切线的判定和性质切线的判定和性质(一)

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

圆的切线性质与判定圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。

其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。

本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。

一、圆的切线定义切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。

切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。

圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。

二、圆的切线性质1. 切线与半径的关系在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。

2. 切线长度圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。

3. 切线的唯一性一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。

4. 外切线与内切线若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。

5. 切线相交性质若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。

三、圆的切线判定方法1. 分析法根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。

2. 考察斜率法假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。

3. 使用代数方程法对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。

通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。

四、应用举例1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。

2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。

3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。

总结：圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。

通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。

掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。

切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、使学生理解切线的性质定理，初步运用切线的性质证明问题3、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力教学重点：切线的判定定理和切线的性质定理；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程（一）复习、发现问题1．画出直线与圆的三种位置关系图（1）相交、图（2）相切、图(3)相离２、观察、提出问题、分析发现图(2)中直线是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个角度去观察，那就是直线和圆满足什么条件时，直线和圆相切?如下图，直线l与⊙O相切于点A，连结OA。

发现：(1)直线l经过半径OA的______；(2)直线l______半径0A．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径___；图(2)（3）中直线l与半径___，但不经过_____．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法归纳：切线的判定方法有三种：①直线与圆有______公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的_______；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：如图A是⊙O外一点，AO的延长线相交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC∠A=30o。

求证：直线AB是⊙O的切线。

分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点B，连结OB，则AB过半径OB的___，只需证明________。

切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

切线的性质与判定综合模块一：切线的相关知识1.直线与圆的位置关系：d >r ⇔直线l与⊙O相离；d =r ⇔直线l与⊙O相切；d <r ⇔直线l与⊙O相交.2.切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.总结：“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直”知二推一.3.切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.※4.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.题型一切线性质的应用1.如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和 B 是切点，AC 是O 的直径，已知∠P=40∘，则∠ACB的大小是______2.如图，AB 是圆O的直径，DB、DC 分别切圆O于点B、C，若∠ACE=25∘，则∠D=___.3.如图，PA、PB 是O的切线，AC 是O的直径，∠P=62∘，则∠BOC= .4.如图，已知 BC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，切线AD 交BC 的延长线于 D，若∠D=40∘，则∠B=_____________模块二：圆的综合5.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90∘，以AC 为直径的⊙O ，与斜边AB 交于点D ，E 为B 边的中点，连接DE.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）填空：①若∠B=30∘,AC=2,则DE= _______；②当∠B= __________时，以 O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是正方形.6.如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠ABC=90∘ ，点D 是半圆 O 上一动点(不与点A 、B 重合)，且 AD ∥CO.求证：CD 是⊙O 的切线；填空：①当∠BAD= ________时，△OBC 和△ABD 的面积相等；②当∠BAD=______________时，四边形OBCD 是正方形.7.如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90∘，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，⊙O 经过 B 、D 两点，交BC 于点 E.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若 AB=6，sin ∠BAC=32，求 BE 的长.练习1.如图，已知 AB 是⊙O 的切线，点 A 为切点，连接 OB 交⊙O 于点 C ，∠B=38∘ ， 点D 是⊙O 上一点，连接 CD ，AD.则∠D= _________ .2.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=70∘，则∠AOD=_________3.如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点 G ，且D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F.（1）求证：直线 EF 是⊙O 的切线；（2）CF=5，cos ∠A=52，求AE 的长.。

（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。

”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

记为“见切线，连半径，得垂直。

”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。

B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。

切线的判定与性质综合【目标导航】进一步理解切线的判定和性质，能综合应用切线的判定和性质解决问题．【要点梳理】例1．如图，P 点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切.思路点拨：要证OB是⊙P的切线，且不知道是否有公共点，所以作PF⊥OB于F，只需证PF=PE即可.证明：作PF⊥OB于F∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA∴PF=PE，∴OB是⊙P的切线.例2已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．思路点拨：从已知条件不易判断直线BC与⊙O有没有公共点，所以不便利用判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”．联想到“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，考虑作辅助线OE⊥BC，垂足为E ，只要证明OE等于⊙O的半径即可.根据梯形中位线的性质定理和已知条件，这点不难证明.证明：作OE⊥BC，垂足为E，∵AB∥DC，∠B=90°，∴OE∥AB∥DC，∵OA=OD，∴EB=EC，∴BC是⊙O的切线．【课堂操练】1．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E．求证：CD与小圆相切．思路点拨：因为AB与小圆切于点E，联想切线的性质定理，若连接OE，则AB⊥OE．要证CD与小圆相切，而已知条件中并未明确CD和小圆是否有公共点，所以可作OF⊥CD，垂足为F．只要证明OF等于小圆的半径即可．因为AB、CD为大圆的弦，而且相等，而OE、OF分别为两弦的弦心距，因此有OE=OF，即OF等于小圆的半径．于是可得出证法．证明：连接OE，过O作OF⊥CD，垂足为F．∵AB与小圆切于点E，∴OE⊥AB．∵AB=CD，∴OE=OF．也就是圆心O到CD的距离等于小圆的半径．∴CD与小圆相切．2．△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.思路点拨：要证CD是⊙O切线，且已知公共点C，所以连接OC，用判定定理，只需OC ⊥CD，即证：∠OCB+∠DCB=90°.方法一：要证直角可利用直径所对圆周角是直角.证明：作直径CE，连接BE，则∠CBE=90°∴∠E+∠OCB=90°∵∠A=∠E，∠DCB=∠A∴∠DCB+∠OCB=90°∴OC⊥CD∴CD是⊙O切线.方法二：此题也可采用圆周角定理.证明：连接OC、OB，设∠A=∠DCB=x，则∠BOC=2x∵OB=OC∴∠OCB+∠DCB=90°∴OC⊥CD，即CD是⊙O切线.3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE 是⊙O的切线.思路点拨：要证DE 是⊙O 切线，且已知公共点D ，所以连接OD ，只需证OD ⊥DE 即可，又已知DE ⊥AE ，所以需证：OD ∥AC. 方法一：证明：连接OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∴OD ∥AC 又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE∴DE 是⊙O 的切线.方法二：此题中证明OD ∥AC ，还有另外方法：证明：连接OD 、AD ，∵AB 是⊙O 直径，∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD 又∵OB=OA ∴OD ∥AC 又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE∴DE 是⊙O 切线.【课后盘点】1．下列说法错误的个数是（ ）① 圆的切线垂直于半径；②圆的切线垂直于过切点的半径；③过半径端点的垂线是圆的切线；④过直径外端的垂线是圆的切线．A ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 答案：B2．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是（ ）A ．CD 经过AB 与⊙O 的公共点 Ｂ．CD 过圆心O Ｃ．CD 既过圆心O ，又过AB 与⊙O 的公共点 Ｄ．CD 必须是直径 答案：C3．如图，直线AB 切⊙O 于点C ，OAC OBC ∠=∠，则下列结论错误的是（ ） A ．OC 是ABO △中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是ABO △的对称轴 C ．OC 是AOB ∠的平分线 D ．AC BC > 答案：D4．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.5 答案：B5．如图，O 是圆心，P A 是的切线，OP 交⊙O 于B ， P A =4，PB =2，则⊙O 的半径等于 ， 若弧AB =50°，则∠P = °． 答案：3，406．如图，已知AB 、AC 分别是⊙O 的直径和切线， BC 交⊙O 于D ，AB ＝8，AC ＝6，则AD ＝ ． 答案：4.87．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限， ⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点， 则点P 的坐标是 . 答案：（4，5）8. 以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于P ，如果4cm AB =，则圆环部分的面积为 2cm （结果用π表示）． 答案：4π9．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O ，交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.思路点拨：要证DE 是⊙O 切线，且已知公共点D ，所以连接OD ，只需证∠ODE=∠OCB=90°即可.方法一：需证△ODE ≌△OCE. 证明：连接OD ，OE∵OA=OC ，E 为BC 中点 ∴OE ∥AB ∴∠DOE=∠ADO ∠COE=∠A ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠DOE=∠COE ∵OD=OCOE=OE∴△DOE ≌△COE ∴∠ODE=∠OCE ∵∠ACB=90° ∴∠ODE=90°∴DE 是⊙O 的切线.方法二：此题证明∠ODE=∠OCE 还有另外证法 证明：连接OD ，CD ∵AC 是⊙O 直径 ∴CD ⊥AB ∵E 为BC 中点QPONxy MO A B CC D A BOP∴ED=EC∴∠EDC=∠ECD又∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD∴∠ODE=∠OCE=90°∴DE是⊙O的切线.10．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．思路点拨：因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．11．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：(1)AC是⊙O的切线．(2)(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．证明：(1)连结OD、DC∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°在Rt△ADC中，∵AE=E C，∴DE=E C，∴∠EDC=∠ECD∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC=∠B=∠ECD∵∠B＋∠DC B=90°，∴AC是⊙O的切线(2)设每一份为k，∴AD=3k，DB=2k，AB=5k．∵AC是⊙O的切线，AD B是割线∴AC2=AD×AB即3k×5k=152．解得k=15，∴AB=515．在Rt△ACB中，BC=6522537522=-=-ACAB．12．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：(1) AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．图10证明：(1)连结OD、DC∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC =90° 在Rt △ADC 中，∵AE =E C ， ∴DE =E C ，∴∠EDC =∠ECD∵DE 是⊙O 的切线，∴∠EDC =∠B =∠ECD ∵∠B ＋∠DC B=90°，∴AC 是⊙O 的切线 (2)设每一份为k ，∴AD =3k ，DB =2k ，AB =5k ． ∵AC 是⊙O 的切线，AD B 是割线∴AC 2=AD ×AB即3k ×5k =152．解得k =15，∴AB =515． 在Rt △ACB 中，BC =6522537522=-=-AC AB ．13．（2010湖北武汉）如图，点O 在APB ∠的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． （1） 求证：直线PB 与⊙O 相切；（2） PO 的延长线与⊙O 交于点E 若⊙O 的半径为3，PC=4，求弦CE 的长．【答案】（1）证明：过点O 作O D ⊥PB 于点D ，链接OC ． ∵PA 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PA又∵点O 在∠APB 的平分线上， ∴OC=OD∴PB 与⊙O 相切(2)解：过点C 作CF ⊥OP 于点F ，在Rt △PCO 中，PC=4，OC=3，22OC PC 5+=，∵OC ·PC=OP ·CF=2S △PCO ，∴CF=125．在Rt △COF 中，229OC CF 5-=，∴EF=EO+OF=245，∴22125EF CF += 14．（2010湖南常德）如图8，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A ＝30o ，延长OB 到D ，使BD ＝OB ．（1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线．【答案】（1）解法一：∵∠A ＝30o ，∴∠COB ＝60o． 又OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形．解法二：∵AB 是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB ＝90o．又∵∠A ＝30o ， ∴∠ABC ＝60o． 又OC ＝OB ， ∴△OCB 是等边三角形．（2）证明：由（1）知：BC ＝OB ，∠OCB ＝∠OBC ＝60o．又∵BD ＝OB ，∴BC ＝BD ．∴∠BCD ＝∠BDC ＝12∠OBC ＝30o ．∴∠OCD ＝∠OCB ＋∠BCD ＝90o ，故DC 是⊙Ｏ的切线． 15．（2010湖北荆州）如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连结BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连结DF ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE=53，求EF 的长． ABODC图8【答案】(1)证明：连结OE∵ED ∥OB∴∠1=∠2，∠3=∠OED ， 又OE=OD ∴∠2=∠OED ∴∠1=∠3 又OB=OB OE= OC∴△BCO ≌△BEO （SAS ）∴∠BEO=∠BCO=90° 即OE ⊥AB ∴AB 是⊙O 切线.（2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于CD 为⊙O 的直径，∴在Rt △CDE 中有： ED=CD ·sin ∠4=CD ·sin ∠DFE=65310=⨯∴86102222=-=-=ED CD CE在Rt △CEG 中，534sin =∠=CE EG ∴EG=524853=⨯根据垂径定理得：548EG 2EF ==16．（2010湖北省咸宁）如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ， 将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若2OB BG ==，求CD 的长．【答案】．解：（1）直线FC 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ．∵OA OC =， ∴12∠=∠由翻折得，13∠=∠，90F AEC ∠=∠=︒．∴23∠=∠． ∴OC ∥AF ． ∴90OCG F ∠=∠=︒．∴直线FC 与⊙O 相切．（2）在Rt △OCG 中，1cos 22OC OC COG OG OB ∠===，∴60COG ∠=︒．在Rt △OCE 中，3sin 6023CE OC =⋅︒==． ∵直径AB 垂直于弦CD ， ∴223CD CE ==．17．（2010 山东东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上， CA ＝CD ，∠CDA ＝30°．(1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为5，求点A 到CD 所在直线的距离．CO DE B （第20题）C O DE B（第20题） 1 3 2【答案】解：（1）Q △ACD 是等腰三角形，∠D ＝30°．∴∠CAD=∠CDA=30°. 连接OC , Q AO =CO ,∴△AOC 是等腰三角形． ………………………2分 ∴∠CAO =∠ACO =30°,∴∠COD =60°．…………………………………3分在△COD 中，又Q ∠CDO =30°，∴∠DCO =90°．………………………………4分∴CD 是⊙O 的切线，即直线CD 与⊙O 相切．……………………………5分 （2）过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E . ………………………………6分在Rt △COD 中， Q ∠CDO =30°，∴OD =2OC =10． AD =AO +OD =15……………………………………………7分 在Rt △ADE 中，Q ∠EDA =30°，∴点A 到CD 边的距离为：5.730sin =︒⋅=AD AE ．…………………………9分 18（2010 江苏镇江）推理证明如图，已知△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连结OE ，CD=3，∠ACB=30°.（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）分别求AB ，OE 的长；（3）填空：如果以点E 为圆心，r 为半径的圆上总存在不同的两点到点O 的距离为1，则r 的取值范围为 .【答案】（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90° （1分）,)2(.//,.,BC DE BC OD BO AO CD AD BC AB ⊥∴==∴=ΘΘΘ分又又∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线. （3分）（2）在ο30,3,=∠=∆ACB CD CBD Rt 中，.2,223330cos =∴===∴AB CDBC ο（4分）)6(.27)23(1,)5(.2332121,30,3,2222分中在分中在=+=+=∆=⨯==∴=∠=∆OE OD OE ODE Rt CD DE ACB CD CDE Rt ο（3）.127127+<<-r （7分） O (第17题图)ABCO (第17题图) A B CE。

切线的判定和性质教案切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系? ２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O 的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练’’’’例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。