量子力学 09力学量本征问题的代数解法

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曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题复习答案考研资料

曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解完整版>精研学习网>免费在线试用20％资料全国547所院校视频及题库资料考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试目录隐藏第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记1.2课后习题详解1.3名校考研真题详解第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记2.2课后习题详解2.3名校考研真题详解第3章力学量用算符表达3.1复习笔记3.2课后习题详解3.3名校考研真题详解第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记4.2课后习题详解4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记5.2课后习题详解5.3名校考研真题详解第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记6.2课后习题详解6.3名校考研真题详解第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记7.2课后习题详解7.3名校考研真题详解第8章自旋8.1复习笔记8.2课后习题详解8.3名校考研真题详解第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记9.2课后习题详解9.3名校考研真题详解第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解10.3名校考研真题详解第11章量子跃迁11.1复习笔记11.2课后习题详解11.3名校考研真题详解第12章其他近似方法12.1复习笔记12.2课后习题详解12.3名校考研真题详解内容简介隐藏本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。

本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。

因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。

本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精编考研真题，培养解题思路。

量子力学中的代数解法

��)
+
��,Ax]=0
[Ax,
Ay]=[(
��−��−��+�� 2��2��4��
关键词：代数解法氢原子能级 Runge-Lenz 矢量
Niels Bohr，1911 年于哥本哈根大学获博士学位。1912 年他来到 Rutherford 实验室工作，开始思考原子中电子绕核运动问题。1913 年，Bohr 在 Philosophical magazine 上发表三篇论文，开启量子时代大门。
在量子力学中，氢原子虽然没有了经典的“轨道”概念，但 Runge-Lenz 矢量仍为守恒量*2，但要相应地对物理量改写成量子化的算符。在量子力学中，
可观测量必须为实数，而厄米矩阵的本征值都是实数。经典的 Runge-Lenz
矢量��
=
��×�� 2��
��)
+
��,Az]=
��ℎ 2��2��
Lx
即
Â
×
Â
=
��ℎ 2��2��
��̂��
相同的计算方式，可得
L̂
×
Â
=
��ℎ 2��2��
Â
令K̂ = √��2��4�� Â
=
��

力学量本征值问题的代数解法

2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态（1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j

量子力学中的测量算符和本征值的计算方法

量子力学中的测量算符和本征值的计算方法量子力学是一门研究微观世界的科学，其理论基础是量子力学方程和测量算符。

在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，而本征值则是测量算符对应的物理量的取值。

本文将介绍量子力学中的测量算符和本征值的计算方法。

首先，我们来了解一下测量算符的概念。

在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，它可以作用于量子态，得到测量结果。

测量算符通常表示为大写字母，比如位置算符X、动量算符P等。

测量算符的本征态是指在该算符作用下，量子态不发生变化的态。

本征态对应的本征值就是测量算符所代表的物理量的取值。

接下来，我们将介绍测量算符的计算方法。

在量子力学中，求解测量算符的本征值可以通过求解本征方程来实现。

本征方程的形式为：A|ψ⟩=a|ψ⟩其中，A表示测量算符，|ψ⟩表示量子态，a表示本征值。

要求解本征方程，首先需要确定测量算符A的表达式。

对于一些常见的物理量，比如位置、动量和能量等，测量算符的表达式已经被确定下来。

例如，位置算符X的表达式为X=x，其中x表示位置的取值。

动量算符P的表达式为P=−iℏ∂∂x，其中ℏ是普朗克常数，∂∂x表示对位置的偏导数。

确定了测量算符的表达式后，就可以求解本征方程。

首先，将本征方程展开成矩阵形式，即将量子态和本征值表示为列向量和对角矩阵的形式。

然后，将本征方程代入到矩阵形式中，得到一个线性方程组。

通过求解这个线性方程组，就可以得到测量算符的本征值和本征态。

在实际计算中，我们通常使用数值方法来求解本征方程。

数值方法的基本思想是将连续的物理量离散化，将本征方程转化为一个矩阵的特征值问题。

常用的数值方法有矩阵对角化方法和迭代法等。

这些数值方法可以通过计算机程序来实现，大大简化了本征值的计算过程。

除了数值方法，还有一些特殊的情况下可以求解测量算符的本征值。

例如，对于一些简单的测量算符，可以通过直接求解波函数的形式来得到本征值。

此外，对于一些特殊的系统，可以利用对称性和守恒量等性质来简化本征值的计算。

第9章力学量本征值问题的代数解法

对应的能量本征值为
。 /2

利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na

(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。这说明 a n 也是N
7

联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)

2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14

利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ

ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10

将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5

利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N

量子力学(第九章本征值的代数解法)

2
0 (x)=A e

2 x2
2
0 ( x ) e
2 14

2 x2
2
(38)
19
激发态 | n 的波函数可由(34)式求得。用 x | 左
乘(34)式两边，得： 1 n ( x) x | n x | (a )n | 0
n!
1 )n | x x | 0 n ( x) dx x | (a n! 1 dx(a ) n ( x x) 0 ( x) xx n! 1 n (a ) 0 ( x) n!
an-1,n = n-1|a | n = n a
亦即
+ n+1,n
= n+1|a | n = n+1
+
(23)
an,n = n|a | n = n n -1,n a
+ n,n
= n|a | n = n+1 n +1,n
+
(24)
13
和 a 称为量子数升,降算符。在二次量子 a
值为。令：
| Cn ( ) | n
n 0
(41) (42)
代入本征方程 a | | 利用(22)式第一式，得到：
22
a | Cn ( ) n | n 1 Cn ( ) | n
比较两个项中 | n 1 项系数，得到 n
1

p
(Q 2 P 2 ) H 2 Q , P 满足对易式
(6) (7)
[Q, P] i
＋
引入两个新的算符
a 1(Q iP ) 2 , a 1(Q－iP ) 2

量子力学：导论.[德]瓦尔特.顾莱纳

−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) 2
= − ∇ ⋅ ψ *∇ψ 2m
−ψ∇ψ *
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴ ∂ ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
1
+∞
ψ (x,0)e−ikx dx 是ψ (x,0) 的 Fourier 变换。
2π −∞
waterysun 提示：利用
( ) lim α e e iπ / 4 −iαx2 = δ x 。
α →∞ π
证：根据平面波的时间变化规律
eikx → ei(kx−ωt ) ，
ω = E = k 2 2m ，
2π
t
=
m 2π
t
exp⎢⎣⎡i⎜⎜⎝⎛
mx 2 2t
−
π 4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
ψ (x,t) 2 = m 。
2π t
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ (x,0) ，证明在足够长时间后，
ψ (x,t) =
m exp[− iπ
t
4]⋅
exp⎢⎣⎡
imx 2 2t
⎤ ⎥⎦
⋅
ϕ
⎜⎛ ⎝
mx t
⎟⎞ ⎠
∫ 式中 ϕ(k ) =
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *

量子力学 09力学量本征问题的代数解法

[N ， ] a a

（18）
可得到：

N a | n n +1)a | n （

（19）
即有：

N | n 1 n +1)| n 1 （

a | n c1 | n 1
由于

n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2

利用归一化条件可得再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1

x
2

n | a a | n | c |

2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有

n
a | n
n | n 1
（14）

由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。

另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
n

故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）

n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出

a | 0 0

能量本征值问题的解析与计算

能量本征值问题的解析与计算能量本征值问题是量子力学中的一个重要问题，它涉及到物质的能量特征和量子态的性质。

在这篇文章中，我们将探讨能量本征值问题的解析与计算方法。

首先，让我们回顾一下能量本征值问题的定义。

在量子力学中，能量本征值问题是指在给定的物理系统中，寻找能量的特定值，使得系统的波函数满足薛定谔方程。

这个特定值被称为能量本征值，对应的波函数被称为能量本征态。

解析方法是一种通过解析求解能量本征值问题的方法。

它基于数学分析的原理，通过求解薛定谔方程的解析解来得到能量本征值和本征态。

然而，由于薛定谔方程的复杂性，很多情况下无法找到解析解。

这就需要使用数值计算方法来求解能量本征值问题。

计算方法是一种通过数值计算求解能量本征值问题的方法。

它基于数值方法的原理，通过将薛定谔方程离散化为矩阵形式，然后利用数值计算方法求解矩阵的特征值和特征向量来得到能量本征值和本征态。

常用的数值计算方法包括迭代法、对角化法和变分法等。

迭代法是一种通过迭代计算逼近能量本征值和本征态的方法。

它基于迭代的原理，通过不断更新波函数的近似解来逼近真实的能量本征值和本征态。

常用的迭代方法包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和幂法等。

对角化法是一种通过对薛定谔方程的矩阵形式进行对角化来求解能量本征值和本征态的方法。

它基于线性代数的原理，通过将矩阵对角化来得到矩阵的特征值和特征向量。

常用的对角化方法包括QR分解法、雅可比方法和拉普拉斯方法等。

变分法是一种通过变分原理来求解能量本征值和本征态的方法。

它基于变分原理的原理，通过对波函数的变分来得到能量的下界，并通过优化方法来逼近真实的能量本征值和本征态。

常用的变分方法包括变分蒙特卡洛方法、变分哈特里-福克方法和变分自洽场方法等。

总之，能量本征值问题的解析与计算是量子力学研究中的重要内容。

解析方法和计算方法各有优势和局限性，可以根据具体问题的需求选择合适的方法。

随着计算机技术的不断发展，计算方法在求解能量本征值问题中的应用越来越广泛，为我们深入理解物质的能量特征和量子态的性质提供了有力的工具。

量子力学中的量子力学力学量的本征态问题

量子力学中的量子力学力学量的本征态问题量子力学是描述微观领域中粒子行为的理论，它具有独特的性质和规律。

在量子力学中，存在一些基本的物理量，称为力学量。

这些力学量包括位置、动量、角动量等，它们是描述粒子运动和性质的重要指标。

在量子力学中，研究力学量的本征态问题是解决量子系统的基本方法之一。

本文将从本征值问题、本征态问题和应用三个方面介绍量子力学中力学量的本征态问题。

一、本征值问题在量子力学中，力学量可以用算符表示。

对于一个力学量对应的算符，它的本征值即为测量该力学量时可能得到的结果。

本征值问题是指找到力学量算符的本征值和本征态的问题。

对于一个给定的力学量算符，我们需要找到它的本征值和本征态，以描述量子系统的性质。

量子力学中，力学量算符的本征值问题可以表示为如下方程：\[\hat{A}|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \]其中，\(\hat{A}\)表示力学量算符，\(|\Psi\rangle\)表示该力学量的本征态，\(a\)表示对应的本征值。

通过求解这个方程，我们可以得到力学量算符的本征值和本征态。

二、本征态问题对于力学量的本征值问题，我们还可以进一步研究力学量的本征态问题。

在量子力学中，本征态是相对于某个力学量的算符，它是力学量所对应的本征值的特定状态。

通过求解本征值问题，我们可以得到一系列的本征态，它们构成了力学量算符的本征态空间。

量子力学中，力学量算符的本征态满足正交归一条件，即：\[\langle\Psi_i|\Psi_j\rangle = \delta_{ij}\]其中，\(\langle\Psi_i|\)表示第\(i\)个本征态的共轭转置，\(\Psi_j\rangle\)表示第\(j\)个本征态。

通过求解本征态问题，我们可以得到一组满足正交归一条件的本征态，它们是力学量算符的基态。

三、应用量子力学中力学量的本征态问题在许多应用中起着重要的作用。

例如，动量算符的本征态问题可以用于描述粒子的动量分布和运动状态。

【精品文档】量子力学第九章粒子数表象.大学本科.课堂教案

由于 [Nˆ , aˆ+ ] = aˆ+
（13）
则 Nˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Nˆ + aˆ+ ) n = (n +1)(aˆ+ n ) （17）
aˆ +
说明
n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n +1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ+ ] = ωaˆ+
则
Hˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Hˆ + ωaˆ+ ) n = (En + ω)(aˆ+ n )
2
其中厄米算符 xˆ 和 pˆ 满足如下对易关系： [xˆ, pˆ ] = i
本节我们从新的角度讨论这一问题，给出谐振子能量本征值问题的一种代数解法。（Schrödinger因式分解法）
一、用 aˆ, aˆ+ 重新改写谐振子的Hamilton量 1.定义新的算符 aˆ, aˆ+ , Nˆ
2.用算符 aˆ , aˆ + 表示谐振子Hamilton量
说明 aˆ n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n −1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ] = − ωaˆ 则 Hˆ (aˆ n ) = (aˆHˆ − ωaˆ) n = (En − ω)(aˆ n )
而由（12）式 Nˆ n = n n
Nˆ n −1 = (n −1) n −1
（12’）
可知
即， n −1 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值也为 n −1
则有
aˆ n = c n −1
再利用归一化条件： 〈n | aˆ+aˆ | n〉 = 〈n −1| c*c | n −1〉

量子体系本征值问题的解法

量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。

本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。

对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。

另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。

Solution methods of the eigenvalues for Quantum SystemKeywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution..引言我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1.量子体系本征值问题的分析解法运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.假设现在有一维无限深势阱为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∞≤≤-=.22,,22,0a x a x ax a x U 或者（1-1）我们知道一维无限深势阱的特点是在22ax a ≤≤-时，它的势能是零；在22ax a x >-<或时，其势能为无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：()()()()x E x x U x m dxd ψψψ=-222-2在阱内⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22a x a时，()()()x E x x m dxd ψψψ=⋅+02-222 （1-2）在阱外⎪⎭⎫ ⎝⎛>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+⋅02222- （1-3）在（1-3）式∞→U.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在0=ψ时，③式才成立.于是有 0=ψ， 22ax a x >-<或者（1-4）显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= mE k （1-5）则有 0222=ψψk x d d ， 22ax a ≤≤- .方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 22ax a ≤≤-. （1-6）由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-<或者）知： 02=⎪⎭⎫⎝⎛±a ψ 于是，时，2ax = 02sin 2cos 2=+=⎪⎭⎫⎝⎛a k B a kA a ψ 时，2ax -= 02sin 2cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k B a k A a ψ 由此解得.02sin ;02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k a B k a A （1-7）① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.② 02sin ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛≠=k a B A 即（1-8）由此解得222π⋅=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-9） ③ 02cos ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛=≠k a B A 即（1-10）由此解得 2222ππ⋅+=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-11）对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合②、③ 得 22π⋅=n k a ， ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-12）则 an k π=（1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得22222mEan =π根据上式可以解得体系的能量为 a nE m n 222221π=（1-14）上式对应于量子数n 的所有取值，有无穷多个n E 与之对应。

量子力学导论第九章chap9力学量本征值问题的代数解法

第九章力学量本征值问题的代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法升、降算符一、Hamilton 量的代数表示一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。

令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+。

利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N+=ˆ。

由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。

但上式左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。

这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。

如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

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可证明， N 满足如下性质：
N 为厄米算符：

(1)

N

N
（9）
(2) N 在任何状态中的平均值为正定的：

N | N | | a a | a | a || a | 0
2

（ 10）

二、
第8章
力学量本征值问题的代数法
§8.1 谐振子的Hamiltonian 量的因式分解法
一、用 a, a 重新改写谐振子的Hamiltonian量。谐振子的Hamiltonian量为：

H
1 2m
2
p
1 2
mw x
2
2
（ 1）
为处理方便，现假定采用自然单位，则

H
1 2
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2

利用归一化条件可得再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1

x
2

[N ， ] a a

（18）
可得到：

N a | n n +1)a | n （

（19）
即有：

N | n 1 n +1)| n 1 （

a | n c1 | n 1
由于

n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |

n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出

a | 0 0
（16）
并可证明， | 0 为 N

取本征值0时的本征态

N | 0 a a | 0 0
（17）

| 0 通常被称为基态或空态。

2、算符
由
a
作用到 | n 的规律：
2
2
(x p )
（ 2）
现定义算符

a, a
为：

a
1 2

(x i p)
（ 3）

a

1 2

(x i p)
（ 4）
并利用 [ x, p ] i

，可得到： [a, a ] 1 （5）

现利用（3）和（4）式可反解出 x

即有：

N a | n (n 1) a | n
由 N | n n | n
，可知N | Nhomakorabea 1 (n 1) | n 1
则有：

a | n c | n 1

（13）
再利用归一化条件： [ n | a] a | n n 1| c*c | n 1

a
| n
| 0
|1
1 1

a | 0 | 2
1 2
2
………….
| 0
n 1 n!
n
a
a
| 0
的本征值 N
0

1
2
………….
n
（7b）式 H 的本征值：
1 2

3 2
5 2
………….
n
1 2
N 的本征态矢 | n满足正交归一完备性：

n | n
*
2
| c1 | n 1 c1
2

n 1
（20）
a | n

n 1 | n 1
因此，
a 通常被成为升算符或产生算符。
由（15）式可知，n取的最小值为0，故据（20）式
有如下结论，

N
的所有本征态由 a 作用到 | 0 上便可得：
n 1 1 n 1
'
nn
'
| nn | 1
n
由 {| n , n 0,1, 2...} 作为基矢集所构成的表象为粒
子数表象。三、 | n在坐标表象中的形式——波函数形式 | 0 的波函数形式： a x i p 由 a | 0 0 而而 | 0 在x表象中的形式：

1/ 4
e
2
（21）

H

1 2
mw x
2
2
2m
的基态波函数为
m w / （ 22）
e

1/ 4
e
x /2
2
2
其中

激发态波函数为：
n ( x) x | n

1 n!
d
n
x | a
| 0

在坐标表象中，
a

1/4
1
（ x ) dx 2
和 p：
i

x
1
（ a + a） 2
p
（ a - a） 2
m w 1
（ 6）
利用（6）式，（2）式表示的Hamiltonian量为：

H a a 或者

1 2
（ 7a）
H N
1 2
（ 7b）
其中

N a a
（ 8）
被定义为粒子数算符。

n | a a | n | c |

2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有

n
a | n
n | n 1
（14）

由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。

另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
设

N 的本征解（Hamiltonian量的本征解）

N
的束缚方程为

算符 a 作用能够到 | n 的规律：由于则

N | n n | n

[ N , a] a

（12）

[ N , a ] | n a | n
（ N a a N ） n a | n |
n

故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）

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第三章：量子力学中的力学量_6讲分析

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