切线的判定和性质

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

圆的切线与切点圆是几何学中的一种重要图形，它具有许多独特的性质和特点。

其中，圆的切线与切点是一个常见而重要的概念。

本文将介绍圆的切线及其与切点相关的性质和应用。

一、圆的切线的定义与性质1. 定义：在平面几何中，对于给定圆，经过圆上一点的直线称为圆的切线，该点称为切点。

2. 切线与切点的关系：切线与圆之间存在着唯一的切点，同样地，圆上的任意一条切线都有唯一的切点。

3. 切线的判定条件：圆上的切线与半径的关系是相切时垂直，相交时不垂直。

也就是说，切线和半径在相切的点处垂直，而在相交的点处不垂直。

4. 切线长度的性质：当直线与圆相切时，切线的长度等于半径的长度。

二、切线的求解方法根据圆的切线与切点的性质，我们可以采用以下两种方法来求解切线方程及切点坐标。

1. 几何法：几何法是通过直观的几何图形进行推导和证明的方法，可以用来求解切线的方程和切点坐标。

(1) 过给定点求切线：假设给定点为P(x0,y0)，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。

我们可以通过作直角三角形来找到过点P的切线。

首先以点P为顶点，作一个垂直于切线的直角三角形，使得斜边的长度等于半径r。

然后，通过求解直角三角形的边长和斜边的斜率，可以确定切线的斜率和截距，从而得到切线的方程。

(2) 求切点坐标：给定圆的方程和切线的方程后，我们可以解方程组，得到切点的坐标。

2. 解析法：解析法是通过数学的代数计算和推导来求解切线的方程和切点坐标的方法。

通过已知圆的方程和切点的坐标，可以利用代数运算和几何推导得出切线的方程和切点的坐标。

三、切线与切点的应用1. 最短路径问题：在平面上给定两点A和B，其中A位于圆内，B 位于圆外。

我们需要找到一条通过圆上某一点P的切线，使得切点D 为A点与B点之间的最短路径。

这样，我们可以利用圆的切线与切点的性质，求得最短路径的长度和切点的坐标。

2. 光的反射与折射：光线在介质之间传播时，会发生反射和折射现象。

圆的切线的性质及判定定理圆的相切的定义：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直线与圆的位置关系：相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形的判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

方法总结：1、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质.2、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题.圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦•一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角的特点：(1) 角的顶点在圆上；(2) 角的两边在圆内的部分是圆的弦.圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：A A A解题规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。

三角形的切线的性质和判定
一、定义
在三角形中，如果一条直线与三角形的一条边相切且不过该边
的端点，则这条直线称为三角形的切线。

二、性质
1. 切线与切点之间的夹角等于切线与三角形外接圆半径（或内
切圆半径）所对的圆心角的一半。

2. 切线与切点之间的夹角小于切线与三角形外接圆（或内切圆）的切点所对的圆心角。

3. 切线与三角形的另外两边所成的角相等。

4. 与同一条边相切的切线之间平行。

三、切线的判定
判断某条直线是否是三角形的切线可以按照以下方法进行：
1. 切点与切线所连接的直线垂直。

2. 切线与三角形的另外两边所成的角相等。

3. 切点在该边的延长线上。

四、应用
掌握三角形的切线的性质和判定对于解决相关题目很有帮助，例如可以用来判断两条直线是否相交于三角形内部，或者计算三角形的某个角的大小，等等。

结论
三角形的切线具有一些独特的性质，对于解决与三角形相关的问题非常重要。

掌握切线的判定方法可以帮助我们进一步理解和应用三角形的性质。

圆的切线性质与判定圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。

其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。

本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。

一、圆的切线定义切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。

切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。

圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。

二、圆的切线性质1. 切线与半径的关系在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。

2. 切线长度圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。

3. 切线的唯一性一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。

4. 外切线与内切线若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。

5. 切线相交性质若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。

三、圆的切线判定方法1. 分析法根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。

2. 考察斜率法假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。

3. 使用代数方程法对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。

通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。

四、应用举例1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。

2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。

3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。

总结：圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。

通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。

掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。

切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。