折纸中的数学问题

关于折纸的小学生数学智力题折纸为什么要比尺规作图更强?这是一个好问题。

查字典数学网欢迎大家阅读折纸的小学生数学智力题，希望对您的学习有所帮助。

要解答为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么叫折纸。

折纸的游戏规则是什么?换句话说，折纸允许哪些基本的操作?大家或许会想到一些折纸几何必须遵守的规则：所有直线都由折痕或者纸张边缘确定，所有点都由直线的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，每次折叠都要求对齐某些已有几何元素(不能凭感觉乱折)，等等。

不过，这些定义都太“空”了，我们需要更加形式化的折纸规则。

1991 年， Humiaki Huzita 指出了折纸过程中的 6 种基本操作(也可以叫做折纸几何的公理)：1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去(想象这张纸是透明的，所有几何对象正反两面都能看见，下同)3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。

例如，操作 1 实际上相当于连接已知两点，操作 2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作 3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作 4 则相当于过已知点作已知线的垂线。

真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的(有时甚至是作不出来的)。

正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一个。

折纸是一门具有深厚数学基础的艺术形式，通过运用数学原理和几何学概念，可以创作出各种独特的折纸作品。

折纸是一种结合几何学和数学原理的艺术和手工技巧。

在折纸的过程中，涉及到很多数学概念和原理。

1.1几何学：折纸中使用的几何概念包括点、直线、角度、比例、相似三角形等。

通过几何学原理，可以实现各种复杂的折纸形状和结构。

1.2尺规作图：在折纸中，通常需要按照一定的比例和尺寸来进行折叠，这涉及到尺规作图中的标尺和尺子等工具，以及画圆规等几何工具。

2.1数学计算：在一些复杂的折纸设计中，需要进行数学计算来确定各个部分的尺寸和位置，以确保最终的折纸作品符合设计要求。

2.2对称性：对称性在折纸中非常重要，通过对称性原理可以实现各种独特的折纸形状和结构，增加折纸作品的美感和艺术性。

小小折纸趣题,浓浓数学味道——折叠正三角形的三种方法折叠正三角形的三种方法世界上最古老的数学书籍『九章算术』，在第九章里，就提到"三角形"，在折叠正三角形之前，它首先提到了折叠六边形与四边形，它也被誉为折纸趣题的里程碑。

折叠正三角形这个问题，直到现代化学习，才有了可解释的数学理论，而且有三种折叠方法可以折叠成正三角形：折叠形状、折叠类型和最终折叠。

第一种折叠形状，也称为"兴建形折叠"，是把正三角形折叠成三角形臂的结构，它分析过程是先把正三角形折分为两个小三角形，然后再把这两个小三角形再折叠成一个小三角形，三角形臂被折叠出来，折叠完成之后，就变成了正三角形。

第二种折叠类型，也称为"六边形"折叠，是把原来的正三角形分为三个平行的六边形，分别把三个六边形折叠成三个全等的正三角形，折叠完成之后，就变成了美丽的正三角形。

第三种折叠方法，也就是最终折叠，是把三角形的两个对边分别折叠成直角，借助等边斜角的性质，它可以产生出两个直角，这种折叠方法也可以折出美丽的正三角形，它在九章算术中也得到了提及，当然，它以后也被传播出去，成为很多小折纸趣题的最终答案。

折叠正三角形的三种方法，这三种手法都能折出正三角形，这三种方法可谓是无以伦比，因为它们在数学理论上都是正确的，折叠也都十分简单，也都很容易掌握，只要用心去学习，就可以把它们都学会，这就是折纸趣题难中之难，而又有益于促进数学知识的学习。

另外，折叠正三角形，它可以让我们对三角函数、图形学、空间几何等数学知识有更深刻的体会，也可以结合折纸实现应用，培养孩子的动手能力，激发孩子的科学创造力。

总之，折叠正三角形的三种方法，都很重要、都十分独特，它不仅可以用于教学、也可以用于娱乐，它。

折纸中的数学题带解析有这么一道折纸题，想必大家都知道吧！我们一起去看看怎么折吧。

考查的内容是：最多可以折几个正方形，并且每个小正方形的面积都不能超过3*3=9（平方厘米），并且这些小正方形的边长必须是整数。

（不过，这样的题目在现实生活中也可以用学过的三角形面积公式进行解答，所以这里就不详细说明了。

）为什么折的时候还要提醒“不能超过” 9平方厘米呢？因为如果折得太少，则只能当成正方形，但正方形不是多边形，它是特殊的四边形，四条边长度和为偶数，而白纸的面积为9平方厘米，没有办法把四条边的长度都凑成偶数。

所以最后折出来的图形肯定是奇形怪状的。

一、折纸方法1、第一种折法先把白纸对角折起来，然后再从中间分别向两个不同的方向对折，使白纸形成一个“十”字形，上下左右各有一个“十”字。

2、第二种折法把白纸按照折好的“十”字形对折，然后再按照第一种折法向中间对折，即可折成一个三角形。

二、相关知识点1、三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2三、解析下面，我们通过一个具体的例子来学习如何折正方形。

1、如果选择了第一种折法，那么折出来的图形应该是一个正方形。

正方形的面积=√6a2= 6平方厘米2、如果选择了第二种折法，折出来的图形应该是一个三角形。

三角形的面积=底×高÷2=√3a2=6平方厘米折纸也是一门很深奥的学问哦，我们现在还理解不透彻，以后慢慢学习，我相信你们一定会折出漂亮的纸花的。

三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2三角形的面积=1/2×底×高÷2=底×高÷2四、数学方法分析一个正方形纸张可以折叠成四个小正方形。

这四个小正方形的边长是整数，即小正方形的面积是整数。

例如，如果把一个正方形纸对折，对折后正方形的四个角都是直角，所以，每个小正方形的面积为1/2×3×3=9平方厘米。

初二数学能力测试题（折纸问题）一、填空题：1、把边长为1的正方形对折n次后，所得图形的面积是。

2、将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕MN上（如图1上点B），若AB=3，则折痕AE的长是，△AEF是三角形。

3、如图2，矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设点D落在D1处，BC1交AD于E，= 。

=6cm，BC=8cm，则S阴4、如图3，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,则EC= 。

5、如图4，把矩形纸片折叠，使点落在AD边的中点C1处，设折痕为EF，AB=3，BC=4，则CE：BE= ，CF：FD 。

6、如图5，把矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，则四边形BEDF是形；若AB=6，BC=8，则折痕EF= 。

7、如图6，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C1的位置，则BC1与BC之间的数量关系是。

8、如图7、把一张长方形ABCD的纸片，沿着EF折叠后，ED和BC的交点为G，点D、C分别落在D1、C1的位置上，若∠EFG=55°，则∠1= 度。

9、如图8，将△ABC折叠成图8，则折出两条定理，这两条定理是：①；②。

10、如图9，在△ABC中，周长为22，AB=AC，BC=6，现把线段AB对折，设折痕为DE，则△BEC的周长是。

11、如图10，折叠矩形ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD，使AD边落在折痕BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，则AG= 。

12、如图11，把边长为a的等边△ABC折叠，使点A落在BC边的点D，且BD：DC=2：3，设折痕为MN，则AM：AN的值是。

13、如图12，一边长为250cm的正方形ABCD纸片，AD上有一点P，且AP= ，折这纸片使点B落在点P上，则折痕EF的长是 cm。

14、如图13，EF 为正方形纸ABCD 的对折线，将∠A 沿DK 折叠，使它的的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG 的度数是 。

数学有哪些原理的折纸
在数学中，有一些折纸原理，其中最著名的原理是“折纸作图问题”，也称为“Doubling the Cube问题”。

该问题要求使用一张纸，只能使用折叠和直尺，构造一个正方体的体积是原来体积的两倍。

这个问题被证明是不可能解决的，因为它涉及到无理数的概念。

除此之外，还有一些其他的折纸原理，包括：
- 面积倍增问题：使用一张纸，只能使用折叠和直尺，构造一个形状与给定形状相似的形状，它的面积是原来的两倍。

- 三等分角度问题：使用一张纸，只能使用折叠和直尺，将一个任意角度三等分。

- 平分角度问题：使用一张纸，只能使用折叠和直尺，将一个任意角度平分为两个相等的角度。

这些折纸原理在数学中具有重要的应用，尤其是在几何学、代数学、拓扑学和数论等领域。

数学中的折纸问题数学中的折纸问题1 折出黄金分割比众所周知的分线段为黄金分割比：618.0215≈-。

这是个美妙的比例，实质上是“将线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。

黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂［2］。

如果用折纸的办法，我们就可以轻轻松松地将它展示出来。

如图1所示，将AD折叠到AB上，D为正方形纸片EF 的中点，则215-=ABBC。

也即C为边BF的黄金分割点［3］。

简证如下：令∠DAG＝θ，由折纸的对称性知∠BAC＝21θ，又2tan==AGDGθ，从而求得：2152tan-=θ，即215-=ABBC。

2 折出30°和60°角对于我们当中经常折纸的人,折出90°和45°角几乎是一种本能,而折出30°和60°角，其中包含ABCD GEF图1（1）（2）（3）图2（1）（2）（3）图3__________________________________________________的数学内容就稍微难理解些。

折出30°和60°角的方法主要是基于直角三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半［4］。

图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。

将左上角顶点折叠到右边长一条41折痕上，可以在纸片上边的中点产生三个相等的60°角。

如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的60°角就分成了两个30°角。

如图3，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到右边第一条41折痕上形成30°角。

其实，我们还可以像图4这样以正方形绝版的角或中心为顶点，折出60°或30°角。

注：将图3（2）一般化可以揭示一条重要性质：邻补角的平分线互相垂直，这就是2003年黑龙江省一道中考题［5］。

上面几种折法的几何证明就留给读者吧！ 3 将长方形纸片的成三等份图4__________________________________________________大多数人（包括笔者本人）将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的31；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。

四年级数学角度折叠练习题折纸是我们日常生活中常见的活动之一。

而通过折纸，我们不仅可以锻炼动手能力，还可以学习到数学知识。

本文将为四年级学生提供一系列有关角度折叠的练习题，帮助他们巩固角度的概念并提高解题能力。

1. 第一题：角的折纸将一张正方形纸张对角折叠，然后再对角折叠，再对角折叠。

最后展开纸张，观察图形并回答以下问题：a. 通过这些折叠，一共产生了多少个角？b. 这些角中有多少个是直角？c. 这些角中有多少个是锐角？d. 这些角中有多少个是钝角？2. 第二题：角的度数用一个角仪或者量角器测量下列各角的角度，并判断其大小：a. 直角角度是多少？b. 钝角角度是多少？c. 锐角角度是多少？d. 平角角度是多少？3. 第三题：角的分类将下列角分类为直角、钝角、锐角或平角：a. 90°b. 45°c. 180°d. 135°e. 30°f. 150°4. 第四题：角的比较根据下列各题，比较两个角的大小，并用"<"、">"或"="表示：a. 直角 _______ 钝角b. 平角 _______ 钝角c. 钝角 _______ 钝角d. 锐角 _______ 平角5. 第五题：角的补角和余角根据下列各题，求补角和余角：a. 补角 + 角A = 90°，求补角。

b. 余角 + 角B = 180°，求余角。

c. 角C + 补角 = 90°，求角C。

d. 角D + 余角 = 180°，求角D。

6. 第六题：角的平分线在下列各题中，画出角的平分线，并计算出平分线与角边的夹角是多少：a. 角E = 120°，画出角E的平分线。

b. 角F = 90°，画出角F的平分线。

c. 角G = 45°，画出角G的平分线。

d. 角H = 150°，画出角H的平分线。

折纸中的数学奥秘六(3) 周航宇一丶问题的提出：在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。

我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。

二、分析与探索1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。

我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。

也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。

那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了：第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。

同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。

临近的字母于是也可找到自己的层数。

3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了：第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。

我们要通过折纸来计算一个角的大小。

首先，我们要理解角的基本概念和如何通过折纸来改变角的大小。

角是由两条射线从一个公共端点开始形成的。

当我们折纸时，我们实际上是在改变角的大小。

假设我们有一个角，大小为θ 度。

当我们折叠纸张时，这个角会减少，新的角度大小为θ -
∠θ_fold。

其中，∠θ_fold 是我们折叠的角度。

为了计算折叠后的角度，我们可以使用以下公式：
新的角度= 原角度- 2 × 折叠角度
这是因为每次折叠都会减少一个相同的角度，所以我们需要从原始角度中减去两次折叠的角度。

计算结果为：新的角度是0 度。

所以，折叠后的角大小为：0度。

给出一张长方形纸片，我们可以很容易的得到折出︒45角（图1），但是，你能折出︒30和︒60角吗？小明是这样做的：对折长方形纸片ABCD ，使得AB 边和CD 边重合，展开得到折痕EF （图2）；再对折，使得边DC 与边EF 重合，展开得到折痕GH （图3）；将顶点A 折叠到DH 上，同时使得折痕过点E ，展开得到折痕ME （图4）.（1）请问：=∠AME ，并证明你的结论.（2）仿照小明的折叠方法，现在给你一张正方形纸片，你能折出︒30角吗？请你在图5中画出折痕并简要说明折叠过程.你还有其它的方法能折出︒30角吗？请你在图6中画出折痕.（本题4分）如图，在方格纸中，△PQR 的三个顶点及A 、B 、C 、D 、E 五 个点都在小方格的顶点上．现以A 、B 、C 、D 、E 中的三个点为顶点画三角形． （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR 全等；（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR 面积相等但不全等．．．．图甲 图乙在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为,i j a （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数,i j a ，规定如下：当i ≥j 时，,i j a =1；当i ＜j 时，,i j a = -1．例如：当i =2，j =1时，,2,1i j a a ==1．按此规定，1,3a = ；表中的25个数中，共有 个1；1,1,11,2,21,3,31,4,41,5,5i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的最小值为 ．1,1a 1,2a 1,3a 1,4a 1,5a 2,1a2,2a2,3a2,4a2,5a3,1a 3,2a 3,3a 3,4a 3,5a 4,1a 4,2a 4,3a 4,4a 4,5a 5,1a5,2a5,3a5,4a5,5a（本题6分）如图，已知，AC=BC ，∠BCA=90°，点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ． （1）填空：BDE ∠=________︒； （2）求证：DE 平分∠BDC ； （3）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证：ME=BD ．PQRAEDBCPQRAEDBC第18题表MEDACB8.如图，AB =AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的( ) ．A ．只有①B ．只有②C ．只有③D ．有①和②和③第8题图ABF C ED。

拓展资源折纸问题中的数学Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】折纸问题中的数学通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代 (在图案内不断地重复图案 )等几何性质。

折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。

折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。

例如，一张正方形 (二维物体 )的纸张可以折成一个立方体 (三维物体 )。

然后，将它摊开 ,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。

在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。

在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：（ 1）从一个矩形式样的纸张 ,折成一个正方形 (如图所示 )。

（ 2）将一张正方形的纸沿着对角线对折 ,变成四个全等的直角三角形(如图所示 )。

（ 3）找出正方形一条边的中点 (如图所示 )。

（ 5）将一个正方形纸张折叠 ,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形 (如图所示 ) 。

（ 6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线 (如图所示 ) 。

（ 7）折出四面体 (按图所示的方法 ) 。

（ 8）折出正方体 (按图所示的方法 ) 。

不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。

（ 9）折出黄金分割比图所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法：将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。

折纸中的数学原理三角形
在折纸中，涉及到一些数学原理与三角形的相关概念。

以下是一些常见的数学原理和三角形相关的内容：
1. 平行线与角的性质：在折纸中，折线与边界线可以看作平行线，根据平行线的性质，对应角、同位角和内错角等具有一些特定的关系。

2. 直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

在折纸中，可以通过将纸张对折形成直角三角形，利用直角三角形的性质进行计算。

3. 三角形的角度和：三角形的内角和等于180度。

在折纸中，可以通过折叠纸张形成三角形，并利用三角形的角度和等于180度的性质进行计算。

4. 三角形的相似性：在折纸中，可以通过折叠纸张形成相似三角形。

相似三角形具有相似比例关系，可以利用相似三角形的性质进行计算。

以上仅是折纸中涉及到的一些数学原理与三角形相关的内容，具体应用可以根据具体情况而定。

如果您有具体的问题或需要更详细的解释，请告诉我。