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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学A （下）习题册第六章参考答案习题6.11.3333(32)45-=+---+=-r n a b c a b +c a c .2.23(0,1,0)2(1,2,3)3(2,0,1)(4,3,3)+--+-=-a b c =.3.点(,,)a b c 到x 轴、y 轴、z4.||cos ,2cos 6u u π=<>==r r r 5. 设起点坐标为(,,)x y z ，则向量r =(2,3,0)(2,1,4)x y z ----=，解得(,,)(4,2,4)x y z =--.习题6.21.（1）(3)(2)6()61106(1,1,4)131i j k-⨯=-⨯=--=--a b a b . （2）cos ,||||⋅<>===a b a b a b 2.（1）12；（2）10k =-. 3.Prj cos ,1||⋅<>==b a ba =|a |ab b . 4.()()344(0,1,1)233ijk⨯=-=---a +b b +c .习题6.3 1.1313x y z ++=-；该平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为3、1、3-. 2.3540x y z +++=. 3.11110121x y z+=-，即3220x y z -+++=. 4.210220240x y z x y z x y z ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩，解得交点坐标，319(,,)(,,)444x y z =-.5.2d ==.习题6.41.43040x y x z +-=⎧⎨--=⎩ 2.111(4,1,3)213i j ks ==---，所以对称式方程为：12413x y z -+==--、参数方程为：4132x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩. 3.325431x y z +--==. 4.111(1,1,2)110i j ks =-=----，所以12112x y z -+==. 5.如图，从直线上找个点1P ，连接向量10PP ，它与方向向量r 的夹角为θ，则所求的距离101010||||sin ||||sin ||||PP r PP r d PP r r θθ⨯===，本题结果为63. 习题6.51.垂直平分面：26270x y z -+-=.2.222(6)(2)(3)49x y z -+++-=.3.（1）2221233x y z ++=（2）2221232x y z -+=（3）2224x y z ++=（4）223x z y +=.习题6.61.（1）xOy 面上一点(1,3)-；空间中一条直线. （2）yOz 面上一点(0,2)；空间中一条直线.2. （1）222100x y y z ⎧+--=⎨=⎩，2223100x z z y ⎧+-+=⎨=⎩，100y z x -+=⎧⎨=⎩（线段）；（2）222390x y z ⎧+=⎨=⎩，22390z x y ⎧-=⎨=⎩，22290y z x ⎧+=⎨=⎩.3.先求题中两曲面交线在xOy 面上的投影曲线，投影曲线所围成的区域即为所求，2210x y z ⎧+≤⎨=⎩.高等数学A （下）习题册第七章参考答案习题7.11. 1、1、0、1.2.（1）在抛物线220y x +=处间断；（2）在直线y x =-处间断.3.（1）000lim lim 111xy t x t y xy te e →→→==--；（2）00012x t y →→+→==； （3）()xyy x y x 220sin 1lim +→→()2212sin 20sin 00lim 1sin 1x y xy x y x y x y e →→=+==.4.取路径(1)y kx k =≠，001lim 1x y x y kx y k →→++=--，结果与k 有关，故极限不存在. 习题7.21. （1）3/2cos(/)z y y x x x ∂=∂，z y ∂=∂， （2）/1y z u y x x z -∂=∂，/1ln y z u x x y z ∂=∂，/2ln y z u yx x z z∂=-∂.2. '''11(1,2,0)1,(1,2,0),(1,2,0).22x y z f f f ===3. 22222222212126,126,6z z z x xy y xy x x x y x y∂∂∂=-+=-=∂∂∂∂.4. 证明 因为1111()()2211,x y x y z z e e x x x y-+-+∂∂==∂∂,所以222z z x y z x y ∂∂+=∂∂. 习题7.31.（1）sin sin cos y y dz e dx x ye dy =+；（2）)du xdx ydy zdz =++2.222222x y df dx dy x y x y =+++，()422,155df dx dy =+. 3.证明： （1）因为22000)0(0,0)x x y y x y f →→→→+===，所以(,)f x y 在(0,0)点处连续； （2）根据偏导数的定义，极限00(,0)(0,0)00limlim 0x x f x f xx ∆→∆→∆--==∆∆，所以对x 的偏导数存在，且'(0,0)0x f =；同理，'(0,0)0y f =. （3）因为2200)000limlimx y x y z dzρρρρ→+→+∆+∆--∆-∆∆-=00limlimz dzρρρ→+→∆-==，而这个极限不存在，所以(,)f x y 在(0,0)点处不可微.习题7.41.()()()()sin cos ,sin cos xy xy xy xy z zye x y e x y xe x y e x y x y∂∂=+++=+++∂∂. 2.()()222333223cos sin cos sin ,cos sin 2cos sin 2sin cos z z r r r θθθθθθθθθθθ∂∂=-=+--∂∂ 3.（1）12122,2xy xy u ux f ye f y f xe f x x ∂∂''''=⋅+⋅=-⋅+⋅∂∂；（2）11222211,,u u x u y f f f f x y y z z y z∂∂-∂''''=⋅=⋅+⋅=-⋅∂∂∂. 4.dy x y dx x y+=-.5.zz x y ∂∂==∂∂. 6.证明：令23x y z u +-=，则2sin u u =，此方程有解0u ，即023x y z u +-=，故12,33z z x y ∂∂==∂∂，1z zx y∂∂+=∂∂. 7.每个方程都对x 求导，222460dy dz x y dx dx dy dz x y z dx dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得626226dy x xz dx y yz dz x dx z+⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.习题7.5 1.()1,2zl∂=∂. 2.（1）()1,1z l∂=∂（2）()0,1,023u l ∂=∂. 3.()1,1,1(6,3,0)gradf =.习题7.61.(1) 1B =;(2) 2,6m n ==;(3) 2,2A B =-=-.2.(1)切线方程11101x y z --==-，法平面方程1z x -=. 3.()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 4.切平面方程24x y +=,法线方程21120x y z--==. 习题7.71.（1）()1,12f -=-为极小值；（2）11,122f e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为极小值.2.区域内部：(0,0)为驻点，(0,0)0f =；区域边界上，相当于求条件极值，构造拉格朗日函数22(,,)(1)L x y xy x y λλ=++-，解得x y ==，1(2f f ==，1(2f f ==-， 所以最大值为12，最小值为12-.3.构造拉格朗日函数22(,,)(22)L x y x y x y λλ=+++-，解得42,55x y ==，424,555f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为极小值.4.构造拉格朗日函数(,,,)()L x y z xyz x y z a λλ=+++-，解得3ax y z ===，即三个正数均为3a时，乘积最大. 5.构造拉格朗日函数222222(,,,)(1)(1)(1)(2)(3)(4)(32)L x y z x y z x y z x z λλ=-+-+-+-+-+-+-， 解得点2163,2,1326⎛⎫⎪⎝⎭. 6.构造拉格朗日函数222(,,,)(12)L x y z xyz x y z λλ=+++-，解得，2x y z ===.高等数学A （下）习题册第八章参考答案习题8.1 1、（1）8π（2）8（3）2（4）1 2、（1）23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰ （2）2()Dx y d σ+≤⎰⎰3()Dx y d σ+⎰⎰3、（1）02I ≤≤ （2）1827I ππ≤≤4、（1）因为积分区域关于x 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于y 为奇函数(或理解为积分区域关于y 轴对称，而函数(,)sin f x y x y =-关于x 为奇函数)，所以原二重积分(sin )0Dx y dxdy -=⎰⎰.（2）因为积分区域关于y 轴对称，而函数22arcsin (,)1x y f x y x y =++关于x 为奇函数，所以原二重积分22arcsin 01Dx y dxdy x y=++⎰⎰.习题8.2 1、（1）22122001(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰（2）23 02(,)xxdx f x y dy -⎰⎰ （3）2602(,)yy dy f x y dx -⎰⎰2、（1）2cos 22(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰（2）22321cos d d πθρθρ⎰⎰（3）sec tan 240d d πθθθρρ⋅⎰⎰3、图如下所示.（1） （2） （3） （4）（1）解：原式2237111424000226()3355x xx x Dx ydxdy xdx ydy x y dx x x dx ==⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）解：原式0111012121111101()()x x x y x y x y x x x x De d e dx e dy e dx e dy e dx e e dx eσ+-+++------=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1e e=-.（3）解：原式221112000sin sin sin sin [][()]yy Dy yyyy ydxdy dy dx x dy y y dy yy y y==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11111(sin sin )sin sin cos (cos sin )1sin1y y y dy ydy y ydy y y y y =-=-=-+-=-⎰⎰⎰.（4）解：原式122222222(2)(2)DD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy +-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰1222cos ,sin (2)(2)D D x y d d d d ρθρθρρρθρρρθ==-+-⎰⎰⎰⎰令22233302(2)(2)d d d d ππθρρρθρρρ=-+-⎰⎰⎰⎰442322252[]2[]442ρρπρπρπ=⋅-+⋅-=. 4、（1）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|0cos ,}22D R ππρθρθθ=≤≤-≤≤，故原式22222DDR x y dxdy R d d ρρρθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰3cos cos 2222222221[()]3R R d R d R d ππθθππθρρρρθ--=-⋅=--⎰⎰⎰33320 24(1sin )()333R R d πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,0}4D πρθρθ=≤≤≤≤，则arctan yx θ=.故原式240 1arctan D Dydxdy d d d d x πθρρθθθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222113()(21)24264ππ=⋅⋅-=. （3）解：如左图所示.在极坐标系中，积分区域为{(,)|12,02}D ρθρθπ=≤≤≤≤， 故原式222220 1ln()ln()2ln DDx y dxdy d d d d πρρρθθρρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222 1112ln 2[ln ln ]d d πρρπρρρρ=⋅=⋅-⎰⎰22132[4ln 2]2[4ln 2]8ln 2322ρππππ=⋅-=⋅-=-. 5、提示：积分区域{(,)|0,0}{(,)|,0}D x y x y y a x y x y a x a =≤≤≤≤=≤≤≤≤，交换积分次序得()()()0()()()()ayaaam a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰.习题8.31、（1）解：如左图所示.利用直角坐标计算.因为222{(,,)|01,01,01}x y z z x y y x x Ω=≤≤--≤≤-≤≤， 所以原式22211100x x y I xyzdxdydz xdx ydy zdz ---Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰222224111120011[(1)]2224x x x y y y xdx y dy x x dx ----=⋅=--⎰⎰⎰122011(1)848x x dx =-=⎰. （2）解：如下图所示【解法一】由22z x y =+与1z =消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以22{(,,)|1,(,)}xy x y z x y z x y D Ω=+≤≤∈. 故原式221221[1()]2xyxyx yD D I zdxdydz dxdy zdz dxdy x y +Ω===-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2123002211111()12222xy xy D D dxdy dxdy d d x y ππθρρ=-=⋅⋅-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 244πππ=-=.【解法二】用过点(0,0,)z 、平行于xoy 面的平面截Ω得平面圆域z D ，其半径为22x y z +=，面积为2z π.所以{(,,)|(,),01}z x y z x y D z Ω=∈≤≤.故原式4111200044zD z I zdxdydz zdz dxdy z z dz πππΩ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2、（1）解：如下图所示.由2243()z x y =-+与22z x y =+消去z 得：221x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：2243,01,02z ρρρθπ≤≤-≤≤≤≤.故原式2221430I zdxdydz z d d dz d d zdz πρρρρθθρρ-ΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22243113500132[43]212z d d ρρπρρπρρρρπ-=⋅⋅=⋅--=⎰⎰. （2）解：如下图所示.由222425()z x y =+与5z =消去z 得：224x y +=. 故Ω在xoy 面上的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤. 所以Ω的柱面坐标表示为：55,02,022z ρρθπ≤≤≤≤≤≤. 故原式22522235002()I x y dxdydz d d dz d d dz πρρρρθθρρΩΩ=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2223450551(5)2[]8242d d πθρρρπρρπ=-=-=⎰⎰.3、解：如下图所示.【解法一】利用直角坐标计算.由22222222x y z Rx y z Rz⎧++=⎪⎨++=⎪⎩解得2R z =，于是用平面2R z =把Ω分成1Ω和2Ω两部分，其中2221{(,,)|2,0}2Rx y z x y Rz z z Ω=+≤-≤≤； 22222{(,,)|,}2Rx y z x y R z z R Ω=+≤-≤≤. 于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222022R RR x y Rz zx y R zz dzdxdy z dzdxdy +≤-+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222202(2)()R RR Rz z z dz R z z dz ππ=-⋅+-⋅⎰⎰5551475940480480R R R πππ=+=. 【解法二】利用球面坐标计算.作圆锥面1arccos 23πϕ==，将Ω分成1'Ω和2'Ω两部分：1{(,,)|0,0,02}3R πρϕθρϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤； 2{(,,)|02cos ,,02}32R ππρϕθρϕϕθπ'Ω=≤≤≤≤≤≤.于是原式12222z dxdydz z dxdydz z dxdydz Ω''ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222cos 24242303cos sin cos sin RR d d d d d d ππππϕπθϕϕϕρρθϕϕϕρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰555715960160480R R R πππ=+=. 习题8.4 1、（1）解：由2222262z x yz x y⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去z 得：222x y +=. 故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|2}D x y x y =+≤.所以222222[62(2)]3[2()]DDV x y x y dxdy x y dxdy =---+=-+⎰⎰⎰⎰22230cos ,sin 3(2)3(2)Dx y d d d d πρθρθρρρθθρρρ==-=-⎰⎰⎰⎰令4226[]64ρπρπ=⋅-=.（2）解：由22140z x y z ⎧=--⎨=⎩消去z 得：221114x y +=.故所求立体在xoy 面上的投影区域为22{(,)|1}114x y D x y =+≤.所以22(14)DV x y dxdy =--⎰⎰24121230 001cos ,sin 2111(1)()2[]222244Dx y d d d d πρθρθρρπρρρθθρρρπ==-=-=⋅⋅-=⎰⎰⎰⎰令.2、（1）解：如左图所示.上半球面的方程为222z a x y =--.有222zx xa x y∂-=∂--，222z y ya x y∂-=∂--，所以222221()()z z ax y a x y∂∂++=∂∂--. 故由曲面的对称性可知所求的曲面面积为2222241()()4DDz z aA dxdy dxdyx y a x y ∂∂=++=∂∂--⎰⎰⎰⎰22cos ,sin 14Dx y a d d a ρθρθρρθρ==-⎰⎰令cos 2224a a d d a πθρθρρ=-⎰⎰22204(1sin )2(2)ad a πθθπ=-=-⎰.（2）解：如左图所示. 由2222z x yz x⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z 解得222x y x +=，即22(1)1x y -+=.所以所求曲面在xoy 面上的投影区域为22{(,)|(1)1}D x y x y =-+≤.又因为被割曲面的方程为22z x y =+，且2222221()()12z z x y x y x y ∂∂+++=+=∂∂+，所以所求曲面的面积为2cos 22200212242cos 42222DA dxdy d d d ππθππθρρθθπ-====⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.3、解：设矩形另一边的长度为l 并建立如左图所示的坐标系，则质心的纵坐标为 22322222()32R R x R RlRDyd R l R dx ydyR x l dxy AAAAσ-------====⎰⎰⎰⎰⎰， 由题设可知0y =即可算得 23l R = .4、解：在球面坐标系中，Ω可表示为：02cos ,0,022R πρϕϕθπ≤≤≤≤≤≤.球体内任意一点(,,)x y z 处的密度大小为2222x y z μρ=++=.由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，因此0x y ==. 则22cos 22555223232sin 2cos sin 515R M dv d d d R d R πππϕμθϕρρϕρπϕϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰； 所以 22cos 226722012645cos sin cos sin 64R zdvz d d d R d R MMMπππϕμπθϕρρϕρϕρϕϕϕΩ==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 故球体的质心为5(0,0,)4R . 5、解：22222222222224b a x aa a a by aa a x aDb b I x dxdy x dx dy x a x dx x a x dx a a ρρρρ-----===⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32324222000sin 4sin cos cos 4[sin sin ]x a t b a t t a tdt a b tdt tdt a πππρρ=⋅=-⎰⎰⎰令 3313114[]224224a b a b ππρπρ=⋅-⋅⋅=.6、解：如左图所示.（1）由Ω的对称性可知： 2234222000844()4()33aax y aaaa a V dx dy dz dx x y dy ax dx +==+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故0x y ==.224224001441(2)2a ax y aa z zdv dx dy zdz dx x x y y dy MV V ρ+Ω===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4325202217()3515a ax a x a dx a V =++=⎰.（3）2222220()4()aax y z I x y dv dx dy x y dz ρρ+Ω=⋅+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰422461124(2)45a adx x x y y dy a ρρ=++=⎰⎰.高等数学A （下）习题册第九章参考答案习题9.11.⑴2π； ⑵258π； ⑶32a π； ⑷2 注意（4）的做法，此圆的参数方程为，1cos ,sin x y θθ-==，:0θπ→，所以0(cos 1)sin 2Lxy ds d πθθθ=+=⎰⎰.如果有同学用1sin ,cos x y θθ-==，θ的范围就不再是0π→. 2．（1）由于连接(1,0)及(0,1)的直线段方程为1x y +=（如图）， 所以()12LLy ds ds x +==⎰⎰.（2）分三段来做（如图）， 在x 轴上， 2211ay x a L x eds e dx e +==-⎰⎰；在圆弧上，222404y a a L x eds ae dx ae ππ+==⎰⎰；在y x =上，223222021a y xa L x e ds edx e +==-⎰⎰；所以22y Lx eds +⎰224a e a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（3）直接按照对弧长的曲线积分公式求即可，答案为23(1)2e --. 3．如图，此圆的参数方程为，cos ,sin x y θθ==，:02πθ→，所以201sin cos 2L xyds d πθθθ==⎰⎰.4．根据对弧长的曲线积分的物理意义，即求曲线积分Lyds ⎰.此圆的参数方程为，cos ,sin x a y a θθ==，:0θπ→，Lyds ⎰20sin 2a ad a πθθ==⎰.习题9.21.（1）把参数方程21,1x t y t =+=+代入得，1202(2)2(1)(1)23LI ydx x dy t t tdt =+-=++-=⎰⎰.（2）把参数方程3∑代入得，33232222220[sin cos ]3k x dx zdy ydz k a a d a ππθθθθπΓ+-=--=-⎰⎰.2.从(1,1,1)(2,3,4)A B 到的直线段的参数方程为1,21,31x t y t z t =+=+=+，:01t →代入得，1[(1)2(21)3(31)]13xdx ydy zdz t t t dt Γ++=+++++=⎰⎰.3.（1）把2,,:01x y y y y ==→代入得，132017()(2)30Lydx y x dy y y y y dy x +-=⋅+-=⎰⎰.（2）把,,:01x y y y y ==→代入得，1201()3Lydx y x dy y dy x +-==⎰⎰.（3）分两段积分，1L ：,0,:01x x y x ==→代入得，1()0L ydx y x dy x +-=⎰；2L ：1,,:01x y y y ==→代入得，2101()(1)2L ydx y x dy y dy x +-=-=-⎰⎰； 所以，1()2L ydx y x dy x +-=-⎰.4.曲线的参数方程为2,,:11x x y x x ==-→，曲线的方向向量为(1,2)x ，从而2212cos ,cos 1414x xxαβ==++，所以2L x ydx xdy -⎰22(2)14Ly x ds x-=+⎰.5.根据对坐标的曲线积分的物理意义，所求的功为2L x dy -=⎰815-.习题9.3 1.（1）10；（2）2m n ==；（3）1,1a b =-=.2.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 3.（1）如图，1[(1cos )(sin )](1)5x x LDe dx y y dy e ydxdy e y π---=-=--⎰⎰⎰.（2）因为Q x∂=∂P y ∂∂，由格林公式，所以202yy L x e dx e dy x +=⎰. 4.（1）如图，2222()(),x y x y P Q x y x y +--==++，Q x∂=∂222222()P x y xyy x y ∂--=∂+，又由于积分范围不包括原点，由格林公式，所以22()()0C x y dx x y dyx y +--=+⎰；（2）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，曲线的参数方程为： cos ,sin x a y a θθ==，:02θπ→，代入得，22()()2C x y dx x y dyx y π+--=-+⎰.（3）如图，由于积分范围包括原点，所以不能直接利用格林公式，在C 包围的内部区域增加一条圆形曲线1C ：222x y a +=，方向为顺时针，所以11222222()()()()()()022CC C C x y dx x y dyx y dx x y dy x y dx x y dyx y x y x y ππ++--+--+--=-+++=-=-⎰⎰⎰5.只需证明Q x∂=∂Py ∂∂即可. 习题9.41．（1）10a ；（2）221()()x x y z ∂∂++∂∂；（3）42a π；（4）11110π；（5）122π+． 2.（1）22111122xyD dS dxdy zx yπ∑=+=+⎰⎰⎰⎰（积分区域如图）（2）根据对称性（也可以化成二重积分之后，根据对称性）， 可知：0xdS ∑=⎰⎰，0ydS ∑=⎰⎰；所以，原式2222220222xya h D a zdS a x y dxdy d a d a x yπθρρ-∑==--⋅==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()a a h π-.3.根据对称性，0,0x y ==，32221zdSa az a dSππ∑∑===⎰⎰⎰⎰（分子的求法同上题），所以曲面的重心坐标为(0,0,)2a.习题9.5 1．（1）0；（2）第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰化成第一类曲面积分是(cos cos cos )P Q R dS αβγ∑++⎰⎰，其中,,αβγ为有向曲面∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向角.2.积分曲面如图所示，阴影部分为右侧，记为1∑，关于Ozx 面对称的为左侧，由于该曲面在Oxy 面上的投影为曲线，故(1)0z dxdy ∑+=⎰⎰，因此，()I y dzdx ∑=-⎰⎰，由对称性可知12()2()24zxD I y dzdx y dzdx x dzdx ∑∑=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰，zx D 如图所示. 所以，222222222222224242(2)444848zxxD I x dzdx dx x dz x x dxx dx x dx π----=--=--=---=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧，所以，单位法向量为1(1,1,1)3-，从而I =[][][](,,)2(,,)(,,)f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰[][][]1(,,)2(,,)(1)(,,)3f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑=+++-++⎰⎰111()233x y z dS dS ∑∑=-+==⎰⎰⎰⎰. 4.利用两类曲面积分之间的联系来做. 由于∑为曲面221z x y =--在第一卦限的部分取上侧，所以，单位法向量为221(2,2,1)144x y x y ++，从而222222221(2)144144144xy I xy zdS x yx yx y∑=++++++++⎰⎰22222211221442144144xyD dS x y dxdy x yx yπ∑==++=++++⎰⎰⎰⎰.习题9.61.（1）直接利用高斯公式，3xdydz ydzdx zdxdy dv Ω∑++==⎰⎰⎰⎰⎰81π.（2）如图，增加一个“盖子”1:2z ∑=，取上侧，则2(2)-2zx dydz zdxdy ∑+=⎰⎰1122(2)2(2)2z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑+∑∑+--+-⎰⎰⎰⎰前一个积分使用高斯公式，结果为0；而12(2)20416xyD z x dydz zdxdy dxdy π∑+-=-=-⎰⎰⎰⎰，从而，原积分16π=.2.（1）由于曲线L 上2z =，故20L yz dz =⎰，所以233LLydx xzdy yz dz ydx xzdy -+=-⎰⎰，利用斯托克斯公式，得233(3)5xyLLD ydx xzdy yz dz ydx xzdy z dxdy dxdy ∑-+=-=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰20π-.（2）可求出交线L 的方程是222,3z x y =+=，故()0Lx y z dz ++=⎰，所以222()()Lx ydx x y dy x y z dz +++++⎰222()Lx ydx x y dy =++⎰，利用斯托克斯公式，得，22222()(2)(2)xyLD x ydx x y dy x x dxdy x xdxdy ∑++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，利用对称性，20xyD xdxdy =⎰⎰，22xy xyD D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰，所以2222220011()22xyxy D D x dxdy x y dxdy d d πθρρρπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 原积分π=-.高等数学A （下）习题册第十章参考答案习题10.1 1、（1）收敛 ； (提示：∵1111()(2)22n u n n n n ==-++，又∵111lim lim()1324(2)n n n S n n →∞→∞=+++⋅⋅+11111113113lim (1)lim ()2324222124n n nn n n →∞→∞=-+-++-=--=+++，∴原级数收敛.) （2）发散 . (提示：∵1n n ∞∞===∑，又∵lim n n n S →∞→∞=++(1n ++=∞，∴原级数发散.)2、（1）发散 ；(提示：级数为1111133n n nn ∞∞===∑∑，发散.)（2）收敛 .(提示：级数为112435nnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，收敛.)3、0x >或2x <-.(提示：1111(1)lim lim 11(1)n n n n nnu x u x x ρ++→∞→∞+===++，当1ρ<即111x <+时，解得0x >或2x <-，此时级数11(1)nn x ∞=+∑收敛，则原级数绝对收敛.)习题10.21、（1）收敛；(提示：∵3cos 433n n n nu +=<，而级数1141433n nn n ∞∞===∑∑收敛，∴原级数收敛.) （2）发散.(提示：∵1n n n→∞==，而级数11n n∞=∑发散，∴原级数发散.)2、（1）发散；(提示：∵111333(1)lim lim lim 113n n n n n n n nn u n n e u n e e n e ρ+++→∞→∞→∞+⋅===⋅=>+⋅，∴原级数发散.) （2）发散.(提示：∵11(1)!12lim lim lim !22n n n n n nnn u n n u ρ++→∞→∞→∞++====∞，∴原级数发散.)3、（1）收敛 ；(提示：1112(1)112222n n n n n n n ∞∞∞===+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑，∵由于1112n ρ==<，∴级数112n n ∞=∑收敛；又∵2112n ρ==-<，∴级数112nn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.故原级数收敛.)（2）发散 .(提示：∵ln 2lim 3n n n n nρ→∞===，又因为由洛必达法则得1ln ln lim lim 1lim 333n n n n n nnn →∞→∞→∞==031==，∴ln 22lim2113n n nρ→∞===>，故原级数发散.) 4、（1）绝对收敛 ； (提示：12211(1)111n n n n n -∞∞==-=++∑∑，因为22111n n <+，而级数211n n∞=∑收敛，所以级数121(1)1n n n -∞=-+∑收敛，故原级数绝对收敛.)（2）条件收敛 .(提示：显然1111(1)(1)n n n n n u ∞∞--==-=-∑∑为交错级数，其中n u =11nn u u -==<即1n n u u -<；②lim n n u →∞=0n n →∞==，故该交错级数收敛.又因为11(1)n n ∞-=-=∑1n ∞=∑，有lim lim (1n nn S n →∞→∞⎡⎤=++++⎣⎦1)n →∞==∞ ，则级数11(1)n n ∞-=-∑发散，故原级数条件收敛.)5、（1）提示：222n n n n a b a b +≤；（2）提示：22112n n n a a n a n n +=⋅≤.6、证明：只需证明正项级数1!nn a n ∞=∑（0a >）收敛，根据比值审敛法有11!lim lim[]lim 01(1)!1n n n n n n nu a n au n n a ρ++→∞→∞→∞==⋅==<++，因此正项级数1!n n a n ∞=∑（0a >）收敛，再由级数收敛的必要条件得lim 0n n u →∞=，即lim 0!nn a n →∞=，得证.习题10.3 1、（1）1R =，收敛域为[]1,1- . (提示：因为12211limlim1(1)n n n na n n a ρ+→∞→∞===+，所以收敛半径11R ρ==.当1x =时，原级数为211n n∞=∑，该级数收敛.当1x =-时，原级数为21(1)n n n ∞=-∑，该级数也收敛.因而该级数的收敛域为 [1,1]-.)（2）2R =，收敛域为()0,4 .(提示：令2(2)t x =-，则1,44n n nn n t u a n n ==⋅⋅，因为11111(1)4lim lim 144n n n n nn a n a n ρ++→∞→∞+⋅===⋅，所以收敛半径1114R ρ==，故原级数的收敛半径为12R R ==.则有 22x -<，即04x <<.当0x =时，原级数为11n n ∞=∑，该级数发散；当4x =时，原级数为11n n∞=∑，该级数也发散.因而原级数的收敛域为 (0,4).)2、1111211114()(),(2,2)222(2)12nn n n n n n n n nnx x S x x x x x x x x x x ∞∞∞----==='⎛⎫'=====∈- ⎪-⎝⎭-∑∑∑ 11111114(1)()()22222542n n n n n n n n S ∞∞-==-=-=-=-∑∑. 3、100111112(2)()(1)22(2)222212nn n n n n x x x x x ∞∞+==--==⋅=-=--+-+∑∑，((0,4))x ∈.习题10.4 1、解： 如左图所示，由狄利克雷充分条件可知，()f x 的 傅里叶级数在间断点(21)x k π=+(0,1,2,)k =±±处收 敛于()()2222f f πππππ-++--+==.在连续点(21),(0,1,2,)x k k π≠+=±±处()f x 的傅里叶级数收敛于()f x ，其中傅里叶系数为：00111()22a f x dx xdx xdx ππππππππ--==+=⎰⎰⎰， 001111()cos cos 2cos cos n a f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰2011sin ((1)1)(1,2)n xd nx n n n πππ==--=⎰ 001113()sin sin 2sin sin n b f x nxdx x nxdx x nxdx x nxdx πππππππππ--==+=⎰⎰⎰⎰10333cos cos (1)(1,2)n xd nx n n n n nπππππ+=-=-⋅=-=⎰所以()f x 的傅里叶级数为121(1)13()cos (1)sin 4n n n f x nx nx n n ππ∞+=⎛⎫--=++- ⎪⎝⎭∑ ((21),0,1,2,)x k k π≠+=±±2、31,23、解：（1）展开成正弦级数.对()f x 作奇延拓，得 ,(0,]2()0,0,(,0)2xx F x x x x ππππ-⎧∈⎪⎪==⎨⎪+⎪-∈-⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.易见0x =是一个间断点，在0x =处级数收敛于()2202ππ+-=. 函数()f x 在(0,]π处连续，傅里叶级数收敛于()f x ，且傅里叶系数为：0(0,1,2)n a n ==；0001211()sin sin sin sin (1,2)2n x b f x nxdx nxdx nxdx x nxdx n nπππππππππ--==⋅=-==⎰⎰⎰⎰故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的正弦级数为： 11sin (0)2n x nx x nππ∞=-=<≤∑.（2）展开成余弦级数.对()f x 作偶延拓，得 ,[0,]2(),(,0)2xx F x x x ππππ-⎧∈⎪⎪=⎨+⎪∈-⎪⎩.再周期延拓()F x 到(,)-∞+∞.则()F x 在(,)-∞+∞内处处连续，且()(),[0,]F x f x x π≡∈. 则傅里叶系数为：0(1,2)n b n ==；0012()22x a f x dx dx πππππππ--===⎰⎰；000121()cos cos cos cos 2n x a f x nxdx nxdx nxdx x nxdx πππππππππ--===-⎰⎰⎰⎰21(1(1))(1,2)n n n π=--=； 故()(0)2xf x x ππ-=≤≤展开的余弦级数为： 211(1)cos (0)24nn xnx x n ππππ∞=---=+≤≤∑.。

第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C x y C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ）二、选择题 答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ）二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 tte C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4) )2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y++=-2211，2、 x xe x C x C e y xx 2cos 41)2sin 2cos (21-+=. 3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x x x y cos 2sin 21+=二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---四、 2527521++-=x x e e y .第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题 答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln 21x x+- 4. 绝对收敛三、选择题答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21 (11)(1)x x =-<<-.(2) ()S x 11ln(11)21x x x+=-<<- .提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题1. 答：1.11ln 2(1)2n n nn xn ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2.1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n nnππ三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 21sh (21)!n n xx n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin(1)(2)!n nnn xx n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞).五、∑=<<--=n n nn x x x 0)60( )33()1(311. §12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos 2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0.三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B 四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π).五、正弦级数为nx nn n x f n nsin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π),级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx n x f n ncos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π). §12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n nn n x nn πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2).余弦级数:221416(1)cos32nn n x nππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。

来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。

来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级 学号姓名成绩大题一二三四五六七小题12345得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，，，则．a b0a b += 2a = 2b = a b ⋅= 2、设，则．ln()z x xy =32zx y ∂=∂∂3、曲面在点处的切平面方程为．229x y z ++=(1,2,4)4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数()f x 2π[,)ππ-()f x x =()f x 在处收敛于，在处收敛于．3x =x π=5、设为连接与两点的直线段，则．L (1,0)(0,1)()Lx y ds +=⎰※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程．2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩0M (1,1,2)-2、求由曲面及所围成的立体体积．2222z x y =+226z x y =--3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？11(1)lnn n n n∞=+-∑4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．(,sin x z f xy y y =+f 2,z zx x y∂∂∂∂∂5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．,dSz ∑⎰⎰∑2222x y z a ++=(0)z h h a =<<三、（本题满分9分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小22z x y =+1x y z ++=值．四、（本题满分10分）计算曲线积分，(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰其中为常数，为由点至原点的上半圆周．m L (,0)A a (0,0)O 22(0)x y ax a +=>五、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数．13nn n x n∞=⋅∑六、（本题满分10分）计算曲面积分，332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰其中为曲面的上侧．∑221(0)z x y z =--≥七、（本题满分6分）设为连续函数，，，其中是由曲面()f x (0)f a =222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰t Ω与所围成的闭区域，求 ．z =z =30()lim t F t t+→-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；→→不得带走试卷。

2022-2023学年下学期高等数学A(2)-A 卷参考答案与评分标准一、填空题（每题4分，共40分） 1. 32−； 2. 2； 3. 22249936x y z −−=； 4. 14− ； 5．1x ；6.1233dz dx dy =+； 7.125241x y z −−−==−； 8. 不是；9. 4102(,)xdx f x y dy ⎰⎰；10. 2x y C +.二、计算题（每题7分，共21分）11.解：已知直线的方向向量为()12416,14,11352i j ks =−=−− ……………（5分） 由于平面与直线垂直，所求平面法向量可取n s =，则 所求平面方程：()()162141130x y z −−+++= 即161411650x y z −−−=……………（7分） 12. 解：令(,,)ln x zF x y z z y=−，则 222111,,x y z y z x y x zF F F zz y yz z y z⎛⎫+==−⋅−==−−⋅=− ⎪⎝⎭…………（3分） 21x z F z zz x z x F x z z ∂=−=−=+∂+− ……………（5分） ()221y z F z z yx z y F y x z z−∂=−=−=+∂+ ……………（7分） 13. 解：222x y xye+关于x ，y 均是奇函数，则12,D D 关于x 轴对称，34,D D 关于y 轴对称221220x y D D xyedxdy ++=⎰⎰223420x y D D xyedxdy ++=⎰⎰……………（3分）所以11123x DI ydxdy dx ydy −−===−⎰⎰⎰⎰ ……………（7分）三、计算题（每题7分，共21分） 14.解：2()2zf x y xy x∂=⋅∂ ………（4分） 2222()2()2zf x y x xy f x y x x y∂'=⋅⋅+⋅∂∂ =3222()2()x yf x y xf x y '+ …………（7分）15.解：22220cos sin RI d d r r dr ππθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰ ………（4分）25012cos sin 5d R ππϕϕϕ=⋅⎰5415R π= …………（7分）16.解：12L L I =+⎰⎰11222L L e ds e π==⋅⎰⎰…………（3分）222220222|2(1)xx x L e dx e dx e e −====−⎰⎰⎰…………（6分）2222(1)I e e π=+−…………（7分）四、综合应用题（每题6分，共18分） 17．解：,()xyP e y Q e x =+=−+ 1,1P Qy x∂∂==−∂∂ 补线1L ：0,:11y x =→−，则1111()L L L L L L I −++=−=−−⎰⎰⎰⎰……（2分）()()()1()2xy L L Dey dx e x dy dxdy π−++−+=−=−⎰⎰⎰ ……（4分）()()1111xyx L ey dx e x dy e dx e e −−+−+==−⎰⎰……（5分）1I e e π−=−+ ……（6分）18、解：原式=()()424z y y dv z y dv ΩΩ−+=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分）4zdv ydv ΩΩ=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111114dx dy zdz dx ydy dz =−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分）32= ……….（6分）19. 解：记1∑为锥面z =()01z ≤≤，2∑为圆面1z =()221x y +≤，它们在xOy 面上投影为22:1xy D x y +≤，在1∑上ds =，则()(12122222xyD x y ds x y d d πθρρρ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（3分） 在2∑上dS dxdy =，则()()221222220012xyD x y ds x y dxdy d d πθρρρπ∑+=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……….（5分） 故 原式+12π。

高等数学A(下)练习题一、填空题1.设k j i a43+-=，k j i b λ++=62，且a b ⊥ ，则λ= 4 ；2.设平行四边形两邻边为222a i j k =++，24b i j k =++ ，则该平行四边形的面积为3.的平面方程为03245轴且垂直于平面过=+-+z y x x 2+40y z = ；4.xoy 平面上的抛物线22y x =绕x 轴旋转生成的旋转抛物面方程为 222y +z x =；5.设y z u x =，则(1,2,3)uy∂=∂ 0 ；6.设222(,,)ln()f x y z x y z =++，则(1,2,2)gradf -= 244(,,)999- ；7.椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的法线方程为 111462x y z ---== ； 8.交换积分次序：10(,)xdx f x y dy =⎰210(,)yyd y f x y d x⎰⎰ ； 9.判别级数1n ∞=的敛散性，结论：该级数是 发散 ；10.级数01(1)(2)n n n ∞=++∑的和为 1 ；11.幂级数1nn ∞=的收敛域是 [)1,1- ；12.微分方程23(1)0dy y x dx++=的通解为 34(1)34y x C +=-+ 。

二、计算题1.()y x f z ,=由方程22222x y z z ++=确定，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。

解：方程为：22222x y z z ++=方程两边对x 求导，得到 242x x x z z z +⋅= 整理得到： ()422x z z x -⋅=-所以： ()1224242x x z x z z --==--- 再两边对y 求导，得到 ()()221424xy y z x z z -=---方程22222x y z z ++=两边对y 求导，得到 242y y y z z z +⋅= 所以 242x y z z -=-，从而 ()()232842164242xy y z x z xy z z ---=-=---2.设22(,)z f x y x y =+，且f 具有二阶连续偏导数，求y z∂∂，xy z ∂∂∂2。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A》(下）期末试卷A答案及评分标准得分一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分的积分次序为（）(A) (B)(C) (D)2、锥面在柱面内的那部分面积为（）(A) (B)(C) (D)3、若级数在处收敛，则级数在（）(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散(D) 收敛性不确定4、下列级数中收敛的级数为（）(A) (B)(C) (D)5、若函数在复平面上处处解析，则实常数a的值为（）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面在点处的切平面方程为2、已知，则3、Ω是由曲面及平面所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分为三次积分为4、函数展开成以2π为周期的正弦级数为，收敛区间为5、得分得分三、(本题8分）设，其中函数二阶可导，具有二阶连续偏导数，求解：… 3分5分得分四、(本题8分）在已知的椭球面内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

解：设顶点坐标为，….2分令….2分，，解得：，….3分，….1分五、(本题7分），其中.解： 原式= (5)分….2分六、(本题8分）计算，其中L 为抛物线上由点(0,0)到的一段弧。

得 分得 分装订 线内不要 答 题自 觉 遵守 考 试 规 则，诚信 考 试，绝 不 作证明：，所以曲线积分与路径无关….3分….5分七、(本题8分）计算，其中 为上半球面的上侧。

解：补面下侧原式=……5分=得分=………3分八、(本题8分）讨论级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛。

解：原级数不绝对收敛 ……3分又 为交错级数，……2分设当时单调递减，所以当时单调递减，……2分原级数条件收敛。

…1分九、（本题共12分，每题6分） 1、将在区域内展开成洛朗级数。

得 分得 分解：…..3分…..3分2、沿指定曲线的正向计算下列复积分解：原式=…2分……2 分……2 分十、（本题6分）设，其中，（1）求出;(2)求出幂级数的收敛域及和函数。

高数A （下）考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z z yxx y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++=⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则z y∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u z=P 点处沿方向n 的方向导数117。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y fx y x -=⎰()()()2113321d ,d d ,d x x x fx y y x fx y y -+⎰⎰⎰⎰ 。

9．设L 为封闭曲线22143xy+=，其周长为a ，则()22234d L x ys ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z x f y f f yf xyyf z x x y f f y f yf x yy y y x y x f f y y f yf y yy ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

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