2012~2013年第二学期《微积分》期末考试试卷（A 卷）及其参考答案（985）一、解答题（每题5分，共 301.设xyez arctan=，求dz2.求曲面22y x z +=在点()5,2,1处的切平面方程.3.设金属板上电压分布为22450y x V --=，问在点()2,1-处（1）沿哪个方向电压升高最快？速率是多少？（2）沿哪个方向电压降低最快？速率是多少？（3）沿哪个方向电压变化率为零？ 4.求二重积分dxdy xxD⎰⎰sin ，其中D 是由直线x y =和抛物线2x y =所围成的区域. 5.有某物质分布在圆锥螺线()π20,sin ,cos ≤≤===t t z t t y t t x 上，其分布密度为()z z y x =,,μ，求这种物质的总质量. .6.计算⎰Γ++xdz zdy ydx ，其中Γ为曲线()π20,sin ,cos ≤≤===t bt z t a y t a x上按t 1.()()ny mx y x nm++≈++1112.设 (),y x F ()1,0的某邻域内是否都存在唯一的函数()x y y =)00y =.3.求三重积分Ω由球面4222=++z y x 的上半球面与抛物面z y x 322=+围成的区域. 4.计算曲面积分()d S z y x⎰⎰∑++222，其中∑是球面z z y x 2222=++围成的区域5.计算()dydz x S⎰⎰+12，其中S 是由xoy 平面上的曲线x y =()10≤≤x 绕x 轴一周所得曲面的外侧.三、解答题（每题7分，共21分）1．已知制造商的生产函数（生产量）是()4143100,y x y x f =，其中x 表示劳动力数量，y 为资本数量（y 个单位资本）.每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元.该制造商的总预算是50000元.问他该如何分配这笔钱雇佣劳力与资本，以使生产量最大？ 2．积分⎰+-Ly x xdy ydx 22是否在任何区域内都与积分路径无关？求⎰+-=L yx xdyydx I 22，其中L 沿曲线x y cos =上从点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πA 到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的曲线段.3．（1）将()ππ≤≤-x x x 0632展成余弦级数； （2）求下面级数之和：()...1 (31)2112122+-+-+--n n（3四、（每题满分9分）设()t x u ,22222xu a t u ∂∂=∂∂（1）作代换，证明弦振动方程22222x u a t u ∂∂=∂∂可以化为 （2来.五、（每题满分10分）设V 为空间中的有界闭区域，其边界曲面S 为光滑曲面，{}γβαcos ,cos ,cos =为S 的单位外法线向量，()z y x u u ,,=在V 内有二阶连续偏导数，在V 上连续，并且满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ① （1；（2）证明 dV z u y u x u dS n V S ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂222； （3）若()z y x u u ,,=在S 上恒为零，证明()z y x u u ,,=在V 内也恒为零.答案 一1、解：xyxye y x y x y x y exz arctan 2222arctan 11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ xyxye y x x x x y e yz arctan 222arctan 111+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂所以 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=.22arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∂∂y x ydx xdy e x z xy2、【解】令()22,,y x z z y x F --=.则{}(){}(){}1,4,21,2,2,,||5,2,1`5,2,1--=--='''=y x F F F z y x .(.2--x ，即 0542=++--z y x3、【解】（1}y x 8,2-，(){}16,2|2,1-=-gradV ，所以沿{}16,2-=()26016222=+-；（2）沿=()26016222=-+；（3）沿与()|2,1-gradV 垂直的方向，即沿{}2,16±方向的电压变化率为零.4、解dy x x dx dxdy x x x x D⎰⎰⎰⎰=103sin sin ()⎰-=102sin dx x x x x ⎰=10sin xdx ⎰-10sin xdx x 1sin 1-=5、解：()()()1,cos sin ,sin cos ='+='-='t z t t t t y t t t t x ()()()dt t dt t z t y t x ds 22222+='+'+'=所以()()220220222212,,t d t dt t t ds z y x M ++=+==⎰⎰⎰Γππμ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=22423123123220232|ππt6、解：()()()[]dt b t a t a bt t a t a xdz zdy ydx ⎰⎰++-=++Γπ20.cos cos .sin .sin .2πa -=二、1、【证明】令()()()nmy x y x f ++=11,. 则()()()nm x y x m y x f ++='-11,1；()()()111,-++='n m y y x n y x f()y x f x ,'及()y x f y ,'在点()0,0处都是y x ,的二元连续函数，故()y x f ,在点()0,0处可微分，于是，当x 和y 都很小时，有()()()()y f x f f y x f y x 0,00,00,00,0'+'≈-++，即()()ny mx y x n m ++≈++111.2、【解】因为()x y x F x 2,='，()y y x F y 2,='是连续的，且在点()1,0处()0,≠'y x F y .所以在点()1,0的邻域内存在唯一的()x y y =，使得 ()()0,≡x y x F ，且()10=y ，表达式为y 邻域内不存在唯一的()x y y =，使得()()0,≡x y x F 3、z 得 Ω向xoy 面上的投影区域为 3:22≤+y x D xy .所以 ⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【柱面坐标】⎰⎰⎰-=2243203r r zdz dr r d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3432|32212r r z r π⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=304294dr r r r .41354423|0642ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=r r r【解法二】⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 【切片法】()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≤++=222222242113z y x zy x dxdy zdzdxdy zdz().4134243||21421121322πππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=⎰⎰z z z dz z z dz z 4、解】记22111:y x z --+=∑（上半球面），22211:y x z ---=∑（下半球面）.1∑和2∑向xoy 坐标面上的投影区域都是1:22≤+y x D xy .并且对1∑和2∑都有d x d yyx d x d y z z dS y x 2222111--='+'+=. 于是(x⎰⎰∑2==+=.8π5、.记S 与1S 1⎰⎰⎰Ω=dxdydz 2【切片法】⎰⎰⎰=xD dydz dx 21()ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰1022dx x .所以 ()()d y d z x d y d zx S S⎰⎰⎰⎰+-=+11212π. 又1:1=x S （前侧）向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz ，故()dydz x S ⎰⎰+112()π41121=+=⎰⎰dydz yz D .所以，().3412πππ-=-=+⎰⎰dydz x S【解法二】旋转曲面的方程为22:z y x S +=，其向yoz 坐标面上的投影区域为1:22≤+z y D yz .()()⎰⎰⎰⎰++-=+yzD Sdydz z ydydz x 221212dz dy yzD ⎰⎰-=2()dz dy z y yzD ⎰⎰+-222⎰⎰-=--=ππθπ2012222r d r r d 三、1、【解法一】这是一个条件极值问题.41y 与函数()y x y x f ln 41ln 4310ln 2,ln ++=()y x f ,ln 在条件050000250150=-+y x 下的极值.令 ()ln 1ln 310ln 2,,+++=y x y x L λ则由((⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=''',,L y x L y x L yxλ .50,250==y x 个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，(1671950,250≈f .【解法二】问题等价为求函数()y x f ,4在条件100053=+y x ①下的极值.()()[]y x x x y x y x f5 (105)110,8384⨯==【均值不等式】4845.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯≤y x x x 48453.1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=y x 【由①】 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=4841000.1051.10451204⨯⨯ 因此有()1617910451,54≈⨯⨯≤y x f . ② 由均值不等式中等号成立的条件知，②中等号成立的条件是 y x 5=. ③将③代入①解得 .50,250==y x所以，当50,250==y x 时，生产量最大，即应该雇佣劳动力250个，其余的钱用于资本，可使生产量最大.此时，()1671950,250=f . 2、【解】（一）显然2222y x y y yx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂()0,0O 外处成立.因此当区域D 不通过也不包围原点D 内与路径无关；而当区域D 通过或包围原点()0,0O . （二）因为含在某个不通过也不包围原点()0,0O 的区域D 内，故⎰改选取沿上半圆周2222:⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'πy x L ()0≥y .⎰+Ly x 22⎰'+-=L y x x d y x 22⎰'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=L x d yy d x 22π ⎰'-=L x d y y d x 24π.又L '的参数方程为πππ~0:,s i n 2,c o s 2:t t y t x L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='.所以dt t t t t y x xdy ydx L⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-ππππππ222cos 2.cos 2sin 2.sin 24ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dt 02244. 3、【解】（1）对()()ππ≤≤-=x x x x f 0632进行偶延拓及周期延拓.,...)2,1(0==n b n ；()()()2023204326322|πππππππππ-=-=-==⎰⎰x x dx x x dx x f a ；()()⎰⎰-==πππππ02cos 632cos 2nxdx x x nxdx x f a n()()⎰-=πππ02sin 632nx d x x n ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎰πππππ002sin 66|sin 632nxdx x nx x x n ()()⎰-=πππ02cos 12nx d x n ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰ππππ002cos cos 12|nxdx nx x n212n=,...)2,1(=n所以，()ππ≤≤-x x x 0632的余弦级数为nx3，()π≤≤x 0. ① （2 )π- 即∑∞=-=-122112n nnπ()∑∞=---=121112n n n所以有()...1 (31)2112122+-+-+--n n ().1212121π=-=∑∞=-n n n （2）（3）从②式可见，第二问的结果可以用来求π的近似值.四【解】（1）因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u 1.1...；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ηξηξηηξξu u a a ua u t u t u t u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ....22222222 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂t t u u a t uηξ22⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=t u t u a ηηξξξ..222 ()⎢⎣⎡ ⎝⎛∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂+∂∂=a u a u a u a ...2222ξηηξξ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=2222222ηηξξu u u a . ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂2222222ηηξξu u u a . ④ ⑤（2 02=∂∂∂ηξu故得到()⎰⎰==∂∂∂=∂∂ξϕηηηξξd d uu 02. ⑥其中()ξϕ为任意函数。
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