3.1排列、组合(一)

《排列与组合》的说课稿

引言概述：

排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、排列的概念

1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。

1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。

二、组合的概念

2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。

2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。

三、排列组合的应用 3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。

3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。

3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。

四、排列组合的解题方法

4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。

4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。

4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。

五、总结

排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。

组合排列知识点总结图

组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。

一、组合的基本概念

1.1 定义

组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。

1.2 性质

（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；

（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；

（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

1.3 计算方法

（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；

（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；

（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。

1.4 应用

组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。

二、排列的基本概念

2.1 定义

排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。

2.2 性质

（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；

（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。 2.3 计算方法

（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；

（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；

（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。

2.4 应用

排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。

三、组合排列的应用

3.1 组合排列的求解

（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；

（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

１. 将标号为１，２，３，４，５，６的６个小球放入３个不同的盒中，若每个盒子放２个，其中标号为１，２的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有________种．

【解答】解：将6个小球放入3个盒子，每个盒子中2个，有C62C42C22=90种情况．其中标号为1，2的球放入同一个盒子中有C31C42＝18种，故答案为18．

２. 某学校推荐甲，乙，丙，丁４名同学参加Ａ，Ｂ，Ｃ三所大学的自主招生考试，每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐１名，则不推荐甲同学到Ａ大学的推荐方案有________种．

【解答】解：分类讨论：甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，未选甲选

的学校，共有C21∙C32∙A22=12种；甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，有一位选甲选的学校，共有C21∙C31∙A22=12种，

故共有12+12=24种．

第2讲 排列与组合

一、选择题

1．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )

A．1 440种 B．1 360种

C．1 282种 D．1 128种

解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：

如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1 440种，

如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192种，

若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．

则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．

答案 D

2．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )．

A．24 B．48 C．72 D．96

解析 A55－2A22A23A22－A22A22A33＝48.

答案 B

3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )

A．252个 B．300个

C．324个 D．228个

解析 (1)若仅仅含有数字0，则选法是C23C14，可以组成四位数C23C14A33＝12×6＝72个；

(2)若仅仅含有数字5，则选法是C13C24，可以组成四位数C13C24A33＝18×6＝108个；

(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C13C14，排法是若0在个位，有A33＝6种，若5在个位，有2×A22＝4种，故可以组成四位数C13C14(6＋4)＝120个． 根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．