初中数学矩形折纸问题教案(含答案)

北师大版数学九年级上册微专题复习《矩形中的折叠问题》教学设计一．教学分析（一）学情分析学生已经学习过全等三角形、相似三角形、轴对称以及矩形等有关知识，同时在探究角平分线等腰三角形等几何图形性质的过程中已经有了折纸的经验，积累了较为丰富的数学活动经验，空间观念逐步增强，直观与推理能力都得到了一定的培养，为本节课的学习打下了基础。

在思维能力方面初步具备了思维的完备性、深刻性、批判性等思维品质，但尚待提高，其分析、抽象、概括、反思等能力比较薄弱。

九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，能够主动参与，勤于动手，乐于探究，学生间相互评价、相互提问的积极性高。

因此，参与本节课矩形中的折叠问题的探究活动的热情应该是比较高的。

（二）教学任务分析在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，在中考中会以选择、填空、解答题的形式出现.这类问题的解决是有规律可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等，这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值。

矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，抓住折叠中不变的量，然后利用勾股定理，相似三角形的有关知识，轴对称的性质等几何知识进行推理、计算。

根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

（三）教学目标：知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、直角三角形、相似三角形等知识解决矩形中的折叠问题。

过程与方法：经历对矩形折叠问题的探究过程，掌握探究问题的方法，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法。

情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决矩形折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣，获得解决问题的成功体验。

（四）教学重难点教学重点：解决矩形中的折叠问题。

教学设计科目：数学年级：初二课题矩形折叠中的数学问题学情分析对于我们学校生源的实际情况，就矩形折叠问题的深入学习是比较困难的，而本班的学生兴趣爱好比较广泛，虽然他们学习数学的时间和精力有限，但是比较愿意参加数学活动。

学生们的心理素质稍显薄弱，学习数学思维的深度和广度会有所欠缺，但是学习积极性还是有的。

阅读与操作问题一直是学生的薄弱环节，学生们遇到问题总是读不懂、不想做、问什么？基于这种情况，在学习了勾股定理、平行四边形、矩形的相关知识后，又结合中考中的折叠题型，设计了本节课。

通过本节课中实际的操作，希望学生经历叙述折叠过程、思考与动手结合、解释操作原理等过程，加强对折叠问题的理解。

教学目标1、通过折、画、找、证、算几个步骤，理解对矩形折叠中数学问题的解题思路；2、学会在操作中观察、分析图形，从中确定线段、角之间的数量关系，并结勾股定理利用方程思想解决相关计算问题；3、在具体的实际操作折叠过程中，理解折叠的本质，在解决问题中培养严谨的数学思维习惯。

教学重点掌握折叠图形中的全等关系，明确折痕的作用。

教学难点挖掘折叠图形中的几何性质，将其中的基本数量关系转化为方程来求解。

课前准备为了调动学生对学习的兴趣，让学生们提前做了一个折纸，并在折纸中体会图形的轴对称性教学过程教学环节设计意图导入新课展示学生们的手工折纸这里设计的目的是为了调动学生对学习的积极性并通过具体的折纸活动渗透生活中的数学，让学生体会到数学来源于生活并服务生活。

探究活动1 1、教师带领学生折叠纸片，将矩形的AB边折叠到AD边上，使点B落到AD边上的B’处。

2、板书：（画出折叠后的图形：利用尺规作图，揭示折叠本质。

）3、引导学生观察、思考。

B' E DAB C 这里设计的目的是为了让学生在尺规画图中体会折叠的本质，并让学生体会数学的严谨性这里设计的目的是为了引导学生发现折叠后出现的全等图形，明确折痕在图形中的作用，为了后面的计算和证明做好铺垫。

中学教学设计教案：矩形的折叠教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解矩形的性质，掌握矩形的对角线相等、对边平行且相等的特征。

（2）学会用直尺、圆规画出矩形，并能够折叠矩形纸片，展示其性质。

2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象力。

（2）学会运用几何画板或实物模型进行矩形的折叠实验，感受数学与实际生活的联系。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、合作交流的良好学习习惯。

二、教学重点与难点1. 教学重点：矩形的性质，矩形的折叠方法。

2. 教学难点：矩形折叠后对角线相等、对边平行且相等的证明。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究矩形的性质。

2. 利用实物模型、几何画板等工具，直观展示矩形的折叠过程。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。

四、教学准备1. 准备矩形纸片、直尺、圆规等教具。

2. 制作几何画板课件，展示矩形的折叠过程。

3. 准备小组讨论的问题及答案。

五、教学过程1. 导入新课利用实物模型或几何画板，展示一个矩形，引导学生观察矩形的特征。

提出问题：“如何用一张矩形纸片折叠出两个三角形？”2. 自主探究分发矩形纸片给学生，让他们亲自动手折叠，观察并总结矩形的性质。

3. 小组交流组织学生进行小组讨论，分享各自的发现，总结矩形的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 师生互动邀请学生上台展示自己的折叠方法，并讲解矩形的性质。

教师给予评价和指导。

5. 矩形的性质总结学生们的发现，给出矩形的性质：对角线相等、对边平行且相等。

6. 巩固练习设计一些有关矩形性质的题目，让学生运用所学知识解决问题。

7. 课堂小结回顾本节课所学内容，强调矩形的性质及其在实际生活中的应用。

8. 布置作业布置一些有关矩形的练习题，让学生课后巩固所学知识。

六、教学延伸1. 利用几何画板，展示矩形的折叠过程，让学生更加直观地理解矩形的性质。

2. 组织学生进行数学探究活动，探究矩形与其他四边形的关系，引导学生发现矩形的特殊性质。

3.通过实际案例，探讨矩形折叠问题的解题策略。
本节课将结合教材内容，以矩形中的一类折叠问题为例，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几点：
1.提升学生的空间想象力，使学生能够通过折叠变换，理解和把握矩形在空间中的形态变化；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形折叠的基本概念。矩形折叠是指将矩形按照一定的规则折叠成新的几何形状。它是研究几何变换的一种重要方法，有助于提高我们的空间想象力和问题解决能力。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了矩形折叠在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天这节课中，我们探讨了矩形折叠问题。通过教学活动，我发现学生们在理解矩形折叠的基本概念和性质方面表现得相当不错。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握折叠过程中对应角和对应边的关系。然而，我也注意到，当涉及到解决具体问题时，一些学生仍然感到困惑，特别是在空间想象力方面。
我尝试通过案例分析、实验操作和小组讨论等多种方式，让学生们亲身体验矩形折叠的过程，以提高他们的空间想象力和问题解决能力。从学生的反馈来看，这些方法确实有助于他们更好地理解矩形折叠的原理。但我也意识到，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。
矩形中的一类折叠问题（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册教材第四章“几何图形的变换”中的“矩形折叠问题”。教学内容主要包括：理解矩形的基本性质，掌握矩形折叠后形成的各种角和线段关系，以及解决实际折叠问题。具体内容包括：
1.矩形折叠后，对应角和对应边的关系；
2.折叠过程中，如何利用矩形的性质求解角度及线段长度；

思想方法专题： 矩形中的折叠问题——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一 矩形折叠问题中求角的度数1．如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在点D′处．若∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°第1题图 第2题图2．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边AD 上的点E 处，折痕FG 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接BE.若∠AEF ＝20°，则∠FGB 的度数为( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．40° ◆类型二 矩形折叠问题中求长度 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点O.若AO ＝5cm ，则AB 的长为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm第3题图 第4题图4．(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，得到菱形AECF.若AB ＝3，则BC 的长为( )A ．2B ．1C . 3D . 5 5．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点F 处，则DE 的长是【方法18①】( )A ．3B .245C ．5D .8916第5题图 第6题图6．(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD 按如图折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，BE ＝1.折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则EC 的长为( )A . 3B ．2C ．3D ．2 37．★(2017·安庆潜山县期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．第7题图第8题图◆类型三矩形折叠问题中求面积8．(2017·阜阳市期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则△AEF的面积是()A．8 B．10 C．12 D．149．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．参考答案与解析1．A 2.C 3.C4．C 解析：∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝CE ，∠FCO ＝∠ECO .由折叠可得∠ECO ＝∠ECB .又∵∠FCO ＋∠ECO ＋∠ECB ＝90°，∴∠FCO ＝∠ECO ＝∠ECB ＝30°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴CE ＝2BE ，∴AE ＝2BE .∵AB ＝AE ＋BE ＝3，∴BE ＝1，CE ＝AE ＝2，∴BC ＝CE 2－BE 2＝ 3.故选C.5．C 解析：四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∴BD ＝BC 2＋CD 2＝10.由折叠可得BF ＝AB ＝6，EF ＝AE ，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴∠DFE ＝90°.设DE ＝x ，则EF ＝AE ＝8－x .在Rt △DEF 中，DE 2＝EF 2＋DF 2，即x 2＝(8－x )2＋(10－6)2，解得x ＝5.即DE ＝5.故选C.6．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠BAD ＝90°.∵∠BAE ＝30°，BE ＝1，∴AE ＝2BE ＝2×1＝2，∠AEB ＝90°－∠BAE ＝90°－30°＝60°，∠EAC 1＝∠BAD －∠BAE ＝90°－30°＝60°.由折叠可得∠AEB 1＝∠AEB ＝60°.∴∠AC 1E ＝180°－∠EAC 1－∠AEB 1＝60°，∴△AEC 1是等边三角形，∴EC 1＝AE ＝2.由折叠可得EC ＝EC 1＝2.故选B.7.185解析：如图，连接BF 交AE 于点H .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.由折叠可得BF ⊥AE ，BH ＝12BF .∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，∴BF ＝2BH ＝245.由折叠可得FE ＝BE ，∴FE＝BE ＝CE ，∴∠EBF ＝∠BFE ，∠ECF ＝∠EFC .又∵∠EBF ＋∠BFE ＋∠EFC ＋∠ECF ＝180°，∴∠BFE ＋∠EFC ＝90°，即∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.8．B 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，AD ＝BC ＝8，CD ＝AB ＝4.由折叠可得AG ＝CD ＝4，∠G ＝∠D ＝90°，DF ＝GF .设AF ＝x ，则GF ＝DF ＝8－x .在Rt △AGF 中，AF 2－GF 2＝AG 2，即x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5，即AF ＝5.∴S △AEF ＝12AF ·AB ＝12×5×4＝10.故选B.9．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.由折叠可得∠F ＝∠B ，AF ＝AB ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝8.由折叠可得CF ＝BC ＝8.由(1)可知△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .设EF ＝DE ＝x ，则CE ＝8－x .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DE ＝3，∴AE ＝AD －DE ＝5，∴S 阴影＝12AE ·CD ＝12×5×4＝10.。

《矩形中的折叠问题》教学设计一、内容和内容解析（一）内容沪课版八年级下册《矩形中的折叠问题》(二)内容解析在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。

本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。

(三)教学重点熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。

二、目标和目标解析（一）目标新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。

根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。

过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。

（二）目标解析1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。

2.让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。

3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。

中学教学设计教案：矩形的折叠教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解矩形的性质，掌握矩形的判定方法；（2）学会矩形的折叠方法，能够运用矩形折叠解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、思考，培养学生的空间想象能力和动手能力；（2）学会运用矩形折叠解决几何问题，提高解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通表达能力。

二、教学内容1. 矩形的性质及其判定2. 矩形的折叠方法及应用三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）矩形的性质及其判定；（2）矩形的折叠方法及应用。

2. 教学难点：（1）矩形的折叠方法；（2）运用矩形折叠解决实际问题。

四、教学方法1. 情境教学法：通过实物演示、图片展示等，引发学生的兴趣，激发学习热情；2. 问题驱动法：设置问题，引导学生思考，培养学生的解决问题的能力；3. 动手实践法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力；4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：（1）利用多媒体展示矩形的实物图片，引导学生关注矩形；（2）提问：什么是矩形？矩形有哪些性质？2. 探究矩形的性质及其判定：（1）学生自主探究矩形的性质，教师巡回指导；（2）学生分享探究成果，教师点评并总结；（3）引导学生掌握矩形的判定方法。

3. 学习矩形的折叠方法：（1）展示矩形折叠的实物或图片，引导学生观察；（2）讲解矩形折叠的方法，让学生动手实践；（3）提问：矩形折叠有什么应用？如何运用矩形折叠解决实际问题？4. 运用矩形折叠解决实际问题：（1）设置问题情境，引导学生运用矩形折叠解决问题；（2）学生分组讨论，合作解决问题；（3）学生分享解题过程，教师点评并总结。

5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结矩形的性质、判定方法和折叠应用；（2）强调矩形在实际生活中的重要性。

课题：矩形折叠问题
【教学目标】
1.让学生探索矩形折叠过程中折痕的位置，边角及图形的关系，并利用相关数学知识解决问题，培养学生识图能力和发现问题，提出问题，解决问题的能力
2.体会方程思想，函数思想在研究数学问题中的作用
3.通过合作探索，激发探究意识，体会从特殊到一般是研究问题的一般思路，体验成功的喜悦
【教学重点】探索矩形折叠过程中折痕的位置
【教学难点】体会从特殊到一般是研究问题的一般思路
【教学过程】
活动一：再现折叠
问题1：苏科版教材八（下）第95页复习题21
在矩形纸片ABCD中，AB =6，BC=8.将矩形纸片沿对角线BD折叠，点A落在点E处（如图），设DE 与BC相交于点F，求BF的长.
活动二：定向折叠
问题2：在矩形纸片ABCD中，AB =6，BC=8.将矩形纸片折叠一次，使点A落在固定位置或特殊位置，
(1)动手操作，折叠矩形，使点A．
(2)画出折叠后的图形；
(3)编一道求值问题.求线段的长.
活动三：变向折叠
问题3：在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC=8. M 、N 分别为边AD 、BC 上的点，现将矩形纸片沿直线MN 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处．
（1）当CE=2时，则DM=
（2）当CE=3时，则DM=
（3）当点E 从C 运动到D 时，猜想DM 和CE 的长度是否满足函数关系？若满足，求出函数关系式.
（4）求出DM 的取值范围.
活动四：反思折叠
1. 关于折叠问题，你掌握了什么方法和思想？
2. 关于折叠问题，你又有什么感悟？
A。

精选全文完整版（可编辑修改）矩形中的折叠问题教学设计范卫光学习目标：通过本节课对矩形折叠问题的探究学习，达到总结折叠问题的规律提炼解决折叠问题的方法，并利用折叠的规律和方法进行计算和证明。

重、难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中线段的数量关系。

预习交流：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做图形，这条直线叫做这时,我们也说这个图形关于这条直线对称.动手活动：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点C落在点C/处，BC/交于AD点E，你能发现哪些结论？例１、如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,在BC上找一点E，沿DE折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点C/处，此时，求C/E的长是多少？例2、如图如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm,宽AB＝3cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？例3、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8㎝， BC=10㎝，折叠矩形的一边BC，使点C落在AD边上的点C/处，折痕为BE，求CE的长。

例4、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折, 使点C落在点C/处，AD交BC/于点E,若AB=4cm,AD=8cm。

①求DE的长？②求重叠部分△BED的面积。

谈谈你的收获？作业：如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处。

（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数；（2）若AB＝6cm， AD＝10cm，求线段CE的长及△AEF的面积.在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。

金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。

在今后的工作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点。

《矩形中的折叠问题》教学设计克拉玛依市第六中学 数学组 刘勤一、内容和内容解析（一）内容人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》（二）内容解析在初中数学中，矩形的折叠问题是我们常见的一种数学问题，也是初中数学教材中的一个重要内容。

在中考中，常常以选择、填空的形式出现，这类问题经常通过折叠操作来考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，这类题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。

矩形的折叠问题，实质上是轴对称问题。

解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形，确定其中对应角相等、对应线段相等，折痕平分线段、平分角等条件，然后找到对应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。

二、教学目标1. 掌握轴对称性质、几何图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质等知识；2. 能够借助勾股定理解决矩形问题中的折叠问题.三、教学重难点教学重点：解决矩形中的折叠问题；教学难点：综合运用知识找出或构造基本图形，挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.四、教学过程教学过程教学内容设计意图1.情境引入折叠问题1.动画演示四边形ABCD沿着AC折叠，让点D与点A重合，对称轴两边有怎样的特点？2.如图，有一张直角三角形的纸片，直角边AC=12，BC=9，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕是AD，求线段CD的长.分析：1.图中全等的图形有哪些？2.图中相等的线段有哪些？学生初遇翻折问题，往往一片茫然，但通过动画演示，让学生透过现象看本质：折叠即为轴对称，是一种全等变换，有相等的线段。

如果求线段的长度，可利用已知条件和折叠，找到相应的直角三角形，通过设未知数，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题.边AB上，将矩形AB=8，AD=6．将纸片折边上，折痕为AE，再将△AED沿DE ，求CF的长.，点E、F分别在边4.课堂小结：1.矩形的折叠一般有以下几种情况：2.通过折叠，找出全等图形、相等的线段、相等的、以及特殊图形；3.找到相应的直角三角形，通过设未知数，利用勾股定理列方程，解方程，进一步求解；4.几何图形当中的折叠，都可以用矩形的折叠去分析，去解决.折叠大致可分为以下三种情况：1.折叠后点落在三角形内部，落在对角线上，落在一边是，落在三角形外部；2.折叠后边与边重合3.折叠后点与点重合五．布置作业：课时作业：基础练习及巩固练习六．教学反思：今后的学习中，但凡出现折叠问题，我们要有一定的解题思路：首先：应当从折叠产生的轴对称图形和背景图形入手，找出全等图形、相等的线段、相等的角以及特殊图形等，这是解决问题的基本条件；其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形等特殊图形；最后，在特殊图形中借助勾股定理，运用方程思想，解决最终问题.其实，图形的折叠题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，所有的题也就迎刃而解了。

课题：矩形中的折叠问题114中学 张爱 教学目标：知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣.教学重点：解决矩形中的折叠问题.教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.教学方法：引导探究式教学教学过程（一）课堂引入师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题.（二）讲授新课例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F . 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ；∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ；师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？生：△EBD ≅△CBD ≅△ADB 且都是直角三角形，△ABF ≅△EDF ；△FBD 是等腰三角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）.师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题：（1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数．（2） 若4=AB ，8BC =，求AF ．解：（1）∵矩形ABCD 中，∠C =90°，又∵翻折，∴∠E =∠C =90°，∵∠ADE =20°，∴∠EFD =70°.∵AD ∥BC ，∴∠FDB =∠DBC ，B C D E F A又∵∠FBD =∠DBC ，∴ ∠FBD =∠FDB ，∴∠FBD =35°.（2）∵∠FBD =∠FDB ，∴FB=FD ，设AF 为x ，则FD=FB= 8-x ，在△ABF 中，∠A =90°，222AF AB BF +=，因此，()22248+=-x x ，解得3=x ，∴AF =3.【小结】师生共同小结，教师进行归纳：将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题.图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形.例2：将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处.师：请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生：AB=DC=DG ，BF=DF=DE ，AE=EG=FC ；∠G =∠A=90°，∠CDF =∠GDE ，∠DFC =∠DEG ，∠BFE =∠DFE =∠FED ；△DGE ≅△DCF ，且都是直角三角形，△DEF 是等腰三角形；并且四边形EABF 与四边形EGDF 关于直线EF 对称.师：下面我们来看具体问题：（1） 判断四边形BFDE 的形状；（2） 若AB =2，BC =4，求折痕EF 的长.解：（1）四边形BFDE 是菱形证法一： ∵B 与D 关于直线EF 对称 ∴EF ⊥BD ，且BO=OD∵AD ∥BC ∴EO ：OF=BO ：DO∴EO=OF ∴四边形BFDE 是菱形.证法二： ∵ED 平行且等于BF∴四边形BFDE 是平行四边形∵△DGE ≅△DCF ，ED=DF∴四边形BFDE 是菱形（2）∵四边形BFDE 是菱形∴DC BF EF BD S ⋅=⋅=2121 设FC 为x ，则FD=FB= 4-x ，在△DFC 中，222FC DC DF +=，因此，A B C F E G D A B C F E G D O()22224+=-x x ，解得5.1=x ，∴FC =1.5 ，BF=2.5又∵DC =2 ，BD =52∴22552⋅=⋅EF ， EF =25. 这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.【小结】师生共同小结，教师适当归纳：例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形.回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想.例3：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处.问题：若=∠EFC sin 31，求tan ∠DAE . 师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题.生：图中的主要关系有：A FE DE ∆≅∆A ，B F A ∆∽FCE ∆，︒=∠=∠=∠=∠90AFE D C B ，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.解：∵∠B=∠C=∠AFE =90°，∠BAF +∠BF A =90°，∠BF A +∠EFC =90°，∴∠BAF=∠EFC ，∴∴B F A ∆∽FCE ∆ ∴31AF BF FE EC sin ===∠EFC 设EC 为a ，则EF=ED =3a ，∴AB =DC =4a ，∴AF=a 23∴AD=a 23∴tan ∠DAE=22233a AD DE ==a 【小结】师生共同小结：本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出现全等三角形外，还出现了相似三角形，相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或60°角或120°角）时，则会出现相似图形.由此可见，在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.F E D C B A（三）课堂小结这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.学生畅谈感受和收获.教师总结：以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件.其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理或相似性质，是计算边长的常用方法.图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.（四）布置作业完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.。

（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，使其感受数学在生活中的实际应用。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强其解决问题的信心。
3.引导学生认识到矩形折叠问题在实际生活中的意义，体会数学的价值。
4.培养学生严谨、细致的学习态度，使其形成良好的学习习惯。
二、教学内容
1.矩形的基本性质复习：引导学生回顾矩形的定义、性质和判定方法。
6.课堂小结：总结本节课所学知识，强调矩形折叠问题的解决方法和技巧。
三、教学方法
1.采用启发式教学，引导学生主动探究折叠问题。
2.运用实际问题，激发学生的学习兴趣。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重学生个体差异，因材施教，提高教学效果。
四、教学评价
1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和合作意识。
3.实践题：请同学们自己设计一个矩形折叠问题，并给出解题过程和答案。要求问题具有一定的挑战性，能够充分体现矩形折叠的特点。
实践题旨在培养学生的创新意识和问题设计能力。
4.小组合作题：分组讨论以下矩形折叠问题，共同完成解题过程。
（1）已知矩形ABCD，沿对边AD和BC折叠，使得点A和C重合，求证：折叠后的图形是等腰梯形。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保无误。
（二）过程与方法
1.通过动手操作、观察、讨论等教学活动，引导学生发现矩形折叠问题中的规律和性质。
2.引导学生运用数学语言表达折叠问题的解决过程，培养其数学表达能力和逻辑思维能力。
3.指导学生运用画图、列式、计算等方法，解决折叠问题，提高解决问题的能力。
4.通过小组合作、交流分享，培养学生团队协作能力和沟通能力。

A B C D M N PQ 折叠问题（专题复习）一、计算角度1．点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．2．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度. 2．如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上A 1，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE ＝____________．3．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________．二、折出特殊的四边形1．如图，一张矩形纸片，腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形.他判定的方法是_________________.2．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． ⑴求证：△ABF ≌△EDF ；⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．ABABOOCDE3．在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？4A BCDA B CD E三、计算长度及面积1．如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折， 使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．2．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´的位置， 若BC ＝2，则BC ´＝_________．3．有一矩形纸片ABCD ，AB =9cm ，BC =12cm ，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.求折痕EF 的长.4．如下图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，045=∠DBC .翻折梯形ABCD ，使点B 重合与点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD =2，BC =8， 求BE 的长；5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10．(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG 的面积．(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．AB CD E F G H (A)(B)6．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．7．已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上． 点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =33，BC =6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE =30°． ⑴ 求BE 、QF 的长．⑵ 求四边形PEFH 的面积． 9．在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积．四、综合型问题1．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．A 图① A 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG ' D ' A D E C B F G α 图④ 图⑤(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．2．如图，把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD (裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD ，如示意图(1)。

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是()A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三 折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

初中矩形折叠问题教案教学目标：1. 让学生理解矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 培养学生运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形折叠问题的能力；3. 培养学生逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。

教学内容：1. 矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 矩形折叠问题的解决方法；3. 矩形折叠问题在实际应用中的例子。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 利用实物或图片引导学生观察和理解矩形折叠问题的基本概念；2. 提问学生：矩形折叠问题有哪些性质和特点？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解矩形折叠问题的基本性质，如对折后的两部分完全重合，折痕垂直平分对应的边等；2. 引导学生通过观察和动手操作，发现矩形折叠问题的规律和解决方法；3. 讲解矩形折叠问题的解决步骤，如确定全等线段、求出线段长度、设未知数建立方程等。

三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题，让学生理解矩形折叠问题的解决方法和解题技巧；2. 引导学生通过讨论和思考，探索解题思路和步骤；3. 总结解题规律和关键步骤。

四、练习与拓展（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立解答；2. 引导学生运用矩形折叠问题的解决方法，解决实际问题；3. 引导学生思考矩形折叠问题在实际应用中的意义和价值。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结矩形折叠问题的性质和解决方法；2. 引导学生思考如何将矩形折叠问题应用到实际生活中；3. 鼓励学生提出问题和对矩形折叠问题的进一步研究。

教学评价：1. 学生能理解矩形折叠问题的基本概念和性质；2. 学生能运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形折叠问题；3. 学生能独立完成练习题，并将矩形折叠问题应用到实际问题中。

七下矩形两次折叠问题教案一、教学目标。

1. 知识与技能。

（1）掌握矩形两次折叠问题的基本概念和解题方法；（2）能够灵活运用矩形两次折叠问题解决实际问题。

2. 过程与方法。

（1）培养学生的观察、分析和解决问题的能力；（2）引导学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 情感态度价值观。

（1）培养学生的勤奋、细心和耐心的学习态度；（2）培养学生的团队合作意识和积极参与课堂活动的态度。

二、教学重难点。

1. 教学重点。

（1）矩形两次折叠问题的基本概念和解题方法；（2）实际问题的抽象化和数学建模能力。

2. 教学难点。

（1）灵活运用矩形两次折叠问题解决实际问题；（2）培养学生的抽象思维能力。

三、教学过程。

1. 导入新课。

通过展示一张纸条，让学生想象如果将这张纸条依次折叠两次，会得到怎样的形状，并引出矩形两次折叠问题。

2. 概念讲解。

首先，向学生介绍矩形两次折叠问题的概念，即将一张矩形纸依次折叠两次，最终会得到怎样的形状。

然后，讲解解题方法，包括确定折叠线、确定折叠的方向等。

3. 案例分析。

通过具体案例分析，引导学生掌握矩形两次折叠问题的解题方法，包括计算折叠后的面积、边长等。

4. 练习训练。

设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。

同时，教师可以根据学生的实际情况进行个性化指导，帮助他们解决问题。

5. 拓展应用。

引导学生将所学知识运用到实际问题中，例如设计一个纸箱的折叠图纸、计算折叠后的容积等，培养他们的抽象思维能力和实际问题解决能力。

6. 总结反思。

通过总结本节课的内容，让学生再次理清矩形两次折叠问题的解题方法和注意事项，加深对知识点的理解。

四、教学评价。

通过课堂练习和案例分析，教师可以及时发现学生的问题，对学生的学习情况进行评价和反馈。

同时，可以设计一些小测验，检验学生对矩形两次折叠问题的掌握程度。

五、教学反思。

在教学中，要注重培养学生的抽象思维能力和实际问题解决能力，引导他们将所学知识运用到实际问题中。

课题:矩形中的折叠问题11４中学 张爱教学目标：知识与技能:灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题.过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.情感态度价值观:通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系,感受数学学习的乐趣．教学重点：解决矩形中的折叠问题．教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系． 教学方法:引导探究式教学教学过程(一）课堂引入师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题．(二)讲授新课 例１：如图,已知矩形ABCD ,将BCD △沿对角线BD 折叠，点Ｃ落在点E 处，BE 交A Ｄ于点F ．师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB ＝DC ＝ED ,BF=ＤＦ,A Ｆ=ＥＦ，B Ｃ=BE=AD ；∠E =∠A=90°,∠ABF =∠ＥＤF ,∠FB Ｄ=∠FDB =∠ＤB Ｃ，∠B ＤC =∠B ＤE ；师:由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质?生：△E ＢＤ≅△C ＢD ≅△AD Ｂ且都是直角三角形，△AB Ｆ≅△ED Ｆ；△F ＢD 是等腰三角形；并且△E ＢＤ与△C ＢD 关于直线BD 对称，若连接E Ｃ,则B Ｄ垂直平分ＥＣ（对称轴垂直平分对应点之间的连线）．师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形，以及轴对称图形,下面我们就来看看几个具体的问题:（1） 若∠ＡＤE ＝20°，求∠EBD 的度数．（2） 若4=AB ,8BC =,求ＡF .B C D E F A解:（1)∵矩形A ＢＣD 中,∠C =９0°,又∵翻折,∴∠E =∠C =9０°，∵∠AD Ｅ＝20°,∴∠E ＦD =70°.∵AD ∥BC ，∴∠FDB ＝∠DBC ,又∵∠FBD =∠DBC ，∴ ∠ＦBD =∠ＦDB ,∴∠FBD =35°.(2）∵∠FBD =∠FDB ，∴F Ｂ=FD ,设AF 为x ,则FD=FB ＝ 8-x ,在△A ＢF 中，∠A =9０°,222AF AB BF +=，因此,()22248+=-x x ，解得3=x ，∴AF =3.【小结】师生共同小结，教师进行归纳:将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手,分析出了图中相等的线段和角,找到了全等三角形,等腰三角形，从而解决了问题.图中还隐含着一个重要的基本几何图形, 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形．例2:将矩形纸片ABCD 沿ＥＦ折叠,使点Ｂ与点D 重合，点Ａ落在点Ｇ处．师:请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生:AB=ＤC=DG ，BF=DF=DE ，A Ｅ=ＥG=FC ;∠Ｇ=∠Ａ=90°,∠CDF =∠GDE ,∠DFC =∠DEG ,∠BF Ｅ=∠DFE =∠ＦＥＤ；△DGE ≅△ＤC Ｆ，且都是直角三角形,△ＤEF 是等腰三角形；并且四边形EABF 与四边形EG ＤF 关于直线E Ｆ对称．师：下面我们来看具体问题:（1） 判断四边形BFDE 的形状;（2） 若ＡＢ=２,BC =4，求折痕EF 的长.解:(1)四边形BFD Ｅ是菱形证法一： ∵Ｂ与D 关于直线EF 对称 ∴ＥF ⊥BD ,且BO=OD∵AD∥BC ∴E Ｏ:ＯＦ＝B Ｏ：D Ｏ∴E Ｏ=ＯＦ ∴四边形BF ＤＥ是菱形.证法二: ∵ＥD 平行且等于BF∴四边形B ＦDE 是平行四边形∵△ＤGE ≅△DCF ,E Ｄ=ＤF∴四边形ＢＦD Ｅ是菱形A B CF EG D A B C F E G D O（２）∵四边形BFD Ｅ是菱形∴DC BF EF BD S ⋅=⋅=2121 设ＦＣ为ｘ，则FD=F Ｂ＝ 4-x ，在△ＤＦC 中,222FC DC DF +=,因此，()22224+=-x x ,解得5.1=x ，∴F Ｃ=1．5 ,ＢＦ=2.５ 又∵D Ｃ＝2 ，B Ｄ=52∴22552⋅=⋅EF , E Ｆ=25． 这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会.【小结】师生共同小结,教师适当归纳：例２中的图形是沿着某一直线折叠,使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角,全等三角形,等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题,勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法,这里也体现了数学中的方程思想.例3:如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处.问题：若=∠EFC sin 31,求ta ｎ∠DAE . 师:请你先分析图形中的数量关系,写在学案上，然后独立完成问题．生：图中的主要关系有：A FE DE ∆≅∆A ，B F A ∆∽FCE ∆,︒=∠=∠=∠=∠90AFE D C B ，勾股定理可以用于任何一个直角三角形.解：∵∠B=∠Ｃ=∠AFＥ＝90°,∠BAF +∠BFA ＝９0°,∠ＢＦA +∠EFC =９0°，∴∠BA Ｆ=∠ＥFC ,∴∴B F A ∆∽FCE ∆ ∴31AF BF FE EC sin ===∠EFC 设EC 为a ，则ＥＦ=ED =3a ,∴ＡB =DC =4a ， ∴ＡＦ＝a 23∴ＡD=a 23F E D C B A∴ta ｎ∠ＤAE=22233a AD DE ==a 【小结】师生共同小结:本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上,图中除出现全等三角形外,还出现了相似三角形,相似的出现并不意外，这是因为出现了我们在几何中曾经总结过的一个基本图形，即同一直线上出现三个直角（或６0°角或1２0°角)时,则会出现相似图形.由此可见,在复杂图形中挖掘出基本几何图形是非常重要的.(三）课堂小结这节课我们研究了矩形折叠中的三类基本折叠问题，相信同学们都有了一定的收获和感受，下面就请你们谈谈吧.学生畅谈感受和收获．教师总结：以上三个例题体现了折叠问题中的三种基本折法，通过这三道例题，我们今后再遇到此类问题应该有了一定的解题思路.首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角,直角三角形等,这些是我们解决问题的基本条件.其次，根据这些基本条件,再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、相似三角形、等腰三角形等特殊图形，这些是解决问题的关键.再有,在特殊图形中运用方程思想,借助勾股定理或相似性质,是计算边长的常用方法．图形折叠问题题型变化多端，但万变不离其宗，只要我们掌握了解决问题的一般思路，相信你们定能将一道道难题破解.（四)布置作业完成学案上的问题，并且例2的两个问题分别用两种方法解出来.。