在前面一节中我们引进的六种类型的函数极限.

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

第三章 函数极限1. 教学框架与内容 教学目标① 掌握各种函数极限的分析定义，理解邻域语言描述函数极限定义, 能够用定义证明函数极限.② 掌握函数极限的性质和计算函数的极限.③ 掌握函数极限的归结原则和单调有界定理，理解函数极限的柯西准则．④ 掌握两个重要极限：0sin lim 1;x x x→= 1lim 1 e.x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⑤ 掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． 教学内容① 当 ∞→x ；∞+→x ；∞-→x ； 0x x →；+→0x x ； -→0x x 时函数极限的分析定义, 邻域语言描述函数极限定义, 分析定义证明和计算简单的函数极限．② 函数极限的性质, 如唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，复合函数极限, 用这些性质计算函数的极限．③ 函数极限的归结原则；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．④ 两个重要极限0sin lim 1;x x x →= 1lim 1e x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭的证明，利用两个重要极限计算函数极 限与数列极限．⑤ 无穷小量与无穷大量，高阶无穷小量，同阶无穷小量，等阶无穷小量． 2. 重点和难点① 各种函数极限的分析定义.② 函数极限的局部性质, 局部的 δ（的大小）不仅与ε有关，而且与点0x 有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．③ 函数极限的归结原则以及应用；函数极限的柯西准则． ④ 与两个重要的函数极限有关的计算与证明． ⑤ 熟练使用“ o ”与“ O ”进行运算． 3. 研究性学习选题●两个重要极限的应用查找资料，列出两个重要极限的一些应用.● 复合函数极限举出复合函数极限存在和不存在的例子, 寻找极限存在条件.● 等价无穷小的代换举出例子, 说明等价无穷小何时可以代换.4. 研究性学习选题，写学习笔记■ 数列极限与函数极限的区别与联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的三个选题(选最好的两个计分) 合计30分.● 两个重要极限的应用（计15分）● 复合函数极限（计15分）● 等价无穷小的代换（计15分）◎学习笔记计50分.§1 函数极限概念一、x →∞时函数的极限以()n a f n =的极限引入定义在[,)a +∞上函数()f x 当x →+∞时的极限.()0,,:().lim ()0,,:().n x a f n a N n N f n a f x A X x X f x A εεεε→+∞=→⇔∀>∃>-<=⇔∀>∃>-<定义1设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数()X a ≥, 使得x X >时()f x A ε-<,则称f 当x →+∞时以A 为极限, 记作lim ()x f x A →+∞= 或 () ()f x A x →→+∞.几何意义 (画图)(分析定义)任给0ε>.对平面上平行于x 轴的两条直线,y A y A εε=-=+,围成以y A =为中心线宽为2ε的带形区域, X ∃,当x X >(在x X =的右方) 曲线()y f x =全部落在上述带形区域之中.类似给出lim ()x f x →-∞, lim ()x f x →∞定义. lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→+∞=⇔∀>∃>∀>-<; lim () 0, 0, , ()x f x A X x X f x A εε→-∞=⇔∀>∃>∀<--<; lim () 0, 0, ||, ()x f x A X x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>∀>-<.(简要作图说明几何意义)说明结论 lim ()x f x →∞存在⇔lim ()x f x →+∞与 lim ()x f x →-∞都存在且相等.例1 1) 用定义验证: 1lim0x x→∞=.2) lim arctan , lim arctan 22x x x x ππ→-∞→+∞=-=(从而lim arctan x x →∞不存在).例2 验证: 222lim 22x x xx →∞+=-.以邻域语言重新叙述上述定义记(){,},(){,},U x x X U x x X +∞=>-∞=<-(){,}U x x X ∞=>, 其中X 为 充分大的正数lim ()0,():():()(,)x f x A U x U f x U A εε→+∞=⇔∀>∃+∞∈+∞∈; (),(),():()()U A U x U f x U A ⇔∀∃+∞∈+∞∈; (),(),(())()U A U f U U A ⇔∀∃+∞+∞⊂.lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →-∞=⇔∀∃-∞∈-∞∈. lim ()(),(),():()()x f x A U A U x U f x U A →∞=⇔∀∃∞∈∞∈. 二、0x x →时函数的极限考察函数21,2,()0,2.x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 当2x →时的极限.定义 2 ()εδ- 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,A 为定数, 若对任给的0ε>, 存在正数'()δδ<使得00||x x δ<-<时, 有|()|f x A ε-<, 则称f 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作lim ()x x f x A →= 或 0() ()f x A x x →→.以邻域形式改写并与x →∞时统一起来.0lim ()0,0,0,()x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),():()(,)U x x U x f x U A εε⇔∀>∃∈∈; 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A ⇔∀∃∈∈.几何意义 作图说明例3 01) lim x x c c →=;02) lim x x x x →=;003) lim sin sin x x x x →=;04) lim |1)x xx →=<.注 1 考察函数f 在0x x →时的极限是在0x 的某去心邻域上考察的,也就是说f 在0x 处的极限存在与否(或极限值为多少)与f 在0x 处是否有定义或值0()f x 为多少均无关.注 2 εδ-定义中的δ相当于数列极限N ε-定义中的N , 其依赖于ε. 三、单侧极限 (为什么讨论单侧极限?)考察 20,1,()0.1,x x f x x x ≤⎧+=⎨>-⎩ 在0x =处的极限.定义3 设f 在0''00(,){:0}U x x x x δδ+=<-<(或0''00((,){:0})U x x x x δδ-=-<-<内有定义,A 为定数. 若对任何的0ε>,存在正数'()δδ<, 使得00x x δ<-<(或00x x δ-<-<)时, 有 ()f x A ε-<.则称数A 为函数f 当x 趋于0x +(或0x -)时的右(左)极限, 记作 0lim ()x x f x A +→= (或0lim ()x x f x A -→=)或 0(), ()f x A x x +→→ (0(), ()f x A x x -→→).右极限与左极限统称为单侧极限, 也可分别记为00(0)lim ()x x f x f x +→+=; 00(0)lim ()x x f x f x -→-=. 00lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<; 00000,(),(): ()U x x U x f x A εε++⇔∀>∃∈-<;0000(),(),(): ()()U A U x x U x f x U A ++⇔∀∃∈∈.0lim ()0,0,0: ()x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-< 0000(),(),():()()U A U x x U x f x U A --⇔∀∃∈∈几何意义 作图说明定理 000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==. 例411) lim 0x -→=.2122) lim1x x x x →+--不存在.例5 设f 在0x 的某邻域内有定义并且单调, 则1) 0lim ()x x f x +→, 0lim ()x x f x -→存在;2) 若0lim ()x x f x →存在, 则00lim ()()x x f x f x →=.习 题1. 验证下列极限1) 1lim sin 0x x →+∞=2) 1lim )2x x →+∞=3) 22322lim 31x x x x →∞+-=- 4) 211lim 12x x x →=+ 5) lim ()n n x ax a n N →=∈ 6) 00lim cos cos x x x x →=7) lim 0x →+∞=8) 053x →=2. 若0lim ()x x f x A →=，则0lim |()|||x x f x A →=. 当且仅当A 为何值时？反之也成立.3. 叙述0lim ()x x f x A →≠.4．讨论下列函数在0→x 时的极限或左,右极限.1) ;)(x x x f = 2) []x x f =)(; 3) ⎪⎩⎪⎨⎧<+=>=.01,00,02)(2x x x x x f x5. 设2,1,(),1,,1,x x f x A x x B x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩则当,A B 为何值时, 1lim ()x f x →存在.6. 设lim ()x f x A →+∞=, 证明.)1(lim 0A xf x =+→7. 证明: 对Riemann 函数)(x R , ,0)(lim 0=→x R x x 0 [0,1]x ∀∈.§2 函数极限性质在前面我们共讨论了六种类型的极限1) lim ()x f x →+∞2) lim ()x f x →-∞ 3) lim ()x f x →∞4) lim ()x x f x → 05) lim ()x x f x +→ 06) lim ()x x f x -→ 虽然形式不一样,但在本质上是一样的,它们的定义可用邻域语言统一为000(,,,,,)X x x x +-=∞+∞-∞00lim ()(), (), ():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈.因而上述六种类型的极限性质是一样的,下面我们仅以0lim ()x x f x →为例, 讨论函数极限性质(请注意与数列极限性质比较). 一、函数极限性质定理 (唯一性) 若0lim ()x x f x →存在,则此极限是唯一的. 定理 (局部有界性) 若0lim ()x x f x →存在,则f 在0x 的某去心邻域00()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若0lim ()0x x f x A →=>(0<),则对任何正数r A <(r A <-), 存在00()U x ,使得一切00()x U x ∈有()0f x r >>(()0f x r <-<).注 1 一般取2A r =(或2A r =-). 推论 若0lim ()0x x f x A →=≠,则存在00()U x ,使得对任何00()x U x ∈, ()0f x ≠.定理 (保不等式性) 若0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →存在,且在某邻域0'0(,)U x δ内有 ()()f x g x ≤, 则 0lim ()lim ()xx x xf xg x →→≤.注 2 若定理3.5中条件仅为()()f x g x <, 则未必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.定理 (迫敛性) 设0lim ()lim ()x x x xg x h x A →→==且在0x 的某去心邻域中 ()()()g x f x h x ≤≤,则0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x A →=.定理 (四则运算) 设0lim ()x x f x A →=,0lim ()x x g x B →=, 则 1) 0lim(()())x x f x g x →±存在,且 0lim(()())lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→±=±=±;2) 0lim ()()x x f x g x →⋅存在且 0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x A B f x g x →→→⋅=⋅=⋅;3) 当0, ()0B g x ≠≠时, 0()lim ()xxf xg x →存在且 000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x A g x B g x →→→==.二、利用极限性质解题 例1 求下列极限.41) lim (tan 1)x x x π→⋅-; 3325272) lim 325x x x x x →∞++++;31133) lim()11x x x →--++; 710114) lim 1x x x →--;015) lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦; 16) x →;7) lim x →+∞; 8) x →∞;19) x →010) x →?]x →=;0111) lim 1n x x x x →⋅+; 2112) lim 1n x x x x n x →++⋅⋅⋅+--.例2 求满足下列条件的, A B .2211) lim[()]0;1x x Ax B x →+-+=-2222) lim 7;4x x Ax B B x →++=--33) lim .3x A B x →=-三、复合函数的极限期望结论 0lim ()x x f x a →=,lim ()y a g y b →=⇒0lim (())x x g f x b →=. 但这个结论未必成立.例 3 1,0,0, 0,0.y f g y ≠⎧==⎨=⎩ 有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==,而0lim (())0x g f x →=. 例 4 1()sin (0)f x x x x =≠, 1,0,()0,0.y g y y ≠⎧=⎨=⎩ 则有00lim ()0, lim ()1x y f x g y →→==. 而1,1,(())0,1,x n g f x x n ππ≠⎧=⎨⎩= 0lim (())x g f x →不存在. 定理 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=, 则00lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.定理 (变量代换) 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=, 且在0x 的某一邻域中()f x a ≠, 则lim (())x x g f x b →=.例 5 假设已知01lim 1,limln 0x x x e x →→==,0lim ()0x x f x a →=>,0lim ()x x g x b →=, 求证: 0()lim ()g x b x x f x a →=.习 题1. 利用四则运算性质求下列极限1) limx ; 2) 0x →;3) 0x →0x →;5) lim x →+∞; 6) limx →+∞7) lim 0)x aa +→>; 8) 276390(36)(53)lim(21)x x x x →+∞++-.2. 求 1)sin limx x x x →+∞-; 2)2sin lim 4x x x x →∞⋅-; 3)x ; 4)x →. 3. 试给出函数f 的例子,使0)(>x f 恒成立, 而在某一点0x 处有0)(lim 0=→x f x x . 这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 4．设.)(lim 0A x f x x =→,.)(lim 0B x g x x =→1) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f <, 问是否必有B A <成立? 为什么? 2) 证明: 若B A >, 则在某)(00x U 内有)()(x g x f >.5. 证明：若30lim ()x f x →存在，则0lim ()x f x →存在且300lim ()lim ()x x f x f x →→=.6. 证明: 若0lim ()x x f x A →=,则022lim[()]x x f x A →=.反之呢?7. 证明: 若()0f x ≥,0lim ()x x f x →存在,则0limx x →=8．求下列极限(其中n 为正整数):1) ;11lim 0n x x x x+-→ 2) ;11lim 0n x x x x ++→ 3) .1lim 21--+++→x nx x x n x4) ;11limxx nx -+→ 5) []x x x ∞→lim. 9．若)(lim 20x f x →存在, 试问是否有)(lim 0x f x →=)(lim 20x f x →成立?§3函数极限存在条件本节仍以0lim ()x x f x →为例, 介绍函数极限存在的两个充要条件. 一、归结原则(Heine 定理)----函数极限与数列极限关系定理 (归结原则) 设函数f 在0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则lim ()x x f x →存在⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在. ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等.注 1 Heine 归结原则反映了离散型与连续型变量之间的关系,也就是说可以把函数极限归结于数列极限来处理.例 1 利用数列极限性质证明函数极限的迫敛性.注 2 Heine 归结原则是证明函数极限不存在的强有力的工具. 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x 使lim ()n n f x →+∞不存在,或找到两个以0x 为极限的数列{}'nx ,{}"nx 使'lim()n n f x →+∞和"lim ()n n f x →+∞都存在但不相等,则0lim ()x x f x →不存在.例 2 1) 证明: 01limsin x x →不存在.2) Dirichlet 函数在R 上处处不存在极限.注3 若对单侧极限, Heine 归结原则可减弱为{}n x 单调趋于0x . [为什么?]例3 若f 在0x 的某去心邻域00()U x +有定义, 则0lim ()x xf x +→存在⇔ 对任何以0x 为极限的递减数列{}'n x ⊂00()U x +有lim ()n n f x →+∞存在且相等.对应单调有界数列必有极限, 函数极限类似有定理 设f 是定义在00()U x 上的单调有界函数,则0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→均存在.注4 此时若00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=, 则0lim ()x x f x →存在,又若还有f 在0x 处有定义, 则00lim ()()x x f x f x →=. (与第一节例5比较) 例 4 设f 在[,)a +∞上单调, 则lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有界. (比较数列情形)注 5 根据归结原则,若lim ()x f x →+∞存在,n x →+∞, 则lim ()n n f x →∞存在. [此结论有何作用? 反之何时成立?]例 5 若()f x 是周期函数, lim ()0x f x →+∞=, 则()0f x ≡.二、Cauchy 准则定理 (Cauchy 准则) 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域0'(,)U x δ内有定义,则0lim ()x x f x →存在''"000, 0 (), ,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈, 有 '"()()f x f x ε-<.注 6 (Cauchy 准则的否定)例 6 用Cauchy 准则证明01limsin x x →不存在.例 7 叙述lim ()x f x →+∞存在的Cauchy 准则. [与数列Cauchy 准则比较]习 题1. 叙述lim ()x f x →+∞的归结原则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.2. 叙述lim ()x f x →+∞不存在的Cauchy 准则,并应用其证明lim sin x x →+∞不存在.3. 直接用极限定义证明lim sin x x →+∞不存在.4．设f 为定义在),[+∞a 上的增(减)函数. 证明: )(lim x f x +∞→存在的充要条件是f 在),[+∞a 上有上(下)界.5．设f 在)(00x U 内有定义, 证明: 若对任何数列)(}{00x U x n ⊂且0lim x x n n =∞→,极限)(lim n n x f ∞→都存在, 则所有这些极限都相等.6. 设f 在)(00x U 上的递增函数.证明:)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在,且)(sup )0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.7．设f 为)(00x U -内的递增函数. 证明: 若存在数列)(}{00x U x n -⊂, 0n x x →, 使得A x f n n =∞→)(lim , 则有A x f x f x U x ==--∈)(sup )0()(0008. 证明: 若f 为周期函数, 且lim ()x f x A →+∞=, 则().f x A ≡§4 两个重要极限一、0sin lim1x xx→=证明:例 1 0tan 1) lim 1x x x→= sin 2) lim x xx ππ→--0sin 53) lim sin 3x x x → 201cos 4) lim x xx →-0arcsin 5) lim x x x → sin sin 6) lim x a x ax a→--例 2 0sin 1) lim x x x→ 12) lim sin x x x →∞⋅13) lim sinx x x →⋅ 30tan sin 4) lim x x xx →-5) x → [分析上述极限形式0]二、1lim(1)xx e x→∞+= 或 10lim(1)x x x e →+=.分析上述形式 1∞, ()()1lim (1)()f x f x e f x →+∞+= 或 1()()0lim (1())g x g x g x e →+= . 例 3 1) lim(1)xx k x→∞+ 102) lim(12)x x x →+csc 03) lim(13sin )xx x →- 53234) lim 21xx x x -→∞-⎛⎫ ⎪+⎝⎭215) lim(cos )x x x → 0ln(1)6) limx x x→+017) lim x x e x→-思考为什么称0sin lim 1x x x →=和1lim(1)x x e x→∞+=为两个重要极限?习 题1. 求下列极限.1) 1lim sin x x x →+∞⋅ 2) 2cos lim 2x xx ππ→-3) 30tan sin lim x x x x →- 4) 0arctan limx xx→ 5) 22sin sin lim x a x a x a →-- 6) 201cos lim x x x →-7) 0x →2lim(1)xx x -→∞- 9) cos 0lim(1tan )x x x →+ 10) 0ln(12)limx x x→+11) 01lim x x e x→- 12) 2332lim ()31x x x x -→+∞+-13) lim (1)x x x βα→+∞+ 14) sin 01lim(1)x x x→+15) 0lim{lim[cos cos cos ]}22n x n x xx→→+∞⋅⋅⋅2. 利用归结原则求下列极限. 1) lim sinn nπ2) 211lim(1)nn n n →∞++ 3. 利用两个重要极限求下列极限.1) 330sin lim sin x x x → 2) 22cos 2cos3lim (2)x x x x ππ→-- 3) 2cos3limcos x xxπ→4) 0csc cot lim x x x x →-5) 1lim sin x x x →∞⋅ 6) 25lim()6x x x x +→∞++ 7) 2lim(cos )x x a x→∞ 8) 111lim x x x -→§5 无穷大量与无穷小量一、无穷小量定义1 设f 在某00()U x 有定义,若0lim ()0x x f x →=,则称f 为当0x x →时的无穷小量.记作 0()(1), ()f x x x ο=→.若函数g 在某00()U x 内有界,则称g 为0x x →时的有界量. 记作0()(1), ()g x O x x =→.例1 3, sin , 1cos x x x -是0x →时的无穷小量1x -→时的无穷小量.21sin ,x x x 为x →∞时的无穷小量, sin x 为x →∞时的有界量, 1sinx 为0x →时的有界量, 1sin x为x →∞时的无穷小量.性质1 两个(类型相同的)无穷小量之和,差,积仍是无穷小量. 性质2 无穷小量必为有界量.无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.例2 011) lim sin0x x x →⋅= 能否写成001lim limsin 0x x x x→→=⋅=注意1lim sin 1x x x →∞⋅=; sin lim0x xx →∞=.22) lim sin(2)01n n n n →∞⋅+=+.注1 无穷小量不是很小的数,而是极限为0的函数 (无穷小量与极限的关系)lim ()()x x f x A f x A →=⇔-为0x x →时的无穷小量.两个无穷小量收敛到0的速度有快有慢,这个就是阶的问题. 二、无穷小的阶无穷小量指极限为0的函数.其和差积均是无穷小量,但其商就不一定了,如22000sin sin sin lim 1,lim 0,lim x x x x x x x xx →→→===∞. 这实际上说明了一个问题,不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢------这本质上就是无穷小的阶的不同.设0x x →时, ()(1), ()(1)f x g x οο==(都是无穷小).1. 若0()lim 0()x xf xg x →=, 则称当0x x →时, f 为g 的高阶无穷小量,或称g 为f 的 低阶无穷小量.记作0()(()), ()f x g x x x ο=→例3 1) 0x →时, 2,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均是无穷小且1(),(0)k k x x x ο+=→. 01cos 2) lim0x xx→-=; 1cos (), (0)x x x ο-=→.2. 若存在正数,0K L >, 使得在某00()U x 上()()f x K Lg x ≤≤ 则称f 与g 为0x x →时的同阶无穷小量. 特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠,f 与g 必为同阶无穷小量.(为什么?) 例4 201cos 11) lim2x x x →-= 01sin (2sin )2) lim x x x x →⋅+不存在. 但1sin (2sin )13x x x ⋅+≤≤， x 与1sin (2sin )x x⋅+为0x →时的同阶无穷小量. 3. 当 0()lim 1()x xf xg x →=时,则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小, 记作 ()~()f x g x , 0()x x → 注2 若无穷小量f ,g 满足()()f x Lg x ≤,00()x U x ∈, 则 记作 ()(())f x O g x =,0()x x →例 5 21) 1cos ()x O x -= 211cos ~2x x -(0)x → 2) sin ~,(0)x x x → 1~,(0)x e x x -→ ln(1)~,(0)x x x +→11~,(0)2x x → 注3 在上述定义中注意f ,g 首先都要求是无穷小量,若只有0()lim 1()x xf xg x →=,不能 说就有()~()f x g x ,0()x x →(原因在于()f x ,()g x 未必是无穷小量). 注4 并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较,如2x 与1sin x x⋅. 下面的定理说明等价无穷小在求极限过程中的作用.定理 设f ,g ,h 在00()U x 有定义,且()~()f x g x ,0()x x →1) 若0lim ()()x x f x h x A →⋅=, 则0lim ()()x x g x h x A →⋅=; 2) 若0()lim ()x xh x B f x →=, 则0()lim ()x x h x B g x →=.例6 0arctan 1) lim sin 4x x x → 30tan sin 2) lim x x xx →-03) x →014) lim (1cos )sin 2x x x →-121cos 05) lim(1sin )xx x -→- sin 6) limsin x mxnxπ→*117) lim ln x x x x x→-注5 上面的定理说明,在求极限时,对乘除法可以用等价无穷小代换, 但对 加减法千万不能直接用等价无穷小代换.例7 1) 确定α,x α与sin 22sin x x -α(0)x →.2) 0,~x p +→⇒= . 例8 设已知0()ln(1)sin lim21x x f x x A →+=-, 则20()lim x f x x →= .思考 对加减法何时可以运用等价无穷小代换? 三、无穷大量 (由邻域语言引入)定义2 设函数f 在某00()U x 内有定义,若对任给的0G >,存在0δ>, 使得当0000(,)(())x U x U x δ∈⊂时,有()f x G >. 则称函数f 当0x x →时有非正常极限∞.记作lim ()x x f x →=∞. 若上式()f x G >换作()f x G >(或()f x G <-),则分别称f 当0x x →时有非正常极限+∞(或-∞),分别记作0lim ()x x f x →=+∞(或0lim ()x x f x →=-∞). 定义3 对于自变量x 的某种趋向, 以,,∞+∞-∞为非正常极限的函数都称为 无穷大量. 例9 220011lim, lim , lim x x x x xx →→→∞=+∞=∞=+∞易见若f 为0x x →时的无穷大量,则f 为00()U x 上的无界函数,但无界函数未必为无穷大量.如()sin f x x x =⋅在[0,)+∞上无界,但不是无穷大量.原因在于 f 在[,)a +∞上无界0,[,)G G x a ⇔∀>∃∈+∞时有()G f x G >.f 在[,)a +∞上()x →+∞时无穷大量0,,,()G X a x X f x G ⇔∀>∃>∀>>.性质 1) 同号无穷大之和积仍是无穷大.2) 同号无穷大之差(异号无穷大之和)未必为无穷大.无穷大量与无穷小量之间的关系.定理 1) 设f 在00()U x 内有定义且不为0, 若f 为0x x →时的无穷小量,则1f为0x x →时的无穷大量. 2) 若g 为0x x →时的无穷大量, 则1g为0x x →时的无穷小量.[归纳各种形式函数极限(二十四种)00lim ()(),(),(),()().x Xf x a R U a U X x U X f x U a *→=∈⇔∀∃∈∈四、曲线的渐近线由平面解析几何,双曲线22221x y a b -=有两条渐近线0x y a b ±=.下面讨论一般曲线的渐近线问题(作图)定义4 若曲线l 上的动点P 沿曲线无限地远离原点时, 点P 与某定直线L 的 距离趋于0,则称直线L 为曲线l 的渐近线.下面我们主要讨论曲线()y f x =在什么条件下,存在斜(水平)渐近线与垂直渐近线(y kx b =+与0x x =)以及怎样求渐近线方程?现假设曲线()y f x =有渐近线方程y kx b =+,则曲线l 上的动点P 到渐近线距离cos ()()PN PM f x kx b α==-+则由渐近线的定义,当x →∞时, 0PN →,即 lim[()()]0x f x kx b →+∞-+= 或 lim (())x f x kx b →+∞-= (1) 又 ()1()limlim (())0lim x x x f x f x k f x kx k x x x→∞→∞→+∞-=-=⇒= (2)则若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+,则k 可由(1),(2)式确定,反之若由(1),(2)式求得k ,b ,则y kx b =+即为()y f x =的渐近线方程.若函数()y f x =满足0lim ()x x f x →=∞,则称()y f x =有垂直渐近线方程0x x =. 例8. 1) 求3223x y x x =+-的渐近线方程.2) 求曲线y =的渐近线方程.1. 利用等价无穷小代换求下列极限.1) 0x x → 2) 30sin[sin(sin )]limx x x →3) 0x → 4) 20ln cos lim ln(1)x xx →+5) 0x →x →2. 求下列极限.1) ln 1lim x e x x e→-- 2) lim x x x a x a x a →-- 3) 10lim()x xx x e →+ 4) 087lim 65x x x x x →--3.~(0)x x αβ→,求,αβ的值. 4.~()x x α→+∞,求α的值, 又0x +→呢? 5. 若0()~()()f x g x x x →,则0()()(())()f x g x g x x x ο-=→.6. 求曲线221()x x f x x+-=及()arctan f x x x =的渐近线.7. 分别求出满足下述条件的常数a 与b :1) 0)11(lim 2=--+++∞→b ax x x x ; 2) 0)1(lim 2=--+--∞→b ax x x x ; 3) 0)1(lim 2=--+-+∞→b ax x x x .8. 设x x x f cos )(=，试作数列1) }{n x 使得∞→n x )(∞→n ，0)(→n x f )(∞→n ； 2) }{n y 使得∞→n y )(∞→n , +∞→)(n y f )(∞→n ； 3) }{n z 使得∞→n z )(∞→n , -∞→)(n z f )(∞→n .一、函数极限(24种) 六种极限过程 四种极限值.000,,,,,X x x x +-=+∞-∞∞ A :有限数, ,,+∞-∞∞00lim ()(),(),():()()x Xf x A U A U X x U X f x U A →=⇔∀∃∈∈ 六种极限过程四种极限值例 000lim ()0,0,(,),()x x f x a R x U x f x a εδδε-→=∈⇔∀>∃>∈-< lim ()0,0,,()x f x a M x M f x a εε→+∞=⇔∀>∃>>-< lim ()0,0,,()x f x M X x X f x M →-∞=∞⇔∀>∃><-> 否定0000lim ()0,0,(,),()x x f x a x U x f x a δδεδδε→≠⇔∃>∀>∃∈-≥ 注 函数在某0x 处的极限与函数在0x 处的性质无关.二、极限存在条件(以0x x →为例)1. 必要条件: 0lim ()x x f x →存在0δ⇒∃>,f 在00(,)U x δ上有界. 2. 充分条件: f 在00()U x -递增有上界⇒0lim ()x x f x -→存在. 3. 充要条件: 1) 0lim ()x x f x →存在⇔0lim ()x x f x -→,0lim ()x x f x +→存在且相等. 2) (Cauchy 准则) 0lim ()x x f x →存在 ''"000,0(),,(,)x x U x εδδδδ⇔∀>∃><∀∈时,有'"()()f x f x ε-<.3) (Heine 定理) 0lim ()x x f x →存在 ⇔对任何00()n x U x ∈且0n x x →,lim ()n n f x →+∞存在且相等. 三、函数极限性质1) 唯一性 2) 有界性 3) 保号性 (保不等式) 4) 迫敛性 5) 四则运算6) 复合函数. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()()y a g y g a →=则0lim (())()x x g f x g a →=. 7) 变量代换. 若0lim ()x x f x a →=,lim ()y ag y b →=,且在某00()U x ,()f x a ≠, 则 0lim (())x x g f x b →=.四、两个重要极限1.(00型) 0sin lim 1x x x →= 变形1lim sin 1x x x →∞⋅=,201cos 1lim 2x x x →-= 2.(1∞型) 1lim(1)x x e x →∞+= 变形0ln(1)lim1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,0(1)1lim x x xαα→+-=. 五、无穷小的阶与等价无穷小设00lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,00(), ()0x U x g x ∀∈≠. 1) 0x x →时, f 是比g 的高阶无穷小0()lim 0()xxf xg x →⇔=. 2) 0x x →时, f 与g 是同阶无穷小(),0,0()f x M L M Lg x ⇔∃><≤≤特别地, 0()lim0()x x f x c g x →=≠⇒f 与g 为同阶无穷小. 3) 若0()lim 1()x xf xg x →=,则称f 与g 为等价无穷小. 常见的等价无穷小. 六、求极限的方法(型) 1) 观察极限值, 用定义验证.2) 初等变形(因式分解,分子(母)有理化,消去“零”因子). 3) 变量代换.4) 利用已知极限,特别是利用两个重要极限(凑). 5) 利用无穷小等价代换(乘除形式). 6) 利用极限性质,特别是迫敛性（两边夹）. 7) 利用()0, ()f x a g x b →>→,则()()g x b f x a →. 七、证明极限不存在的方法1) 用极限定义验证任一实数都不是极限值2) (Cauchy 准则) '"0000,0,,(,)x x U x δδεδδ∃>∀>∃∈但'"0()()f x f x δδε-≥.⇔(无穷形式的否定是什么?)3) 证明00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠或有一单侧极限不存在. 4) 利用Heine 定理.找一个子列…或两个子列… 八、渐近线 (垂直渐近线与斜渐近线)九、举例例1 求下列极限(两边夹).011) lim []x x x +→; 012) lim []x x x -→; 3) lim ()x f x A →+∞=, 则[()]lim x x f x A x→+∞⋅=;4) 设1,0,a k >>求证lim 0kx x x a→+∞=.例2 求下列极限.1) ])[(lim 3x x x --→ ； 2) 11)1]([lim -→++x x ；3) )))(())(((lim x b x a x b x a x ---++∞→ ;4) 22limax x x -+∞→ ； 5) 22limax x x --∞→ ；6) 3301111lim x x x x x --+--+→ ； 7) n m x n x m n m x ,),11(lim 1---→为正整数.例3 求下列极限(变量代换).ln 1) lim (0)a x xa x →+∞> 12) lim x x x →+∞013) lim x x a x→- 4) lim 1)(0)n n a →+∞>例4 设lim n n a →∞=+∞, 证明: 1) 121lim()n n a a a n→+∞++⋅⋅⋅+=+∞2) 若0(1,2)n a n >=⋅⋅⋅, 则n =+∞. 并利用其求极限.1) lim n ln !2) lim n n n→+∞例5 设00lim (), lim ()x x x x f x A g x B →→==, 则 0lim max{(),()}max{,}x x f x g x A B →=, 0lim min{(),()}min{,}x x f x g x A B →=例6 设f 在[,]a b 上严格单调,且lim ()(),[,].n n x f x f b x a b →+∞=∈ 则lim n x x b →∞=.例7 设函数f 在(0,)+∞上满足方程(2)()f x f x =,且lim ()x f x A →+∞=, 证明: (), (0,)f x A x ≡∈+∞.例8 设函数f 在(0,)+∞上满足2()()f x f x =,且0lim ()lim ()(1)x x f x f x f +→+∞→==, 则()(1), (0,)f x f x ≡∈∞.例9 设函数f 在(,)a +∞上的任一有限区间(,)a b 内有界,并满足lim (1)()x f x f x A →+∞+-=. 证明: ()lim x f x A x→+∞=.。

函数极限的六种变化趋势哎呀，今天咱们来聊聊函数极限的那些事儿。

这可不是枯燥的数学课，而是一个充满变化趋势的小故事。

想象一下，函数就像一个人，有时候高兴得飞起来，有时候又低得像个小虫子。

极限嘛，就是我们在观察它的心情变化，哇，真是个有趣的过程。

咱们得说说什么是极限。

简单来说，极限就是当你不断接近某个值的时候，函数到底会趋向哪里。

就像你追着那只小猫，猫儿跑得飞快，你越来越近，它却又跑得更远。

你想啊，随着你步步紧逼，它的逃跑路线可就显得尤为重要。

这不，就是极限的核心思想。

想象你在一条路上，越走越近，直到那条路的尽头，哇，那就是极限的魅力所在。

咱们得看看单调变化。

单调增加的函数就像个乐天派，随着自信的增加，一步一步往上走，完全没有后退的意思。

比如说，想象一个人坐在山顶上，俯视四周，心里那个得意劲儿，简直不亚于个超级英雄。

反过来，单调减少的函数就有点儿消沉，像个失意的老头子，走着走着突然就想起了年轻时的辉煌，唉，心情一下子低落下去。

它们都是在变化，变化中却又各有各的风采。

再说说无穷大的情况，听起来挺吓人的，其实也没那么复杂。

无穷大就像那无尽的星空，你永远不知道它有多大，但你知道，越是往上走，越是看不见边际。

就好比你在沙滩上追逐潮水，越是跑越远，潮水却还是不停地向你涌来，真让人又爱又恨。

而当一个函数的极限趋向无穷大时，那就好比你在沙滩上建了个超级高的沙堡，哪怕海浪再怎么来拍打，它也屹立不倒。

咱们不能忘了振荡的函数。

这就像过山车一样，哇，吓得你心跳加速，起起落落。

它们的极限就像是个不断被挑战的极限运动员，永远在高低起伏中找寻平衡。

它们可不轻易地决定自己的归宿，偏偏要在上下之间游走，真是让人捏把汗。

这种状态就像我们生活中的种种选择，左右为难，纠结不已。

还有个特别有意思的变化趋势，那就是收敛和发散的差别。

收敛就像两个人互相吸引，随着时间的推移，越来越靠近，最终在某个点上紧紧相拥。

想象一下，两颗星星在浩瀚的宇宙中慢慢靠近，直到最后化为一体。

1.4.1 x 趋于无穷时的函数极限从前面关于数学分析产生的背景可以看到，为了从近似值得到精确值，还需要一种新的方法，这个方法就是极限方法，极限概念是数学分析有别于初等数学的重要标志,极限方法是数学分析最重要的研究方法，这一讲将讨论函数极限的基本概念.函数极限概念有以下几类：一、x 趋于 时的函数极限二、x 趋于 时的函数极限三、单侧极限0x.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限x 趋于例如 函数arctan ,y x 当时,∞+xyπ210203040O 0.51无限接近x arctan π2一、x 趋于∞时的函数极限设函数定义在)(x f [)∞+,a A)(x f xy O 为极限.+∞ 当 x 趋于 时以A 也无限地接近A ,我们就称无限远离原点时,函数f (x )上,当 x 沿着 x 轴的正向记为lim ()x f x A →+∞=)(x f上述给出的极限定义是描述性的，如何用数学的语言刻画极限定义？由定义lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.lim ()x f x A →+∞=当 x 沿着 x 轴的正向无限远离原点时,函数f (x )无限地接近A.只要 x 充分大就有函数f (x )无限地接近A.当时，有()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>记为或者lim ()x f x A →+∞=).()(+∞→→x A x f 定数, 若对于任意正数 存在正数使得，0>ε，)(a M ≥,)(ε<-A x f A x x f 时以趋于当∞+)(则称函数.为极限,时M x >当定义1[),f a +∞设为定义在上的一个函数. A 为④()A f x A εε有-<<+lim ()x f x A →+∞=的几何意义③x M >使当时x A ε-A ε+①任意给定ε>M ②存在M a >x AyO alim ()x f x A →+∞=当时，有问题：1.定义中的有何作用？2.定义中的M 存在性与哪些因素有关？一旦存在，M 唯一吗？()f x A ε-<x M>0,M ∃>0,ε∀>0,ε∀>所以(由定义1),例1 证明.01lim =+∞→xx 任给取证,0>ε,1ε=M ,时当M x >,10)(ε<=-x x f .01lim =+∞→x x例2.2arctan lim π=+∞→x x 证明证任给),2(0πεε<>.所以（由定义1）πlim a rcta n .2x x →+∞=时，当M x >严格增，因为x arctan ππ()arctan 22f x x -=-ππ().22εε=--=tan()2取M πε=-arctan 2Mπ<-,)(ε<-A x f 定义2(],,)(上定义在设b x f ∞-.是一个常数A ,0>ε,0>M 存在若对于任意记为A x x f 时以当-∞→)(,为极限则称A x f x =∞-→)(lim 或).()(-∞→→x A x f ()当时x M b <-<为极限，时以当则称A x x f ∞→)(记为,)(ε<-A x f 定义3,)()(内的某个邻域定义在设∞∞U x f 存在 当，0>M ,0>ε.为一个常数若对于任意时x M >A x f x =∞→)(lim 或).()(∞→→x A x f A证 对于任意正数),10(<<εεln x M ε<-=当时所以例3求证lim e 0.xx →-∞=.e 0e ε<=-x x .0e lim =-∞→xx =-ln ,M ε取例4求证.011lim 2=+∞→xx 22110,1x xε-<<+所以证 对于任意正数 ε , 可取.011lim 2=+∞→xx ,1M =>,x M 当时有从定义1、2 、3 能否得到下面的结论？若能，如何证明？.)(lim )(lim A x f x f x x ==∞+→∞-→∞定义在的一个邻域内，则)(x f 由这个结论讨论A x f x =∞→)(lim 的充要条件是：的存在性limarctan x x →∞02.1.2趋于时的函数极限定义x xlim ()x f x A →∞=前面几讲，我们给出了极限：lim (),x f x A →+∞=lim (),x f x A →-∞=的定义.自然的问题：当自变量趋于定点时的极限 如何定义？在函数极限中还需要考虑在一点处的极限， ,0()(0),0x x f x a a x ≠⎧=≠⎨=⎩ax y O一、 趋于 时的函数极限x 0x 如设函数 f (x ) 在点 x 0 的某空心邻域 内有定义. 满足：)(0x U当无限接近于 时， f (x ) 无限接近于常数 A .)(0为极限时以当A x x x f →记为则称0lim ()x x f x A→=或者.)()(0x x A x f →→x 0x,)(ε<-A x f 时，有00x x δ<-<)(0为极限.则称xf→x时以当Ax平面上以 y =A 为中心线, 宽为 的窄带, ε2可以找到,0>δ使得曲线段),(),(0δx U x x f y ∈= 函数极限的几何意义如图, 0,ε>任给对于坐标落在窄带内.ε+=A y A y =ε-=A y O xyδ-0x 0x δ+0x故只要所以,)21(00202x x x x x -+≤-.2100x x x +<-ε2 0xxxx =→.lim20例2求证：0(1)lim sin sin ;x x x x →=注 在例1中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 δ , 或许所求出的 δ00(2)lim cos cos .x x x x →=故πsin tan0.2 x x x x⎛⎫<<<<⎪⎝⎭00sin sin 2cossin22x x x x x x +--=0,x x ε≤-<.sin sin lim 00x x x x =→同理可证:.cos cos lim 00x x x x =→所以在上面例题中,需要注意思考以下问题：的存在性与哪些因素有关？ 换句话说, 1. 对于δ对于固定的,ε不同的方法是否会得出不同的δ ？ 对于求出的不同的δ ，是否有必要区分哪一个更好？数是否都可以充当这个角色？3. 正数ε是任意的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不惟一的, 一旦求出了 δδ.2有时为了方便,需要让 ε 小于某个正数，这样做是否合理？是否也能满足要求？一旦对这样的 ε 能找到相应的 δ , 那么对更大的 ε , 这个 δ第二单元 函数极限2.1.3 函数极限的性质.)(000x x x x 趋向于的右侧又可以从>，时在考虑)(lim 0x f x x →x 既可以从 x 0)(0x x <的左侧处只能考虑单侧极限.2()11f x x x =-=±在⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=000,1,0,1sgn x x x x||,f x A ε-<（）则称 A 为函数 f 当 为了方便起见，当记作有时记时，有时的左（右）00x x x x -+→→（）定义1 00()(,)(,)f x U x U x ηη-+（）设在有定义， A 为常数. 若对于任意正数ε ,,）（存在正数ηδδ<0+0lim lim ()().（）x x x x f f x A x A -→→==0000（）x x x x δδ<-<<-<00(0)lim ().x x f x f x -→-=极限,00(0)lim (),x x f x f x +→+=由定义 1，不难得到下列结论：.)(lim )(lim 00A x f x f x x x x ==-+→→:)(lim 0的充要条件是A x f x x =→在前面的讨论中引进的六种类型的函数 函数极限的性质质与证明，只要相应作一些修改即可.证明这些性质，至于其它类型的性极限，它们都有哪些性质呢？这里仅以六种极限中的某一种，0lim ()x x f x A →=为例如以定理2.1.1 ( 唯一性 )证 不妨设 以及A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数,,1δε存在正数)(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若0lim ()x x f x A →=的基本性质二、2,δfx-B≤xfABA.-|)(||)(|-+|ε<|由ε的任意性，推得A = B.这就证明了极限是唯一的.定理 2.1.2（局部有界性） 证时，当存在取δδε<-<>=||0,0,10x x .1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f ,)(0x U 则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U )(x f ε+=A y A y =ε-=A y Ox y δ-0x 0x δ+0x的结论矛盾吗？定理2.1.3（局部保号性）.|)(|ε<-A x f 有时，当存在δδ<-<>||0,00x x 证 不妨设 则存在使得对一切有若0lim ()()或x x f x A r r →=><0(), x U x ∈,,取A r A r ε>=-0(), U x ()(()).或f x r f x r ><().f x A r ε>-=由此证得定理 2.1.4（保不等式性） )(lim )(lim 00x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域都存在,)()()(,0x g x f x U ≤ ).(lim )(lim 00x g x f x x x x →→≤证 若时, 有由局部保号性，存在正数00||，当x x δ<-<取,：满足r A r B >>0,δ>00lim ()lim (),x x x x f x A g x B →→=>=()();f x r g x >>。

《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。