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第3讲 排列组合的综合应用

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第3讲 排列组合的综合应用

一、基本内容

1、科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生.例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.

2、分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；

3、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决.例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.

4、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列.例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.

5、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.

b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.

6、剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有11mnC种方法.

7、错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

2个、3个、4个元素的错位排列容易计算。关于5个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：

①5个元素的全排列为：55120A； 2

②剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)351C 种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)252C 种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)159C 种.

∴ 120-1-351C-252C-159C＝44.

用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、„„元素的错位排列问题。

8、容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.

二、课堂探究互动

例1、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；

⑸分成3堆，每堆2 本。

⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；

⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。

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例2、求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻；

（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；

（3）4男4女排成一排，同性者相邻；

（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

例3、有13名医生,其中女医生6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式

(1)5141376;CCC

(2)23324157676767CCCCCCC;

(3)514513766CCCC;

(4)23711CC;

其中能成为P 的算式有_________种.

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例4、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有

种

例5、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为______.

例6、从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )种.

A. 24108CA B. 1599CA C. 1589CA D. 1588CA

例7、将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种.

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例8、四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种.

例9、从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有___种.

例10 、 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 ___

例11 、把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.

例12 、 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.

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点评： （剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔板），有11mnC种方法.

例13 、 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

点评：错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.

例14 、 将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .

课外练习：

1、将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ ）

A.43 B.34 C.34A D.34C

2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分；一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

3、若436mmCA，则m（ ）

A.9 B.8 C.7 D.6 7

4、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）

A.24种 B.18种 C.12种 D.6种

5、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有 种（结果用数值表示）

6、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的共有

种.（用数字作答）

7、有*Nnn件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n

8、将3种作物种植在如图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有

种（以数字作答）

9、把6名同学排成前后两排，每排3人，则不同排法的种类（ ）

A.36 B.120 C.720 D.1440

10、6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）

A.288 B.480 C.600 D.640

11、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）

A.4448412CCC种 B.34448412CCC种 C.3348412ACC种 D.334448412ACCC种

12、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）种.

A.280 B.240 C.80 D.96

13、用1,2,3,4,5这五个数字组成比20000大，且百位数不是3的，无重复数字的个数是（ ）.

A.64 B.72 C.78 D.96

14、从某班学生中，选出四个组长的不同选法有m种，选出正、副组长各一名的8

不同选法有n种，若m:n=13:2，则该班的学生人数是（ ）

A.10 B.15 C.20 D.22

15、如图所示，为某市的四个小镇，现欲修建三条

公路，将这四个镇连接起来，则不同的修路方案种

数为（ ）

A.6 B.12 C.16 D.24

16、从1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数，共可得到不同的对数值（ ）

A.53个 B.55个 C.57个 D.59个

17、8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行了单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有 场比赛（用数字作答）

18、平面上有4条平行线与另外5条平行直线相互垂直，则可围成 个矩形（用数字作答）

19、设编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则不同的投放方法有

种（用数字作答）

20、楼道里有10盏灯，为节约用电，在一定时间可关掉其中的3盏灯，但关掉的灯不能相邻，而且不在楼道两端，则不同的关灯方法共有

种.

21、如图，一个地区分5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（用数字作答）

22、将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子（每次要把10个球装完），要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数，这样的装法种数是 （用数字作答）

23、某药品研究所研制了5种消炎药54321aaaaa、、、、， 4种退烧药4321bbbb、、、，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知21aa、两种药必须同时使用，且43ba、两种药不能同时使用，则不同的实⑤④③②①

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第六讲排列组合的综合应用练习

第六讲排列组合的综合应用练习

习题六

1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？

2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？

3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？

4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？

5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？

6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.

第3讲 排列组合

第3讲 排列组合

1 第3讲 排列组合

1．分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称加法原理．

如图，从甲地到乙地有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？

2．分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同方法，……，做第n个步骤有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称乘法原理．

如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法？

【教师备案】因为我们在必修3的时候讲过计数原理，所以本讲我们在讲计数原理之前给学生复习一下加法和乘法原理，老师可以借助于上边的两个图让学生从直观理解加法和乘法原理，讲完两个原理之后就可以让学生做例1.

【例1】 两个原理

⑴一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．

① 从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？

②从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？

③ 把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？

⑵乘积abcdmnxyz展开后共有多少项？ 【解析】 ⑴①任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，用分类计

数原理，共有549种．

②各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步计数原理，共有5420种.

③若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，…，9封信等不同情况．但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能……第九封信还有4种可能．由分类计数原理可知，共有94种不同的放法．

北师大版高中数学选修2-3第2讲：排列组合(学生版)

北师大版高中数学选修2-3第2讲：排列组合(学生版)

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北师大版高中数学 排列组合

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1.理解排列组合的概念.

2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.

3.熟练掌握排列、组合的性质.

4.能解决简单的实际问题.

1.排列与组合的概念:

(1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.

○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.

○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.

○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.

○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.

○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.

(2)组合：___________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.

注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.

○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.

排列与组合综合练习

排列与组合综合练习

绵阳中学资阳育才学校高2013级数学作业 班级 姓名

1 排列与组合综合练习

一、选择题

1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )

A．2988AA B．2988CA C．2788AA D．2788CA

2．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )

A．30种 B．36种 C．42种 D．48种

3．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( )

A．152 B．126 C．90 D．54

4．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 ( )

A．72 B．108 C．180 D．216

5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是( )

A．24 B．36 C．48 D．60

6．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是( )