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。
解：{0，3，1，-2; n=0,1,2,3}（5）设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。
解：)()()(n h n x n y *=（6）因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。
解：x(0)（7）FT[x(n)]存在的充分必要条件是 。
解：序列x(n)绝对可和（或()n x n ∞=-∞<∞∑）（8）共轭对称序列的实部是 函数，虚部是 函数。
解：偶；奇 （9）设)]([)(n x FT e X j =ω，那么)]([0n n x FT -= 。
解：0()j n j eX e ωω-（10）设)]([)(11n x FT e X j =ω，)]([)(22n x FT e X j =ω，那么)]()([21n bx n ax FT += 。
解：12()()j j aX ebX e ωω+（11）Z 变换存在的条件是 。
解：()n n x n z ∞-=-∞<∞∑（12）单位圆上的Z 变换就是序列的 。
解：傅里叶变换（13）若系统函数H( z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为 系统。
解：因果稳定 （14）若πωω20,1)(≤≤=j e H ，则该滤波器为 。
解：全通滤波器（15）已知x(n)=IDFT[X(K)],x(n)的隐含周期为 。
解：N（16）设x(n)是长度为M(N M≤)的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即)())(()(n R m n x n y N N +=，X(k)=DFT[x(n)]N ，N k ≤≤0，则Y(k)=DFT[y(n)]= 。
基础与提高题4-1 求下列各信号的傅里叶级数表达式。
(1)j200e t (2) []cos π(1)/4t - (3) t t 8sin 4cos + (4) (5) ()f t 是周期为2的周期信号，且()e ,11t f t t -=-<< (6) ()f t 如题图4-1(a)所示。
题图4-1(a)(7) []()()1cos 2πcos 10ππ/4f t t t =++⎡⎤⎣⎦(8) ()f t 是周期为2的周期信号，且(1)sin 2π,01()1sin 2π,12t t t f t t t -+<<⎧=⎨+<<⎩(9) ()f t 如题图4-1(b)所示。
题图4-1(b)(10) ()f t 如题图4-1(c)所示t t 6sin 4cos +题图4-1(c)(11) ()f t 如题图4-1(d)所示题图 4-1(d)(12) ()f t 是周期为4的周期信号，且sin π,02()0,24t t f t t ≤≤⎧=⎨≤≤⎩(13) ()f t 如题图4-1（e ）所示题图4-1(e)(14) ()f t 如题图4-1(f)所示题图4-1(f)4-2 设()f t 是基本周期为0T 的周期信号，其傅里叶系数为k a 。
求下列各信号的傅里叶级数系数（用k a 来表示）。
（1）0()f t t - （2）()f t -（3）*()f t （4）()d t f z z -∞⎰ （假定00=a ）（5）d ()d f t t（6）(),0f at a > （确定其周期）4-3 求题图4-3所示信号的傅里叶变换（a ） （b ） （c ） （d ）题图4-3 4-4 已知信号()f t 的傅里叶变换为()j F ω，试利用傅里叶变换的性质求如下函数的傅里叶变换（1）()3t f t ⋅ （2）()()5t f t -⋅ （3）()()d 1d f t t t-⋅（4）()()22t f t -⋅- 4-5 已知信号()f t 如题图4-5（a ）所示，试使用以下方法计算其傅里叶变换（a ） （b ）题图 4-5（1）利用定义计算()j F ω；（2）利用傅里叶变换的微积分特性计算；（3）()u u u u 2244f t t t t t ττττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，利用常用信号()u t 的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性及时移特性计算()j F ω；（4）()()()11f t f t f t =+-（()1f t 如题图4-5（b ）所示），先计算()1j F ω，然后利用尺度变换性质计算()j F ω；（5）()()()/2f t g t g t ττ=+，利用门函数的傅里叶变换及傅里叶变换的线性特性()j F ω；（6）()()/2/4/433288f t g t g t g t τττττ⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用门函数的傅里叶变换和傅里叶变换的线性特性及()j F ω时移特性计算()j F ω。
4-6求下图信号的傅里叶变换图4-64-7求如图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。
图4-74-8 设()j ωF 表示题图4-8所示信号的傅里叶变换。
图4-8（1）求()j ωF 的相位； （2）求()0F （3）求()j d ωω∞-∞⎰F （4）计算()j22sin j e d ωωωωω∞-∞⎰F（5）计算()2j d ωω∞-∞⎰F4-9 题图4-9为()F j ω的幅度特性和相位特性，求 ()F j ω的傅里叶逆变换()f t 。
（a ） （b ）图4-94-10 求如图4-10所示三脉冲信号的频谱。
图4-104-11已知()()()2f t F j E Sa ωτ↔ω=τ，求(25)f t -的频谱密度函数。
4-12 求221()(0)f t t αα=>+的傅里叶变换 ()F j ω，并求 121()1(1)1f t t =+-+的傅里叶变换1()F j ω。
4-13 求1t 、21t的傅里叶变换，并求t 的傅里叶变换。
4-14利用微分定理求题图4-15所示的半波正弦脉冲()f t 及其二阶导数22()d f t dt的频谱。
图4-144-15求下图三角函数的频谱密度函数。
2-2图4-15 4-16已知1()tF e t j αμαω-⎡⎤=⎣⎦+，（1） 求()()t f t te t αμ-=的傅里叶变换； （2） 证明()t t μ的傅里叶变换为21()()j j πδωω'+。
4-17已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换：[]1()()F t j μπδωω=+， [][]000cos()()()F t ωπδωωδωω=++-，[][]000sin()()()F t j ωπδωωδωω=+--求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。
4-18求题图4-18所示信号的频谱函数。
tt(a)(c)(d)图4-184-19已知1()()FTt j μπδωω←−→+ ，求()t δ和()t δ'的傅里叶变换。
4-20以T 为周期的单位冲击串()T t δ是一类很重要的信号，其表达式为()()T n t t nT +∞=-∞δ=δ-∑ ，求()Tt δ的傅里叶变换。
图4-204-21 已知周期矩形脉冲信号()f t 的幅度为E ，脉宽为τ，周期为1T ，角频率为112T πω=。
如图所示。
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数与傅里叶变换。
图 4-214-22已知周期冲激串为()(1)()4nn n p t t δ∞=-∞=--∑，求其傅里叶变换。
4-23设系统的微分方程为2222()3()2()()4()5()d d d d y t y t y t f t f t f t dt dt dt dt++=++ 若输入3()()t f t e t μ-=，试用傅里叶分析法求响应()y t 。
4-24 求下列信号的奈奎斯特间隔和频率（1）(90)Sa t （2）2(90)Sa t（3）(90)(50)Sa t Sa t + （4）2(100)(70)Sa t Sa t +4-25 若()f t 的频谱()F j ω如题4-25所示，利用卷积定理粗略画出，0()cos()f t t ω，0()j t f t e ω，1()cos()f t t ω的频谱（注明频谱的边界频率）。
图4-254-26已知矩形调幅信号()()()0cos,f t G t t ω=其中()G t 为矩形脉冲，脉冲幅度为E ，脉宽为τ，试求其频谱函数。
矩形调幅信号的波形图4-264-27 一个因果LTI 系统的输出()y t 与输入()f t 之间的关系为()()()d 2d y t y t f t t+=， （1）求系统的传递函数()()()j j /j H Y F ωωω=，并画出频谱特性图。
（2）若()()e u tf t t -=，求()j Y ω。
（3）求()y t（4）若输入()f t 的傅氏变换为下列各式，重复（2）、（3）小题求()y t 。
（4-1）()1j j 2j F ωωω+=+，（4-2）()2j j 1j F ωωω+=+，（4-3）()()()1j 2j 1j F ωωω=++4-28 由题图4-29所示的RLC 电路实现的LTI 因果系统，()f t 为输入电压，电容上的电压取为该系统的输出()y t 。
（a ）求关联()f t 和()y t 的微分方程； （b ）求系统对输入为()j e t f t ω=的频率响应； （c ）若()()sin f t t =，求输出()y t 。
(f t +-图 4-284-29 已知频率特性函数为：()()()()()()()34322j j 4j j 3j 2j 5j 2H ωωωωωωω++=++++，求其幅频特性和相频特性。
4-30（1）设()f t 的傅里叶变换为(j )F ω，而()p t 是基本频率为0ω，傅里叶级数的表示式为()0j e n t n n p t a ω+∞=-∞=∑的周期信号。
求()()()y t f t p t =⋅的傅里叶变换。
（2）假设()j F ω如题图4-30所示，对于下列各()p t ，试画出相对应的()y t 的频谱图。
图4-30（31-1）()()cos /2p t t = （31-2）()cos p t t = （31-3）()cos2p t t = （31-4）()()()sin sin 2p t t t = （31-5）()cos2cos p t t t =- （31-6）()()δπn p t t n +∞=-∞=-∑（31-7）()()δ2πn p t t n +∞=-∞=-∑（31-8）()()δ4πn p t t n +∞=-∞=-∑（31-9）()()()1δ2πδπ2n n p t t n t n +∞+∞=-∞=-∞=---∑∑4-31图4-31(a)示出一个抽样系统，其中调制频率0121()2ωωω=+，低通滤波器的截止频率211()2c ωωω=- 。
输出信号的频谱如图4-31(b)所示：f 0()()δ=-∞=-∑n p t t nT图4-31（a ）2112图4-31（b ）（1）画出该系统的输出信号()p f t 恢复原信号()f t 的频谱()p F j ω； （2）确定可以从()p f t 恢复原信号()f t 的最大抽样周期。
工程题:4-32信号通过非线性系统所产生的失真称为非线性失真。
其特点是在输出信号中产生了原信号中所没有的或新的频率成分。
题图4-32（b ）所示为一非线性电路，其输入信号()f t （题图4-32（a ）所示）为单一正弦信号，其中只含有0f 的频率成分，经过该系统的非线性元件——二极管（理想器件，其阈值电压设为0伏）后得到半波整流信号（题图4-32（c ）所示），在波形上产生了失真，试计算输出信号()y t 的傅里叶级数表示式，画出其幅度谱图。
从幅度谱中，可看出输出信号产生了由无穷多个0f 的谐波分量构成的新频率。
+--(f t ()y t（a ）（b ） （c ）题图4-32非线性失真4-33 由题图4-33所示的RL 电路实现的LTI 因果系统，电流源输出电流为输入()f t ，系统的输出为流经电感线圈的电流()y t 。
（a ）求关联()f t 和()y t 的微分方程；（b ）求系统对输入为()j e t f t ω=的零状态响应； （c ）若()()cos f t t=，求输出()y t(f t 1Ω-题图 4-334-34 由题图4-34所示的RLC 电路实现的LTI 因果系统，()f t 为输入电压，电容上的电压取为该系统的输出()y t 。
